第頁(yè)專題6.1平面向量的概念（重難點(diǎn)題型精講）1．向量的概念(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量.(2)數(shù)量：只有大小，沒(méi)有方向的量（如年齡、身高、長(zhǎng)度、面積、體積和質(zhì)量等），稱為數(shù)量．注：①本書所學(xué)向量是自由向量，即只有大小和方向，而無(wú)特定的位置，這樣的向量可以作任意平移．②看一個(gè)量是否為向量，就要看它是否具備了大小和方向兩個(gè)要素．③向量與數(shù)量的區(qū)別：數(shù)量與數(shù)量之間可以比較大小，而向量與向量之間不能比較大?。?．向量的表示法(1)有向線段：具有方向的線段叫做有向線段，有向線段包含三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度．(2)向量的表示方法:①字母表示法：如等.(2)幾何表示法：以A為始點(diǎn)，B為終點(diǎn)作有向線段（注意始點(diǎn)一定要寫在終點(diǎn)的前面）．如果用一條有向線段表示向量，通常我們就說(shuō)向量. 注：①用字母表示向量便于向量運(yùn)算；②用有向線段來(lái)表示向量，顯示了圖形的直觀性．應(yīng)該注意的是有向線段是向量的表示，不是說(shuō)向量就是有向線段．由于向量只含有大小和方向兩個(gè)要素，用有向線段表示向量時(shí)，與它的始點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)，即同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量或相等的向量．3．向量的有關(guān)概念(1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用來(lái)表示向量的有向線段的長(zhǎng)度).注：①向量的模．②向量不能比較大小，但是實(shí)數(shù)，可以比較大?。?2)零向量：長(zhǎng)度為零的向量叫零向量.記作，它的方向是任意的．(3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量.注：①在畫單位向量時(shí)，長(zhǎng)度1可以根據(jù)需要任意設(shè)定；②將一個(gè)向量除以它的模，得到的向量就是一個(gè)單位向量，并且它的方向與該向量相同．4．相等向量:長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.注：在平面內(nèi)，相等的向量有無(wú)數(shù)多個(gè)，它們的方向相同且長(zhǎng)度相等．4．向量的共線或平行方向相同或相反的非零向量，叫共線向量(共線向量又稱為平行向量).規(guī)定:與任一向量共線.注：①零向量的方向是任意的，注意與0的含義與書寫區(qū)別.②平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系.③共線向量與相等向量的關(guān)系：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定是相等的向量．5．用共線（平行）向量或相等向量刻畫幾何關(guān)系(1)利用向量的模相等可以證明線段相等，利用向量相等可以證明線段平行且相等.

(2)利用向量共線可以證明直線與直線平行，但需說(shuō)明向量所在的直線無(wú)公共點(diǎn).

(3)利用向量可以判斷圖形的形狀(如平行四邊形、等腰三角形等)、證明多點(diǎn)共線等.【題型1向量的基本概念】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)向量的基本概念，進(jìn)行求解即可.【例1】給出下列物理量：①質(zhì)量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨時(shí)間．其中不是向量的有（

）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【變式1-1】以下選項(xiàng)中，都是向量的是（

）A．正弦線、海拔 B．質(zhì)量、摩擦力C．△ABC的三邊、體積 D．余弦線、速度【變式1-2】下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量B．零向量與任意向量都不平行C．平行向量就是共線向量D．長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量【變式1-3】下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．向量CD與向量DC長(zhǎng)度相等B．單位向量都相等C．向量的?？梢员容^大小D．任一非零向量都可以平行移動(dòng)【題型2向量的幾何表示與向量的?！俊痉椒c(diǎn)撥】第一步：已給定向量的起點(diǎn)、方向和長(zhǎng)度；第二步：在坐標(biāo)紙上找準(zhǔn)方向、長(zhǎng)度；第三步：畫出對(duì)應(yīng)的向量.【例2】一艘軍艦從基地A出發(fā)向東航行了200海里到達(dá)基地B，然后改變航線向東偏北60°航行了400海里到達(dá)C島，最后又改變航線向西航行了200海里到達(dá)D島．（1）試作出向量AB,（2）求|AD【變式2-1】在如圖所示的坐標(biāo)紙中(每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1)，用直尺和圓規(guī)畫出下列向量．(1)OA=3，點(diǎn)A在點(diǎn)O(2)OB=22，點(diǎn)B在點(diǎn)【變式2-2】已知飛機(jī)從A地按北偏東30°方向飛行2000km到達(dá)B地，再?gòu)腂地按南偏東30°方向飛行2000km到達(dá)C地，再?gòu)腃地按西南方向飛行10002km到達(dá)D地．畫圖表示向量【變式2-3】在直角坐標(biāo)系中畫出下列向量，使它們的起點(diǎn)都是原點(diǎn)O，并求終點(diǎn)的坐標(biāo)（1）a=2，a的方向與x軸正方向的夾角為60°，與y軸正方向的夾角為30°（2）a=4，a的方向與x軸正方向的夾角為30°，與y軸正方向的夾角為120°（3）a=42，a的方向與x軸、y軸正方向的夾角都是【題型3向量相等或共線】【方法點(diǎn)撥】判斷兩向量是否共線的關(guān)鍵是看兩向量所在的直線是否平行或重合；判斷兩向量是否相等不僅要看兩向量所在的直線是否平行或重合，還要看兩向量的模是否相等、方向是否相同.【例3】下列命題中正確的是（

）A．兩個(gè)有共同起點(diǎn)且相等的向量，其終點(diǎn)必相同B．兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量C．兩個(gè)有共同起點(diǎn)且共線的向量，其終點(diǎn)必相同D．若AB與CD是共線向量，則點(diǎn)A，B，C，D必在同一條直線上【變式3-1】如圖，等腰梯形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)P，點(diǎn)E、F分別在兩腰AD、BC上，EF過(guò)點(diǎn)P，且EF//A．AD=BC C．PE=PF 【變式3-2】如圖，在正△ABC中，D,E,F均為所在邊的中點(diǎn)，則以下向量和FC相等的是（

）A．EF B．BE C．DF D．ED【變式3-3】在△ABC中，AB＝AC，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，則（

）A．AB與AC共線 B．DE與CB共線C．CD與AE相等 D．AD與BD相等【題型4用向量關(guān)系研究幾何圖形的性質(zhì)】【方法點(diǎn)撥】(1)證明或判斷線段相等，只需證明或判斷相應(yīng)向量的長(zhǎng)度(模)相等.(2)證明線段平行，先證明相應(yīng)的向量共線，再說(shuō)明線段不重合.【例4】如圖所示，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是CD，AB的中點(diǎn).(1)寫出與向量FC共線的向量；(2)求證：BE=【變式4-1】已知點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是平面四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，求證：EF=【變式4-2】如圖，已知四邊形ABCD中，M，N分別是BC，AD的中點(diǎn)，AB=DC且CN=【變式4-3】如圖，已知在四邊形ABCD中，M，N分別是BC，AD的中點(diǎn)，又AB=DC.求證：專題6.1平面向量的概念（重難點(diǎn)題型檢測(cè)）一．單選題1．下列物理量中哪個(gè)是向量（

）A．質(zhì)量 B．功 C．溫度 D．力2．下列結(jié)論中，正確的是（

）A．2022cmB．若O是直線l上的一點(diǎn)，單位長(zhǎng)度已選定，則l上有且只有兩個(gè)點(diǎn)A，B，使得OA，OB是單位向量C．方向?yàn)楸逼?0°的向量與南偏東30°的向量不可能是共線向量D．一人從A點(diǎn)向東走500米到達(dá)B點(diǎn)，則向量AB不能表示這個(gè)人從A點(diǎn)到B點(diǎn)的位移3．如圖，四邊形ABCD是等腰梯形，則下列關(guān)系中正確的是（

）A．AB=CD B．AB=CD C．4．如圖，四邊形ABCD中，AB=DC，則相等的向量是（A．AD與CB B．OB與OD C．AC與BD D．AO與OC5．下列說(shuō)法正確的是（

）A．單位向量都相等B．若a//bC．若a=bD．若a=λb，（b≠0），則6．下列關(guān)于向量的結(jié)論：（1）任一向量與它的相反向量不相等；（2）向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反；（3）起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；（4）若向量a與b同向，且|a|>|bA．（1）（2） B．（2）（3） C．（4） D．（3）7．下列命題中正確的個(gè)數(shù)是（

）①起點(diǎn)相同的單位向量，終點(diǎn)必相同；②已知向量AB∥CD，則③若a∥b,④共線的向量，若起點(diǎn)不同，則終點(diǎn)一定不同.A．0 B．1 C．2 D．38．有下列命題：①若a→=b②若AB→=DC③若m→=n→，④若a→//b→，其中，假命題的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4二．多選題9．下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是A．向量AB與CD是共線向量,則A，B，C，D四點(diǎn)必在一條直線上B．零向量與零向量共線C．若a=bD．溫度含零上溫度和零下溫度，所以溫度是向量10．（4分）（2022秋·江西九江·高一期末）如圖，在四邊形ABCD中，若AB=DC，則圖中相等的向量是（A．AD與BC B．OB與ODC．AC與BD D．AO與OC11．下列結(jié)論中正確的是（

）A．若a=bB．若a=bC．若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則“AB=DC”是“四邊形D．“a=b”的充要條件是“a=12．如圖所示，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，在其中標(biāo)出了6個(gè)向量，則在這6個(gè)向量中（

）A．向量CH,DG的模相等 C．向量DG,HF共線 三．填空題13．下列各量中，是向量的是.（填序號(hào)）①密度；②體積；③重力；④質(zhì)量.14．）在靜水中船的速度為20m/min，水流的速度為10m/min，如果船從岸邊出發(fā)沿垂直于水流的航線到達(dá)對(duì)岸，則經(jīng)過(guò)115．如圖所示，設(shè)O是正方形ABCD的中心，則下列結(jié)論正確的有．（填序號(hào)）①AO=OC；②AO//AC；③AB與CD16．下列五個(gè)命題：①向量P1P2與OA②如果向量a與b平行，則a與b方向相同或相反；③四邊形P1P2OA是平行四邊形的充要條件是P1④若a=b，則a、⑤由于零向量方向不確定，故零向量與任何向量不平行.其中正確的命題有個(gè).四．解答題17．判斷下列命題是否正確，請(qǐng)說(shuō)明理由：（1）若向量a與b同向，且a>b，則（2）若向a=b，則a與（3）對(duì)于任意向量a=b，若a與b的方向相同，則a=（4）由于0方向不確定，故0不與任意向量平行；（5）向量a與b平行，則向量a與b方向相同或相反．18．如圖所示，4×3的矩形(每個(gè)小方格都是單位正方形)，在起點(diǎn)和終點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)處的向量中，試問(wèn)：（1）與AB→（2）與AB→方向相同且模為319．如圖,在ΔABC中,已知向量AD=DB,DF=20．某人從A點(diǎn)出發(fā)向東走了5米到達(dá)B點(diǎn)，然后改變方向沿東北方向走了102米到達(dá)C點(diǎn)，到達(dá)C點(diǎn)后又改變方向向西走了10米到達(dá)D（1）作出向量AB，BC，C