第07講完全平方公式課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①完全平方公式的推導(dǎo)②完全平方公式的運(yùn)算③完全平方公式的應(yīng)用1.理解并掌握完全平方公式的推導(dǎo)和應(yīng)用；2.理解完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用公式進(jìn)行簡單的運(yùn)算；3.會用幾何圖形說明完全平方公式的意義，體會數(shù)形結(jié)合的思想方法.知識點(diǎn)01完全平方公式完全平方公式:兩數(shù)和(差)的平方,等于它們的平方和,加(減)它們積的2倍.即完全平方和(a+b)2=a2+2ab+b2；完全平方差(a-b)2=a2-2ab+b2（1）公式的特征：前平方，后平方，中間是乘積的2倍（2）公式的變化：①a2+b2=(a+b)2-2ab；②a2+b2=(a-b)2+2ab；③(a+b)2=(a-b)2+4ab；④(a-b)2=(a+b)2-4ab；⑤(a+b)2-(a-b)2=4ab。【即學(xué)即練1】（24-25八年級上·吉林松原·期末）化簡：．【答案】【知識點(diǎn)】整式的加減運(yùn)算、運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算、運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算【分析】本題考查整式化簡，平方差公式，完全平方公式．根據(jù)題意利用平方差公式和完全平方差公式展開，再合并同類項(xiàng)計(jì)算即可．【詳解】解：，，，．【即學(xué)即練2】（24-25八年級上·河北廊坊·期末）先化簡，再求值：，其中．【答案】，【知識點(diǎn)】已知字母的值，求代數(shù)式的值、運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算、運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算【分析】本題主要考查了整式化簡求值，熟練掌握完全平方公式，平方差公式是解題的關(guān)鍵．首先利用完全平方公式、平方差公式進(jìn)行運(yùn)算，再合并同類項(xiàng)，代值計(jì)算，即可求解．【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，原式．【即學(xué)即練3】（24-25八年級上·河南信陽·期末）已知，代數(shù)式．(1)化簡代數(shù)式A；(2)若是一個(gè)完全平方式，求A的值．【答案】(1)(2)．【知識點(diǎn)】已知字母的值，求代數(shù)式的值、運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算、運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算、求完全平方式中的字母系數(shù)【分析】本題主要考查了乘法公式，熟練掌握完全平方公式，平方差公式，整式的加減，是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)完全平方公式，平方差公式，去括號，合并即得；（2）根據(jù)完全平方式特征，知，得，代入A即可求解．【詳解】（1）解：；（2）解：是一個(gè)完全平方式，，，．知識點(diǎn)02平方差和完全平方差區(qū)別平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2完全平方差公式：(a-b)2=a2-2ab+b2平方差公式和完全平方差公式易混淆，切記完全平方差中間有乘積的2倍【即學(xué)即練1】（2024八年級上·黑龍江·專題練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知識點(diǎn)】運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算、運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算【分析】本題考查了完全平方公式，平方差公式的運(yùn)算，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）先整理原式，再運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行展開，即可作答．（2）先整理原式，再運(yùn)用平方差公式和完全平方公式進(jìn)行展開，最后合并同類項(xiàng)，即可作答．【詳解】（1）解：．（2）解：題型01判斷是否完全平方公式運(yùn)算例題：（24-25八年級上·四川宜賓·期末）下列關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【知識點(diǎn)】運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算、運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算【分析】此題主要考查了平方差公式、完全平方公式，根據(jù)平方差公式、完全平方公式計(jì)算求解判斷即可．【詳解】解：A．，故A不符合題意；B、D．，故B、D不符合題意；C．，故C符合題意．故選：C．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級上·湖北武漢·階段練習(xí)）下列關(guān)系式中，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【知識點(diǎn)】運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算、運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算【分析】本題考查乘法公式，熟記乘法公式是解答的關(guān)鍵．根據(jù)完全平方公式和平方差公式逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、，此選項(xiàng)計(jì)算錯誤，不符合題意；B、，此選項(xiàng)計(jì)算正確，符合題意；C、，此選項(xiàng)計(jì)算錯誤，不符合題意；D、，此選項(xiàng)計(jì)算錯誤，不符合題意；故選：B．2．（24-25八年級上·甘肅平?jīng)觥るA段練習(xí)）下列計(jì)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【知識點(diǎn)】運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算、運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算【分析】根據(jù)完全平方公式、平方差公式，逐一進(jìn)行計(jì)算即可得．本題考查了完全平方公式，平方差公式，熟練掌握完全平方公式，平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是解題的關(guān)鍵．【詳解】A、，故該選項(xiàng)錯誤，不符合題意；B、，故該選項(xiàng)錯誤，不符合題意；C、，故該選項(xiàng)錯誤，不符合題意；D、，故該選項(xiàng)正確，符合題意，故選：D．3．（24-25七年級上·上?！て谥校┫铝杏?jì)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【知識點(diǎn)】（x+p）（x+q）型多項(xiàng)式乘法、運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算、運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算【分析】本題主要考查完全平方公式、平方差公式和多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則，根據(jù)完全平方公式、平方差公式和多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則對各選項(xiàng)分析判斷利用排除法求解．【詳解】解：A．，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

B．，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；C．，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；D．，故該選項(xiàng)正確，符合題意；故選：D．題型02運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算例題：（24-25七年級上·上海虹口·階段練習(xí)）計(jì)算：．【答案】【知識點(diǎn)】整式的加減運(yùn)算、運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算【分析】本題主要考查了完全平方公式及整式的加減，熟記公式是解答本題的關(guān)鍵．先利用完全平方公式展開，再合并同類項(xiàng)即可．【詳解】解：原式．【變式訓(xùn)練】1．（2024八年級上·全國·專題練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【知識點(diǎn)】運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算【分析】本題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．（1）運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可；（2）運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可；（3）運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可；（4）運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．2．（2024八年級上·全國·專題練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【知識點(diǎn)】計(jì)算單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式及求值、運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算【分析】此題考查了完全平方公式和單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，解題的關(guān)鍵是掌握以上運(yùn)算法則．（1）利用完全平方公式展開即可得到結(jié)果；（2）利用完全平方公式展開即可得到結(jié)果；（3）利用完全平方公式展開即可得到結(jié)果；（4）利用完全平方公式展開即可得到結(jié)果；（5）利用完全平方公式和單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則展開，再合并同類項(xiàng)即可得到結(jié)果；（6）利用完全平方公式展開，再合并同類項(xiàng)即可得到結(jié)果．【詳解】（1）解：；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．題型03利用完全平方公式進(jìn)行簡便運(yùn)算例題：（2024八年級上·黑龍江·專題練習(xí)）運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)9409(2)104.04【知識點(diǎn)】運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算【分析】本題考查了完全平方公式，．（1）把轉(zhuǎn)化成，再根據(jù)完全平方公式簡便計(jì)算即可；（2）把轉(zhuǎn)化成，再根據(jù)完全平方公式簡便計(jì)算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級上·四川樂山·期中）用簡便方法計(jì)算：(1)(2)【答案】(1)252004(2)1【知識點(diǎn)】運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算、運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算【分析】本題考查利用平方差公式和完全平方公式簡便計(jì)算，熟練掌握平方差公式和完全平方公式是解題關(guān)鍵．（1）由，結(jié)合完全平方公式計(jì)算即可；（2）由，結(jié)合平方差公式計(jì)算即可．【詳解】（1）解：，；（2）解：．2．（24-25八年級上·遼寧鞍山·階段練習(xí)）利用整式乘法公式計(jì)算下列各題：(1)；(2)．【答案】(1)(2)9975【知識點(diǎn)】運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算、運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算【分析】本題考查完全平方公式和平方差公式，熟記乘法公式并靈活運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．（1）將原式化為，然后利用完全平方公式求解即可；（2）將原式化為，然后利用平方差公式求解即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．3．（2024八年級上·全國·專題練習(xí)）運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)3969(2)9604(3)(4)【知識點(diǎn)】運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算【分析】此題考查了完全平方公式，解題的關(guān)鍵是掌握以上運(yùn)算法則．（1）根據(jù)已知得出，然后根據(jù)完全平方公式求解即可；（2）根據(jù)已知得出，然后根據(jù)完全平方公式求解即可；（3）根據(jù)已知得出，然后根據(jù)完全平方公式求解即可；（4）根據(jù)已知得出，然后根據(jù)完全平方公式求解即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．題型04與乘法公式有關(guān)的化簡求值問題例題：（24-25八年級上·山西大同·階段練習(xí)）先化簡，再求值：，，．【答案】，32【知識點(diǎn)】已知字母的值，求代數(shù)式的值、運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算、運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算【分析】本題主要考查整式的化簡求值，掌握整式的混合運(yùn)算，乘法公式，代入求值是解題的關(guān)鍵．運(yùn)用乘法公式展開，再根據(jù)整式的混合運(yùn)算計(jì)算，最后代入計(jì)算即可．【詳解】解：，當(dāng)，時(shí)，原式．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級上·云南昭通·階段練習(xí)）化簡求值：，其中，．【答案】，【知識點(diǎn)】運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算、運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算【分析】此題考查了平方差公式和完全平方公式以及代數(shù)求值，解題的關(guān)鍵是掌握以上運(yùn)算法則．首先計(jì)算平方差公式和完全平方公式，然后合并同類項(xiàng)，然后代入求解即可．【詳解】解：當(dāng)，時(shí)，原式．2．（24-25七年級上·上海嘉定·期中）先化簡，再求值：，其中，．【答案】，【知識點(diǎn)】多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式——化簡求值、運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算、運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算【分析】本題主要考查了整式的化簡求值，先根據(jù)乘法公式和多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算法則去括號，然后合并同類項(xiàng)化簡，最后代值計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：，當(dāng)，時(shí)，原式．3．（24-25八年級上·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）先化簡，再求值：，其中．【答案】，【知識點(diǎn)】運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算、運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算【分析】本題主要考查了平方差公式，完全平方公式，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，合并同類項(xiàng)等知識．先根據(jù)平方差公式，完全平方公式，單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則計(jì)算，再合并同類項(xiàng)，然后把x，y的值代入計(jì)算．【詳解】解：，∵，∴原式．題型05通過對完全平方公式變形求值例題：（24-25七年級上·吉林·單元測試）當(dāng)，時(shí)，求下列代數(shù)式的值：(1)；(2).【答案】(1)；(2)．【知識點(diǎn)】已知式子的值，求代數(shù)式的值、運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算、運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算【分析】本題主要考查了求代數(shù)式的值．求代數(shù)式的值時(shí)要先把代數(shù)式化簡，然后把字母的值代入化簡后的代數(shù)式求值．首先利用平方差公式化簡代數(shù)式可得原式，然后再把、的值代入化簡后的代數(shù)式計(jì)算即可；首先利用完全平方公式化簡代數(shù)式可得原式，然后再把、的值代入化簡后的代數(shù)式計(jì)算即可．【詳解】（1）解：，當(dāng)，時(shí)，原式；（2）解：，當(dāng)，時(shí)，原式．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級上·四川瀘州·階段練習(xí)）已知，，求：(1)的值；(2)的值．【答案】(1)26(2)36【知識點(diǎn)】已知式子的值，求代數(shù)式的值、通過對完全平方公式變形求值【分析】（1）把變形為，再把，代入計(jì)算；（2）把變形為，再把，代入計(jì)算．本題考查了完全平方公式的變形求值，熟練掌握完全平方公式是解答本題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：，，；（2）解：，，．2．（24-25七年級上·上海·期中）已知，，求下列各式的值：(1)；(2)【答案】(1)13(2)97【知識點(diǎn)】通過對完全平方公式變形求值【分析】本題考查了完全平方公式變形求值，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)完全平方公式變形求值，即可求解．（2）根據(jù)完全平方公式即可求解．【詳解】（1）解：，，，；（2）解：，，，，；3．（2024八年級上·黑龍江·專題練習(xí)）已知，，分別求下列式子的值：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)12(2)21(3)126【知識點(diǎn)】通過對完全平方公式變形求值【分析】本題主要考查了完全平方公式的變形應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式．（1）根據(jù)完全平方公式得出，，根據(jù)得出結(jié)果即可；（2）根據(jù)，，求出，得出，最后代入求值即可；（3）根據(jù)，，變形求出的值即可．【詳解】（1）解：，，，，，∴，；（2）解：∵，，∴，∴，解得：，∴；（3）解：．題型06求完全平方式中的字母系數(shù)例題：已知關(guān)于x的式子是某個(gè)多項(xiàng)式的完全平方，那么A是．【答案】、和【詳解】解：①∵，∴，②若是多項(xiàng)式的平方，則；故答案為：、和．【變式訓(xùn)練】1．若是一個(gè)完全平方式，則．【答案】11或/或【詳解】解：∵是一個(gè)完全平方式，∴，∴，解得或，故答案為：11或．2．若整式是完全平方式，請寫出所有滿足條件的是．【答案】或或【詳解】解：當(dāng)為和的中間項(xiàng)時(shí)；當(dāng)為和的中間項(xiàng)時(shí)；當(dāng)為和的中間項(xiàng)時(shí)；故答案為：或或．題型07利用完全平方式求代數(shù)式的最值問題例題：（23-24八年級上·四川眉山·期末）把完全平方公式適當(dāng)?shù)刈冃?，可解決很多數(shù)學(xué)問題例如：若，，求的值．解：∵，，∴，，∴，，得．根據(jù)上面的解題思路與方法，解答下列問題：(1)若，，求的值；(2)若，，求的值．(3)求代數(shù)式的最小值，并求出此時(shí)的的值．【答案】(1)8(2)(3)最小值為，，【知識點(diǎn)】運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算、通過對完全平方公式變形求值【分析】本題考查完全平方公式的變形求解，掌握完全平方公式是解決問題的關(guān)鍵．（1）先求得，即，再把代入計(jì)算，即可求解；（2）根據(jù)，再把，整體代入計(jì)算即可求解；（3）先把變形為，再根據(jù)，，即可求解．【詳解】（1）解：，，即，又，，；（2）解：，，，（3）解：∵，，∴當(dāng)，時(shí)，有最小值，最小值為，此時(shí)，，解得：，．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級上·福建泉州·期中）老師在講完乘法公式的多種運(yùn)用后，要求同學(xué)們運(yùn)用所學(xué)知識解答：求代數(shù)式的最小值？同學(xué)們經(jīng)過交流、討論，最后總結(jié)出如下解答方法：解：．，．當(dāng)時(shí)，的值最小，最小值是1，的最小值是1．請你根據(jù)上述方法，解答下列各題：(1)直接寫出：的最小值為___________；(2)求出代數(shù)式的最小值；(3)若，求的最小值．【答案】(1)(2)8(3)【知識點(diǎn)】運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算、通過對完全平方公式變形求值【分析】（1）根據(jù)題意可直接得出答案；（2）依題意，將所求代數(shù)式變形，得出，從而可得出答案；（3）首先將y用含x的代數(shù)式表示出來，再按照題中的方法求最小值即可．本題主要考查完全平方公式的應(yīng)用，理解題中的方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：依題意，當(dāng)時(shí)，則，，即當(dāng)時(shí)，有最小值，是，故答案為：；（2）解：則當(dāng)時(shí)，則，，則代數(shù)式的最小值是8；（3）解：∵，∴，∴，∴的最小值是．2．（24-25九年級上·江蘇揚(yáng)州·期中）利用我們學(xué)過的完全平方公式及不等式知識能解決代數(shù)式一些問題．觀察下列式子：①，；；代數(shù)式有最小值；②，；；代數(shù)式有最大值4；閱讀上述材料并完成下列問題：(1)代數(shù)式的最小值為______；代數(shù)式的最大值為______；(2)求代數(shù)式的最小值；(3)如圖，在四邊形中，對角線、相交于點(diǎn)，且，若，求四邊形面積的最大值．【答案】(1)2；13(2)(3)18【知識點(diǎn)】有理數(shù)的乘方運(yùn)算、運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算、通過對完全平方公式變形求值、完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用【分析】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，偶次方的非負(fù)性，靈活運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行變形是解題的關(guān)鍵．（1）利用材料中的方法進(jìn)行求解即可；（2）利用完全平方公式對代數(shù)式變形，然后根據(jù)偶次方的非負(fù)性求出式子的最小值即可；（3），由面積公式，將其轉(zhuǎn)化為，設(shè)，則，代入化簡計(jì)算，轉(zhuǎn)化為上述求解方法計(jì)算即可．【詳解】（1）解：，；；代數(shù)式有最小值2；，；；代數(shù)式有最大值13；故答案為：2；13．（2）解：，∵，，∴，∴代數(shù)式的最小值為；（3）解：根據(jù)題意得，∵，∴，，，∵，設(shè)，則，，∵，，∴四邊形面積的最大值為18．題型08完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用例題：（24-25八年級上·四川宜賓·期末）圖1是一個(gè)長為，寬為a的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用這四塊小長方形拼成一個(gè)“回形”正方形（如圖2）．(1)觀察圖2，請你寫出，，之間的等量關(guān)系：．(2)若，，求的值為：．(3)若，求的值為：．【答案】(1)(2)41(3)【知識點(diǎn)】通過對完全平方公式變形求值、完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用【分析】本題主要考查了完全平方公式在結(jié)合圖形中的應(yīng)用，根據(jù)完全平方公式變形求值，解題的關(guān)鍵是熟練完全平方公式．（1）表示圖2的面積，從整體或局部來表示，即可得出等式；（2）直接利用（1）的結(jié)論代入即可；（3）根據(jù)，求出，即可求解．【詳解】（1）解：觀察圖2，可得四塊小長方形的面積為或，∴；故答案為：．（2）解：根據(jù)（1）可得，因?yàn)椋?，所以．?）解：∵，∴，∴．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級上·廣東汕頭·階段練習(xí)）把幾個(gè)圖形拼成一個(gè)新的圖形，通過圖形面積的計(jì)算，常?？梢缘玫揭恍┑仁剑@是研究數(shù)學(xué)問題的一種常用方法．我們在學(xué)習(xí)“從面積到乘法公式”時(shí)，曾用兩種不同的方法計(jì)算同一個(gè)圖形的面積，探索了完全平方公式：（如圖1）．(1)觀察圖2，請你寫出、、之間的等量關(guān)系是_____；拓展應(yīng)用：根據(jù)（1）中的等量關(guān)系及課本所學(xué)的完全平方公式知識，解決如下問題：(2)若，且，求的值；(3)若，求的值；(4)如圖3，在中，，點(diǎn)在邊上，，在邊上取一點(diǎn)，使，分別以為邊在外部作正方形和正方形，連接，若的面積等于，設(shè)，求正方形和正方形的面積和．【答案】(1)(2)(3)(4)【知識點(diǎn)】通過對完全平方公式變形求值、完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用【分析】本題考查完全平方公式的幾何背景，解題的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式及其變形：（1）根據(jù)大正方形的面積等于4個(gè)長方形的面積加上陰影正方形的面積即可得出結(jié)論；（2）利用（1）中的結(jié)論進(jìn)行求解即可；（3）利用完全平方公式變形計(jì)算即可；（4）設(shè)，則，利用面積公式和完全平凡公式變形計(jì)算即可．【詳解】（1）解：由圖可知：大正方形的面積等于4個(gè)長方形的面積加上陰影正方形的面積∴；（2）由（1）可得，，，，；（3），，，；（4）設(shè)，則，，，，，令，，正方形和正方形的面積和：．2．（24-25八年級上·湖北孝感·階段練習(xí)）將完全平方公式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，可以解決很多數(shù)學(xué)問題．例如：若，，求的值．解：，，請根據(jù)上面的解題思路和方法，解決下列問題：(1)若，，求的值．(2)將邊長為的正方形和邊長為的正方形按如圖所示方式放置，其中點(diǎn)在邊上，連接，，若，，求陰影部分面積．【答案】(1)(2)【知識點(diǎn)】通過對完全平方公式變形求值、完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用【分析】本題考查了整式的運(yùn)算，掌握完全平方公式和整式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)求解即可；（2）運(yùn)用割補(bǔ)法陰影部分的面積為：，根據(jù)面積公式結(jié)合題意化簡整理得，將已知代入計(jì)算即可．【詳解】（1）解：，，；（2）3．（24-25八年級上·廣東惠州·階段練習(xí)）拓廣探索：若x滿足，求的值．解：設(shè)，則，∴．請仿照上面的方法求解問題：(1)若x滿足，求的值．(2)已知正方形的邊長為分別是、上的點(diǎn)，且，，長方形的面積是，分別以、為邊作正方形，求陰影部分的面積．【答案】(1)(2)【知識點(diǎn)】通過對完全平方公式變形求值、完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用【分析】本題考查了完全平方公式、平方差公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握完全平方公式與平方差公式之間的轉(zhuǎn)換．（1）設(shè)，，根據(jù)題意進(jìn)行計(jì)算即可得；（2）根據(jù)題意可得，，，設(shè)，，長方形的面積，，即可得出，則即可得出答案．【詳解】（1）解：設(shè)，，則，，∴；（2）∵正方形的邊長為，，∴，，設(shè)，，則，，∴，∴，∴，∴陰影部分的面積為．一、單選題1．（24-25八年級上·全國·期末）下列各式是完全平方式的是（）A． B．C． D．【答案】B【知識點(diǎn)】運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算【分析】此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．根據(jù)完全平方公式的形式為求解即可．【詳解】解：A．不是完全平方式；B．是完全平方式；C．不是完全平方式；D．不是完全平方式．故選：B．2．（24-25八年級上·云南昭通·階段練習(xí)）若是完全平方式，則的值為（

）A．2 B．4 C．8 D．12【答案】B【知識點(diǎn)】求完全平方式中的字母系數(shù)【分析】此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可確定出m的值．【詳解】解：∵是完全平方式，∴，故選：B．3．（遼寧省撫順市等2地2024-2025學(xué)年八年級上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題）實(shí)數(shù)，滿足，，且，則的值是（

）A． B． C． D．或【答案】A【知識點(diǎn)】通過對完全平方公式變形求值【分析】本題考查了完全平方公式的運(yùn)用，利用完全平方公式得出，進(jìn)而根據(jù)，即可求解．【詳解】解：，，，，，，又∵，∴故選：A．4．（24-25八年級上·福建泉州·期中）若m，n是實(shí)數(shù)，則的值必是（

）．A．正數(shù) B．負(fù)數(shù) C．非正數(shù) D．非負(fù)數(shù)【答案】C【知識點(diǎn)】運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算【分析】本題考查了完全平方公式，先整理原式為，因?yàn)?，則，即可作答．【詳解】解：，∵m，n是實(shí)數(shù)，且，∴，則的值必是非正數(shù)，故選：C．5．（24-25八年級上·貴州遵義·階段練習(xí)）某學(xué)習(xí)小組學(xué)習(xí)《整式的乘除》這一章后，共同研究課題，用4個(gè)能夠完全重合的長方形，長、寬分別為a、b拼成不同的圖形．在研究過程中，一位同學(xué)用這4個(gè)長方形擺成了一個(gè)大正方形．如圖，利用面積不同表示方法驗(yàn)證了下面一個(gè)等式，則這個(gè)等式是（

）A． B．C． D．【答案】B【知識點(diǎn)】完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用【分析】本題考查了完全平方公式的幾何背景，解決問題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到所求的量的等量關(guān)系．根據(jù)圖形的組成以及正方形和長方形的面積公式，知：大正方形的面積小正方形的面積個(gè)矩形的面積，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵大正方形的面積小正方形的面積個(gè)矩形的面積，∴．故選：B．二、填空題6．（24-25七年級上·上海松江·階段練習(xí)）計(jì)算：．【答案】【知識點(diǎn)】運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算【分析】本題主要考查了完全平方公式．利用完全平方公式計(jì)算，即可求解．【詳解】解：．故答案為：．7．（22-23八年級上·四川綿陽·周測）已知：，，則代數(shù)式的值：（1）；（2）．【答案】37【知識點(diǎn)】運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算、通過對完全平方公式變形求值【分析】本題考查了完全平方公式，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)完全平方公式變形得到，然后把，的值整體代入求解即可；（2）根據(jù)完全平方公式得到，然后把，整體代入求解即可．【詳解】解：∵，，∴，故答案為：37；∵，，∴，∴，故答案為：．8．（2024八年級上·黑龍江·專題練習(xí)）將4個(gè)數(shù)，，，排成2行、2列，兩邊各加一條豎線記成，定義，上述記號就叫做二階行列式．若，則．【答案】2【知識點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算、解一元一次方程（一）——合并同類項(xiàng)與移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算【分析】本題主要考查了整式的混合運(yùn)算，完全平方公式，去括號，合并同類項(xiàng)，解一元一次方程等知識點(diǎn)，根據(jù)二階行列式的定義及已知條件正確列出方程是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二階行列式的定義及已知條件可得，將方程左邊利用完全平方公式展開，然后去括號，合并同類項(xiàng)，解一元一次方程即可求出的值．【詳解】解：根據(jù)二階行列式的定義可得：，展開，得：，去括號，得：，合并同類項(xiàng)，得：，解得：，故答案為：．9．（24-25八年級上·重慶萬州·期中）已知M是含字母x的單項(xiàng)式，要使多項(xiàng)式是某個(gè)多項(xiàng)式的平方，則M為．【答案】或【知識點(diǎn)】通過對完全平方公式變形求值、求完全平方式中的字母系數(shù)【分析】本題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可求出M．【詳解】解：①∵，∴，②若中M是多項(xiàng)式的平方，則；故答案為：或．10．（24-25八年級上·湖北黃岡·階段練習(xí)）我們定義：一個(gè)整式能表示成（a、b是整式）的形式，則稱這個(gè)整式為“完美式”，例如：因?yàn)椋▁、y是整式），所以M為“完美式”．若（x，y是整式，k為常數(shù)）為“完美式”，則k的值為．【答案】34【知識點(diǎn)】運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算【分析】本題考查完全平方公式的應(yīng)用．利用完全平方公式分別把含x和y的項(xiàng)寫成一個(gè)代數(shù)式的平方的形式，根據(jù)“完全式”的定義得，從而得到k的值．【詳解】解：，S為“完全式”，，，故答案為：34．三、解答題11．（24-25八年級上·湖北省直轄縣級單位·階段練習(xí)）計(jì)算：(1)(2)(3)【答案】(1)(2)(3)【知識點(diǎn)】運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算、運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算、計(jì)算單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式及求值、計(jì)算多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式【分析】此題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，完全平方公式，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，平方差公式，解題的關(guān)鍵是掌握以上運(yùn)算法則．（1）根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則求解即可；（2）首先計(jì)算完全平方公式和單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，然后合并同類項(xiàng)；（3）首先根據(jù)平方差公式計(jì)算，然后根據(jù)完全平方公式計(jì)算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．12．（2024八年級上·全國·專題練習(xí)）計(jì)算下列各式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知識點(diǎn)】運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算【分析】此題考查了完全平方公式，解題的關(guān)鍵是掌握以上運(yùn)算法則．（1）首先利用完全平方公式計(jì)算，然后合并即可求解；（2）先分組，再按照完全平方公式計(jì)算．【詳解】（1）；（2）．13．（24-25八年級上·全國·期中）利用乘法公式計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知識點(diǎn)】運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算、運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算【分析】本題考查的是乘法公式的應(yīng)用，熟記乘法公式是解本題的關(guān)鍵；（1）利用平方差公式與完全平方公式先計(jì)算乘法運(yùn)算，再合并即可；（2）把原式化為：，再利用平方差公式進(jìn)行簡便運(yùn)算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．14．（24-25八年級上·河北廊坊·階段練習(xí)）先化簡，再求值：，其中．【答案】；【知識點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算、運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算【分析】本題考查整式混合運(yùn)算及化簡求值，先計(jì)算完全平方式，再去括號、合并同類項(xiàng)，最后將代入求值．【詳解】解：原式，當(dāng)時(shí)，原式．15．（24-25八年級上·北京·期中）已知，求：(1)的值；(2)的值．【答案】(1)(2)【知識點(diǎn)】通過對完全平方公式變形求值【分析】本題考查了完全平方公式，熟練掌握公式是解答本題的關(guān)鍵．（1）原式提取變形后，利用完全平方公式化簡，將已知等式代入計(jì)算即可求出值；（2）原式利用完全平方公式變形，將各自的值代入計(jì)算即可求出值．【詳解】（1）解：