第06講拓展一：平面向量的拓展應(yīng)用（精講）

目錄

第一部分:典型例題剖析..............................................2

高頻考點一：平面向量夾角為銳角（或鈍角）問題....................2

角度L兩個向量所成角為銳角..................................2

角度2：兩個向量所成角為鈍角..................................3

高頻考點二：平面向量模的最值（或范圍）問題......................4

方法一：定義法................................................4

方法二：幾何法................................................5

方法三:三角不等式法..........................................7

方法四:坐標(biāo)法................................................7

方法五：轉(zhuǎn)化法................................................9

高頻考點三：平面向量數(shù)量積最值（或范圍）問題...................10

方法一：定義法...............................................10

方法二：向量數(shù)量積幾何意義法.................................12

方法三：坐標(biāo)法（自主建系法）.................................14

方法四：積化恒等式法.........................................16

第一部分：典型例題剖析

高頻考點一：平面向量夾角為銳角(或鈍角)問題

角度1:兩個向量所成角為銳角

典型例題

例題L(多選)(2023春?河南?高一河南省實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí))設(shè)向量a=(2,3),/)=(6j)若“與力

的夾角為銳角，則實數(shù)，的值可能是()

A.-5B.3C.6D.9

例題2.(2023春?新疆烏魯木齊?高一烏魯木齊市第70中校考階段練習(xí))已知平面向量〃:(1,外，

b=(2x+3,-x),XGR.

(1)若aJ.b，求卜一〃|;

(2)若。與/，的夾角為銳角，求4的取值范圍.

例題3.(2023春?山西運城?高一康杰中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知：〃、/，是同一平面內(nèi)的兩個向量，其中〃

=(1,2),)=(1,1)

(1)若4與4+2〃的夾角為銳角，求實數(shù)4的取值范圍；

(2)求4+/,在4上投影向量.

練透核心考點

1.(2023春?湖北十堰?高一?？茧A段練習(xí))若向量。=(1,2)與“(一1,梟)的夾角為銳角，則/的取值范圍為

2.(2023春?廣東廣州?高一廣州市真光中學(xué)校考階段練習(xí))已知向量;,=(1,2),/7=(1J)(/eR).

⑴若(〃+力)-b),求/的值；

(2)若f=l,〃與4+〃力的夾角為銳角，求實數(shù)小的取值范圍.

3.(2023春?山東濱州?高一?？茧A段練習(xí))(1)已知〃=(6,3),U(-2,0),求向量力在〃二的投影向量

的坐標(biāo).

(2)已知5=(1,3)工=(42),若。泊的夾角為銳角，求丸的取值范圍.

角度2：兩個向量所成角為鈍角

典型例題

例題1.(2023春?江蘇常州?高二校聯(lián)考階段練習(xí))若a=(-l,x+l,x),力=(2-乂0,3),且〃與方的夾角

為鈍角，則x的取值范圍是()

A.,8'g)B.(g,+8)C.(-D.g,3)U(3,y)

例題2.(2023春?寧夏?高一六盤山高級中學(xué)校考階段練習(xí))已知。=(1,2)/=(-4/)，則向量。與向量〃

的夾角為鈍角時/的取值范圍是.

例題3.（2023?河南南陽?高三南陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知。=（工-5,-2工-1）,八（3+2工,2）,且“與力

的夾角為鈍角，則匯的取值范圍是.

練透核心考點

1.（2023春?江蘇?高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知。=（x,l）,/7=（2.2X+3）,若出方的夾角為鈍角，則1的取值

范圍為（）

(3B.-2M-

A.——,+00

(4

3D-12.用。(-*)

C.-00.------

4

2.（2023春?天津和平?高一校考階段練習(xí)）已知”=（1,-1）,力=（幾,1）,若〃與〃的夾角。為鈍角，則實數(shù)2

的取值范圍為

3.（2023春?江蘇徐州?高一?？茧A段練習(xí)）已知向最。=（2人2）,〃=（-2—,-5）,若向量〃與向量〃+〃的

夾角為鈍角，則實數(shù)/的取值范匡為.

高頻考點二：平面向量模的最值（或范圍）問題

方法一：定義法

典型例題

例題1.（2023?浙江?模擬預(yù)測）已知在二角形A6c中，A8=3,AC=2,乙4=60。，點時，N分別為

邊AB,AC上的動點，AM=xAB,AN=yACf其中＞0,x+y=1,點尸，Q分別為MN,8c的中

點，貝UIPQI的最小值為（)

B?嚕

例題2.（2023春?吉林?高一東北師大附中校考階段練習(xí)）在乂3c中，2|^|=|AC|=6,ZA=120,

點M滿足AM=/M8+〃AC,4+2〃=2,貝加AM|的最小值為.

例題3.（2023春?江蘇常州?高一?？茧A段練習(xí)）己知向量°,〃滿足：同=1,忖=4,卜-〃|=26，

則卜+抬:若/為非零實數(shù)，貝由。+仍的最小值為.

例題4.（2023春?河南開封?高一河南省杞縣高中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知平面向量其中|川=2,|〃|=1,

。房的夾角是?，則|"2〃卜；若/為任意實數(shù)，則,+岡的最小值為.

練透核心考點

1.（2023?陜西榆林??？寄M預(yù)測）已知向量”，人滿足口=2忖ab=—l，則,十葉的取值范圍為（)

—

A.[2,+oo）B.C.[夜,+8）

2.（2023春?江蘇淮安?高一淮陰中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知平面向量”，〃的夾角為g,且|。卜"，忖=2,

€=/?-/??其中1￡R,則H的最小值為.

3.（2023春?河北保定?高一河北省唐縣第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)向量〃，/，滿足卜|=2.忖=1.〃與〃的夾角

為60%則fa+b的取值范圍是.

方法二：幾何法

典型例題

例題1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知平面向量八〃、（?滿足〃包=0,”=W=1，（c-a

則4的最大值為（）

A.y/2B.1+立C.2D.2

22

例題2.（2023春?陜西西安?高一西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）己知向量”,〃均為單位向量，

且〃?〃二；?向量與向量八c的夾角為和則忖-4的最大值為（）

A.立B.1C.—D.2

23

例題3.（多選）（2023春?安徽銅陵?高一銅陵一中校考階段練習(xí)）若“力工均為單位向量，且0.〃=（）,

（a-cAS-c）VO,則|。+8一c|的值可能為（）

A.72-1B.1C.V2D.2

例題4.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知0為坐標(biāo)原點，向量。4,OB,OC,滿足|。4卜|。⑷=|。4=1,

（OA-OB）（OB-OC）=Ot若|OP|=4,貝IJ|幺+08+PC］的取值范圍是

練透核心考點

1.（2023,全國?高三專題練習(xí)）已知向量〃，。，c?為平面向量，同則=2人=1,且c使得c-2a與ci

所成夾角為60,則口的最大值為（）

A.G+lB.GC.1D.V7+1

2.（多選）（2023秋?廣東?高三校聯(lián)考期末）向量4也c滿足。=M=2，ab=-2,<a-c,b-c>=60°,

則，的值可以是（）

A.3B.6C.4D.275

3.（多選）（2023?遼寧?高二校聯(lián)考開學(xué)考試）向量〃，Ac滿足"=川=1'ab=—；,《-6-4=60。,

則同的值可以是（）

3r

A.3B.-C.2D.V5

4.（2023?安徽阜陽?高三安徽省臨泉第一中學(xué)?？迹┮阎蛄俊?，〃滿足,卜慟=1,且a6=0,若向量c?滿

足F+〃+q=i,則口的最大值為.

方法三：三角不等式法

向量模的三角不等式來求解：Id-M業(yè)回附+比

典型例題

例題1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知，工8c為等邊三角形，A8=2,.A8C所在平面內(nèi)的點。滿足

|AP—A3—4C|=1,卜日的最小值為（）

A.石-1B.2>/2-1C.2\/3-1D.V7-I

例題2.（2023?全國?高三對口高考）設(shè)〃，人為單位向量，若向量c滿足*（〃+/川=|。-可，則同的最

大值是.

練透核心考點

1.（2023?安徽安慶?高一安慶一中校考）已知向量〃，b，d，滿足同=1，忖=2,同=3,OW義W1,若〃.c=O，

則卜一小一。一/l）d的最小值為.

2.（2023?遼寧大連?高一大連二十四中校考）已知向量4,方滿足同=1,慟=3,則慳+可+慳一可的最

小值是，最大值是.

3.（2023?浙江寧波?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量a,b,d滿足卜卜1,|4=3,|*4,0W2W1,若〃工=0,

則的最小值為，最大值為.

方法四：坐標(biāo)法

典型例題

例題1.（2023?四川成都?高一四川省成都市鹽道街中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知邊長為1的正方形A5CD位

于第一象限,且頂點A,。分別在x,y的正半軸上（含原點。）滑動,則|OB+OC|的最大值是（）.

A.1B.2C.3D.M

例題2.（2023?四川資陽?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知向量〃，0c滿足a〃=0,口=1,,-4=卜-。卜日，

則〔力的最大值是.

例題3.（2023?四川宜賓?統(tǒng)考模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點，A的坐標(biāo)為（LO）,點產(chǎn)

為動點，且滿足犒=2,記/sTzOP+lodaeR）,若/（/）的最小值為41m，貝Kn的最大值為

例題4.（2023?貴州銅仁?高一?？茧A段練習(xí)）已知向量〃=（8$晨,5吊。），〃=（1,1）,其中&2,xeR.

（1）當(dāng)％=4時，求。功的取值范圍；

（2）當(dāng)2=】時，求卜+/,的取值范圍.

練透核心考點

1.（2023?安徽合肥?高三安徽省肥東縣第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知平面向量〃，/?,滿足。=（L3）,|b|=l,

則［力的取值范圍是

2.（2023?重慶沙坪壩?高二重慶八中校考）已知平面直角坐標(biāo)系中，向量。=（丁,1）,》=（-2,1+%）.

(1)若a_L〃，求X;

（2）當(dāng)x>0時，求。一切的最小值

x

3.（2023?浙江寧波?高一寧波市北侖中學(xué)?？迹┮阎Ｒ?,為，向量“=（cos。,sin6）,6=（1,0）,與多居是

坐標(biāo)平面上的三點，使得。鳥=2［?！兑?。6問，0P,=2［0Pz-（b0P2）b

⑴若。=］，匕的坐標(biāo)為（20,21）,求。勺；

⑵若心母：，|。同=6,求口叫的最大值.

4.(2023?安徽宣城?高一?？茧A段練習(xí))已知向量。=(1,6),8=(-2,0).

(1)求的坐標(biāo)以及與〃之間的夾角：

(2)當(dāng)，目-1』時，求卜一叫的取值范圍.

方法五：轉(zhuǎn)化法

典型例題

例題L(2023?山東泰安?高三新泰市第一中學(xué)校考)已知向量a,。滿足忖=1,|〃卜2,?./7=0,

若向量d滿足,+匕-2c|=l,則/的取值范圍是()

A.[Ux/5-l]

2，

\y/5-\石+175+15

2’5

例題2.(2023?陜西西安?高一陜西師大附中?？?已知向量〃，加C，滿足卜|=4,a與/，的夾角為

c-(c-a)=-3f貝的最小值為()

3

A.273+2B.x/3--C.V3+1D.癢1

例題3.(2023?湖南永州-高一永州市第一中學(xué)?？?己知平面向量”也。滿足忖=2,卜”小=4,

(1卜卜+〃)=-3,貝!|卜的最小值為()

A.>/2—1B.———1C.\/5—2D.V7—2

2

例題4(2023?廣東?高三統(tǒng)考階段練習(xí))若向量a=*,2),方=(-3,y),c=(-1,-2),且(￡-￡)_!.(He),

則Ia-”的最小值為.

練透核心考點

1.（2023?浙江杭州?高一校聯(lián)考）已知平面向量a,〃，且悶=W=2,〃?〃2,向量c滿足卜-2〃-2可=卜-可，

貝川c-4^（/1eR）的最小值為（）

A.2x/2-2B.26-2C.26+2D.2G

2.（2023秋?安徽銅陵?高三銅陵一中校聯(lián)考階段練習(xí)）己知之“，了，:G是平面向量，；V與二C<是單位向量，且

:11向量^滿足4/_8；1+3=0,則當(dāng)辦的最大值與最小值之和是（）

A.242B.2GC.4D.2石

3.（2023?全國?高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知平面向量〃，8滿足,卜+耳=4,

則w的取值范圍是（）

A.〔20,6]B.[2,2碼C.[2,6]D.[1,2網(wǎng)

4.（2023?浙江舟山?高三舟山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）己知平面向量a，b，c，滿足忖=忖=2,?與5的夾角

為60,且J—2a-c+3=0，則的最小值為（）

A.V3-1B.1

C.>/3D.273-1

高頻考點三：平面向量數(shù)量積最值（或范圍）問題

方法一：定義法

典型例題

例題1.（2023春?湖南?高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，正方形ABC。的邊長為2,圓A半徑為1,點P在

圓A上運動，則BP./?。的取值范圍是（）

A.[2,6]B.[2夜,6C.[4-272,4+272]D.[2,2夜]

例題2.（2023春紅蘇南京福一金陵中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，ABC中，”為AB中點，A4=5,CM=3,EF

為圓心為C、半徑為1的圓的動直徑，則3￡八F的取值范圍是.

c

例題3.（2023春?重慶?高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABOC中，CBCD=O,且2。。=6,

若A8=AC=2,則AC的最大值為.

練透核心考點

ULUUIUU

1.（2023?全國?高一專題練習(xí)）在.工3。中，已知3=30。，b=\,則ABAC的最小值為（）

2.（2023?全國?高一專題練習(xí)）四邊形/WCO中，A3=4,Z4=Z?=60°,/。=150。，則D4.QC的最

小值為（）

B.-V3D.-3

3.（2023春?安徽淮北?高一淮北一中校考階段練習(xí)）如圖所示，扇形408的弧的中點為M,動點CD分

別在OAO"上（包括端點），且。04=2,408=120”，則MCMO的取值范圍.

D

OC%

4.（2023春?江蘇宿遷?高一?？茧A段練習(xí)）在認(rèn)8c中，A4=7l8C=2,/3=15（）,點。是AC邊上的一

點（包括端點），點M是4C的內(nèi)點，則8M?80的取值范圍是.

5.（2023?全國?高一專題練習(xí)）在如圖所示的平面圖形中，CM=1,CN=2,BM=2MA.CN=2NA,3R：

（1）設(shè)BC=xOM+yON,求*+了的值；

⑵若OM〃CN且NMON心闈，求.AC的最小值.

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方法二：向量數(shù)量積幾何意義法

典型例題

例題1.（2023?遼寧沈陽?高一沈陽市第三十一中學(xué)校聯(lián)考）《易經(jīng)》是闡述天地世間關(guān)于萬象變化的

古老經(jīng)典，如圖所示的是《易經(jīng)》中記載的幾何圖形——八卦圖.圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表

陰陽太極圖，其余八塊面積相等的圖形代表八卦田.已知正八邊形A8C￡）￡/『G〃的邊長為28，點P是正

八邊形ABCDEFGH邊上的一點,則的最大值是（）

A.4人B.8-46C.8+4啦D.4+272

例題2.（2023?上海普陀?高三曹楊二中?？茧A段練習(xí)）如圖，P為/4C外接圓。上一個動點，若C4=1,

CB=g,ZAC^=150°,則的最大值.

例題3.（2023?湖南衡陽-高一統(tǒng)考）剪紙藝術(shù)是一種中國傳統(tǒng)的民間工藝，它源遠流長，經(jīng)久不衰，

已成為世界藝術(shù)寶庫中的一種珍藏.某學(xué)校為了豐富學(xué)生的課外活動，組織了剪紙比賽，小明同學(xué)在觀看

了2022年北京冬奧會的節(jié)目《雪花》之后，被舞臺上一片片漂亮的“雪花”所吸引，決定用作品“雪花”

參加剪紙比賽.小明的參賽作品“雪花”如圖1所示，它的平面圖可簡化為圖2的平面圖形，該平面圖形

既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，其中，P為該平面圖形上的一個動點（含邊界），六邊形ABCDEF

為正六邊形，DC=4CK=4JK=8,CK1.JK,/為等邊三角形，則A8AP的最大值為

練透核心考點

1.（2023?海南?高一統(tǒng)考）在直角坐標(biāo)系宜為中,已知點A（T,0）,4（1,0）,C（fl）,動點尸滿足以.PB=0,

則COV尸的取值范圍是.

y

2.（2023?上海浦東新?高一上海市建平中學(xué)?？迹┮阎矫嫔蟽啥cA、8滿足43=4,動點P、。分別滿

足4/）=1,8。=2,則從2?4。的取值范圍是___.

3.（2023?廣東深圳?高一福田外國語高中?？迹┤鐖D，邊長為2的正三角形A8C的邊AC落在直線/上，

AC中點與定點。重合，頂點3與定點。重合.將正三角形44C沿直線/順時針滾動，即先以頂點C為旋轉(zhuǎn)

中心順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)頂點B落在/上，再以頂點B為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)，如此繼續(xù).當(dāng)ABC滾動到A4G

時，頂點8運動軌跡的長度為；在滾動過程中，OZhO"的取值范圍為.

方法三：坐標(biāo)法（自主建系法）

典型例題

例題1.（2023?天津?校聯(lián)考一模）如圖所示，梯形A8CO中，點E為A8的中點，弘-8C=0,

BDBA=BDAD=4f若向量CE在向量CB上的投影向量的模為％設(shè)M、N分別為線段CD、八/）上的

動點，且CM=/tC￡>,AN=-ADt貝ljEMEN的取值范圍是（）

例題2.（2023?河南新鄉(xiāng)-統(tǒng)考二模）剪紙是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一,剪紙時常會沿著紙的某條

對稱軸對折.將一張紙片先左右折疊，再上下折疊，然后沿半圓弧虛線裁剪，展開得到最后的圖形，若正

方形A8CO的邊長為2,點P在四段圓弧上運動，則A3的取值范圍為（）

?f--E312fz

!A

A.[-1,3]B.[-2,6]C.[-3,9]D.[-16]

例題3.（2023春?江蘇南京?高一南京市中華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面四邊形48CO中,

ZCDA=NCBA=90°,NBAD=120°,AB=AD=1,若點E為CO邊上的動點,則AE-BE的最小值為

例題4.（2023春?江蘇常州?高一校聯(lián)考階段練習(xí)）窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳

統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個正八邊形窗花隔斷，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖.如圖2,

正八邊形ABCQEFG”中，若4E=/MC+〃4產(chǎn)a,〃eR）,則義+〃的值為；若正八邊形

ABCDEFGH的邊長為2,P是正八邊形ABC。瓦G”八條邊上的動點，則APA8的最小值為.

E

AB

圖2

練透核心考點

1.（2023?北京東城?統(tǒng)考一模）已知正方形4BCO的邊長為2,尸為正方形ABC。內(nèi)部（不含邊界）的動點,

且滿足PAP3=0，則CPQP的取值范圍是（）

A.（0,8]B.[0,8）C.（0,4]D.[0,4）

2.（2023?河南開封?統(tǒng)考二模）已知等邊以8c的邊長為右，P為所在平面內(nèi)的動點，且|PA|=1,

則P8?尸C的取值范圍是（）

「391F11111一i門ri

A.[-5引句C.R4]D.[L7]

3.（2023春?湖南長沙?高一長沙一中校考階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABC。中，23=60。,A8=3,8C=6,

^,AD=ABC.ADAB=--.

2

⑵若M是線段3c上的動點，求OM4C的取值范圍.

方法四：積化恒等式法

典型例題

例題1.（2023春?河北衡水?高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在ABC中，A=90°,A8=4,AC=45/3,

P,。是平面上的動點，AP=AQ=PQ=2,M是邊3C上的一點，則MPMQ的最小值為（）

A.1B.2C.3D.4

例題2.（2023?全國?模擬預(yù)測）如圖所示，AA8C是邊長為8的等邊三角形，點尸為AC邊上的一個

動點，長度為6的線段環(huán)的中點為點B,則PE.尸產(chǎn)的取值范圍是.

練透核心考點

1.（2023?全國?模擬預(yù)測）在邊長為2的等邊三角形A8c中，M為邊AC上的動點，則8例CM的最小值

是（）

1111

A.——B.——C.——D.——

2345

2.（2023春?浙江寧波?高一余姚中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在三角形48C中，A=],AA=6,AC=4,。是A8的中

點.

⑴求CQ在4c上的投影向量；

⑵若「4=1,求的取值范圍.

第06講拓展一：平面向量的拓展應(yīng)用（精講）

目錄

第一部分:典型例題剖析..............................................2

高頻考點一：平面向量夾角為銳角（或鈍角）問題....................2

角度L兩個向量所成角為銳角...................................2

角度2：兩個向量所成角為鈍角...................................3

高頻考點二；平面向量模的最值（或范圍）問題......................4

方法一：定義法................................................4

方法二：幾何法................................................5

方法三：三角不等式法..........................................7

方法四：坐標(biāo)法................................................7

方法五：轉(zhuǎn)化法................................................9

高頻考點三：平面向量數(shù)量積最值（或范圍）問題...................10

方法一：定義法...............................................10

方法二：向量數(shù)量積幾何意義法.................................12

方法三：坐標(biāo)法（自主建系法）.................................14

方法四：積化恒等式法.........................................16

第一部分：典型例題剖析

高頻考點一：平面向量夾角為銳角（或鈍角）問題

角度1：兩個向量所成角為銳角

典型例題

例題1.（多選）（2023春軻南南一河南省實驗中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)向量4=（2?力=（64）

若4與人的夾角為銳角，則實數(shù)/的值可能是()

A.-5B.3C.6D.9

【答案】BC

ab12+3/八

H=砸[=一由—則12+3〉?！埂?

當(dāng)a與力同向時，，=9,由于a與匕的夾角為銳角，則，〉Y且/工9

故選；BC

例題2.(2023春-新疆烏魯木齊?高一烏魯木齊市第70中?？茧A段練習(xí))已知平面向量

6/=(l,x),/?=(2x+3,-x),xeR.

⑴若dJ.b,求,一同；

(2)若。與〃的夾角為銳角，求x的取值范圍.

【答案】⑴2或10

(2){-l,O)U(O,3)

【詳解】(1):.d〃=2x+3-3=0,解得：x=-l或x=3,

當(dāng)戶一1時，a-0=(0,-2),:.\a-b\=yl()2+(-2)2=2：

當(dāng)K=3時，a-b=(-8,6),|?-^|=>/(-8)2+62=10；

綜上所述：卜-耳=2或10

(2)若內(nèi)〃共線，貝i」—x=x(2x+3),解得：x=0或工=一2,

當(dāng)％=。時，6/=(1,0),Z?=(3,0),此時〃，〃同向；

當(dāng)了=一2時，。=(1,一2),Z;=(-1,2),此時a,5反向；

,若〃與A的夾角為銳角，則卜72%+3-廠>0,解得：T<x<3且XH0,

??,x的取值范圍為(TO)(0,3).

例題3.(2023春?山西運城?高一康杰中學(xué)?？茧A段煉習(xí))已知：〃、/,是同一平面內(nèi)的

兩個向量，其中a=(1,2),

⑴若。與〃+筋的夾角為銳角，求實數(shù)4的取值范圍；

⑵求〃+在〃上投影向量.

【答案】(l)[-|，0)D(0，+8)；

【詳解】（1）,.?〃=（1,2）力=（1,1）,「.〃+勸=（/1+1,4+2）,

又。與"勸的夾角為銳角，勸）＞。且。與"勸不平行，

2+1+2（/1+2）＞0

■＜A+2-2（/l+l）^0，

解得％且九二0，

二?實數(shù)4的取值范圍是卜*0）50,+8）.

（2）由題得々+〃=（2,3）,（〃+〃）.4=2+6=8,同=爐方=后

..,.....（a+b]-a8（816、

a+〃在。上的投影向量為----/—Q'

\af5\55）

練透核心考點

1.（2023春?湖北一|堰?高一校考階段練習(xí)）若向量1-（1,2）與〃=（/-1,水）的夾角為銳角，則

/的取值范圍為

【答案】（；，4）U（4,+8）

【詳解】根據(jù)題意，向量〃=（1，2）與b=（一1,|/）的夾角為銳角，則〃力＞0且。、〃不共線,

（r-l）+3r＞0

即3/，解可得/且C4,

2（一七4

則/的取值范圍為（；，4）J（4,y）.

（\\

故答案為：14U（4,-KX）

2.（2023春?廣東廣州?高一廣州市真光中學(xué)校考階段練習(xí)）已知向量）=（1,2）,〃二（⑺

（reR）.

⑴若（。+份||（。一6）,求/的值；

（2）若/=1,a與〃+〃彷的夾角為銳角，求實數(shù)機的取值范圍.

【答案】（1）/=2

（2）f-|,olu（O,+x））

【詳解】(1)由題可知。+“(1,2)+(1#=(2,2+/),

67-Z?=(l,2)-(1,r)=(0,2-f)

?l-(a+b)l^a-b),

2(2—t)=0,/=2.

(2)若/=1,則)=(1,1),a+mb=(\+m,2+m),

a與a+mb的夾角為銳角,

+〃活)>0,且°與〃+〃必不共線,

1+/??+2(2+m)>05

[2。+〃?2+〃，，解得…尹"。，

..m的取值范圍是=(0,+oo).

3.(2023春?山東濱州?高一校考階段練習(xí))(1)已知，=(6,3),力=(-2,0),求向量〃在

〃上的投影向量的坐標(biāo).

(2)已知。=(1,3),力=(42),若a,〃的夾角為銳角，求4的取值范圍.

【答案】⑴當(dāng);(2)T，+00)

【詳解】(1)由題意可得："=Gx(—2)+3x0=-26向=J(可+32=26，

向量〃在。方向上的投影向量為：

rr'

rr山(即

/cos/0rH酈rhhr_2石「5/3r(1⑸;

同|?|\af126122J

(2)因為a,〃的夾角為銳角，所以］：=|x/l+3x2=/l+6>0，解得：兄>-6,

2

又當(dāng)。與力共線時，可得：1x2=32,解得：A=j,

r/212r.

此時力=-,2=-?,此時。與/，同向，需排除，

IJ)J

所以4的取值范圍是：2ef-6,1luf|,+a)l

角度2：兩個向量所成角為鈍角

典型例題

例題1.(2023春?江蘇常州?高二校聯(lián)考階段練習(xí))若。=(-l,x+l,x),力=(2—爸0,3),

且4與〃的夾角為鈍角，則、的取值范圍是()

A.18,：B.g.”)C.(-8,T)U(T；D.U(3,+oo)

【答案】C

【詳解】因為。=(—l,x+l,力，8=(2-％0,3),

-1=4(2--￥)x=-\

令。與6共線，則3="，即(―1?+1/)=處2-乂0,3),即卜+1=0解得＜1.

A=——

x=323

此時。=(一1,0,-1),〃=(3,0,3),即右=一3々，a與力反向，

又“與力的夾角為鈍角，

所以a小<0且a與〃不反向共線，

即-(2-x)+3x<0且XH-1,

解得且

故選：C

例題2.(2023春?寧夏?高一六盤山高級中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知。=(1,2)為=(-4/),

則向量。與向量5的夾角為鈍角時/的取值范圍是.

【答案】/<2且8

【詳解】因為a=(l,2),〃=(T"),向量a與向量匕的夾角為鈍角

,a-b.,?

則cos〃，〃=麗p(T，。)，所以a.〃=(l,2>(T」)=T+2/<0,且向量d與向量〃不共線，

即〃。M,

解得f<2且，工一8.

故答案為：/<2且/#—8.

例題3.(2023婀南南陽?高三南陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)圮知。=(x-5,-2x-1),人=(3+2工,2),

且a與〃的夾角為鈍角，則x的取值范圍是.

［，…］(11-7^-5+屈1J-5+屈11+7257^

。非［4'4廠［4'4,

【詳解】因為“與〃的夾角為鈍角，

所以cos(a,b)=(x-5)(3+2x)+2(-2x-l)<0=>——'<x<"+，

當(dāng)：與I的夾角為平角時,則有(％-5,%-1)=〃3+2屈2)(><0),

x-5=A(3+2x].、,c八八-5±V53

則有'-2x-1=2%=2(x-5)=(3+2x)(-2.1)nx=，因為7v0,

4

所以.三叵

"ll-x/257-5+453「5+屈11+V257"|

所以x的取值范圍是

4444

(11-V257-5+而]]-5+屈H+A/257^

故答案為:

I4444

練透核心考點

1.（2023春?江蘇?高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知d=（x,l）,〃=（2,2x+3）,若的夾角為鈍

角，則x的取值范圍為（）

3(c3]

A.—,+COB.-2,——

4<4,

3-2.用U-卻8

C.—oo,—D.

4I4

【答案】B

ab

【詳解】??4〃夾角為鈍角，，8sva/>=<°且“，力不共線,

\a\]h\

3

即a/?=4x+3<0且x(2x+3)工2,解得：x<--

?r的取值范圍為（2,-2?卜2,一\）.

故選:B.

2.（2023春?天津和平?高一?？茧A段練習(xí)）已知a=（1,-1）,〃=（41）,若-與。的夾角。為鈍

角，則實數(shù)2的取值范圍為

【答案】2<1且

【詳解】若.與〃的夾角a為鈍角,

則q.A<0,且a與〃不共餞，

A-l<0

即《1X1工-1X/T"“<LT,

故答案為：義<1且義工—1.

3.（2023春?江蘇徐州?高一?？茧A段練習(xí)）已知向量。=（2f,2）,力若向量°

與向量〃+力的夾角為鈍角，則實數(shù)t的取值范圍為

【答案】｛"T</<3且V》

【詳解】由題意得。-2,-3）,

向最a與向員a+b的夾角為飩角，即“?（“+〃）<0,且向吊：Q與向吊a+〃不共線，

則2?，-2）-6<0,且-6f-2（f-2）w0,

故J-2r-3<0,且七工，

2

解得日.舊，

故答案為：｛"T</<3且

高頻考點二：平面向量模的最值（或范圍）問題

方法一：定義法

典型例題

例題1.（2023?浙江?模擬預(yù)測）已知在三角形A8C中，AB=3,AC=Z44=60。，點

M,N分別為邊AB,AC上的動點，AM=r4B,/lN=yAC,其中,1,），>0,1+），=1,點尸，

。分別為MV,8C的中點，貝IJIPQI的最小值為（）

A歷B.逑IN/19

A?------Rv?------D.叵

141442

【答案】B

?,堊,n八,c,AB+ACAM+AN1—,v._1—y.1—x_x,

【詳解】PQ=AQ-AP=------------------=——AB+--AC=——AB+-AC，

222222

則PQ2=比與AB2+—AC2+A（1-A）ABAC,

442

2—2.

而A歹=9,AU=4,A8AC=3X2X-=3,

2

c79

/.PQ=-X2-3X+^（0<A:<1）,

7o6

而y~~x-3%+：的對稱軸為xe（0,1）,

447

故當(dāng)x時，|PQ『=2」產(chǎn)0|=延1,

7I^Imm