試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)湖南省永州市2026屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．設(shè)復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱(chēng)，，則（

）A． B．10 C． D．83．下列函數(shù)中既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為（

）A． B．C． D．4．2025年“九三”閱兵活動(dòng)中，官兵步伐高度一致，假設(shè)官兵的步伐可由簡(jiǎn)諧振動(dòng)表示為.將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的解析式為（

）A． B．C． D．5．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差，若，且，，成等比數(shù)列，則（

）A．30 B．32 C．36 D．406．的展開(kāi)式中，的系數(shù)為（

）A．80 B．40 C． D．7．已知函數(shù)，直線與函數(shù)的圖象相切，則（

）A． B． C． D．8．已知兩條直線：，：，有一動(dòng)圓M與交于A，B兩點(diǎn)，與交于C，D兩點(diǎn)，且，，則圓心M的軌跡為（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線二、多選題9．在長(zhǎng)方體中，，，，M為上一動(dòng)點(diǎn)，N是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線平面 B．直線與平面的夾角是C．直線平面 D．三棱錐的體積是1010．若實(shí)數(shù)x，y滿足，則下列選項(xiàng)一定正確的有（

）A． B．C． D．11．下列關(guān)于函數(shù)的說(shuō)法，正確的有（

）A．若，則B．當(dāng)時(shí)，的圖象不經(jīng)過(guò)第三象限C．若有三個(gè)零點(diǎn)，，，則D．若有且只有一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)在函數(shù)圖象上，則三、填空題12．已知，均為單位向量，且，則與的夾角等于.13．在中，，，若以A，B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，則該橢圓的離心率.14．一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子，六個(gè)面上分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1，2，3，4，5，6.隨機(jī)地拋擲該骰子三次（各次拋擲結(jié)果相互獨(dú)立），所得的點(diǎn)數(shù)依次為，，，則事件”發(fā)生的概率為.四、解答題15．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，.(1)求；(2)若，面積為，求c.16．如圖，在三棱錐中，平面，，E是的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段上的一點(diǎn)（不含端點(diǎn)）.(1)證明：平面；(2)若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值的最大值.17．在一套高中數(shù)學(xué)試卷中有三道多選題，且每題有4個(gè)選項(xiàng)，至少2個(gè)正確選項(xiàng)，不會(huì)出現(xiàn)4個(gè)正確選項(xiàng)，全部選對(duì)得6分，選錯(cuò)得0分.若正確答案有2個(gè)選項(xiàng)，選對(duì)1個(gè)得3分：若有3個(gè)選項(xiàng)，選對(duì)1個(gè)得2分，選對(duì)2個(gè)得4分.已知每道多選題的正確選項(xiàng)為2個(gè)與3個(gè)的概率都是，學(xué)生甲在做第三道多選題時(shí)不能確定任何選項(xiàng)的正誤.(1)若學(xué)生甲做第三道多選題時(shí)隨機(jī)選擇3個(gè)選項(xiàng)，求他得6分的概率；(2)學(xué)生甲做第三道多選題時(shí)隨機(jī)選擇1個(gè)選項(xiàng)的得分記為X，隨機(jī)選擇2個(gè)選項(xiàng)的得分記為Y，隨機(jī)選擇3個(gè)選項(xiàng)的得分記為Z，試比較，，的大小.18．拋物線的焦點(diǎn)為，上縱坐標(biāo)為的點(diǎn)到的距離為.對(duì)每個(gè)正整數(shù)，是上的點(diǎn)且在第一象限，過(guò)焦點(diǎn)的直線交于另一點(diǎn).(1)求拋物線的方程；(2)求證：；(3)取，并記為上分別以與為切點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn)，求的值（用含的式子表示）.19．已知函數(shù).(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)證明：；(3)若函數(shù)在時(shí)有最小值，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)《湖南省永州市2026屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題》參考答案題號(hào)12345678910答案BADCBDBCADBCD題號(hào)11答案ABD1．B【分析】根據(jù)并集定義計(jì)算求解.【詳解】因?yàn)榧希?，則；故選：B．2．A【分析】根據(jù)已知條件求得復(fù)數(shù)，然后利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算即可.【詳解】所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱(chēng)，,,故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義和復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.關(guān)于虛軸對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)虛部相同，實(shí)部互為相反數(shù).3．D【分析】逐項(xiàng)判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可.【詳解】對(duì)于A：函數(shù)為奇函數(shù)，在上單調(diào)遞減，不符合；對(duì)于B：函數(shù)為偶函數(shù)，不符合；對(duì)于C：函數(shù)為奇函數(shù)，在和分別單調(diào)遞增，但在整個(gè)定義域上不具有單調(diào)性，不符合；對(duì)于D：函數(shù)為奇函數(shù)，在上單調(diào)遞增，符合題意.故選：D4．C【分析】根據(jù)函數(shù)的平移求解即可.【詳解】由題意，可得.故選：C.5．B【分析】利用等差數(shù)列的求和公式可得，再由等比中項(xiàng)可得，兩式聯(lián)立可得和，然后求出數(shù)列的通項(xiàng)可得.【詳解】由，即，又，，成等比數(shù)列，則，即，得，，.,.故選：.6．D【分析】利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的規(guī)則及分類(lèi)計(jì)數(shù)原理可求解.【詳解】個(gè)因式，個(gè)因式中取，個(gè)因式中取，個(gè)因式中取，即可得出含的項(xiàng)，其為，故的系數(shù)為.故選：D7．B【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到方程，根據(jù)切點(diǎn)既在曲線上又在直線上得到方程，兩邊取對(duì)數(shù)得到，聯(lián)立方程，解出，結(jié)合即可解得.【詳解】設(shè)直線與函數(shù)相切于點(diǎn)，因?yàn)椋?，根?jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義有，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以，所以有，所以，即，，對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)有，，即，將代入，有，解得，又因?yàn)?，所?故選：B8．C【分析】分別求得圓心到直線，的距離，由可求解.【詳解】設(shè)動(dòng)圓的圓心坐標(biāo)為，圓心到直線：的距離為，圓心到直線：的距離為，又動(dòng)圓M與交于A，B兩點(diǎn)，與交于C，D兩點(diǎn)，且，，所以，即，化簡(jiǎn)得，所以圓心M的軌跡為雙曲線，故選：9．AD【分析】A選項(xiàng)利用平面與平面平行的性質(zhì)進(jìn)行判斷；B選項(xiàng)利用長(zhǎng)方體的特征找到直線與平面所成的角即可求解；C選項(xiàng)利用反證法可得到結(jié)論；D選項(xiàng)直接利用三棱錐的體積公式即可求解.【詳解】

對(duì)于A選項(xiàng)，在長(zhǎng)方體中，平面平面，平面，平面，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，連接，在長(zhǎng)方體中，平面，是直線與平面所成的角，在直角三角形中，，，，，，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，假設(shè)直線平面，連接，平面，，又在長(zhǎng)方體中，平面，平面，，，平面，平面，平面，，而在矩形中，，，則與不垂直，矛盾，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，，，，在長(zhǎng)方體中，平面，即平面，則點(diǎn)到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離，三棱錐的高為，三棱錐的體積為，故D正確.故選：AD.10．BCD【分析】用特例說(shuō)明A是錯(cuò)誤的，根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合完全平方公式，可判斷B的真假；利用點(diǎn)到直線的距離公式可判斷C的真假；根據(jù)絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，可判斷D的真假.【詳解】對(duì)A：當(dāng)，時(shí)，滿足，但，則不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：因?yàn)?，所以，所以，故B正確；對(duì)C：設(shè)，其中，，則，故C正確；對(duì)D：因?yàn)椋驗(yàn)?，，所以，所以成立，故D正確.故選：BCD11．ABD【分析】根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可判斷A選項(xiàng)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而可確定函數(shù)圖象情況，即可判斷B選項(xiàng)，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)式，化簡(jiǎn)，使其與原函數(shù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)相等，即可判斷C選項(xiàng)，結(jié)合三次函數(shù)對(duì)稱(chēng)性，及正方形性質(zhì)，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，即可判斷D選項(xiàng).【詳解】由已知，則，即，即函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，A選項(xiàng)：，即，則，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)：由已知，則，又，，解得，，易知函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在時(shí)取得極小值為，又，則，所以，即，函數(shù)不經(jīng)過(guò)第三象限，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：若有三個(gè)零點(diǎn)，，，由題意可設(shè)又，所以，即，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：由函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性及正方形的對(duì)稱(chēng)性可知，若有且只有一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)在函數(shù)圖象上，則正方形的對(duì)稱(chēng)中心為，設(shè)該正方形的頂點(diǎn)依次為，，，，則，，由正方形性質(zhì)可知，，又，，，，則，即①，，即，即，代入①中可得，又，可設(shè)，則，即，又有且只有一個(gè)正方形滿足題意，即方程有且只有一個(gè)正解，即，解得，D選項(xiàng)正確；故選：ABD12．【分析】由數(shù)量積的運(yùn)算律及計(jì)算公式求解.【詳解】由，均為單位向量，可得，設(shè)與的夾角為，所以，解得，由，所以.故答案為：.13．【分析】先根據(jù)余弦定理得到，再結(jié)合題設(shè)及橢圓的定義可得，，進(jìn)而求解即可.【詳解】在中，由余弦定理得，則，即，由于橢圓以A，B為焦點(diǎn)，則，即，又橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，所以，則，即，所以該橢圓的離心率.故答案為：.

14．【分析】先計(jì)算事件總數(shù)，因?yàn)?，得到，然后看不同的大小組合，最后排序計(jì)算符合條件的總數(shù)，然后計(jì)算概率即可.【詳解】所有投擲結(jié)果共有種，由，不妨設(shè)，則，事實(shí)上，對(duì)于其他排序可得類(lèi)似結(jié)果，則所以我們不妨設(shè)，則，還有一個(gè)數(shù)為顯然，當(dāng)時(shí)，三個(gè)數(shù)為，對(duì)應(yīng)有種方法；當(dāng)時(shí)，三個(gè)數(shù)為，對(duì)應(yīng)有種方法；當(dāng)時(shí)，三個(gè)數(shù)為，對(duì)應(yīng)有種方法；當(dāng)時(shí)，三個(gè)數(shù)為，對(duì)應(yīng)有種方法；當(dāng)時(shí)，三個(gè)數(shù)為，對(duì)應(yīng)有種方法；所以一共有種；故事件“”發(fā)生的概率為故答案為：15．(1)(2)【分析】（1）利用余弦的二倍角公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解；（2）利用三角形的面積公式結(jié)合余弦定理即可得解.【詳解】（1），，，又，，即，解得或，，，；（2）由（1）知，且，，，面積為，，，由余弦定理得，，，.16．(1)證明見(jiàn)解析；(2)【分析】（1）要證明線面垂直，需證明直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直；（2）先根據(jù)二面角的大小確定相關(guān)線段的關(guān)系，再通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求線面角的正弦值，最后求其最大值.【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，平面，所以；又，是的中點(diǎn)，所以；因?yàn)?，平面，所以平?（2）由平面，得，故

，設(shè)

，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，平面內(nèi)過(guò)作的垂線為軸，建立坐標(biāo)系，各點(diǎn)坐標(biāo)：，設(shè)，則，直線的方向向量：，平面的法向量：由（1）知，設(shè)直線與平面所成角為，則：，令，其對(duì)稱(chēng)軸為，此時(shí)，代入得.17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件概率公式即可求解.（2）先得到的可能取值，再根據(jù)古典概率公式，全概率公式計(jì)算出各個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式計(jì)算即可.【詳解】（1）設(shè)學(xué)生甲做第三道多選題時(shí)隨機(jī)選擇3個(gè)選項(xiàng)，得6分為事件，得6分當(dāng)且僅當(dāng)正確選項(xiàng)為3個(gè)且學(xué)生恰好選中這3個(gè).正確選項(xiàng)為3個(gè)的概率為，在此情況下，從4個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選擇3個(gè)，選對(duì)的概率為，故所求概率.（2）由題意的可能取值為，，，，所以，的可能取值為，，，，所以，的可能取值為，，，所以，故.18．(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）利用拋物線定義，結(jié)合已知點(diǎn)縱坐標(biāo)，建立關(guān)于的方程，求解即可得；（2）設(shè)過(guò)焦點(diǎn)的直線方程，代入拋物線方程，得到關(guān)于的一元二次方程，再利用韋達(dá)定理計(jì)算即可得；（3）先借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算出點(diǎn)、為切點(diǎn)的兩條切線方程，從而求出，再借助兩點(diǎn)間距離公式與等比數(shù)列求和公式計(jì)算即可得.【詳解】（1）設(shè)該點(diǎn)坐標(biāo)為，則，且，則則，化簡(jiǎn)得，解得或，又，則，即；（2），設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，則有，恒成立，則，即得證；（3）由在第一象限，則在第四象限，則點(diǎn)在函數(shù)上，，則拋物線上以為切點(diǎn)的切線為，又，則，點(diǎn)在函數(shù)上，，則拋物線上以為切點(diǎn)的切線為，又，則，令，解得，即，由、，則，，即，則，故.19．(1)；(2)答案見(jiàn)解析；(3)答案見(jiàn)解析.【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)法求單調(diào)性，利用單調(diào)性得到極大值也是最大值，利用最大值小于0得到所求；（2）通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性得到證明；（3）由在時(shí)有最小值，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性，通過(guò)分類(lèi)討論求出的范圍.【詳解】（1）由題可得的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，恒成立，單調(diào)遞增，且，故不符題意，當(dāng)時(shí)，令，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取到極大值也是最大值為，由可得即可，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）設(shè)，其中.則，故在上均為增