高等代數(shù)在抽象代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

摘要高等代數(shù)為抽象代數(shù)教學(xué)提供了很多模型和例子，本文從

變換、等價關(guān)系、群、環(huán)、域、零因子和環(huán)上的運算規(guī)律等方面具體

闡述如何在抽象代數(shù)教學(xué)中應(yīng)用高等代數(shù)知識.

關(guān)鍵詞抽象代數(shù)；高等代數(shù)；數(shù)學(xué)專業(yè)

中圖分類號G642文獻標(biāo)識碼A文章編號1000-2537(2015)

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高等代數(shù)是數(shù)學(xué)專業(yè)一門重要的基礎(chǔ)課程，為學(xué)生學(xué)習(xí)抽象代數(shù)

提供了必要的基礎(chǔ)口-4］.抽象代數(shù)是數(shù)學(xué)專業(yè)的必修課程，是對高等

代數(shù)中出現(xiàn)的數(shù)域、多項式等概念進一步抽象概括，是高等代數(shù)的繼

續(xù)和高度抽象化［5-8］.因此，高等代數(shù)為抽象代數(shù)提供了很多具體的

模型.

高等代數(shù)和抽象代數(shù)聯(lián)系緊密，但鮮有學(xué)生能領(lǐng)悟到它們之間的

關(guān)系.學(xué)生普遍認為，高等代數(shù)比較容易接受和理解，抽象代數(shù)難以

理解［9-13］.作為一名教師，要利用學(xué)生熟知的高等代數(shù)知識引入定

義或設(shè)為例子，使學(xué)生接受“抽象代數(shù)知識來源于熟悉的模型”這一

觀念.本文將從以下知識點入手，探討如何在抽象代數(shù)教學(xué)中應(yīng)用高

等代數(shù)知識.

1“變換”概念的鞏固

一個集合A到A的映射稱為A上的一個變換.教材［8］首先給出變

換的定義，隨之給出3個簡單例子，學(xué)生基本上能掌握這個概念.但

是教材［8］中沒有適合學(xué)生做的課后習(xí)題，為了鞏固學(xué)生所學(xué)的知識,

可布置這樣一道課后習(xí)題：高等代數(shù)書［4］中也有“變換”和“線性

變換”這兩個概念，請同學(xué)們分析［4］中的變換和這里的變換有什么

關(guān)系.到下次上課前，先幫助學(xué)生溫習(xí)變換的概念，冉檢查其課后作

業(yè)，最后總結(jié)：高等代數(shù)中所提到的變換是某個線性空間到自身的映

射，線性變換是線性空間上的變換并保線性性，而抽象代數(shù)中的變換

是指任何集合到自身的映射.

2“等價關(guān)系”概念的引入

等價關(guān)系是集合A上的一個關(guān)系，并滿足自反性，對稱性和傳遞

性.在教材［8］中，作者先給出關(guān)系的概念和一個關(guān)系(不是等價關(guān)系)

的例子，再直接給出等價關(guān)系的概念.如果引入不當(dāng)，學(xué)生比較難以

接受等價關(guān)系這一概念.事實上，等價關(guān)系的例子在高等代數(shù)書中很

多，可信手拈來.因此，可以提前布置學(xué)生去復(fù)習(xí)高等代數(shù)中的矩陣

“合同”和“相似”等概念，看這些概念具有什么共性.在講述“等

價關(guān)系”之前，先給出實數(shù)集R上的nXn階矩陣集合Mn(R),并分

別給出該集合上的“合同”和“相似”等關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)它們不

僅是Mn(R)上的關(guān)系，并且都具有自反性、對稱性和傳遞性，然后

自然地引出“等價關(guān)系”的概念.學(xué)生恍然大悟：原來等價關(guān)系并不

陌生，在高等代數(shù)中已經(jīng)接觸過.如果要進一步鞏固該內(nèi)容，還可以

引導(dǎo)學(xué)生分析Mn(R)上的矩陣秩相同關(guān)系，整數(shù)集Z上的模4同余

關(guān)系等，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)來自于高等代數(shù)的某些例子也是等價關(guān)系.

3群、環(huán)和域概念的處理

在教材［8］中，作者給出群的第一定義和第二定義，并證明了這

兩個定義的等價性.課堂上先給出第一定義，并引導(dǎo)學(xué)生理解Z關(guān)于

普通加法，非零整數(shù)集合關(guān)于普通乘法按照第一定義都是群，接著由

第一定義推導(dǎo)出第二定義，由第二定義乂推導(dǎo)出第三定義：一個非空

集合G,對于其上的一個運算滿足封閉性，滿足結(jié)合律，存在一個單

位元，每個元素都有逆元，則G關(guān)于該運算是群，由第三定義推導(dǎo)出

第一定義，這樣即證明了三個定義的等價怛，并將重點放在第三定義.

有了第三定義后，提問：Mn(R)關(guān)于矩陣加法是群嗎？Mn(R)中的

可逆矩陣集合關(guān)于矩陣乘法是群嗎？同時:讓學(xué)生翻閱教材［4］中關(guān)

于矩陣加法和矩陣乘法的定義及性質(zhì)，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)：Mn(R)關(guān)于矩

陣加法滿足封閉性與結(jié)合律，零矩陣是單位元，每個矩陣的逆元是其

負矩陣，因此Mn(R)關(guān)于矩陣加法是群；Mn(R)中的可逆矩陣集

合關(guān)于矩陣乘法也構(gòu)成群.進一步，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：矩陣加法滿足交

換律，因此Mn(R)關(guān)于矩陣加法是交換群；而矩陣乘法不滿足交換

律，因此Mn(R)中的可逆矩陣集合關(guān)于矩陣乘法不是交換群.接著，

再告訴學(xué)生：高等代數(shù)中還有很多群的例子，請同學(xué)們把這些例子全

部找出來.學(xué)生通過總結(jié)，找出了一元實系數(shù)多項式集合R［X］關(guān)于多

項式加法是群、實數(shù)集R上的n維行(列)向量的全體關(guān)于向量加法

構(gòu)成群等.

可類似地處理環(huán)和域概念的講解與鞏固，這樣不僅促使學(xué)生去復(fù)

習(xí)高等代數(shù)知識，讓學(xué)生深刻領(lǐng)悟到：群、環(huán)和域等概念是對高等代

數(shù)中出現(xiàn)的數(shù)域、多項式、矩陣和線性空間等概念的進一步抽象概括,

也讓學(xué)生逐漸意識到抽象代數(shù)并不是那么油象，抽象代數(shù)的模型是現(xiàn)

實中有例可循的，更增強了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)積極性.

4零因子

零因子對學(xué)生來說是個全新的概念，教材［8］中先給出了整數(shù)模

n的剩余類環(huán)Zn的例子：當(dāng)n是合數(shù)時，存在兩個不是零元的元素

相乘卻是零元,接著給出了零因子的概念:在一個環(huán)里,aWO,bWO,

但ab=0,則稱a是這個環(huán)的一個左零因子，b是一個右零因子，若一

個元素既是左零因子又是右零因子，則稱其為零因子，最后還舉了一

個比較抽象的例子和一個比較泛的矩陣環(huán)的例子,雖然Zn在抽象代

數(shù)中經(jīng)常出現(xiàn)，但是畢竟該環(huán)是通過模n取余運算構(gòu)成的環(huán)，該運算

跟學(xué)生以前學(xué)過的運算有很大的區(qū)別，對學(xué)生來說仍具有一定的抽象

性，而書上列舉的矩陣環(huán)的例子只說該環(huán)有零因子，并沒有列舉具體

的零因子.如果完全按教材的編排按部就班地講解，學(xué)生很容易忘記.

這時，不妨引導(dǎo)學(xué)生回想：Mn(R)中兩個非零的矩陣相乘會是零矩

陣嗎？大部分學(xué)生知道這是可能發(fā)生的，但是還有少數(shù)學(xué)生可能忘記

相應(yīng)的高等代數(shù)知識了，這時給出如下例子.

通過該例告訴學(xué)生A是環(huán)S的左零因子而B是環(huán)S的右零因子，

這樣學(xué)生基本上知道零因子這個概念了.接著，再提問：“一個環(huán)上

的左(右)零因子是零元嗎？一個環(huán)內(nèi)的左零因子一定是右零因子嗎?

一個環(huán)內(nèi)的右零因子一定是左零因子嗎？”可繼續(xù)利用例1,讓學(xué)生

在環(huán)S里面找個矩陣C使得BC=02X2,學(xué)生通過簡單的計算發(fā)現(xiàn)C

必須為零矩陣，所以B是環(huán)S的右零因子但不是環(huán)S的左零因子，也

就是說一個環(huán)內(nèi)的右零因子并不一定是左零因子，反之，一個環(huán)內(nèi)的

左零因子并不一定是右零因子，再進一步強調(diào)一個環(huán)上的左(右)零

因子一定不是零元.

通過例1的講解，學(xué)生對零因子已經(jīng)不陌生了，這時采用啟發(fā)式

教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生去解答：一個環(huán)里面哪些元可能是零因子，哪些元一

定不是零因子.先給出如下例子.

例2環(huán)Mn(R)中的可逆矩陣是零因子嗎？

學(xué)生通過計算發(fā)現(xiàn)，可逆矩陣不是環(huán)Mn(R)的零因子，好奇的

學(xué)生自然會問：為什么會出現(xiàn)這種情況呢？不妨適時地提醒學(xué)生：可

逆矩陣是環(huán)Mn(R)中具有逆元的元素，是不是只要有逆，這個元素

就一定不可能是左(或右)零因子呢？一些學(xué)生可能還持懷疑態(tài)度,

給出下面的結(jié)論：

結(jié)論1設(shè)a在環(huán)R中有逆元a-1,則a一定不是環(huán)R的左(或右)

零因子.

下面證明這個結(jié)論：設(shè)b￡R使得ab=O,則a-1ab=a-10=0b=0,

則a不是環(huán)R的左零因子，同理a不是環(huán)R的右零因子.

通過前面的教學(xué)，學(xué)生對零因子這個概念已經(jīng)有了深刻的理解,

但還有可挖掘的內(nèi)容，學(xué)生暫時想不到，但是只要一個提問，學(xué)生就

能自己找到新的結(jié)論，所以進一步提問：下列陳述對嗎？

環(huán)內(nèi)有左零因子環(huán)內(nèi)有右零因子；

環(huán)內(nèi)有右零因子環(huán)內(nèi)一定有左零因子.

利用例2,還可以啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)零因子與消去律的關(guān)系，讓學(xué)生

真正掌握零因子這一概念的內(nèi)涵與外延.

5環(huán)上的運算規(guī)律

在環(huán)上有兩種運算：一種稱為加法；另一種稱做乘法.當(dāng)然這些

加法和乘法并不一定是普通的加法和乘法，關(guān)十加法構(gòu)成交換群，關(guān)

于乘法滿足結(jié)合律云口封閉性，這兩種運算通過分配律聯(lián)系起來.對應(yīng)

地，有一些環(huán)內(nèi)的運算規(guī)律，這些運算規(guī)則繁多，學(xué)生一下子難以理

解和消化，不妨采用列表的方式將環(huán)內(nèi)的運算規(guī)律和Mn(R)上的矩

陣運算規(guī)律加以比較，見表1.通過表1的比較，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：環(huán)內(nèi)的

運算規(guī)律和Mn(R)上的矩陣運算規(guī)律類似，因為學(xué)生已經(jīng)熟悉Mn

(R)上的運算規(guī)律，學(xué)生可以利用表1的比較來加深對環(huán)內(nèi)的運算

法則的理解.

總之，高等代數(shù)為抽象代數(shù)提供了很多例子，作為一名教師，利

用好這兩門課程之間的關(guān)系，架構(gòu)從高等代數(shù)到抽象代數(shù)的橋梁，能

夠幫助學(xué)生跨越從高等代數(shù)到抽象代數(shù)的鴻溝.

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