第41頁（共41頁）2025年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（回憶版）一、選擇題。共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1．（4分）（2025?北京）集合M＝{x|2x﹣1＞5}，N＝{1，2，3}，則M∩N＝（）A．{1，2，3} B．{2，3} C．{3} D．?2．（4分）（2025?北京）已知復(fù)數(shù)z滿足i?z+2＝2i，則|z|＝（）A．2 B．22 C．4 D．83．（4分）（2025?北京）雙曲線x2﹣4y2＝4的離心率為（）A．32 B．52 C．54 4．（4分）（2025?北京）為得到函數(shù)y＝9x的圖象，只需把函數(shù)y＝3x的圖象上的所有點（）A．橫坐標(biāo)變成原來的12倍，縱坐標(biāo)不變B．橫坐標(biāo)變成原來的2倍，縱坐標(biāo)不變 C．縱坐標(biāo)變成原來的13倍，橫坐標(biāo)不變D．縱坐標(biāo)變成原來的3倍，橫坐標(biāo)不變5．（4分）（2025?北京）已知{an}是公差不為0的等差數(shù)列，a1＝﹣2，若a3，a4，a6成等比數(shù)列，則a10＝（）A．﹣20 B．﹣18 C．16 D．186．（4分）（2025?北京）已知a＞0，b＞0，則（）A．a(chǎn)2+b2＞2ab B．1aC．a(chǎn)+b＞ab D．7．（4分）（2025?北京）已知函數(shù)f（x）的定義域為D，則“函數(shù)f（x）的值域為R”是“對任意M∈R，存在x0∈D，使得|f（x0）|＞M”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8．（4分）設(shè)函數(shù)f（x）＝sin（ωx）+cos（ωx）（ω＞0），若f（x+π）＝f（x）恒成立，且f（x）在[0，π4]上存在零點，則ωA．8 B．6 C．4 D．39．（4分）在一定條件下，某人工智能大語言模型訓(xùn)練N個單位的數(shù)據(jù)量所需要時間T＝klog2N（單位：小時），其中k為常數(shù)．在此條件下，已知訓(xùn)練數(shù)據(jù)量N從106個單位增加到1.024×109個單位時，訓(xùn)練時間增加20小時；當(dāng)訓(xùn)練數(shù)據(jù)量N從1.024×109個單位增加到4.096×109個單位時，訓(xùn)練時間增加（單位：小時）（）A．2 B．4 C．20 D．4010．（4分）（2025?北京）已知平面直角坐標(biāo)系xOy中，|OA→|＝|OB→|=2，|AB→|＝2，設(shè)C（3，4），則A．[6，14] B．[6，12] C．[8，14] D．[8，12]二、填空題。共5小題，每小題5分，共25分。11．（5分）（2025?北京）拋物線y2＝2px（p＞0）的頂點到焦點的距離為3，則p＝．12．（5分）（2025?北京）已知（1﹣2x）4＝a0﹣2a1x+4a2x2﹣8a3x3+16a4x4，則a0＝；a1+a2+a3+a4＝．13．（5分）（2025?北京）已知α，β∈[0，2π]，且sin（α+β）＝sin（α﹣β），cos（α+β）≠cos（α﹣β），寫出滿足條件的一組α＝，β＝．14．（5分）（2025?北京）某科技興趣小組使用3D打印機制作的一個零件可以抽象為如圖所示的多面體，其中ABCDEF是一個平面多邊形，平面ARF⊥平面ABC，平面TCD⊥平面ABC，AB⊥BC，AB∥RS∥EF∥CD，AF∥ST∥BC∥ED，若AB＝BC＝8，AF＝CD＝4，AR＝RF＝TC＝TD=52，則該多面體的體積為15．（5分）（2025?北京）關(guān)于定義域為R的函數(shù)f（x），以下說法正確的有．①存在在R上單調(diào)遞增的函數(shù)f（x）使得f（x）+f（2x）＝﹣x恒成立；②存在在R上單調(diào)遞減的函數(shù)f（x）使得f（x）﹣f（2x）＝x恒成立；③使得f（x）+f（﹣x）＝cosx恒成立的函數(shù)f（x）存在且有無窮多個；④使得f（x）﹣f（﹣x）＝cosx恒成立的函數(shù)f（x）存在且有無窮多個．三、解答題。共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。16．（10分）（2025?北京）在△ABC中，cosA=-13，asinC＝4（1）求c；（2）在以下三個條件中選擇一個作為已知，使得△ABC存在，求BC的高．①a＝6；②asinB=1023；③△ABC面積為17．（15分）（2025?北京）四棱錐P﹣ABCD中，△ACD與△ABC為等腰直角三角形，∠ADC＝90°，∠BAC＝90°，E為BC的中點．（1）F為PD的中點，G為PE的中點，證明：FG∥平面PAB；（2）若PA⊥平面ABCD，PA＝AC，求AB與平面PCD所成角的正弦值．18．（15分）（2025?北京）有一道選擇題考查了一個知識點，甲、乙兩校各隨機抽取100人，甲校有80人答對，乙校有75人答對，用頻率估計概率．（1）從甲校隨機抽取1人，求這個人做對該題目的概率．（2）從甲、乙兩校各隨機抽取1人，設(shè)X為做對的人數(shù)，求恰有1人做對的概率以及X的數(shù)學(xué)期望．（3）若甲校同學(xué)掌握這個知識點，則有100%的概率做對該題目，乙校同學(xué)掌握這個知識點，則有85%的概率做對該題目，未掌握該知識點的同學(xué)都是從四個選項里面隨機選擇一個，設(shè)甲校學(xué)生掌握該知識點的概率為p1，乙校學(xué)生掌握該知識點的概率為p2，試比較p1與p2的大小（結(jié)論不要求證明）．19．（15分）（2025?北京）已知橢圓E：x2a2+y2（1）求橢圓方程；（2）設(shè)O為原點，M（x0，y0）（x0≠0）為橢圓上一點，直線x0x+2y0y﹣4＝0與y＝2和y＝﹣2分別交于A，B兩點．設(shè)△OMA和△OMB的面積分別為S1和S2，比較S1S220．（15分）（2025?北京）函數(shù)f（x）的定義域為（﹣1，+∞），且f（0）＝0，f′（x）=ln(x+1)x+1，l1為A（a，f（1）求f′（x）的最大值；（2）求證：當(dāng)﹣1＜a＜0時，除切點A外，y＝f（x）均在l1上方；（3）當(dāng)a＞0時，直線l2過A點且與l1垂直，l1，l2分別與x軸的交點橫坐標(biāo)分別為x1，x2，求2a21．（15分）（2025?北京）A＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，M＝{（xi，yi）|xi∈A，yi∈A}，從M中選出n構(gòu)成一列：（x1，y1），…，（xn，yn）．相鄰兩項（xi，yi），（xi+1，yi+1）滿足：|xi+1-x（1）若k列的第一項為（3，3），求第二項．（2）若τ為k列，且滿足i為奇數(shù)時，xi∈{1，2，7，8}；i為偶數(shù)時，xi∈{3，4，5，6}；判斷：（3，2）與（4，4）能否同時在τ中，并說明理由；（3）證明：M中所有元素都不構(gòu)成k列．

2025年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（回憶版）參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案DBBACCACBD一、選擇題。共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1．（4分）（2025?北京）集合M＝{x|2x﹣1＞5}，N＝{1，2，3}，則M∩N＝（）A．{1，2，3} B．{2，3} C．{3} D．?【考點】求集合的交集．【專題】整體思想；綜合法；集合；運算求解．【答案】D【分析】先求出集合M，再利用集合的交集運算求解．【解答】解：由題意可知，集合M＝{x|2x﹣1＞5}＝{x|x＞3}，又因為N＝{1，2，3}，所以M∩N＝?．故選：D．【點評】本題主要考查了集合的基本運算，屬于基礎(chǔ)題．2．（4分）（2025?北京）已知復(fù)數(shù)z滿足i?z+2＝2i，則|z|＝（）A．2 B．22 C．4 D．8【考點】復(fù)數(shù)的模；復(fù)數(shù)的除法運算．【專題】對應(yīng)思想；定義法；數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)；運算求解．【答案】B【分析】把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，然后利用復(fù)數(shù)模的計算公式求解．【解答】解：由i?z+2＝2i，得i?z＝﹣2+2i，則z=-得|z|=2故選：B．【點評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．3．（4分）（2025?北京）雙曲線x2﹣4y2＝4的離心率為（）A．32 B．52 C．54 【考點】雙曲線的離心率．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】B【分析】把雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，求出a、b、c的值，即得離心率的值．【解答】解：雙曲線x2﹣4y2＝4即x2∴a＝2，b＝1，∴c=5∴e=c故選：B．【點評】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，把雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式是解題的突破口．4．（4分）（2025?北京）為得到函數(shù)y＝9x的圖象，只需把函數(shù)y＝3x的圖象上的所有點（）A．橫坐標(biāo)變成原來的12倍，縱坐標(biāo)不變B．橫坐標(biāo)變成原來的2倍，縱坐標(biāo)不變 C．縱坐標(biāo)變成原來的13倍，橫坐標(biāo)不變D．縱坐標(biāo)變成原來的3倍，橫坐標(biāo)不變【考點】函數(shù)的圖象與圖象的變換．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)抽象；運算求解．【答案】A【分析】根據(jù)題意，由于y＝9x＝32x，結(jié)合函數(shù)圖象變換的規(guī)律，分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，y＝9x＝32x，為得到函數(shù)y＝9x的圖象，只需把函數(shù)y＝3x的圖象上的所有點的橫坐標(biāo)變成原來的12倍故選：A．【點評】本題考查函數(shù)的圖象變換，涉及指數(shù)的運算，屬于基礎(chǔ)題．5．（4分）（2025?北京）已知{an}是公差不為0的等差數(shù)列，a1＝﹣2，若a3，a4，a6成等比數(shù)列，則a10＝（）A．﹣20 B．﹣18 C．16 D．18【考點】等差數(shù)列的通項公式；等比中項及其性質(zhì)．【專題】方程思想；定義法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運算求解．【答案】C【分析】利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)求解．【解答】解：{an}是公差不為0的等差數(shù)列，a1＝﹣2，a3，a4，a6成等比數(shù)列，設(shè)公差為d，則a42=a3a6，即（﹣2+3d）2整理得d2﹣2d＝0，解得d＝2或d＝0（舍），∴a10＝a1+9d＝﹣2+9×2＝16．故選：C．【點評】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．6．（4分）（2025?北京）已知a＞0，b＞0，則（）A．a(chǎn)2+b2＞2ab B．1aC．a(chǎn)+b＞ab D．【考點】運用基本不等式求最值．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；運算求解．【答案】C【分析】根據(jù)重要不等式及基本不等式，即可求解．【解答】解：因為a＞0，b＞0，所以a2+b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立，所以A選項錯誤；取a=b=13，則1a因為a+b≥2因為1a+1故選：C．【點評】本題考查重要不等式及基本不等式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．7．（4分）（2025?北京）已知函數(shù)f（x）的定義域為D，則“函數(shù)f（x）的值域為R”是“對任意M∈R，存在x0∈D，使得|f（x0）|＞M”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【考點】充要條件的判斷．【專題】函數(shù)思想；定義法；簡易邏輯；邏輯思維．【答案】A【分析】分別判斷充分性與必要性是否成立即可．【解答】解：因為函數(shù)f（x）的定義域為D，若函數(shù)f（x）的值域為R，則對任意M∈R，存在x0∈D，使得|f（x0）|＞M，充分性成立；若對任意M∈R，存在x0∈D，使得|f（x0）|＞M，f（x）的值域不一定是R，必要性不成立；是充分不必要條件．故選：A．【點評】本題考查了充分與必要條件的判斷問題，是基礎(chǔ)題．8．（4分）設(shè)函數(shù)f（x）＝sin（ωx）+cos（ωx）（ω＞0），若f（x+π）＝f（x）恒成立，且f（x）在[0，π4]上存在零點，則ωA．8 B．6 C．4 D．3【考點】求兩角和與差的三角函數(shù)值．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；邏輯思維．【答案】C【分析】先利用輔助角公式化簡f（x），根據(jù)π是f（x）的周期構(gòu)造ω的等式，然后結(jié)合f（x）的零點情況確定ω的最小值．【解答】解：由已知得f（x）=2又f（x+π）＝f（x）恒成立，所以kT＝π，所以k?2πω=π，即ω＝2k，k＝1時，ω＝2，f（x）=2sin（2x+因為[0，π4]，所以2x+π4∈[π4，3π4]，f（k＝2時，ω＝4，f（x）=2此時f(0)=2sinπ4=1＞0，ff(0)f(π4)＜0，即f故ω＝4即為所求．故選：C．【點評】本題考查三角恒等變換以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．9．（4分）在一定條件下，某人工智能大語言模型訓(xùn)練N個單位的數(shù)據(jù)量所需要時間T＝klog2N（單位：小時），其中k為常數(shù)．在此條件下，已知訓(xùn)練數(shù)據(jù)量N從106個單位增加到1.024×109個單位時，訓(xùn)練時間增加20小時；當(dāng)訓(xùn)練數(shù)據(jù)量N從1.024×109個單位增加到4.096×109個單位時，訓(xùn)練時間增加（單位：小時）（）A．2 B．4 C．20 D．40【考點】指數(shù)函數(shù)的實際應(yīng)用．【專題】應(yīng)用題；函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運算求解．【答案】B【分析】由題意知，klog2（1.024×109）﹣klog2106＝20，求出k，再代入計算函數(shù)求值即可．【解答】解：由題意知，klog2（1.024×109）﹣klog2106＝20，即klog21.024×109所以klog21024＝20，解得k=20log所以2log2（4.096×109）﹣2log2（1.024×109）＝2log24.096×1091.024×109=2log2故選：B．【點評】本題考查了指數(shù)與對數(shù)的運算問題，是基礎(chǔ)題．10．（4分）（2025?北京）已知平面直角坐標(biāo)系xOy中，|OA→|＝|OB→|=2，|AB→|＝2，設(shè)C（3，4），則A．[6，14] B．[6，12] C．[8，14] D．[8，12]【考點】平面向量加減法的坐標(biāo)運算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；運算求解．【答案】D【分析】由|OA→|=|OB→|=2，|AB→|=2，可得點A、B在以O(shè)為圓心，2為半徑的圓上，取AB的中點H，得|OH|＝1【解答】解：由|OA→|=|OB→|=故點A、B在以O(shè)為圓心，2為半徑的圓上，取AB的中點H，可知|OH|＝1，所以點H在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上，則|2=4CA=4(CH=4(CH所以|2CA又||CO→|-1|≤|則4≤|CH→|≤6即|2CA→+AB→|故選：D．【點評】本題考查平面向量的線性運算及數(shù)量積運算，屬中檔題．二、填空題。共5小題，每小題5分，共25分。11．（5分）（2025?北京）拋物線y2＝2px（p＞0）的頂點到焦點的距離為3，則p＝6．【考點】拋物線的焦點弦及焦半徑．【專題】對應(yīng)思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】6．【分析】根據(jù)拋物線的焦點定義進行求解．【解答】解：由已知，拋物線的頂點到焦點的距離為p2=所以p＝6．故答案為：6．【點評】本題主要考查拋物線的焦點，屬于基礎(chǔ)題．12．（5分）（2025?北京）已知（1﹣2x）4＝a0﹣2a1x+4a2x2﹣8a3x3+16a4x4，則a0＝1；a1+a2+a3+a4＝15．【考點】二項式系數(shù)的性質(zhì)．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項式定理；運算求解．【答案】1；15．【分析】根據(jù)賦值法，即可求解．【解答】解：因為（1﹣2x）4＝a0﹣2a1x+4a2x2﹣8a3x3+16a4x4，所以令x＝0，可得a0＝1，再令x=-12，可得a0+a1+a2+a3+a4＝24＝所以a1+a2+a3+a4＝16﹣a0＝16﹣1＝15．故答案為：1；15．【點評】本題考查二項式定理的相關(guān)知識，賦值法的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．13．（5分）（2025?北京）已知α，β∈[0，2π]，且sin（α+β）＝sin（α﹣β），cos（α+β）≠cos（α﹣β），寫出滿足條件的一組α＝π2（答案不唯一），β＝π2（答案不唯一）【考點】求兩角和與差的三角函數(shù)值．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；運算求解．【答案】π2，π【分析】利用兩角和與差的正余弦公式展開化簡，再根據(jù)化簡后的結(jié)果確定α，β的值．【解答】解：因為sin（α+β）＝sin（α﹣β），所以sinαcosβ+cosαsinβ＝sinαcosβ﹣cosαsinβ，所以cosαsinβ＝0①，又cos（α+β）≠cos（α﹣β），即cosαcosβ﹣sinαsinβ≠cosαcosβ+sinαsinβ，即sinαsinβ≠0②，結(jié)合①②得：cosα＝0，且sinα≠0，sinβ≠0，故可取：α=β故答案為：π2，π【點評】本題考查兩角和與差的正余弦公式，屬于中檔題．14．（5分）（2025?北京）某科技興趣小組使用3D打印機制作的一個零件可以抽象為如圖所示的多面體，其中ABCDEF是一個平面多邊形，平面ARF⊥平面ABC，平面TCD⊥平面ABC，AB⊥BC，AB∥RS∥EF∥CD，AF∥ST∥BC∥ED，若AB＝BC＝8，AF＝CD＝4，AR＝RF＝TC＝TD=52，則該多面體的體積為60【考點】棱錐的體積．【專題】整體思想；數(shù)形結(jié)合法；分割補形法；立體幾何；空間想象．【答案】60．【分析】分析出組合體為對稱立體圖形后，將組合體體積拆分成VAFR﹣BNQ+VCDN﹣BMP+VS﹣BMEN+VS﹣BMP+VS﹣BNQ，根據(jù)代入棱錐、棱柱體積公式計算即可．【解答】解：∵AB∥EF∥CD，AF∥BC∥ED，且AB⊥BC，可得BC⊥CD，CD⊥DE，DE⊥EF，EF⊥AF，AF⊥AB，延長CB與EF相交于點N，延長AB與ED相交于點M，所以AM⊥ED，CN⊥EF，所以四邊形ABNF和四邊形CDMB為矩形，所以AF＝CD＝BM＝BN，所以四邊形BNME為正方形，所以BM＝ME＝EN＝BN＝AF＝CD＝4，即EF＝DE＝12，由此可得組合體關(guān)于平面SBE對稱；過點B作BQ∥AR，交RS于點Q，連接QN，過點B作BP∥CT，交TS于點P，連接PM，所以平面ARF∥平面BQN，平面CDT∥BMP，所以組合體體積可以分為V＝VAFR﹣BNQ+VCDN﹣BMP+VS﹣BMEN+VS﹣BMP+VS﹣BNQ，①求解三棱柱AFR﹣BNQ和CDN﹣BMP的體積：因為平面ARF⊥平面ABC，平面ARF∩平面ABC＝AF，AB⊥AF，所以三棱柱AFR﹣BNQ為直三棱柱（三棱柱CDN﹣BMP同理），所以VAFR﹣BNQ＝VCDN﹣BMP＝S△ARF?|AB|=12×4×(②求解四棱錐S﹣BMEN的體積：由組合體關(guān)于平面SBE對稱，所以平面SDE⊥平面BMEN，作RS在底面ABEF的投影，因為AR＝FR，平面ARF⊥平面ABC，所以R在底面的投影為AF中點，又因為平面SDE⊥平面BMEN，所以S在底面的投影為BE的中點O，SO即為(5所以VS﹣BMEN=13③求解三棱錐S﹣BMP和三棱錐S﹣BNQ的體積：因為AB⊥平面ARF，AB∥RQ，平面平面ARF∥平面BQN，所以平面BQN垂直RS，所以QS即為三棱錐S﹣BNQ的高，QS=12NE＝所以VS﹣BMP＝VS﹣BNQ=13×12×綜上，組合體體積為24+24+8+2+2＝60．故答案為：60．【點評】本題考查立體幾何圖形體積的求解，考查空間想象能力，屬于中檔題．15．（5分）（2025?北京）關(guān)于定義域為R的函數(shù)f（x），以下說法正確的有②③．①存在在R上單調(diào)遞增的函數(shù)f（x）使得f（x）+f（2x）＝﹣x恒成立；②存在在R上單調(diào)遞減的函數(shù)f（x）使得f（x）﹣f（2x）＝x恒成立；③使得f（x）+f（﹣x）＝cosx恒成立的函數(shù)f（x）存在且有無窮多個；④使得f（x）﹣f（﹣x）＝cosx恒成立的函數(shù)f（x）存在且有無窮多個．【考點】函數(shù)恒成立問題．【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；反證法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯思維；運算求解．【答案】②③．【分析】利用反證法可判斷①④的正誤；構(gòu)造函數(shù)并驗證后可判斷②③的正誤．【解答】解：對于①，若存在R上的增函數(shù)f（x），滿足f（x）+f（2x）＝﹣x，則f（0）+f（2×0）＝﹣0，即f（0）＝0，故x＞0時，f（4x）＞f（2x）＞f（x）＞0，故f（4x）+f（2x）＞f（x）+f（2x），令g（x）＝f（x）+f（2x）＝﹣x，則g（2x）＞g（x），故﹣2x＞﹣x，解得x＜0，與x＞0，矛盾，故①錯誤；對于②，取f（x）＝﹣x，該函數(shù)為R上的減函數(shù)且f（x）﹣f（2x）＝x，故該函數(shù)符合，故②正確；對于③，取f(x)=12此時f（x）+f（﹣x）＝cosx，由m∈R，可得f（x）有無窮多個，故③正確；對于④，若存在f（x），使得f（x）﹣f（﹣x）＝cosx，令x＝0，則0＝cos0，但cos0＝1，矛盾，故滿足f（x）﹣f（﹣x）＝cosx的函數(shù)不存在，故④錯誤．故答案為：②③．【點評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、一次函數(shù)及余弦函數(shù)的性質(zhì)，考查了反證法的應(yīng)用，屬于中檔題．三、解答題。共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。16．（10分）（2025?北京）在△ABC中，cosA=-13，asinC＝4（1）求c；（2）在以下三個條件中選擇一個作為已知，使得△ABC存在，求BC的高．①a＝6；②asinB=1023；③△ABC面積為【考點】解三角形．【專題】方程思想；綜合法；解三角形；邏輯思維；運算求解．【答案】（1）6；（2）不能選①；選②：2029；選③：【分析】（1）由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得sinA的值，再由正弦定理可得csinA的值，從而求得c；（2）選①：由等邊對等角和三角形的內(nèi)角和定理可得△ABC不存在；選②：由正弦定理和條件可得b，再根據(jù)余弦定理求出a，最后利用三角形面積公式即可求得；選③：由三角形的面積公式求b，由余弦定理求a，再由三角形的面積公式即可求得．【解答】解：（1）因為cosA=-13，且A∈（π2所以sinA=1-由正弦定理asinA=csinC，得csinA＝a所以c=（2）選①：因為a＝6，由（1）知，c＝6，所以a＝c，則A＝C，因為A為鈍角，所以不符合三角形的內(nèi)角和定理，所以△ABC不存在；選②：由正弦定理asinA=bsinB，得asinB＝b所以b＝5，根據(jù)余弦定理a=b2此時△ABC存在且唯一確定，S△ABC=12bcsinA=12×5×6×2所以BC邊上的高h(yuǎn)=20選③：因為△ABC面積為102，由（1）知，c=6所以S=12bcsinA，即102由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bccosA=25+36-2×5×6×(-13)=81，即a設(shè)BC邊上的高為h，則S=12【點評】本題考查利用正、余弦定理和三角形的面積公式解三角形，屬于中檔題．17．（15分）（2025?北京）四棱錐P﹣ABCD中，△ACD與△ABC為等腰直角三角形，∠ADC＝90°，∠BAC＝90°，E為BC的中點．（1）F為PD的中點，G為PE的中點，證明：FG∥平面PAB；（2）若PA⊥平面ABCD，PA＝AC，求AB與平面PCD所成角的正弦值．【考點】空間向量法求解直線與平面所成的角；直線與平面平行．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；立體幾何；運算求解．【答案】（1）證明見解析；（2）33【分析】（1）取PA的中點N，PB的中點M，連接FN、MN，只需證明FG∥MN即可；（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出直線AB的方向向量與平面PCD的法向量，根據(jù)向量夾角公式即可求解．【解答】解：（1）證明：取PA的中點N，PB的中點M，連接FN、MN，∵△ACD與△ABC為等腰直角三角形，∠ADC＝90°，∠BAC＝90°，不妨設(shè)AD＝CD＝2，∴AC=∴BC＝4，∵E、F分別為BC、PD的中點，∴FN=1∴GM＝1，∵∠DAC＝45°，∠ACB＝45°，∴AD∥BC，∴FN∥GM，∴四邊形FGMN為平行四邊形，∴FG∥MN，∵FG?平面PAB，MN?平面PAB，∴FG∥平面PAB；（2）∵PA⊥平面ABCD，∴以A為原點，AC、AB、AP所在直線分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AD＝CD＝2，則A（0，0，0），B（0，22，0），C(22，∴AB→=(0，22設(shè)平面PCD的一個法向量為n→∴DC→?n→取x＝1，∴y＝﹣1，z＝1，∴n→=（1，﹣1，設(shè)AB與平面PCD成的角為θ，則sinθ=|即AB與平面PCD成角的正弦值為33【點評】本題考查線面平行得判定，以及向量法的應(yīng)用，屬于中檔題．18．（15分）（2025?北京）有一道選擇題考查了一個知識點，甲、乙兩校各隨機抽取100人，甲校有80人答對，乙校有75人答對，用頻率估計概率．（1）從甲校隨機抽取1人，求這個人做對該題目的概率．（2）從甲、乙兩校各隨機抽取1人，設(shè)X為做對的人數(shù)，求恰有1人做對的概率以及X的數(shù)學(xué)期望．（3）若甲校同學(xué)掌握這個知識點，則有100%的概率做對該題目，乙校同學(xué)掌握這個知識點，則有85%的概率做對該題目，未掌握該知識點的同學(xué)都是從四個選項里面隨機選擇一個，設(shè)甲校學(xué)生掌握該知識點的概率為p1，乙校學(xué)生掌握該知識點的概率為p2，試比較p1與p2的大小（結(jié)論不要求證明）．【考點】離散型隨機變量的均值（數(shù)學(xué)期望）；相互獨立事件的概率乘法公式．【專題】應(yīng)用題；分析法；概率與統(tǒng)計；運算求解．【答案】（1）45（2）0.35，E（X）＝1.55；（3）p1＜p2．【分析】（1）用頻率估計概率后可得從甲校隨機抽取1人做對該題目的概率；（2）利用獨立事件可求恰有1人做對的概率及X的分布列，從而可求其期望；（3）根據(jù)題設(shè)可得關(guān)于p1，p2的方程，求出其解后可得它們的大小關(guān)系．【解答】解：（1）用頻率估計概率，從甲校隨機抽取1人，做對題目的概率為80100（2）設(shè)A為“從甲校抽取1人做對”，則P（A）＝0.8，則P(A)=0.2，設(shè)B為“從乙校抽取1人則P（B）＝0.75，則P(B)=0.25，設(shè)C為“恰有1人故P(而X可取0，1，2，P(P（X＝1）＝0.35，P（X＝2）＝0.8×0.75＝0.6，故X的分布列如下表：X012P0.050.350.6故E（X）＝1×0.35+2×0.6＝1.55；（3）證明：設(shè)D為“甲校掌握該知識的學(xué)生”，因為甲校掌握這個知識點則有100%的概率做對該題目，未掌握該知識點的同學(xué)都是從四個選項里面隨機選擇一個，故P(即p1故p1同理有0.85p故p2故p1＜p2．【點評】本題考查離散型隨機變量的均值（數(shù)學(xué)期望），屬于中檔題．19．（15分）（2025?北京）已知橢圓E：x2a2+y2（1）求橢圓方程；（2）設(shè)O為原點，M（x0，y0）（x0≠0）為橢圓上一點，直線x0x+2y0y﹣4＝0與y＝2和y＝﹣2分別交于A，B兩點．設(shè)△OMA和△OMB的面積分別為S1和S2，比較S1S2【考點】直線與橢圓的綜合．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】（1）x2（2）S1【分析】（1）由橢圓定義得a＝2，根據(jù)離心率得c=2，則b2＝（2）聯(lián)立x0x+2y0y-4=0x24+y22=1，結(jié)合x024+y022=1，可得y＝y(tǒng)0，從而得直線x0x+2y0y﹣4＝0與橢圓相切，M為切點，設(shè)A（x1，y1），B（【解答】解：（1）由橢圓定義可知，2a＝4，所以a＝2，又e=ca=22，所以c=2，則b2＝故橢圓方程為x2（2）由題意，可得x024聯(lián)立x0x+2y0整理得(2x即8y2-16y0y+8所以直線x0x+2y0y﹣4＝0與橢圓相切，M為切點，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），易知當(dāng)x1＝x2時，由對稱性可知，S1故設(shè)x2＜x0＜x1，易知S1聯(lián)立x0x+2聯(lián)立x0x+2所以S1|OA故S1【點評】本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓的綜合應(yīng)用，屬難題．20．（15分）（2025?北京）函數(shù)f（x）的定義域為（﹣1，+∞），且f（0）＝0，f′（x）=ln(x+1)x+1，l1為A（a，f（1）求f′（x）的最大值；（2）求證：當(dāng)﹣1＜a＜0時，除切點A外，y＝f（x）均在l1上方；（3）當(dāng)a＞0時，直線l2過A點且與l1垂直，l1，l2分別與x軸的交點橫坐標(biāo)分別為x1，x2，求2a【考點】利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)求解曲線在某點上的切線方程．【專題】函數(shù)思想；定義法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；邏輯思維．【答案】（1）1e（2）證明見解析．（3）[e2-【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，即可求出最大值；（2）求出直線l1的方程，再構(gòu)造函數(shù)h（x），只需證明其最小值（或者下確界）大于零即可；（3）求出直線l2的方程，即可由題意得到x1，x2的表示，從而用字母a表示出2a【解答】解：（1）設(shè)g（x）＝f′（x），g'(由g′（x）＝0，可得x＝e﹣1，當(dāng)x∈（﹣1，e﹣1）時，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（e﹣1，+∞）時，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，所以f′（x）的最大值為f'(（2）因為f'(a)=ln(1+a)1+設(shè)h(x)=由（1）可知，f′（x）在x∈（﹣1，e﹣1）上單調(diào)遞增，而﹣1＜a＜0，所以當(dāng)﹣1＜x＜a時，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，當(dāng)0＞x＞a時，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，且f′（a）＜f′（0）＝0，而當(dāng)x≥0時，f'(x)=ln(1+x)1+x≥0，所以總有f′（x）故h（x）≥h（a），從而命題得證；（3）由f'(x)=ln(1+x)1+x，可設(shè)f(x)=l因為直線l1的方程為y=ln(1+a所以直線l2的方程為y=-x1=a所以2=1-由（1）知，當(dāng)x＞0時，g(所以g2(a【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于難題．21．（15分）（2025?北京）A＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，M＝{（xi，yi）|xi∈A，yi∈A}，從M中選出n構(gòu)成一列：（x1，y1），…，（xn，yn）．相鄰兩項（xi，yi），（xi+1，yi+1）滿足：|xi+1-x（1）若k列的第一項為（3，3），求第二項．（2）若τ為k列，且滿足i為奇數(shù)時，xi∈{1，2，7，8}；i為偶數(shù)時，xi∈{3，4，5，6}；判斷：（3，2）與（4，4）能否同時在τ中，并說明理由；（3）證明：M中所有元素都不構(gòu)成k列．【考點】數(shù)列的應(yīng)用．【專題】整體思想；綜合法；點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；創(chuàng)新能力；新定義類．【答案】（1）（6，7）或（7，6）；（2）二者不能同時出現(xiàn)在τ中，理由見解答．（3）證明見解答．【分析】（1）根據(jù)新定義即可得解；（2）假設(shè)（3，2）與（4，4）能同時在τ中，導(dǎo)出矛盾，從而得出（3，2）與（4，4）不能同時在τ中的結(jié)論；（3）假設(shè)全體元素構(gòu)成一個k列，通過構(gòu)造導(dǎo)出矛盾，從而得到要證明的結(jié)論．【解答】解：（1）根據(jù)題目定義可知，xi+1=若第一項為（3，3），顯然x2＝0或﹣1不符合題意（不在集合A中），所以第二項是（6，7）或（7，6）；（2）假設(shè)二者同時出現(xiàn)在τ中，由于k列取反序后仍是k列，故可以不妨設(shè)（3，2）在（4，4）之前．顯然，在k列中，相鄰兩項的橫縱坐標(biāo)之和的奇偶性總是相反的，所以從（3，2）到（4，4）必定要向下一項走奇數(shù)次．但又根據(jù)題目條件，這兩個點的橫坐標(biāo)均在τ中，所以從（3，2）到（4，4）必定要向下一項走偶數(shù)次．這導(dǎo)致矛盾，所以二者不能同時出現(xiàn)在τ中．（3）全體元素構(gòu)成一個k列，則n＝64，設(shè)T1＝{（x，y）|x∈{1，2，7，8}，y∈{1，2，3，4，5，6，7，8}}，T2＝{（x，y）|x∈{3，4，5，6}，y∈{1，2，3，4，5，6，7，8}}．則T1和T2都包含32個元素，且T1中元素的相鄰項必定在T2中．如果存在至少兩對相鄰的項屬于T2，那么屬于T2的項的數(shù)目一定多于屬于T1的項的數(shù)目，所以至多存在一對相鄰的項屬于T2，如果存在，則這對相鄰的項的序號必定形如2m和2m+1，否則將導(dǎo)致屬于T2的項的個數(shù)比屬于T1的項的個數(shù)多2，此時m＝1，2，3，…，31，從而這個序列的前2m項中，第奇數(shù)項屬于T1，第偶數(shù)項屬于T2，這個序列的后64﹣2m項中，第奇數(shù)項屬于T2，第偶數(shù)項屬于T1，如果不存在相鄰的屬于T2的項，那么也可以看作上述表示在m＝0或m＝32的特殊情況．這意味著必定存在m∈{0，1，2，…，32}，使得(x由于相鄰兩項的橫縱坐標(biāo)之和的奇偶性必定相反，故T1中橫縱坐標(biāo)之和為奇數(shù)的點和橫縱坐標(biāo)之和為偶數(shù)的點的數(shù)量一定分別是m和32﹣m（不一定對應(yīng)）．但容易驗證，T1和T2都包含16個橫縱坐標(biāo)之和為奇數(shù)的點和16個橫縱坐標(biāo)之和為偶數(shù)的點，所以m＝32﹣m＝16，得m＝16．從而有(這就得到T1＝{（xk，yk）|k＝1，3，5……，29，31，34，36……，62，64}．再設(shè)T3＝{（x，y）|x∈{1，2，3，4，5，6，7，8}，y∈{1，2，7，8}}，T4＝{（x，y）|x∈{1，2，3，4，5，6，7，8}，y∈{3，4，5，6}}．則同理有(x這意味著T3＝{（xk，yk）|k＝1，3，5，…，29，31，34，36，…，62，64}．從而得到T3＝T1，但顯然它們是不同的集合，矛盾．所以全體元素不能構(gòu)成一個k列．【點評】本題考查對新定義的理解，屬于難題．

考點卡片1．求集合的交集【知識點的認(rèn)識】由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與B的交集，記作A∩B．符號語言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B實際理解為：x是A且是B中的相同的所有元素．當(dāng)兩個集合沒有公共元素時，兩個集合的交集是空集，而不能說兩個集合沒有交集．運算性質(zhì)：①A∩B＝B∩A．②A∩?＝?．③A∩A＝A．④A∩B?A，A∩B?B．【解題方法點撥】解答交集問題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解．不能把“或”與“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②無限集用數(shù)軸、韋恩圖．【命題方向】掌握交集的表示法，會求兩個集合的交集．已知集合A＝{x∈Z|x+1≥0}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，則A∩B＝（）解：因為A＝{x∈Z|x+1≥0}＝{x∈Z|x≥﹣1}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，所以A∩B＝{﹣1，0，1，2}．故選：D．2．充要條件的判斷【知識點的認(rèn)識】充要條件是指條件P和條件Q之間互為充分必要條件．即若P成立，則Q成立，若Q成立，則P也成立．用符號表示為P?Q．充要條件在數(shù)學(xué)中非常重要，因為它們表示兩個條件是等價的．【解題方法點撥】要判斷一個條件是否為充要條件，需要分別驗證P?Q和Q?P．如果兩者都成立，則P和Q互為充要條件．通?？梢酝ㄟ^邏輯推理和實例驗證來進行判斷．對于復(fù)雜問題，可以分步驟進行驗證，確保每一步推理的正確性．【命題方向】充要條件的命題方向包括幾何圖形的判定條件、函數(shù)的性質(zhì)等．例如，矩形的對角線相等且互相平分是矩形的充要條件．“方程x2﹣2x+m＝0至多有一個實數(shù)解”的一個充要條件是（）A．m≥1B．m≤1C．m≥2D．m≥0解：“方程x2﹣2x+m＝0至多有一個實數(shù)解”的充要條件為“（﹣2）2﹣4m≤0”即“m≥1”．故選：A．3．運用基本不等式求最值【知識點的認(rèn)識】基本不等式主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式．其可表述為：兩個正實數(shù)的幾何平均數(shù)小于或等于它們的算術(shù)平均數(shù)．公式為：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），變形為ab≤（a+b2）【解題方法點撥】在運用均值不等式求最值時，可以將代數(shù)式分解成可以應(yīng)用均值不等式的形式．例如，要求代數(shù)式x+1x的最小值，可以利用均值不等式x+1x≥2從而得出最小值為2【命題方向】均值不等式求最值的命題方向包括代數(shù)表達式的最值求解、幾何圖形的最優(yōu)設(shè)計等．例如，求解一個代數(shù)式的最小值，或設(shè)計一個幾何圖形使其面積最大．這類題型要求學(xué)生能夠靈活運用均值不等式進行最值求解，并能正確代入和計算．已知正數(shù)a，b滿足a+b＝1，則a+1+b解：因為正數(shù)a，b滿足a+b＝1，所以a+1+b+1＝3，則a+1當(dāng)且僅當(dāng)a＝b=1故答案為：6．4．函數(shù)的圖象與圖象的變換【知識點的認(rèn)識】函數(shù)圖象的作法：通過如下3個步驟（1）列表；（2）描點；（3）連線．解題方法點撥：一般情況下，函數(shù)需要同解變形后，結(jié)合函數(shù)的定義域，通過函數(shù)的對應(yīng)法則，列出表格，然后在直角坐標(biāo)系中，準(zhǔn)確描點，然后連線（平滑曲線）．命題方向：一般考試是以小題形式出現(xiàn)，或大題中的一問，常見考題是，常見函數(shù)的圖象，有時結(jié)合函數(shù)的奇偶性、對稱性、單調(diào)性知識結(jié)合命題．圖象的變換1．利用描點法作函數(shù)圖象其基本步驟是列表、描點、連線．首先：①確定函數(shù)的定義域；②化簡函數(shù)解析式；③討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性等）．其次：列表（尤其注意特殊點、零點、最大值點、最小值點、與坐標(biāo)軸的交點等），描點，連線．2．利用圖象變換法作函數(shù)的圖象（1）平移變換：y＝f（x）a＞0，右移a個單位（a＜0，左移|a|個單位）?y＝f（x﹣a）；y＝f（x）b＞0，上移b個單位（b＜0，下移|b|個單位）?y＝f（x）+b．（2）伸縮變換：y＝f（x）y＝f（ωx）；y＝f（x）A＞1，伸為原來的A倍（0＜A＜1，縮為原來的A倍）?y＝Af（x）．（3）對稱變換：y＝f（x）關(guān)于x軸對稱?y＝﹣f（x）；y＝f（x）關(guān)于y軸對稱?y＝f（﹣x）；y＝f（x）關(guān)于原點對稱?y＝﹣f（﹣x）．（4）翻折變換：y＝f（x）去掉y軸左邊圖，保留y軸右邊圖，將y軸右邊的圖象翻折到左邊?y＝f（|x|）；y＝f（x）留下x軸上方圖將x軸下方圖翻折上去y＝|f（x）|．【解題方法點撥】1、畫函數(shù)圖象的一般方法（1）直接法：當(dāng)函數(shù)表達式（或變形后的表達式）是熟悉的基本函數(shù)或解析幾何中熟悉的曲線時，可根據(jù)這些函數(shù)或曲線的特征直接作出．（2）圖象變換法：若函數(shù)圖象可由某個基本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、翻折、對稱得到，可利用圖象變換作出，但要注意變換順序，對不能直接找到熟悉函數(shù)的要先變形，并應(yīng)注意平移變換與伸縮變換的順序?qū)ψ儞Q單位及解析式的影響．（3）描點法：當(dāng)上面兩種方法都失效時，則可采用描點法．為了通過描少量點，就能得到比較準(zhǔn)確的圖象，常常需要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)討論．2、尋找圖象與函數(shù)解析式之間的對應(yīng)關(guān)系的方法（1）知圖選式：①從圖象的左右、上下分布，觀察函數(shù)的定義域、值域；②從圖象的變化趨勢，觀察函數(shù)的單調(diào)性；③從圖象的對稱性方面，觀察函數(shù)的奇偶性；④從圖象的循環(huán)往復(fù)，觀察函數(shù)的周期性．利用上述方法，排除錯誤選項，篩選正確的選項．（2）知式選圖：①從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；②從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；③從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性．④從函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)．利用上述方法，排除錯誤選項，篩選正確選項．注意聯(lián)系基本函數(shù)圖象和模型，當(dāng)選項無法排除時，代特殊值，或從某些量上尋找突破口．3、（1）利有函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)從圖象的最高點、最低點，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等．（2）利用函數(shù)的圖象研究方程根的個數(shù)有關(guān)方程解的個數(shù)問題常常轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)的交點個數(shù)；利用此法也可由解的個數(shù)求參數(shù)值．【命題方向】（1）1個易錯點﹣﹣圖象變換中的易錯點在解決函數(shù)圖象的變換問題時，要遵循“只能對函數(shù)關(guān)系式中的x，y變換”的原則，寫出每一次的變換所得圖象對應(yīng)的解析式，這樣才能避免出錯．（2）3個關(guān)鍵點﹣﹣正確作出函數(shù)圖象的三個關(guān)鍵點為了正確地作出函數(shù)圖象，必須做到以下三點：①正確求出函數(shù)的定義域；②熟練掌握幾種基本函數(shù)的圖象，如二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、形如y＝x+的函數(shù)；③掌握平移變換、伸縮變換、對稱變換、翻折變換、周期變換等常用的方法技巧，來幫助我們簡化作圖過程．（3）3種方法﹣﹣識圖的方法對于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分布范圍、變化趨勢、對稱性等方面來獲取圖中所提供的信息，解決這類問題的常用方法有：①定性分析法，也就是通過對問題進行定性的分析，從而得出圖象的上升（或下降）的趨勢，利用這一特征來分析解決問題；②定量計算法，也就是通過定量的計算來分析解決問題；③函數(shù)模型法，也就是由所提供的圖象特征，聯(lián)想相關(guān)函數(shù)模型，利用這一函數(shù)模型來分析解決問題．5．函數(shù)恒成立問題【知識點的認(rèn)識】函數(shù)恒成立問題是指在定義域或某一限定范圍內(nèi)，函數(shù)滿足某一條件（如恒大于0等），此時，函數(shù)中的參數(shù)成為限制了這一可能性（就是說某個參數(shù)的存在使得在有些情況下無法滿足要求的條件），因此，適當(dāng)?shù)姆蛛x參數(shù)能簡化解題過程．【解題方法點撥】﹣分析函數(shù)的定義域和形式，找出使函數(shù)恒成立的條件．﹣利用恒成立條件，確定函數(shù)的行為．一般恒成立問題最后都轉(zhuǎn)化為求最值得問題，常用的方法是分離參變量【命題方向】題目包括判斷函數(shù)恒成立條件及應(yīng)用題，考查學(xué)生對函數(shù)恒成立問題的理解和應(yīng)用能力．關(guān)于x的不等式（1+m）x2+mx+m＜x2+1，對x∈R恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是_____．解：∵（1+m）x2+mx+m＜x2+1，對x∈R恒成立，∴mx2+mx+m＜1，∴?x∈R，m＜1x∵x2+x+1＝（x+12）2∴0＜1∴m≤0．6．指數(shù)函數(shù)的實際應(yīng)用【知識點的認(rèn)識】指數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用：函數(shù)的圖象是直觀地表示函數(shù)的一種方法．函數(shù)的很多性質(zhì)，可以從圖象上一覽無余．?dāng)?shù)形結(jié)合就是幾何與代數(shù)方法緊密結(jié)合的一種數(shù)學(xué)思想．指數(shù)函數(shù)的圖象通過平移、翻轉(zhuǎn)等變可得出一般函數(shù)的圖象．利用指數(shù)函數(shù)的圖象，可解決與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的比較大小、研究單調(diào)性、方程解的個數(shù)、求值域或最值等問題．7．求兩角和與差的三角函數(shù)值【知識點的認(rèn)識】（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα【解題方法點撥】﹣利用和差公式：sin（α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβcos（α±β）＝cosαcosβ?sinαsinβtan(﹣將具體角度值代入公式，求解三角函數(shù)值．﹣驗證計算結(jié)果的正確性．【命題方向】常見題型包括利用和差公式求解三角函數(shù)值，結(jié)合具體角度進行計算．若α為銳角，sinα=45，則解：若α為銳角，sinα=45，則cossin(α+π3)=18．等差數(shù)列的通項公式【知識點的認(rèn)識】等差數(shù)列是常見數(shù)列的一種，數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，已知等差數(shù)列的首項a1，公差d，那么第n項為an＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m項為am，則第n項為an＝am+（n﹣m）d．【解題方法點撥】eg1：已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝n2+1，求數(shù)列{an}的通項公式，并判斷{an}是不是等差數(shù)列解：當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝12+1＝2，當(dāng)n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+1﹣（n﹣1）2﹣1＝2n﹣1，∴an=2把n＝1代入2n﹣1可得1≠2，∴{an}不是等差數(shù)列考察了對概念的理解，除掉第一項這個數(shù)列是等差數(shù)列，但如果把首項放進去的話就不是等差數(shù)列，題中an的求法是數(shù)列當(dāng)中常用到的方式，大家可以熟記一下．eg2：已知等差數(shù)列{an}的前三項分別為a﹣1，2a+1，a+7則這個數(shù)列的通項公式為解：∵等差數(shù)列{an}的前三項分別為a﹣1，2a+1，a+7，∴2（2a+1）＝a﹣1+a+7，解得a＝2．∴a1＝2﹣1＝1，a2＝2×2+1＝5，a3＝2+7＝9，∴數(shù)列an是以1為首項，4為公差的等差數(shù)列，∴an＝1+（n﹣1）×4＝4n﹣3．故答案：4n﹣3．這個題很好的考察了的呢公差數(shù)列的一個重要性質(zhì)，即等差中項的特點，通過這個性質(zhì)然后解方程一樣求出首項和公差即可．【命題方向】求等差數(shù)列的通項公式是一種很常見的題型，這里面往往用的最多的就是等差中項的性質(zhì)，這也是學(xué)習(xí)或者復(fù)習(xí)時應(yīng)重點掌握的知識點．9．等比中項及其性質(zhì)【知識點的認(rèn)識】等比數(shù)列如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，因為第二項與第一項的比和第三項與第二項的比相等，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1時，an為常數(shù)列．在兩個數(shù)a和b中，插入一個數(shù)G使a、G、b成等比數(shù)列，那么G叫做a、b的等比中項．有G2＝a?b（ab≠0）【解題方法點撥】﹣定義：在等比數(shù)列中，對于任意三項an﹣1，an，an+1，有an﹣性質(zhì)：等比中項的性質(zhì)可以用來驗證數(shù)列是否為等比數(shù)列，或求解數(shù)列的具體項．【命題方向】常見題型包括利用等比中項的性質(zhì)驗證數(shù)列是否為等比數(shù)列，以及通過中項的性質(zhì)求解數(shù)列中的項．等比數(shù)列{an}中，a1=18，q＝2，則a4與a解：設(shè)a4與a8的等比中項是x，由等比數(shù)列{an}的性質(zhì)可得x2＝a4?a8=18×23×18∴x＝±4，∴a4與a8的等比中項x＝±4．10．?dāng)?shù)列的應(yīng)用【知識點的認(rèn)識】1、數(shù)列與函數(shù)的綜合2、等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合3、數(shù)列的實際應(yīng)用數(shù)列與銀行利率、產(chǎn)品利潤、人口增長等實際問題的結(jié)合．11．利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值【知識點的認(rèn)識】1、函數(shù)的最大值和最小值觀察圖中一個定義在閉區(qū)間[a，b]上的函數(shù)f（x）的圖象．圖中f（x1）與f（x3）是極小值，f（x2）是極大值．函數(shù)f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．一般地，在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f（x）在[a，b]上必有最大值與最小值．說明：（1）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)連續(xù)的函數(shù)f（x）不一定有最大值與最小值．如函數(shù)f（x）=1x在（0，（2）函數(shù)的最值是比較整個定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的；函數(shù)的極值是比較極值點附近函數(shù)值得出的．（3）函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，是f（x）在閉區(qū)間[a，b]上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件．（4）函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數(shù)的極值可能不止一個，也可能沒有一個2、用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值步驟：由上面函數(shù)f（x）的圖象可以看出，只要把連續(xù)函數(shù)所有的極值與定義區(qū)間端點的函數(shù)值進行比較，就可以得出函數(shù)的最值了．設(shè)函數(shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則求f（x）在[a，b]上的最大值與最小值的步驟如下：（1）求f（x）在（a，b）內(nèi)的極值；（2）將f（x）的各極值與f（a）、f（b）比較得出函數(shù)f（x）在[a，b]上的最值．【解題方法點撥】﹣求導(dǎo)：計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'（x）．﹣極值點：求解f'（x）＝0以找到極值點．﹣邊界條件：結(jié)合函數(shù)的定義域邊界點計算函數(shù)值，比較得到最值．【命題方向】常見題型包括利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，結(jié)合函數(shù)的定義域進行分析．設(shè)函數(shù)f(x)=1x解：因為f(所以f'(令f'（x）＞0得x＞12；令f'（x）＜0所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為(12，所以當(dāng)x=12時，f（x所以f（x）的最小值為2﹣2ln2．12．利用導(dǎo)數(shù)求解曲線在某點上的切線方程【知識點的認(rèn)識】曲線在某點上的切線方程可以通過該點的導(dǎo)數(shù)值和坐標(biāo)求得．【解題方法點撥】﹣求導(dǎo)：計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'（x）．﹣切線方程：利用導(dǎo)數(shù)值作為切線的斜率，結(jié)合點的坐標(biāo)，寫出切線方程．﹣公式：切線方程為y﹣f（a）＝f'（a）（x﹣a），其中a是點的橫坐標(biāo)．【命題方向】常見題型包括求解曲線在特定點的切線方程，分析函數(shù)的局部行為．曲線y=2xx2+1在點（2解：由題意得y'=則曲線在點（2，45）處的切線斜率k＝y(tǒng)'|x＝2=故曲線y=2xx2+1在（2，45）處的切線方程為y-45=-625（x故答案為：6x+25y﹣32＝0．13．平面向量加減法的坐標(biāo)運算【知識點的認(rèn)識】﹣向量加法：如果a→=(a1，﹣向量減法：如果a→=(a1，【解題方法點撥】﹣坐標(biāo)運算：直接對向量的坐標(biāo)分量進行加減操作，得出結(jié)果．﹣實際應(yīng)用：用于解決如點的移動、向量差等問題．【命題方向】﹣向量運算的實際應(yīng)用：考查向量加減法在實際問題中的應(yīng)用，如幾何問題中的位置計算．﹣坐標(biāo)運算技巧：如何高效進行向量的坐標(biāo)運算．向量a→，b→滿足a解：由a→+b→=（﹣1，5），a得2b→=（﹣1，5）﹣（5，﹣3）＝（﹣6，所以b→=12（﹣6，2）＝（﹣14．解三角形【知識點的認(rèn)識】1．已知兩角和一邊（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．2．已知兩邊和夾角（如a、b、c），應(yīng)用余弦定理求c邊；再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．3．已知兩邊和其中一邊的對角（如a、b、A），應(yīng)用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c邊，要注意解可能有多種情況．4．已知三邊a、b、c，應(yīng)用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．5．方向角一般是指以觀測者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)的方向線所成的角（一般指銳角），通常表達成．正北或正南，北偏東××度，北偏西××度，南偏東××度，南偏西××度．6．俯角和仰角的概念：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，視線在水平線下方的角叫俯角．如圖中OD、OE是視線，是仰角，是俯角．7．關(guān)于三角形面積問題①S△ABC=12aha=12bhb=12chc（ha、hb、hc分別表示②S△ABC=12absinC=12bcsinA=③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R為外接圓半徑）④S△ABC=abc⑤S△ABC=s(s-a)(s-b)(⑥S△ABC＝r?s，（r為△ABC內(nèi)切圓的半徑）在解三角形時，常用定理及公式如下表：名稱公式變形內(nèi)角和定理A+B+C＝πA2+B2=π2-C2，余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosAb2＝a2+c2﹣2accosBc2＝a2+b2﹣2abcosCcosA=cosB=cosC=a正弦定理asinA=R為△ABC的外接圓半徑a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinCsinA=a2R，sinB=b射影定理acosB+bcosA＝cacosC+ccosA＝bbcosC+ccosB＝a面積公式①S△=12aha=12bh②S△=12absinC=12acsinB③S△=④S△=s(s-a)(s-b)(⑤S△=12（a+b+c（r為△ABC內(nèi)切圓半徑）sinA=sinB＝2SsinC=15．復(fù)數(shù)的?！局R點的認(rèn)識】1．復(fù)數(shù)的概念：形如a+bi（a，b∈R）的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中a，b分別是它的實部和虛部．若b＝0，則a+bi為實數(shù)；若b≠0，則a+bi為虛數(shù)；若a＝0，b≠0，則a+bi為純虛數(shù)．2、復(fù)數(shù)相等：a+bi＝c+di?a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．3、共軛復(fù)數(shù)：a+bi與c+di共軛?a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．4、復(fù)數(shù)的模：OZ→的長度叫做復(fù)數(shù)z＝a+bi的模，記作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|=16．復(fù)數(shù)的除法運算【知識點的認(rèn)識】復(fù)數(shù)除法涉及分子與分母的復(fù)數(shù)．對于復(fù)數(shù)z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i，除法結(jié)果是z1【解題方法點撥】﹣化簡復(fù)數(shù)：將復(fù)數(shù)除法轉(zhuǎn)換為分?jǐn)?shù)形式，乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡得到標(biāo)準(zhǔn)形式．﹣應(yīng)用：在實際問題中如何處理復(fù)數(shù)的除法及其應(yīng)用．【命題方向】﹣復(fù)數(shù)除法的計算：考查如何計算復(fù)數(shù)除法及其結(jié)果．﹣除法的實際應(yīng)用：如何在實際問題中應(yīng)用復(fù)數(shù)除法．i是虛數(shù)單位，2i1+解：2i1+i17．棱錐的體積【知識點的認(rèn)識】棱錐的體積可以通過底面面積B和高度h計算，頂點到底面的垂直距離即為高度．【解題方法點撥】﹣計算公式：體積計算公式為V=﹣底面面積計算：底面面積B可以根據(jù)底面多邊形的性質(zhì)計算．【命題方向】﹣棱錐的體積計算：考查如何根據(jù)底面面積和高度