1/11.4充分、必要條件（精講）考點一充分、必要條件的判斷【例1】設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】時，，故充分性成立，，解得：或，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A【一隅三反】1．“”是“”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．非充分非必要條件【答案】A【解析】當(dāng)時，成立，即充分性成立，當(dāng)時，滿足，但不成立，即必要性不成立，則“”是“”的充分不必要條件.故選：A.2．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由得不到，如，，滿足，但是，故充分性不成立；由則，故必要性成立，故“”是“”的必要不充分條件；故選：B3．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】解方程可得或，，因此，“”是“”的充分不必要條件.故選：A.4．（多選）下列說法中正確的有（

）A．“”是“”的必要條件B．“”是“”的充分不必要條件C．“或”是“”的充要條件D．“”是“”的必要不充分條件【答案】BC【解析】對于A，“”成立，“”不一定成立，A錯誤；對于B，“”可以推出“”，取，得，但，所以“”不能推出“”，B正確；對于C，的兩個根為或，C正確；對于D，“”不能推出“”，同時“”也不能推出“”，D錯誤．故選:BC．考點二充分、必要條件的選擇【例2】若“”是“”的充分不必要條件，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，“”是“”的充分不必要條件故故故選：B【一隅三反】1．使“0＜x＜4”成立的一個必要不充分條件是（

）A．x＞0 B．x＜0或x＞4C．0＜x＜3 D．x＜0【答案】A【解析】設(shè)p:0＜x＜4，所求的命題為q，則原表述可以改寫為q是p的必要不充分條件，即q推不出p，但p?q.，顯然由:0＜x＜4，能推出x＞0，推不出x＜0或x＞4、0＜x＜3、x＜0，故選：A2．“”成立的一個必要不充分條件的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以A為“”成立的充要條件；B為“”成立的充分不必要條件；C為“”成立的既不充分也不必要條件；D為“”成立的必要不充分條件．故選：D3．使成立的一個充分條件是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)充分條件的定義，由可以得出，B正確；若，取，無法得到，A錯誤；C顯然錯誤；若，取，無法得到，D錯誤.故選：B.考點三求參數(shù)【例3-1】若“”是“”的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可得，則需，解得，即實數(shù)a的取值范圍是.故選：C.【例3-2】在①“xA是xB的充分不必要條件；②；③這三個條件中任選一個，補充到本題第（2）問的橫線處，求解下列問題：已知集合，.（1）當(dāng)a=2時，求；（2）若選，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）；（2）答案見解析.【解析】（1）當(dāng)時，集合，，所以；（2）選擇因為“”是“”的充分不必要條件，所以AB，因為，所以又因為，所以

等號不同時成立，解得，因此實數(shù)a的取值范圍是.選擇因為，所以.因為，所以.又因為，所以，解得，因此實數(shù)a的取值范圍是.選擇因為，而，且不為空集，，所以或，解得或，所以實數(shù)a的取值范圍是或．【一隅三反】1．已知“”是“”的充分不必要條件，則k的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以或，所以解集為，又因為“”是“”的充分不必要條件，所以是的真子集，所以，故選：C.2．已知全集，集合，集合．條件①；②是的充分條件；③，使得．(1)若，求；(2)若集合A，B滿足條件__________（三個條件任選一個作答），求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)或【解析】(1)當(dāng)時，集合，集合，所以；(2)i.當(dāng)選擇條件①時，集合，當(dāng)時，，舍；當(dāng)集合時，即集合，時，，此時要滿足，則，解得，結(jié)合，所以實數(shù)m的取值范圍為或；ii.當(dāng)選擇條件②時，要滿足是的充分條件，則需滿足在集合時，集合是集合的子集，即，解得，所以實數(shù)m的取值范圍為或；iii.當(dāng)選擇條件③時，要使得，使得，那么需滿足在集合時，集合是集合的子集，即，解得，所以實數(shù)m的取值范圍為或；故，實數(shù)m的取值范圍為或.3．已知集合，．(1)若a＝1，求；(2)給出以下兩個條件：①A∪B＝B；②““是“”的充分不必要條件．在以上兩個條件中任選一個，補充到橫線處，求解下列問題：若_____________，求實數(shù)a的取值范圍．（如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）【答案】(1)(2)【解析】(1)當(dāng)時，集合，因為，所以；(2)若選擇①，則由A∪B＝B，得．當(dāng)時，即，解得，此時，符合題意；當(dāng)時，即，解得，所以，解得：；所以實數(shù)的取值范圍是．若選擇②，則由““是“”的充分不必要條件，得A?B．當(dāng)時，，解得，此時A?B，符合題意；當(dāng)時，，解得，所以且等號不同時取，解得；所以實數(shù)的取值范圍是．考點四充分必要條件的證明【例4】證明：“”是“關(guān)于的方程有一正一負(fù)根”的充要條件.【解析】充分性：若，則關(guān)于的方程有一正一負(fù)根，證明如下：當(dāng)時，，所以方程有兩個不相等的實根，設(shè)兩根分別為，，則，所以方程有一正一負(fù)根，故充分性成立，必要性：若“關(guān)于的方程有一正一負(fù)根”，則，證明如下：設(shè)方程一正一負(fù)根分別為，，則，所以，所以若“關(guān)于的方程有一正一負(fù)根”，則，故必要性成立，所以“”是“關(guān)于的方程有一正一負(fù)根”的充要條件.【一隅三反】1．求方程至少有一個負(fù)根的充要條件.【答案】且【解析】必要性：設(shè)，為方程的兩根.∵，∴，∴方程至少有一個負(fù)根應(yīng)滿足：當(dāng)正負(fù)根各有一個時，則，即，解得.當(dāng)有兩個負(fù)根時，則解得，充分性：當(dāng)且，當(dāng)時，，此時兩根均為負(fù)；當(dāng)時，，此時方程正負(fù)根各有一個,綜上所述，方程至少有一個負(fù)根的充要條件是且.2．已知a≥1，y=a2x2-2ax+b，其中a，b均為實數(shù).證明：對于任意的，均有y≥1成立的充要條件是b≥2.【解析】證明：因為函數(shù)y=a2x2-2ax+b的圖像的對稱軸方程為x=，所以a≥1，且0<≤1，故當(dāng)x=時，函數(shù)有最小值y=a2·-2a·+b=b-1.先證必要性：對于任意的x∈{x|0≤x≤1}，均有y≥1，即b-1≥1，所以b≥2.再證充分性：因為b≥2，當(dāng)x=時，函數(shù)有最小值y=a2·-2a·+b=b-1≥1，所以對于任意，y=a2x2-2ax+b≥1，即y≥1成立的充要條件是b≥2.3．已知，求證：成立的充要條件是.【解析】證明：（1）充分性（條件→結(jié)論）因為，而，所以成立；（2）必要性（結(jié)論→條件）因為，而，又，所以且，從而，且.所以，所以成立.綜上：成立的充要條件是.1.4充分、必要條件（精練）1充分、必要條件的判斷1．設(shè)P：，q：，則p是q成立的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分也非必要條件【答案】B【解析】由不能推出，例如，但必有，所以：是：的必要不充分條件.故選：B.2．對于實數(shù)x，“”是“”的（

）條件．A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【解析】充分性：由，能推出，所以是的充分條件，必要性：由，不能推出，所以是的不必要條件.故選A．3．對于實數(shù)x，“0＜x＜1”是“x＜2”的（

）條件A．充要 B．既不充分也不必要C．必要不充分 D．充分不必要【答案】D【解析】若，則一定有，故充分性滿足；若，不一定有，例如，滿足，但不滿足，故必要性不滿足；故“0＜x＜1”是“x＜2”的充分不必要條件.故選：.4．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由可以推出，但反之不成立，故“”是“”的充分不必要條件，故選:A5．“”是“”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由可推出，由，即或，推不出，故“”是“”的充分不必要條件.故選：B.6．若條件p：，q：，則p是q成立的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既非充分也非必要條件【答案】B【解析】由不能推出，例如，但必有，所以p是q成立的必要不充分條件.故選：B.7．“”是“關(guān)于的方程有實數(shù)根”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)時，方程的實數(shù)根為，當(dāng)時，方程有實數(shù)根，則，解得，則有且，因此，關(guān)于的方程有實數(shù)根等價于，所以“”是“關(guān)于的方程有實數(shù)根”的充分而不必要條件.故選：A8．成立是成立的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】∵x∈A∩B?x∈A，當(dāng)x∈A時，不一定有x∈A∩B，x∈A∩B成立是x∈A成立的充分不必要條件．故選：A．9．設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】時，或；時，或成立時，也成立，但成立時，不一定成立是的充分不必要條件，選項A正確故選：A.10．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】化簡得，因為時，；而時，不一定得出.故“”是“”的充分不必要條件故選：A2充分、必要條件的選擇1．（多選）使成立的一個充分條件可以是（

）A． B．C． D．【答案】AB【解析】或，故使成立的一個充分條件的x的范圍應(yīng)該是的子集.故選：AB.2．（多選）已知a，，則的必要不充分條件可以是（

）A． B． C． D．【答案】CD【解析】對于A：由，即，即，所以或，故充分性不成立，由，若時，則，故必要性不成立，故A錯誤；對于B：由，可得，由推得出，故充分性成立，故B錯誤；對于C：由可得，所以或，故充分性不成立，反之當(dāng)時，可得，所以，故必要性成立，故C正確；對于D：由得不到，如，滿足但，即充分性不成立，反之當(dāng)時可得故必要性成立，即是的必要不充分條件，故D正確；故選：CD3．（多選）使，成立的充分不必要條件可以是（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】由可得的集合是，A.由，所以是成立的一個必要不充分條件；B.由，所以是成立的一個充分不必要條件；C.由=，所以是成立的一個充要條件；D.由，所以是成立的一個充分不必要條件；故選：BD.4．（多選）下列是“不等式成立”的必要不充分條件的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【解析】，解得：，對A，，是不等式成立的必要不充分條件；對B，，是不等式成立的必要不充分條件；對C，與沒有互相包含關(guān)系，是不等式成立的既不充分又不必要條件；對D，，是不等式成立的充分不必要條件；故選：AB.5．“或”的一個必要條件是()A．

B．C．或

D．或【答案】C【解析】依據(jù)題意，只需要“或”的所有元素都在所求的范圍里即可.所以A、B、D錯，C對‘’故選：C3集合的表示方法1．已知條件，條件，且滿足是的必要不充分條件，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，即，又是的必要不充分條件，所以，故選：D.2．（多選）若“”是“”的必要不充分條件，則實數(shù)a的值可以是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】AB【解析】由解得：.因為“”是“”的必要不充分條件，所以只需，對照四個選項，a可以取1，2.故選：AB3．已知條件，，p是q的充分條件，則實數(shù)k的取值范圍是_______．【答案】【解析】記，，因為p是q的充分條件，所以.當(dāng)時，，即，符合題意；當(dāng)時，，由可得，所以，即.綜上所述，實數(shù)的k的取值范圍是．故答案為：．4．若不等式的一個充分條件為，則實數(shù)a的取值范圍是___________.【答案】【解析】由不等式，當(dāng)時，不等式的解集為空集，顯然不成立；當(dāng)時，不等式，可得，要使得不等式的一個充分條件為，則滿足，所以，即∴實數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.5．已知p：，q：，，且p是q成立的必要非充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是________．【答案】【解析】因為p是q成立的必要非充分條件，所以，所以，解得，所以實數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.6．已知條件，，p是q的充分條件，則實數(shù)k的取值范圍是_______．【答案】【解析】記，，因為p是q的充分條件，所以.當(dāng)時，，即，符合題意；當(dāng)時，，由可得，所以，即.綜上所述，實數(shù)的k的取值范圍是．故答案為：．7．若“”是“”的充要條件，則實數(shù)m的取值是_________．【答案】0【解析】，則{x|}＝{x|}，即.故答案為：0.8．在①；②“”是“”的充分不必要條件；③這三個條件中任選一個，補充到本題第（2）問的橫線處，求解下列問題：已知集合，(1)當(dāng)時，求；(2)若______，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)條件選擇見解析，【解析】(1)當(dāng)時，集合，，所以；(2)若選擇①A∪B＝B，則，因為，所以，又，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是．若選擇②，““是“”的充分不必要條件，則，因為，所以，又，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是．若選擇③，，因為，，所以或，解得或，所以實數(shù)的取值范圍是．9．已知命題：“，都有不等式成立”是真命題.（1）求實數(shù)的取值集合；（2）設(shè)不等式的解集為，若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）命題：“，都有不等式成立”是真命題，得在時恒成立，∴，得，即.（2）不等式，①當(dāng)，即時，解集，若是的充分不必要條件，則是的真子集，∴，此時；②當(dāng)，即時，解集，滿足題設(shè)條件；③當(dāng)，即時，解集，若是的充分不必要條件，則是的真子集，，此時.綜上①②③可得10．已知全集，集合，.（1）當(dāng)時，求；（2）若是的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）或；（2）【解析】（1），解得：，即，當(dāng)時，，解得：，即，，或；（2），解得：，即，是的必要不充分條件，，，解得：.所以實數(shù)a的取值范圍是.11．已知集合，.(1)若，求實數(shù)t的取值范圍；(2)若“”是“”的必要不充分條件，求實數(shù)t的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】(1)解：由得解，所以，又若，分類討論：當(dāng)，即解得，滿足題意；當(dāng)，即，解得時，若滿足，則必有或；解得.綜上，若，則實數(shù)t的取值范圍為.(2)解：由“”是“”的必要不充分條件，則集合，若，即，解得，若，即，即，則必有，解得，綜上可得,，綜上所述，當(dāng)“”是“”的必要不充分條件時，即為所求．4充分必要條件的證明1．求關(guān)于x的方程有一個正根和一個負(fù)根的充要條件．【答案】或【解析】當(dāng)開口向上，，所以,當(dāng)開口向下，，所以滿足充要條件故答案為：或.2．設(shè)a，b，，求證：關(guān)于x的方程有一個根是1的充要條件為.【解析】充分性：，，代入方程得，即．關(guān)于的方程有一個根為；必要性：方程有一個根為，滿足方程