答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)上海外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬外國(guó)語(yǔ)學(xué)校松江云間中學(xué)2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期9月測(cè)試數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、填空題1．函數(shù)的定義域?yàn)?2．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù).3．二項(xiàng)式的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)的值為．4．記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，則．5．已知圓錐的底面半徑為2，底面圓心到某條母線的距離為1，則該圓錐的側(cè)面積為．6．若事件與事件相互獨(dú)立，，，則.7．已知定義在上的奇函數(shù)滿足，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．8．若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.9．已知中，，且，，則的最大值為.10．已知，，且，則的最小值為．11．已知橢圓：，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)，滿足，則橢圓的離心率的取值范圍為.12．已知（a，b，，），若不等式對(duì)任意恒成立，則的取值范圍為.二、單選題13．設(shè)，則“”是“且”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件14．下列關(guān)于冪函數(shù)的描述中，正確的是（

）A．冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)和；B．冪函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)第三象限；C．若冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則它的圖象也經(jīng)過(guò)點(diǎn).D．當(dāng)指數(shù)取1，3，時(shí)，冪函數(shù)是其定義域上的嚴(yán)格增函數(shù)；15．已知函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．16．已知，則方程的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)不可能為（

）A．5個(gè) B．6個(gè) C．7個(gè) D．8個(gè)三、解答題17．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，，，點(diǎn)E在線段AB上，且．(1)求證：CE⊥平面PBD；(2)求二面角P－CE－A的余弦值．18．已知二次函數(shù)滿足，且.(1)求的解析式；(2)，使得成立，求的取值范圍.19．某創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊(duì)擬生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，A產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資額成正比（如圖1），B產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資額的算術(shù)平方根成正比（如圖2），（注：利潤(rùn)與投資額的單位均為萬(wàn)元）(1)分別將A、B兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)、表示為投資額x的函數(shù)；(2)該團(tuán)隊(duì)已籌集到10萬(wàn)元資金，并打算全部投入A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問(wèn)：當(dāng)B產(chǎn)品的投資額為多少萬(wàn)元時(shí)，生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品能獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為多少？20．已知橢圓:，直線經(jīng)過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)且與橢圓交于另一點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)為.

(1)求橢圓的焦距和離心率；(2)若，求直線的方程；(3)過(guò)點(diǎn)再作一條直線與橢圓交于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為.若，則直線是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？若經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.21．已知，對(duì)于函數(shù)，，設(shè)集合，，記.(1)若函數(shù)，請(qǐng)判斷中元素的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；(2)設(shè)，函數(shù)，若，求的值以及曲線在點(diǎn)處的切線方程；(3)設(shè)，函數(shù)，若對(duì)于任意的，皆有成立，求的取值范圍.《上海外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬外國(guó)語(yǔ)學(xué)校松江云間中學(xué)2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期9月測(cè)試數(shù)學(xué)試題》參考答案題號(hào)13141516答案BDBA1．【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)真數(shù)大于零以及二次根式有意義的條件列不等式求解即可.【詳解】要使函數(shù)有意義，則，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，故答案為?2．1【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)列出方程，解出即可.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)是純虛數(shù)，所以，解得.故答案為：1.3．【分析】寫出展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，令x的指數(shù)為0，即可得到展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng).【詳解】二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，令，得，則常數(shù)項(xiàng)為，故答案為：4．【分析】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，根據(jù)已知條件，求出公差，根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和，即可求得答案.【詳解】是等差數(shù)列，且，設(shè)等差數(shù)列的公差根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式：可得即：整理可得：解得：根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式：可得：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求等差數(shù)列的前項(xiàng)和，解題關(guān)鍵是掌握等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5．【分析】根據(jù)條件可以求出母線長(zhǎng)，進(jìn)而可以求出結(jié)果.【詳解】如圖所示，為底面圓心，，，則，在中由等面積可知，即，又因?yàn)椋?，則，則該圓錐的側(cè)面積為，故答案為：.6．【分析】先利用對(duì)立事件概率公式和獨(dú)立事件乘法公式求得，再利用對(duì)立事件概率公式求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所?故答案為：7．【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性解不等式即可.【詳解】是增函數(shù)，且，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以在上是增函數(shù)．由，得，于是，解得．故．故答案為：.8．【分析】利用一元二次型不等式恒成立，分類求出的范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，原不等式為，此不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立；當(dāng)時(shí)，，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：9．/【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理求出三角形外接圓半徑，確定點(diǎn)的軌跡，借助圓的性質(zhì)求出最大值.【詳解】以直線為軸，線段的中垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，由，，得，外接圓半徑，令圓心為，則，，點(diǎn)在以為圓心，為半徑所含圓周角為的圓?。ú缓它c(diǎn)）上，顯然，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為.故答案為：10．3【分析】把“”寫成，再利用基本不等式即可求解.【詳解】因?yàn)?，，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為3．故答案為：311．【分析】根據(jù)已知條件列方程，求得的取值范圍，由此列不等式，由此求得離心率的取值范圍.【詳解】，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.，由于，所以當(dāng)或時(shí)，有最小值為，所以，則，即，即，解得.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：橢圓焦點(diǎn)和離心率的應(yīng)用：通過(guò)利用橢圓的焦半徑和離心率關(guān)系，結(jié)合橢圓上的點(diǎn)條件，推導(dǎo)出離心率的范圍，這是解題的關(guān)鍵步驟.不等式解的準(zhǔn)確性：通過(guò)解不等式，得出離心率的范圍，確保計(jì)算過(guò)程中的符號(hào)處理正確，是確保結(jié)論正確的關(guān)鍵.12．【分析】求導(dǎo)后代入不等式得對(duì)任意恒成立，轉(zhuǎn)化為，再分與，兩種情況，后一種令，則，由判別式可求出的范圍，進(jìn)一步可得的取值范圍.【詳解】，所以，即對(duì)任意恒成立，當(dāng)時(shí)，若趨近于正無(wú)窮時(shí)，趨近于正無(wú)窮，不合題意；當(dāng)時(shí)，若趨近于負(fù)無(wú)窮時(shí)，趨近于正無(wú)窮，不合題意；所以，又，所以.所以對(duì)任意恒成立，當(dāng)b=0時(shí)，c=0，當(dāng)，有，即且，令，則，所以，即,所以，得，所以，綜上，的取值范圍為.故答案為：.13．B【分析】依題意舉反例可得不能推出且，可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)榍夷芡瞥?；但不能推出且（如，），所以“”是“且”的必要不充分條件.故選：B.14．D【分析】利用冪函數(shù)的性質(zhì)判斷每個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)不過(guò)原點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)過(guò)第三象限，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，若冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則，所以冪函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，故C錯(cuò)誤.選項(xiàng)D，當(dāng)，冪函數(shù)為，在定義域單調(diào)遞增，當(dāng)，冪函數(shù)為，在定義域單調(diào)遞增，當(dāng)，冪函數(shù)為，在定義域單調(diào)遞增，故D正確；故選：D15．B【分析】根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)列式求解即可.【詳解】若函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，則,解得,故選：B16．A【分析】作出的圖象，令，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)作出的圖象，再對(duì)分類討論，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程（具體到每種類型時(shí)為常數(shù)）的解的個(gè)數(shù)問(wèn)題.【詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，，，，，作出的圖象，如圖所示：令，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，且，，則的圖象如下所示：①當(dāng)時(shí)，令或，則關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，關(guān)于的方程的方程也有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，即此時(shí)對(duì)應(yīng)的個(gè)數(shù)為，（以下處理方法類似）；②當(dāng)時(shí)，令或或，此時(shí)對(duì)應(yīng)的個(gè)數(shù)為6；③當(dāng)時(shí)，令或或或，此時(shí)對(duì)應(yīng)的個(gè)數(shù)為；④當(dāng)時(shí)，或或或，此時(shí)對(duì)應(yīng)的個(gè)數(shù)為；⑤當(dāng)時(shí)，或或，此時(shí)對(duì)應(yīng)的個(gè)數(shù)為；⑥當(dāng)時(shí)，或，此時(shí)對(duì)應(yīng)的個(gè)數(shù)為3；⑦當(dāng)時(shí)，，此時(shí)對(duì)應(yīng)的個(gè)數(shù)為2.綜上可知，實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)不可能為5個(gè).故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是作出的圖象，再對(duì)分類討論，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程（具體到每種類型時(shí)為常數(shù)）的根的問(wèn)題.17．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）結(jié)合三角函數(shù)的定義證明，然后由線面垂直的判定定理得證線面垂直；（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求二面角．【詳解】（1）設(shè)BD與CE相交于點(diǎn)H，因?yàn)镻D⊥平面ABCD，平面ABCD，所以，由，，得，因此，，可得，因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)?，，平?所以CE⊥平面PBD；（2）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則，，，所以，，設(shè)平面PCE的一個(gè)法向量，則，即，令，則，，于是，平面ACE的一個(gè)法向量為，則，由圖形可知二面角P－CE－A為銳角，所以二面角P－CE－A的余弦值是．18．(1)(2)【分析】（1）設(shè)二次函數(shù)，根據(jù)題意列式求即可；（2）可得，根據(jù)存在性問(wèn)題結(jié)合一次函數(shù)性質(zhì)可得，解不等式即可.【詳解】（1）設(shè)二次函數(shù)，因?yàn)?，則，解得，即，又因?yàn)椋傻?，所以的解析式?（2）由題意可得：，則在內(nèi)單調(diào)遞增，則在內(nèi)的最小值為，若使得成立，則，即，解得或，所以的取值范圍是.19．(1)，(2)6.25萬(wàn)元，4.0625萬(wàn)元【分析】（1）設(shè)，，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求出解析式；（2）設(shè)B產(chǎn)品的投資額為x萬(wàn)元，創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊(duì)獲得的利潤(rùn)為y萬(wàn)元，列出，換元后，配方得到時(shí)，y取得最大值4.0625.【詳解】（1）因?yàn)锳產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資額成正比，故設(shè)，將代入，解得：，故，因?yàn)锽產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資額的算術(shù)平方根成正比，故設(shè)，將代入，解得：，解得：，故；（2）設(shè)B產(chǎn)品的投資額為x萬(wàn)元，則A產(chǎn)品的投資額為萬(wàn)元，創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊(duì)獲得的利潤(rùn)為y萬(wàn)元，則.令，可得，即.當(dāng)，即時(shí)，y取得最大值4.0625.答：當(dāng)B產(chǎn)品的投資額為6.25萬(wàn)元時(shí)，生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品能獲得最大利潤(rùn).獲得的最大利潤(rùn)為4.0625萬(wàn)元.20．(1)(2)(3)直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn).【分析】（1）根據(jù)橢圓方程確定、，利用解出即可求解；（2）設(shè)直線的方程，直曲聯(lián)立根據(jù)韋達(dá)定理得：，結(jié)合為中點(diǎn)解出坐標(biāo)，再利用，解出，即可求解；(3)分直線斜率存在與不存在兩種情況討論，斜率存在時(shí)，設(shè)出方程，直曲聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合已知條件，求出直線過(guò)定點(diǎn)；斜率不存在時(shí)，設(shè)出、兩點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求出、坐標(biāo)，結(jié)合已知條件，求出直線過(guò)定點(diǎn)，兩種情況綜合即可求解.【詳解】（1）由得，所以焦距，離心率.（2）

，設(shè)直線的方程，與橢圓:，聯(lián)立得：，整理得：，，因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)不重合，為中點(diǎn)，所以，代入方程，解得，所以可得點(diǎn)，于是由得，直線的方程：.（3）

①當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)方程為：，與橢圓:，聯(lián)立，得：，整理得：，設(shè)，由韋達(dá)定理得，且，化簡(jiǎn)得，又，從而，，由可得，從而，又因?yàn)?，，所以上式化為：整理得：，韋達(dá)定理代入：，化簡(jiǎn)得：.，所以或當(dāng)時(shí)，直線為：，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，舍去；當(dāng)時(shí)，直線為：，此時(shí)成立，直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)②當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)，，則，，，代入，得與聯(lián)立得：解得此時(shí)直線也經(jīng)過(guò)點(diǎn).綜上，直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于設(shè)分斜率存在與不存在兩種情況設(shè)出直線方程，利用直曲聯(lián)立得到方程，結(jié)合韋達(dá)定理解決問(wèn)題.21．(1)有2個(gè)元素，理由見(jiàn)解析(2)，(3)【分析】（1）求的解即可得到答案