試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)湖南省永州市冠一高級(jí)中學(xué)2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．下列函數(shù)在區(qū)間(－∞，0)上為增函數(shù)的是()A．y＝1 B．y＝－＋2C．y＝－x2－2x－1 D．y＝1＋x24．如果的終邊過(guò)點(diǎn)，那么（

）A． B．C． D．5．棱長(zhǎng)為3的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)滿(mǎn)足，，則點(diǎn)E到直線(xiàn)的距離為（

）A． B．C． D．6．已知數(shù)列滿(mǎn)足，若是遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．若，則（

）A． B．C． D．8．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記．若的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A． B．C． D．二、多選題9．下列各對(duì)事件中，為相互獨(dú)立事件的是（

）A．?dāng)S一枚骰子一次，事件M“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”；事件N“出現(xiàn)3點(diǎn)或6點(diǎn)”B．袋中有3白、2黑共5個(gè)大小相同的小球，依次有放回地摸兩球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”C．袋中有3白?2黑共5個(gè)大小相同的小球，依次不放回地摸兩球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”D．甲組3名男生，2名女生；乙組2名男生，3名女生，現(xiàn)從甲?乙兩組中各選1名同學(xué)參加演講比賽，事件M“從甲組中選出1名男生”，事件N“從乙組中選出1名女生”10．如圖所示，在正方體中，為的中點(diǎn)，直線(xiàn)交平面于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．，，三點(diǎn)共線(xiàn) B．，，，四點(diǎn)共面C．，，，四點(diǎn)共面 D．，，，四點(diǎn)共面11．已知菱形的邊長(zhǎng)為2，．將沿著對(duì)角線(xiàn)折起至，連結(jié)．設(shè)二面角的大小為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若四面體為正四面體，則B．四面體的體積最大值為1C．四面體的表面積最大值為D．當(dāng)時(shí)，四面體的外接球的半徑為三、填空題12．已知集合，若，則的取值范圍是.13．在的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)是．（用數(shù)字作答）14．若圓C與拋物線(xiàn)在公共點(diǎn)B處有相同的切線(xiàn)，且C與y軸切于的焦點(diǎn)A，則．四、解答題15．已知兩個(gè)等差數(shù)列、，其中，，，記前項(xiàng)和為，．（1）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（2）記，設(shè)，求．16．如圖所示，四棱錐中，底面為平行四邊形，、分別為、的中點(diǎn)，、交于點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）求三棱錐與四棱錐的體積之比.17．已知橢圓的焦距為，短軸長(zhǎng)為2，過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線(xiàn)與橢圓C交于A(yíng)?B兩點(diǎn).（1）求橢圓C的方程；（2）求弦AB的長(zhǎng).18．國(guó)家發(fā)改委、城鄉(xiāng)住房建設(shè)部于2017年聯(lián)合發(fā)布了《城市生活垃圾分類(lèi)制度實(shí)施方案》，規(guī)定某46個(gè)大中城市在2020年底實(shí)施生活垃圾強(qiáng)制分類(lèi)，并且垃圾回收、利用率要達(dá)標(biāo)．某市在實(shí)施垃圾分類(lèi)的過(guò)程中，從本市人口數(shù)量在兩萬(wàn)人左右的類(lèi)社區(qū)（全市共320個(gè)）中隨機(jī)抽取了50個(gè)進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)這50個(gè)社區(qū)某天產(chǎn)生的垃圾量（單位：噸），得到如下頻數(shù)分布表，并將這一天垃圾數(shù)量超過(guò)28噸的社區(qū)定為“超標(biāo)”社區(qū)．垃圾量頻數(shù)56912864（1）估計(jì)該市類(lèi)社區(qū)這一天垃圾量的平均值；（2）若該市類(lèi)社區(qū)這一天的垃圾量大致服從正態(tài)分布，其中近似為50個(gè)樣本社區(qū)的平均值（精確到0.1噸），估計(jì)該市類(lèi)社區(qū)中“超標(biāo)”社區(qū)的個(gè)數(shù)；（3）根據(jù)原始樣本數(shù)據(jù)，在抽取的50個(gè)社區(qū)中，這一天共有8個(gè)“超標(biāo)”社區(qū)，市政府決定從這8個(gè)“超標(biāo)”社區(qū)中任選5個(gè)跟蹤調(diào)查其垃圾來(lái)源．設(shè)這一天垃圾量不小于30.5噸的社區(qū)個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：若服從正態(tài)分布，則；；．19．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若對(duì)任意的，都有成立，求a的取值范圍.答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)《湖南省永州市冠一高級(jí)中學(xué)2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題》參考答案題號(hào)12345678910答案CCBDABDCABDABC題號(hào)11答案BCD1．C【分析】求解一元二次不等式化簡(jiǎn)集合，利用交集的定義計(jì)算得出答案．【詳解】∵，∴，又，所以，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交并補(bǔ)運(yùn)算，考查一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．2．C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷即可.【詳解】因?yàn)?，又，所以?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第三象限.故選：C3．B【詳解】y=1在區(qū)間（－∞,0）上不增不減;y=－+2在區(qū)間（－∞,0）上單調(diào)遞增;y=－x2－2x－1在區(qū)間（－∞,0）上有增有減;y=1+x2在區(qū)間（－∞,0）上單調(diào)遞減;所以選B.4．D【分析】根據(jù)題意得到角的終邊過(guò)點(diǎn)，結(jié)合三角函數(shù)的定義，即可求解.【詳解】由題意知，角的終邊過(guò)點(diǎn)，即點(diǎn)，則，根據(jù)三角函數(shù)的定義，可得.故選:D.5．A【分析】利用向量法求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件可得，，，，，設(shè)向量與的夾角為，，所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為.故選：A.6．B【分析】根據(jù)題意得到是等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得到，利用是遞減數(shù)列列出關(guān)于的不等式，進(jìn)而求出的取值范圍.【詳解】將整理得，又，易知當(dāng)時(shí),，不滿(mǎn)足是遞減數(shù)列，故，因此數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故，因此，由于是遞減數(shù)列，故恒成立，得，化簡(jiǎn)得，故，因此，解得，故選：B．7．D【分析】等價(jià)變形不等式，放縮并構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)單調(diào)性，求得，再逐項(xiàng)分析判斷即可.【詳解】不等式，令函數(shù)，求導(dǎo)得，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞減，在上遞增，，即，因此函數(shù)在R上遞增，原不等式等價(jià)于，于是，對(duì)于A(yíng)B，取，有，AB錯(cuò)誤；對(duì)于CD，，即，C錯(cuò)誤，D正確.故選：D【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：某些數(shù)或式大小關(guān)系問(wèn)題，看似與函數(shù)的單調(diào)性無(wú)關(guān)，細(xì)心挖掘問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)，分析并運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，它能起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的作用.8．C【分析】利用的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，可知函數(shù)為奇函數(shù)，結(jié)合可得是周期函數(shù)，再由選項(xiàng)去逐一分析.【詳解】因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即函數(shù)為奇函數(shù)，則，又，所以，所以，所以，所以，所以，即，所以3是的一個(gè)周期.因?yàn)椋蔆正確；取符合題意的函數(shù)，則所以，又，故2不是的一個(gè)周期，所以不恒成立，故B不正確；因?yàn)椴皇呛瘮?shù)的最值，所以函數(shù)的圖象不關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以，故A不正確；因?yàn)?，故D不正確；故選：C.9．ABD【分析】利用相互獨(dú)立事件的定義一一驗(yàn)證即可.【詳解】在A(yíng)中，樣本空間，事件，事件，事件，∴，，，即，故事件M與N相互獨(dú)立，A正確.在B中，根據(jù)事件的特點(diǎn)易知，事件M是否發(fā)生對(duì)事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響，故M與N是相互獨(dú)立事件，B正確；在C中，由于第1次摸到球不放回，因此會(huì)對(duì)第2次摸到球的概率產(chǎn)生影響，因此不是相互獨(dú)立事件，C錯(cuò)誤；在D中，從甲組中選出1名男生與從乙組中選出1名女生這兩個(gè)事件的發(fā)生沒(méi)有影響，所以它們是相互獨(dú)立事件，D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】判斷兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立的方法：（1）直接法：利用生活常識(shí)進(jìn)行判斷；（2）定義法：利用判斷.10．ABC【分析】根據(jù)點(diǎn)與線(xiàn)、點(diǎn)與面、線(xiàn)與面的位置關(guān)系判斷即可；【詳解】解：在正方體中，為的中點(diǎn)，直線(xiàn)交平面于點(diǎn)，在選項(xiàng)中，直線(xiàn)交平面于點(diǎn)，平面，直線(xiàn)，又平面，平面，為的中點(diǎn)，平面，底面為正方形，所以為的中點(diǎn)，平面，且平面，又平面，且平面，，，三點(diǎn)共線(xiàn)，故選項(xiàng)正確；在選項(xiàng)中，，，三點(diǎn)共線(xiàn)，，，，四點(diǎn)共面，故正確；在選項(xiàng)中，，，三點(diǎn)共線(xiàn)，，，，四點(diǎn)共面，故正確；在選項(xiàng)中，直線(xiàn)，，，，，四點(diǎn)不共面，故錯(cuò)誤．故選：．11．BCD【分析】取中點(diǎn)，連接，證得為二面角的平面角，即．然后根據(jù)的大小判斷ABC，D中需要找到外接球球心，求出半徑判斷．【詳解】如圖，取中點(diǎn)，連接，則，，為二面角的平面角，即．若是正四面體，則，不是正三角形，，A錯(cuò)；四面體的體積最大時(shí)，平面，此時(shí)到平面的距離最大為，而，所以，B正確；，易得，，未折疊時(shí)，折疊到重合時(shí)，，中間存在一個(gè)位置，使得，則，，此時(shí)取得最大值2，所以四面體的表面積最大值為，C正確；當(dāng)時(shí)，如圖，設(shè)分別是和的外心，在平面內(nèi)作，作，，則是三棱錐外接球的球心，由上面證明過(guò)程知平面與平面、平面垂直，即四點(diǎn)共面，，則，，，為球半徑，D正確．故選：BCD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查已知二面角，四面體的體積，表面積，外接球等等．解題關(guān)鍵是確定二面角的平面角，利用二面角判斷．對(duì)外接球關(guān)鍵是找到球心，而三棱錐的球心一定在過(guò)各面外心且與此面垂直的直線(xiàn)上．12．【分析】利用一元二次不等式的解法及交集的定義即可求解.【詳解】由，得,解得，所以.因?yàn)?，所以或，解得或，所以的取值范圍?故答案為：.13．【分析】根據(jù)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式即得.【詳解】因?yàn)榈恼归_(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，可得，所以展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為，故答案為：.14．【分析】首先利用幾何關(guān)系設(shè)出圓的方程，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和直線(xiàn)與圓相切的幾何性質(zhì)，列式求交點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)直線(xiàn)與圓相切的幾何性質(zhì)和圖形，求的值.【詳解】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)l為，依題意不妨令C在第一象限，，則圓C的半徑，設(shè)，則圓C的方程為，由，則，所以?huà)佄锞€(xiàn)在點(diǎn)B處的切線(xiàn)m的斜率，因?yàn)閳AC與拋物線(xiàn)在公共點(diǎn)B處有相同的切線(xiàn)，所以直線(xiàn)CB與m垂直，所以，則①，又點(diǎn)B在圓C上，所以，則②，所以，整理可得，解得，或（舍去），所以，所以，所以．故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用公切線(xiàn)的性質(zhì)，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，即可利用直線(xiàn)與圓相切的性質(zhì)求解.15．（1），；（2）.【分析】（1）由求得，再驗(yàn)證是否滿(mǎn)足的表達(dá)式，可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意求得，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求得，可得，分和兩種情況討論，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可求得的表達(dá)式.【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，，滿(mǎn)足，.設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，；（2）由（1）知，，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．綜上所述，.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，利用求，同時(shí)也考查了含絕對(duì)值的等差數(shù)列求和，考查計(jì)算能力，屬于中等題.16．（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）證明平面，平面，則平面平面即得證；（2）先證明，再求三棱錐與四棱錐的體積之比.【詳解】（1）∵四邊形為平行四邊形，、為、的中點(diǎn)，、交于點(diǎn)，∴，又∵平面，平面，∴平面，又是的中位線(xiàn)，∴，又平面，平面，∴平面，∵平面，平面，，∴平面平面.（2）∵、、為、、的中點(diǎn)，∴，，∴，又，∴.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：空間幾何中研究體積的問(wèn)題常用方法有：（1）公式法：一般是規(guī)則的幾何體；（2）割補(bǔ)法：一般是非規(guī)則的幾何體；（3）轉(zhuǎn)化法：根據(jù)幾何體的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為和它有比例關(guān)系的幾何體.17．（1）；（2）.【分析】（1）結(jié)合已知條件求得，由此求得橢圓方程.（2）求得直線(xiàn)的方程并與橢圓方程聯(lián)立，求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，由此求得的長(zhǎng).【詳解】（1）已知橢圓焦距為，短軸長(zhǎng)為2，即，結(jié)合a2=b2+c2，解得a=3，b=1，.故C：.（2）直線(xiàn)方程為：直線(xiàn)與橢圓方程聯(lián)立為得，，解得或.不妨設(shè)，所以.18．（1）22.76噸；（2）51個(gè)；（3）分布列見(jiàn)解析，.【解析】（1）樣本數(shù)據(jù)各組的中點(diǎn)值分別乘以各組的頻數(shù)求和后再除以樣本容量可得答案；（2）據(jù)題意計(jì)算出，由.進(jìn)而可以求出這320個(gè)社區(qū)中超標(biāo)社區(qū)的個(gè)數(shù)；（3）算出的可能取值及對(duì)應(yīng)的概率列出分布列計(jì)算出變量的期望即可.【詳解】（1）樣本數(shù)據(jù)各組的中點(diǎn)值分別為14，17，20，23，26，29，32，則.估計(jì)該市類(lèi)社區(qū)這一天垃圾量的平均值約為22.76噸.（2）據(jù)題意，，，即，則.因?yàn)?，估?jì)該市類(lèi)社區(qū)中“超標(biāo)”社區(qū)約51個(gè).（3）由頻數(shù)分布表知，8個(gè)社區(qū)中這一天的垃圾量不小于30.5噸的“超標(biāo)”社區(qū)有4個(gè)，則垃圾量在內(nèi)的“超標(biāo)”社區(qū)也有4個(gè)，則的可能取值為1，2，3，4.，，，.則的分布列為：1234所以.【點(diǎn)睛】本題考查了正態(tài)分布、隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望，關(guān)鍵點(diǎn)是求出所有可能取值對(duì)應(yīng)的概率，意在考查學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)的分析處理能力，計(jì)算能力.19．（1）；（2）答案見(jiàn)解析；（3）.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)