2/10第03講平行線的判定課程標準學習目標①同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角②平行線的判定1．掌握同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的位置關(guān)系；2．掌握利用同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角判定判定兩條直線平行的條件。知識點01同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的概念1.同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角：填空：(1)如圖，∠1和∠5，分別在直線AB，CD的上方（同一方），在直線EF的右側(cè)（同側(cè)）.具有這種位置關(guān)系的一對角是同位角.(2)如圖，∠3和∠5，在直線AB，CD之間，在直線EF的兩側(cè).具有這種位置關(guān)系的一對角叫做內(nèi)錯角.(3)如圖，∠3和∠6，在直線AB，CD之間，在直線EF的同側(cè).具有這種位置關(guān)系的一對角叫做同旁內(nèi)角.【總結(jié)】(1)同位角：在被截直線的同一方向，截線的同側(cè)的一對角.(2)內(nèi)錯角：在被截直線的內(nèi)側(cè)，截線的兩側(cè)的一對角.(3)同旁內(nèi)角：在被截直線的內(nèi)側(cè)，截線的同側(cè)的一對角.【即學即練1】（2024七年級上·全國·專題練習）如圖，直線DE和BC被直線AB所截．(1)與、與，與各有什么特殊的位置關(guān)系？(2)與是內(nèi)錯角嗎？為什么？(3)如果，那么等于嗎？和互補嗎？為什么？【答案】(1)與是內(nèi)錯角，與是同旁內(nèi)角，與是同位角(2)與不是內(nèi)錯角．因為內(nèi)錯角必須在截線的兩側(cè)，兩條被截直線之間(3)，和互補，理由見解析【知識點】同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)：同位角相等，兩直線平行，內(nèi)錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等．也考查了同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角的定義．（1）回憶內(nèi)錯角、同位角和同旁內(nèi)角的定義：在兩被切直線的內(nèi)側(cè)，且在切線異側(cè)的兩個角叫作內(nèi)錯角，在被切直線同一側(cè)，而且在切線同側(cè)的兩個角叫作同位角，在兩被切直線的內(nèi)側(cè)，且在切線同側(cè)的兩個角叫作同旁內(nèi)角．再根據(jù)圖形中角的位置關(guān)系，即可得到答案；（2）根據(jù)圖形中和的位置關(guān)系，可知和不在一條直線的兩側(cè)，即可判斷答案；（3）根據(jù)同旁內(nèi)角互補兩直線平行，可得到再根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到答案．【詳解】（1）∵與兩個角都在兩直線的中間，截線的兩側(cè)，∴與是內(nèi)錯角，∵與兩個角都在兩直線的中間，截線的同旁，∴與是同旁內(nèi)角，∵與兩個角都在截線的同旁，又分別處在被截的兩條直線同側(cè)位置，∴與是同位角．故答案為：與是內(nèi)錯角，與是同旁內(nèi)角，與是同位角（2）∵內(nèi)錯角必須在兩條被截直線之間，∴與不是內(nèi)錯角．故答案為：與不是內(nèi)錯角．因為內(nèi)錯角必須在截線的兩側(cè)，兩條被截直線之間（3）理由:∵，而，，∵和互補，，∴和也互補．故答案為：，和互補知識點02平行線的定義及表示(1)定義：在同一平面內(nèi)內(nèi)，不相交的兩條直線.(2)表示：平行用“∥”符號表示，讀作“平行于”.1.同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系：(1)平行 (2)相交2.利用直尺和三角尺畫平行線：一“落”、二“靠”、三“移”、四“畫”.【注意】平行線的畫法四字訣1.“落”：三角板的一邊落在已知直線上；2.“靠”：用直尺緊靠三角板的另一邊；3.“移”：沿直尺移動三角板，直至落在已知直線上的三角板的一邊經(jīng)過已知點；4.“畫”：沿三角板過已知點的邊畫直線.【即學即練1】（23-24七年級上·河南周口·期末）在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有（

）A．相交、垂直 B．相交、平行C．垂直、平行 D．相交、垂直和平行【答案】B【知識點】平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系【分析】本題考查了直線的位置關(guān)系，垂直是相交的特殊情況，這也是同學們?nèi)菀壮鲥e的地方．根據(jù)同一平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系即可解答．【詳解】解：同一平面內(nèi)的兩條直線只有相交和平行兩種位置關(guān)系，故選：B．【即學即練2】（23-24七年級下·全國·單元測試）在數(shù)學課上，老師畫一條直線a，按如圖所示的方法，畫一條直線b與直線a平行，再向上推三角尺，畫一條直線c也與直線a平行，此時，發(fā)現(xiàn)直線b與直線c也平行，這就說明了（

）A．平行于同一條直線的兩直線平行B．同旁內(nèi)角相等，兩直線平行C．兩直線平行，同位角相等D．過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行【答案】A【知識點】平行公理推論的應用【分析】本題主要考查了平行線公理推論，根據(jù)平行線公理推論進行判斷即可．【詳解】解：∵，∴，∴這說明了平行于同一條直線的兩直線平行，故選A．知識點03平行公理及推論(1)平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.(2)推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.即如果b∥a，c∥a，那么b∥c.【注意】平行公理(1)“有且只有”強調(diào)直線的存在性和唯一性.(2)前提條件“經(jīng)過直線外一點”，若點在直線上，不可能有平行線.【即學即練1】（23-24七年級下·廣西防城港·期末）已知直線，，則下列結(jié)論正確的是（）A．直線a與c互相垂直 B．直線a與c互相平行C．直線a與c相交 D．直線a與b相交【答案】B【知識點】平行公理的應用【分析】本題主要考查了平行公理的應用，根據(jù)平行于同一條直線的兩條直線互相平行，進行判斷即可．【詳解】解：∵，，∴，即直線a與c互相平行．故選：B．知識點04平行線的判定方法平行線的判定方法1：(1)文字表述：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.簡單說成：同位角相等，兩直線平行.(2)幾何語言：∵∠1=∠5(或者∠2=∠6，∠4=∠8，∠3=∠7)，∴AB∥CD.平行線的判定方法2：(1)文字表述：兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行.簡單說成：內(nèi)錯角相等，兩直線平行.(2)幾何語言：∵∠2=∠8(或者∠3=∠5)，∴AB∥CD.平行線的判定方法3：(1)文字表述：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行.簡單說成：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.(2)幾何語言：∵∠2+∠5=180°(或者∠3+∠8=180°)，∴AB∥CD.平行線的其他判定方法：(1)在同一平面內(nèi)，平行于同一條直線的兩條直線平行.(2)在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行.【總結(jié)】判定兩直線平行的方法方法一：平行線的定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線就是平行線.方法二：平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.方法三：同位角相等，兩直線平行.方法四：內(nèi)錯角相等，兩直線平行.方法五：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.方法六：同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行.【即學即練1】（23-24八年級上·貴州畢節(jié)·期末）如圖，點，，在一條直線上，要根據(jù)“同旁內(nèi)角互補，兩直線平行”判定，需添加的一個條件是（

）A． B．C． D．【答案】B【知識點】同旁內(nèi)角互補兩直線平行、同位角相等兩直線平行、內(nèi)錯角相等兩直線平行【分析】本題考查了平行線的判定方法：①兩同位角相等，兩直線平行；②內(nèi)錯角相等，兩直線平行；③同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．根據(jù)平行線的判定方法逐項分析即可．【詳解】解：A．，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行可得，故不符合題意；B．，根據(jù)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行可得，故符合題意；C．，根據(jù)兩同位角相等，兩直線平行可得，故不符合題意；D．，根據(jù)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行可得，故不符合題意；故選B．【即學即練2】（2024七年級上·全國·專題練習）已知直線和被直線所截．(1)如圖①，若平分，平分，則與滿足什么條件時，？為什么？(2)如圖②，若平分，平分，則與滿足什么條件時，？為什么？(3)如圖③，若EG平分，平分，則與滿足什么條件時，？為什么？【答案】(1)，理由見解析(2)，理由見解析(3)，理由見解析【知識點】同旁內(nèi)角互補兩直線平行、角平分線的有關(guān)計算、內(nèi)錯角相等兩直線平行、同位角相等兩直線平行【分析】本題考查了平行線的判定，角平分線定義的應用，注意：平行線的判定是：①同位角相等，兩直線平行；②內(nèi)錯角相等，兩直線平行；③同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．（1）根據(jù)角平分線定義得出，，時，求出，根據(jù)平行線的判定推出即可．（2）根據(jù)角平分線定義得出，，求出，根據(jù)平行線的判定推出即可．（3）根據(jù)角平分線定義得出，，求出，根據(jù)平行線的判定推出即可．【詳解】（1）解：當時，．理由如下：平分，平分．，，．（2）解：當時，．理由如下：平分，平分，．，，．（3）解：當時，．理由如下：平分，平分，．，，．題型01同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的辨別例題：（2024七年級上·全國·專題練習）如圖，若，則的同位角的大小是，的內(nèi)錯角的大小是，的同旁內(nèi)角的大小是．【答案】【知識點】同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角【分析】本題主要考查內(nèi)錯角、同位角以及同旁內(nèi)角，觀察圖形易得的同位角、內(nèi)錯角都為的鄰補角，接下來結(jié)合的度數(shù)計算即可；同樣由圖可得的同旁內(nèi)角為的對頂角，與為對頂角，據(jù)此解答．【詳解】解：由圖可得的同位角、內(nèi)錯角都為的鄰補角，又，則其同位角大小為；的內(nèi)錯角大小為；的同旁內(nèi)角為的對頂角，則大小為；故答案為：；；．【變式訓練】1．（24-25七年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，直線上有一點和是直線被直線所截形成的角；和是直線和被直線所截形成的角；和是直線和被直線所截形成的角．【答案】同位內(nèi)錯同旁內(nèi)【知識點】同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角【分析】此題主要考查了三線八角，關(guān)鍵是掌握同位角的邊構(gòu)成“F“形，內(nèi)錯角的邊構(gòu)成“Z“形，同旁內(nèi)角的邊構(gòu)成“U”形．根據(jù)同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的定義解答即可．【詳解】解：直線上有一點和是直線被直線所截形成的同位角；和是直線和被直線所截形成的內(nèi)錯角；和是直線和被直線所截形成的同旁內(nèi)角．故答案為：，同位；，內(nèi)錯；，，，同旁內(nèi)．2．（2024七年級上·全國·專題練習）如圖，直線DE和BC被直線AB所截．(1)與、與，與各有什么特殊的位置關(guān)系？(2)與是內(nèi)錯角嗎？為什么？(3)如果，那么等于嗎？和互補嗎？為什么？【答案】(1)與是內(nèi)錯角，與是同旁內(nèi)角，與是同位角(2)與不是內(nèi)錯角．因為內(nèi)錯角必須在截線的兩側(cè)，兩條被截直線之間(3)，和互補，理由見解析【知識點】同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)：同位角相等，兩直線平行，內(nèi)錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等．也考查了同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角的定義．（1）回憶內(nèi)錯角、同位角和同旁內(nèi)角的定義：在兩被切直線的內(nèi)側(cè)，且在切線異側(cè)的兩個角叫作內(nèi)錯角，在被切直線同一側(cè)，而且在切線同側(cè)的兩個角叫作同位角，在兩被切直線的內(nèi)側(cè)，且在切線同側(cè)的兩個角叫作同旁內(nèi)角．再根據(jù)圖形中角的位置關(guān)系，即可得到答案；（2）根據(jù)圖形中和的位置關(guān)系，可知和不在一條直線的兩側(cè)，即可判斷答案；（3）根據(jù)同旁內(nèi)角互補兩直線平行，可得到再根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到答案．【詳解】（1）∵與兩個角都在兩直線的中間，截線的兩側(cè)，∴與是內(nèi)錯角，∵與兩個角都在兩直線的中間，截線的同旁，∴與是同旁內(nèi)角，∵與兩個角都在截線的同旁，又分別處在被截的兩條直線同側(cè)位置，∴與是同位角．故答案為：與是內(nèi)錯角，與是同旁內(nèi)角，與是同位角（2）∵內(nèi)錯角必須在兩條被截直線之間，∴與不是內(nèi)錯角．故答案為：與不是內(nèi)錯角．因為內(nèi)錯角必須在截線的兩側(cè)，兩條被截直線之間（3）理由:∵，而，，∵和互補，，∴和也互補．故答案為：，和互補題型02平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系例題：（2024七年級上·全國·專題練習）同一平面內(nèi)，兩條不重合的直線的位置關(guān)系是（

）A．平行 B．相交 C．相交或平行 D．垂直【答案】C【知識點】平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系【分析】本題考查平面內(nèi)直線的位置關(guān)系，根據(jù)平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系進行判斷即可．【詳解】解：同一平面內(nèi)，兩條不重合的直線的位置關(guān)系是相交或平行；故選C．【變式訓練】1．（24-25七年級上·全國·課后作業(yè)）在同一平面內(nèi)有三條不同的直線，若，則a與b的位置關(guān)系為（

）A．相交但不垂直 B．垂直 C．平行 D．無法確定【答案】C【知識點】垂線的定義理解、平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系【分析】本題主要考查垂直的定義，熟練掌握垂直的定義是解題關(guān)鍵．根據(jù)在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行，即可得出結(jié)果．【詳解】在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行．，故選：C．2．（24-25七年級上·湖北武漢·階段練習）、、為同一平面內(nèi)的三條直線，若與不平行，與不平行，那么與（

）A．一定不平行 B．一定平行C．一定互相垂直 D．可能相交或平行【答案】D【知識點】平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系【分析】本題主要考查了直線的位置關(guān)系，在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系：平行或相交．根據(jù)關(guān)鍵語句“若與不平行，與不平行，”畫出圖形，圖形有兩種情況，根據(jù)圖形可得答案．【詳解】根據(jù)題意可得圖形：根據(jù)圖形可知：若與不平行，與不平行，則與可能相交或平行，故選：D．題型03平行公理及推論應用例題：（24-25七年級上·全國·課后作業(yè)）平行線的基本事實：過與這條直線平行．【答案】直線外一點有且只有一條直線【知識點】平行公理的應用【分析】本題考查了平行線的基本事實，根據(jù)平行線的基本事實解答即可，熟練掌握此知識點是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：平行線的基本事實：過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行，故答案為：直線外一點有且只有一條直線．【變式訓練】1．（24-25七年級上·全國·課后作業(yè)）有下列說法：①兩條不相交的直線是平行線；②過一點有且只有一條直線與已知直線平行；③在同一平面內(nèi)，和第三條直線都不相交的兩條直線平行；④在同一平面內(nèi)，不相交的兩條射線必平行．其中，正確的有個．【答案】1【知識點】平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系、平行公理的應用【分析】本題考查了平行線的定義和平行公理，根據(jù)平行線的定義、平行公理進行判斷，即可得出結(jié)論，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：①在同一平面內(nèi)，兩條不相交的直線是平行線，故原說法錯誤；②過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故原說法錯誤；③在同一平面內(nèi)，和第三條直線都不相交的兩條直線平行，故原說法正確；④在同一平面內(nèi)，不相交的兩條射線不一定平行，故原說法錯誤；綜上所述，正確的為③，共個，故答案為：．2．（24-25七年級上·全國·課后作業(yè)）下列說法：①在同一平面內(nèi)，若直線，，則；②在同一平面內(nèi)，若直線，直線與相交，則直線與相交；③若直線與直線相交，直線與直線相交，則直線與直線相交；④過一點有且只有一條直線與已知直線平行，其中說法正確的是．（填序號）【答案】①②/②①【知識點】平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系、平行公理的應用、平行公理推論的應用【分析】本題考查平行線的性質(zhì)和判定、相交線．利用同一個平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系依次對各選項進行判斷即可．掌握平行線的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：①在同一平面內(nèi)，若直線，，則；故此說法正確；②在同一平面內(nèi)，若直線，直線與相交，則直線與相交，故此說法正確；③若直線與直線相交，直線與直線相交，則直線與直線也有可能平行，故此說法錯誤；④過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行，故此說法錯誤．∴說法正確的是①②．故答案為：①②．題型04同位角相等，兩直線平行例題：（24-25八年級上·吉林·開學考試）把下面的證明過程補充完整：如圖，已知直線AB，CD被直線所截，為CD與的交點，于點，，，求證：．證明：∵（已知），∴（

）．又∵（已知），∴，∴（

）（____________）．又∵（已知），∴，∴（____________）．【答案】垂直的定義；，對頂角相等；同位角相等，兩直線平行．【知識點】垂線的定義理解、對頂角相等、同位角相等兩直線平行【分析】本題考查了平行線的判定，垂直的定義，對頂角相等，由，得，從而有，通過等量代換求出即可求證，熟練掌握知識點的應用是解題的關(guān)鍵．【詳解】證明：∵（已知），∴（垂直的定義），又∵（已知），∴，∴（對頂角相等）．又∵（已知），∴，∴（同位角相等，兩直線平行），故答案為：垂直的定義；，對頂角相等；同位角相等，兩直線平行．【變式訓練】1．（23-24七年級下·廣東揭陽·階段練習）如圖：，平分，平分，，試說明：．請完成下面的解題過程．解：∵平分，平分（已知），____________，_________（角平分線的定義），又（已知）________________．又（已知）________，（________）．【答案】；；；；；同位角相等，兩直線平行【知識點】角平分線的有關(guān)計算、同位角相等兩直線平行【分析】此題考查了平行線的判定，熟記平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)角平分線的定義結(jié)合題意推出，即可判定．【詳解】解：∵平分，平分（已知），，（角平分線的定義）.又（已知），，又（已知），，（同位角相等，兩直線平行）．故答案為：；；；；；同位角相等，兩直線平行．2．（24-25七年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，在三角形中，，點分別在邊的延長線上，作射線，如果平分，那么與平行嗎？為什么？【答案】，見解析【知識點】同位角相等兩直線平行【分析】此題考查了平行線的判定．根據(jù)角平分線得到，對頂角相等得到，利用等量代換得到，即可證明．【詳解】解：．證明：∵平分，∴．又∵，∴．又∵，∴．∴題型05內(nèi)錯角相等，兩直線平行例題：（23-24七年級下·全國·單元測試）完成下面證明：如圖，平分，．求證．證明：∵平分∴（）∵．∴．（）∴（）．【答案】角平分線的定義，3，等量代換，內(nèi)錯角相等兩直線平行【知識點】內(nèi)錯角相等兩直線平行【分析】此題考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定方法是解本題的關(guān)鍵．根據(jù)角平分線的定義得到，而，則得到，根據(jù)“內(nèi)錯角相等兩直線平行”即可得到結(jié)論．【詳解】證明：∵平分．∴．（角平分線的定義）∵．∴．（等量代換）∴（內(nèi)錯角相等兩直線平行）．故答案為：角平分線的定義，3，等量代換，內(nèi)錯角相等兩直線平行．【變式訓練】1．（2024七年級上·全國·專題練習）如圖，點G在上，已知，平分，平分，請說明的理由．解：（已知），（_______）（_______）．∵平分，_______（_______）．平分，_______，得（_______），（_______）．【答案】鄰補角的定義；同角的補角相等；；角平分線的定義；；等量代換；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；理由見解析【知識點】內(nèi)錯角相等兩直線平行【分析】本題主要考查平行線的判定，由題意可求得，再由角平分線的定義得，，從而得，即可判定．【詳解】解：∵（已知），（鄰補角的定義），∴（同角的補角相等）．∵平分，∴（角平分線的定義）．∵平分，∴，∴（等量代換），∴（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．故答案為：鄰補角的定義；同角的補角相等；；角平分線的定義；；等量代換；內(nèi)錯角相等，兩直線平行．2．（24-25七年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，點O在直線上，平分平分是上一點，連接．(1)判斷與是否垂直，并說明理由；(2)若與互余，判斷與是否平行，并說明理由．【答案】(1)，見解析；(2)，見解析【知識點】角平分線的有關(guān)計算、同(等)角的余(補)角相等的應用、內(nèi)錯角相等兩直線平行【分析】本題考查了角平分線的定義，平行線的判定，解題的關(guān)鍵是：（1）利用角平分線的定義結(jié)合平角的性質(zhì)即可證明；（2）利用，結(jié)合已知求得，根據(jù)“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”即可證明．【詳解】（1）解：，證明：平分，平分，，，，；（2）證明：，，與互余，，，．題型06同旁內(nèi)角互補，兩直線平行例題：（23-24七年級下·河北唐山·期中）如圖，已知．將下列推理過程補充完整．∵（已知），∴________（________________）∵（已知）∴________（________________）∵（已知），∴_________________（________________）．【答案】見解析【知識點】同位角相等兩直線平行、內(nèi)錯角相等兩直線平行、同旁內(nèi)角互補兩直線平行【分析】本題考查平行線的判定，根據(jù)平行線的判定方法，作答即可．【詳解】解：∵（已知），∴（同位角相等，兩直線平行）∵（已知）∴（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）∵（已知），∴（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）．【變式訓練】1．（23-24七年級下·福建漳州·期中）完成下面的證明．已知：如圖，．求證：．證明：，______________（_______）．，______________．（_______）．【答案】AB；CD；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；；CD；同平行于一條直線的兩條直線互相平行【知識點】平行公理推論的應用、同旁內(nèi)角互補兩直線平行【分析】本題考查平行線的判定，熟記并靈活運用這兩條定理是解本題的關(guān)鍵．先由，得到再由，得到，最后得到．【詳解】證明：，（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）．，．（同平行于一條直線的兩條直線互相平行）．2．（23-24七年級下·河南安陽·期中）完成下面的證明：如圖，平分，平分，且，求證．證明：∵平分（已知），∴（

）∵平分（已知），∴_________（

）∴（

）∵（已知），∴_________（

）∴（

）【答案】角平分線的定義；；角平分線的定義；等量代換；；等量代換；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行【知識點】同旁內(nèi)角互補兩直線平行【分析】本題考查平行線的判定，根據(jù)角平分線的定義以及同旁內(nèi)角互補，兩直線平行，進行作答即可．【詳解】證明：∵平分（已知），∴（角平分線的定義）∵平分（已知），∴（角平分線的定義）∴（等量代換）∵（已知），∴（等量代換）∴（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）題型07添加一條件使兩直線平行例題：（24-25八年級上·陜西漢中·階段練習）如圖，已知，點，分別在射線，上，點為內(nèi)一點，連接，，不添加輔助線，請?zhí)砑右粋€條件使得，則可添加為．（寫出一個即可）【答案】（答案不唯一）【知識點】同位角相等兩直線平行、內(nèi)錯角相等兩直線平行、同旁內(nèi)角互補兩直線平行【分析】本題主要考查了平行線的判定，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定定理．平行線判定方法有：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．據(jù)此可得結(jié)論．【詳解】解：添加利用同位角相等，兩直線平行判定；添加利用內(nèi)錯角相等，兩直線平行判定；添加利用同旁內(nèi)角互補，兩直線平行判定．故答案為：(答案不唯一)·【變式訓練】1．（2024七年級上·全國·專題練習）如圖，E是線段的延長線上一點，添加一個條件，使，則可添加的條件為（寫出一種情況即可）．【答案】【知識點】同旁內(nèi)角互補兩直線平行、內(nèi)錯角相等兩直線平行、同位角相等兩直線平行【分析】本題主要考查了平行線的判定，同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行，據(jù)此進行解答（答案不唯一）．【詳解】解：若，則；若，則；若，則；若，則；故答案為或或或．（答案不唯一）2．（2024七年級上·全國·專題練習）中考新趨勢·結(jié)論開放性試題

如圖，已知，請你添加一個條件，使得能利用“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”來判斷，你添加的條件是．【答案】平分（答案不唯一）【知識點】內(nèi)錯角相等兩直線平行【分析】本題考查了平行線的判定：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，當時，，由于，易得要平分．【詳解】解∶當時，，，所以需平分，即添加的條件是平分，故答案為：平分（答案不唯一）．題型08垂直于同一條直線的兩條直線平行例題：（23-24七年級下·廣東河源·期中）如圖，已知，，試探究與的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】，理由見解析【知識點】同位角相等兩直線平行、同旁內(nèi)角互補兩直線平行、垂直于同一直線的兩直線平行【分析】本題主要考查了平行線的判定，先根據(jù)同位角相等，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，兩直線平行得到，再根據(jù)平行于同一直線的兩直線平行可得．【詳解】解：，理由如下：∵，，∴，∴．【變式訓練】1．（23-24八年級上·廣東梅州·期末）如圖，，，垂足分別是，，．(1)判斷與的位置關(guān)系；（不需要證明）(2)求證：．【答案】(1)(2)見解析【知識點】同位角相等兩直線平行、垂直于同一直線的兩直線平行【分析】（1）根據(jù)垂直于同一直線的兩條直線互相平行，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)可得，則，即可求證．【詳解】（1）解：∵，，∴．（2）證明：，，（等式的性質(zhì)），即，（同位角相等，兩直線平行）．【點睛】本題主要考查了平行線的判定，解題的關(guān)鍵是掌握垂直于同一直線的兩條直線互相平行，同位角相等，兩直線平行．題型09平行線的判定去判斷兩線的位置關(guān)系例題：（23-24七年級下·陜西榆林·期末）如圖，已知點在上，平分，平分．(1)試說明：；(2)若，，則與平行嗎？為什么？【答案】(1)見解析(2)，理由見解析．【知識點】垂線的定義理解、內(nèi)錯角相等兩直線平行、平行公理推論的應用【分析】本題考查了平行線的判定，平行公理推論，角平分線的定義，掌握平行線的性質(zhì)和角平分線定義是解題的關(guān)鍵．（1）先利用角平分線的定義得到，，根據(jù)平角的定義得到，根據(jù)垂直的定義求解即可；（2）根據(jù)平行線的判定及平行公理推論即可求解；【詳解】（1）解：∵平分，平分，∴，，∵，∴，∴；（2），理由如下：由（1）得，∠3＝∠4．∵，，∴，，∴，，∴．【變式訓練】1．（23-24七年級下·陜西西安·期末）如圖，在四邊形中，點E在的延長線上，點F在的延長線上，連接相交于點O，，平分，．(1)試說明；(2)與的位置關(guān)系如何？為什么？【答案】(1)見解析(2)，理由見解析【知識點】同位角相等兩直線平行、內(nèi)錯角相等兩直線平行、角平分線的有關(guān)計算【分析】本題主要考查了平行線的判定，角平分線的定義：（1）根據(jù)平角的定義和已知條件證明，即可證明；（2）由角平分線的定義和已知條件證明，即可證明．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∴；（2）解：，理由如下：∵平分，∴，∵，∴，∴．2．（23-24七年級下·湖北武漢·期中）如圖，點在上，過作于，點是上一點，過點作于．(1)求證：；(2)點在上，若，則試判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)，見解析【知識點】垂線的定義理解、同位角相等兩直線平行【分析】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，熟練使用平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)垂直的定義求出，根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”得到；（2）由垂直定義及直角三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)“等角的余角相等”求出，再根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”即可得解．【詳解】（1）證明：，，．（2）解：，理由如下：，，，，，．一、單選題1．（24-25七年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，直線a、b被直線c所截，，下列條件中可以判定的是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】同位角相等兩直線平行【分析】本題主要考查了平行線的判定，先標注，根據(jù)同位角相等，兩直線平行判斷即可．【詳解】如圖所示．根據(jù)題意可知，∵，∴．故選：A．2．（2024·山西大同·二模）若，則下列圖形一定能推出的是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】同旁內(nèi)角互補兩直線平行【分析】此題考查了平行線的判定，根據(jù)平行線的判定定理求解即可．【詳解】A．∵和是同位角，∴無法推出，不符合題意；B．∵和是內(nèi)錯角，∴無法推出，不符合題意；C．如圖所示，∵，∵∴∴，符合題意；D．如圖所示，∵，∴∵和是同位角，∴無法推出，故不符合題意；故選：C．3．（23-24七年級下·云南玉溪·階段練習）如圖，描述同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的關(guān)系不正確的是（

）A．與是同位角 B．與是內(nèi)錯角C．與是同旁內(nèi)角 D．與是同旁內(nèi)角【答案】D【知識點】同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角【分析】本題主要考查了同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角，解題的關(guān)鍵熟記同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的特征．利用同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的定義判定即可．【詳解】解：A、與是同位角，故A選項正確；B、與是內(nèi)錯角，故B選項正確；C、與是同旁內(nèi)角，故C選項正確；D、與不是同旁內(nèi)角，故D選項錯誤．故選：D．4．（23-24七年級下·山東濟寧·階段練習）下列說法中：①若，，則；②若與相交，與相交，則與相交；③相等的角是對頂角；④過一點有且只有一條直線與已知直線平行．不正確的有（

）．A．①② B．②③ C．②③④ D．③④【答案】C【知識點】平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系、平行公理的應用、對頂角相等【分析】本題主要考查平行公理，對頂角相等，兩條直線的位置關(guān)系，熟練掌握兩條直線位置關(guān)系的相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行公理，對頂角，兩條直線的位置關(guān)系，逐個進行判斷即可．【詳解】解：①若，，則，故本項符合題意；②若與相交，與相交，則與不一定相交，故本項不符合題意；③相等的角不一定是對頂角，故本項不符合題意；④過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故本項不符合題意；故選：C．5．（24-25七年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，給出四個條件：①；②；③；④，其中能判定的是（

）A．①② B．③④ C．①③ D．②④【答案】D【知識點】同位角相等兩直線平行、同旁內(nèi)角互補兩直線平行、內(nèi)錯角相等兩直線平行【分析】本題主要考查平行線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定定理．根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，同位角相等，兩直線平行，以及同旁內(nèi)角互補兩直線平行，逐個分析即可．【詳解】①，能判定，不能判定，不符合題意；②，能判定，符合題意；③，能判定，不能判定，不符合題意；④，能判定，符合題意，故②④正確．故選：D．二、填空題6．（23-24七年級下·河南鄭州·期末）小明按如圖所示的方法畫出了兩條平行線，依據(jù)是．【答案】同位角相等，兩直線平行【知識點】同位角相等兩直線平行【分析】本題考查了平行線的判定，根據(jù)同位角相等，兩直線平行得出結(jié)果即可．【詳解】解：如圖，（同位角相等，兩直線平行），故答案為：同位角相等，兩直線平行．7．（24-25七年級上·海南海口·期末）如圖，要得到，則需要條件（填一個你認為正確的條件即可），理由是．【答案】（答案不唯一）同位角相等，兩直線平行【知識點】同位角相等兩直線平行、內(nèi)錯角相等兩直線平行、同旁內(nèi)角互補兩直線平行【分析】本題考查平行線的判定，涉及同位角相等兩直線平行、內(nèi)錯角相等兩直線平行、同旁內(nèi)角互補兩直線平行等，根據(jù)圖形，結(jié)合平行線的判定定理驗證即可得到答案，熟記平行線的判定定理是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：要得到，利用平行線的判定：①同位角相等兩直線平行，可填；②內(nèi)錯角相等兩直線平行，可填；③同旁內(nèi)角互補兩直線平行，可填；；故答案為：（答案不唯一）；同位角相等，兩直線平行；8．（23-24七年級下·全國·單元測試）根據(jù)圖形填空：（1）若直線，被直線所截，則和是同位角；（2）若直線，被直線所截，則和是內(nèi)錯角；（3）和是直線，被直線所截構(gòu)成的角；【答案】內(nèi)錯【知識點】同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角【分析】本題考查了同位角和內(nèi)錯角的定義，解題的關(guān)鍵是掌握同位角和內(nèi)錯角的定義．（1）根據(jù)同位角的定義求解即可；（2）根據(jù)內(nèi)錯角的定義求解即可；（3）根據(jù)內(nèi)錯角的定義求解即可．【詳解】解：（1）直線，被直線所截，則和是同位角；（2）直線，被直線所截，則和是內(nèi)錯角；（3）和是直線，被直線所截構(gòu)成的內(nèi)錯角；故答案為：，，，內(nèi)錯．9．（2024七年級上·全國·專題練習）觀察如圖所示的長方體，回答問題：（1）與線段平行的線段是；（2）與所在直線不相交，它們平行線（填“是”或“不是”）．由此可知，在內(nèi)，兩條不相交的直線才是平行線．【答案】，，不是同一平面【知識點】平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系【分析】本題考查了平行線的定義，熟練掌握平行線的定義是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平行線的定義即可得解；（2）根據(jù)平行線的定義即可得解．【詳解】解：（1）由平行線的定義可知，與線段平行的線段有，，，故答案為：，，；（2）由平行線的定義可得：與所在直線不相交，它們不是平行線，由此可知，在同一平面內(nèi)，兩條不相交的直線才是平行線故答案為：不是，同一平面．10．（24-25七年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，三根木棒釘在一起，交點分別為．現(xiàn)將木棒分別繞點順時針旋轉(zhuǎn)，同時開始，速度分別為和，當兩根木棒都轉(zhuǎn)滿了一周時，它們同時停止轉(zhuǎn)動．轉(zhuǎn)動s時，木棒平行．

【答案】或或或【知識點】幾何問題(一元一次方程的應用)、同位角相等兩直線平行【分析】本題主要考查了平行線的判定，一元一次方程的應用，利用分類討論的思想，準確找出角度之間的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．設經(jīng)過t秒時木棒a，b平行，分情況討論：當秒時；當秒時；當時；當時，利用同位角相等兩直線平行，列方程求解即可得到答案【詳解】解：設經(jīng)過t秒時木棒a，b平行，根據(jù)題意得：當秒時，，解得：；當秒時，，解得：；當秒時，木棒a停止運動，當時，，解得：，不符合題意；當時，，解得：；，解得：，當時，木棒b停止運動，綜上所述，經(jīng)過3或21或75或165秒時木棒a，b平行，故答案為：或或或．三、解答題11．（23-24七年級下·陜西延安·期末）如圖，已知，交于點D，平分，，求證：．

【答案】證明見解析【知識點】角平分線的有關(guān)計算、同位角相等兩直線平行【分析】本題主要考查了平行線的判定，角平分線的定義，先由角平分線的定義得到，再由平角的定義得到，則可由同位角相等，兩直線平行證明．【詳解】證明：∵平分，，∴，∴，∵，∴，∴．12．（23-24七年級下·吉林延邊·期中）如圖，在的方格紙中，每個小正方形的邊長為1，、、均為小正方形的頂點，請僅用無刻度的直尺完成以下操作．(1)過點作的平行線．(2)過點作的平行線，與（1）中的平行線交于點．【答案】(1)見解析(2)見解析【知識點】用直尺、三角板畫平行線【分析】本題考查了作平行線．熟練掌握作平行線是解題的關(guān)鍵．（1）過作水平線即可；（2）格點向上2個格點，向左2個格點為，連接即可．【詳解】（1）解：過作水平線，如圖1，，即為所作；

圖1（2）解：如圖2，格點向上2個格點，向左2個格點為，連接，，點即為所作；

圖213．（23-24七年級下·山東臨沂·期末）把下面的證明過程補充完整：如圖，已知直線，被直線所截，為與的交點，于點，，．求證：．證明：（已知），（______）．又（已知），（______）．（______）．又（已知），，（______）．【答案】垂直的定義；60；對頂角相等；同位角相等，兩直線平行【知識點】對頂角相等、同位角相等兩直線平行、垂線的定義理解【分析】此題考查了平行線的判定，垂線的定義，對頂角相等，熟記平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵．由已知條件結(jié)合垂線定義和對頂角性質(zhì)，得，然后根據(jù)同位角相等，兩直線平行即可得到結(jié)論．【詳解】證明：（已知），（垂直的定義）．又（已知），．（對頂角相等）．又（已知），，（同位角相等，兩直線平行）．故答案為：垂直的定義；60；對頂角相等；同位角相等，兩直線平行．14．（23-24七年級下·河北保定·期中）數(shù)學活動課上，嘉嘉和淇淇兩名同學借助一副三角板畫平行線．(1)嘉嘉是這樣做的：如圖1，先畫一條直線，之后擺放三角板，得到．依據(jù)是______．(2)淇淇按如圖2所示的方式擺放三角板，也得到．依據(jù)是_____