PAGE1專題24.1.2垂直于弦的直徑（八大題型提分練）類型一、垂徑定理的認識1．（22-23江蘇鹽城·階段練習）下列說法正確的是（）A．弧長相等的弧一定是等弧 B．所對圓心角相等的弧是等弧C．同弧或等弧所對的圓周角相等 D．平分弦的直徑必垂直于弦2．（23-24九年級上·重慶九龍坡·階段練習）下列說法正確的個數(shù)有（

）①相等的弦所對的圓心角相等；②平分弦的直徑垂直于這條弦；③直徑所對的弧是半圓；④圓是軸對稱圖形，其對稱軸有無數(shù)條，對稱軸是圓的直徑．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．（23-24九年級上·江蘇南通·期中）如圖，是的直徑，是弦，，垂足為M，則下列結(jié)論中錯誤的是（

）A． B． C． D．類型二、用垂徑定理計算線段的長4．（23-24九年級下·四川達州·階段練習）如圖，是的直徑，弦于點E，，，則（

）A．6 B． C．9 D．125．（23-24九年級上·安徽淮北·期末）如圖，的半徑為3，圓心O到的距離為2，則弦的長為（

）A．2 B． C． D．6．（22-23九年級上·江蘇無錫·期中）如圖，在平面直角坐標系中，以原點O為圓心的圓過點，直線與交于B、C兩點，則弦的長的最小值為（

）A．22 B．24 C．10.5 D．12.5類型三、利用垂徑定理解平行弦的問題7．（九年級上·全國·階段練習）如圖所示，矩形與相交于、、、，若，，，則的長為（）A．2 B．4 C．6 D．88．（九年級上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習）若⊙的半徑為10cm，且兩平行弦，的長分別為12cm，16cm，則兩弦間的距離是(

)A．2cm B．14cm C．2cm或14cm D．6cm或8cm9．（九年級上·安徽淮南·階段練習）如圖，A，B，C，D是⊙O上的四個點，AD∥BC,那么弧AB與弧CD的數(shù)量關(guān)系是（)

A．弧AB=弧CD B．弧AB＞弧CD C．弧AB＜弧CD D．無法確定類型四、用垂徑定理解同心圓的問題10．（九年級上·廣東廣州·期末）如圖，兩個同心圓，大圓的半徑為5，小圓的半徑為3，若大圓的弦AB與小圓有公共點，則弦AB的取值范圍是（）A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤511．（20-21九年級上·山東德州·階段練習）如圖，⊙O1的弦AB是⊙O2的切線，且AB∥O1O2，如果AB＝12cm，那么陰影部分的面積為（

）．A．36πcm2 B．12πcm2 C．8πcm2 D．6πcm212．九年級下·四川成都·期中）在某校校園文化建設(shè)活動中，小彬同學為班級設(shè)計了一個班徽，這個班徽圖案由一對大小相同的較大半圓挖去一對大小相同的較小半圓而得．如圖，若它們的直徑在同一直線上，較大半圓的弦，且與較小半圓相切，AB=4，則班徽圖案的面積為（

）A． B． C． D．類型五、垂徑定理的推論13．（23-24九年級上·山東聊城·階段練習）如圖，的直徑，C是圓O上一點，點D平分，，則弦14．（23-24九年級上·福建廈門·期中）如圖，已知是的弦，點C在上，且，分別連接，并延長，交弦于點D，，，若點E在上，，則的長為．

15．（23-24九年級上·河南信陽·期中）如圖，一圓弧過方格的格點A、B、C，在方格中建立平面直角坐標系，使點A的坐標為，點B的坐標為，則該圓弧所在圓的圓心坐標是．類型六、垂徑定理的應(yīng)用16．（2023·浙江衢州·一模）某品牌太陽能熱水器的實物圖和截面示意圖如圖所示，支架與地面垂直，真空集熱管與地面水平線夾角為，直線與都經(jīng)過水箱截面的圓心O．已知，，則水箱內(nèi)水面寬度為．17．（23-24九年級上·山東濟寧·期末）圓管涵是公路路基排水中常用的涵洞結(jié)構(gòu)類型，它不僅力學性能好，而且構(gòu)造簡單、施工方便．某水平放置的圓管涵圓柱形排水管道的截面是直徑為的圓，如圖所示，若水面寬，求水的最大深度．（精確到0.1）

18．（23-24九年級上·廣東廣州·期中）“兩龍“高速公路是某省高速公路隧道和橋梁最多的路段．如圖，是一個單心圓曲隧道的截面，若路面寬為8米，凈高為8米，求此隧道單心圓的半徑．類型七、垂徑定理的有關(guān)計算與證明19．（2024九年級·全國）如圖，在中，為直徑，弦于點，連接．(1)若，求的直徑；(2)若，求弦與的夾角．20．（23-24九年級上·江蘇無錫·階段練習）（1）如圖1，是的直徑、C、D是上的兩點，若，弧弧．求：①的度數(shù)；②求的度數(shù)；（2）如圖2，的弦垂直平分半徑，若的半徑為4，求弦的長．類型八、垂徑定理與實際應(yīng)用中的方案探究問題21．（23-24九年級上·浙江紹興·期末）利用素材解決：《橋梁的設(shè)計》問題驅(qū)動某地欲修建一座拱橋，橋的底部兩端間的水面寬，稱跨度，橋面最高點到的距離稱拱高，拱橋的輪廓可以設(shè)計成是圓弧型或拋物線型，若修建拱橋的跨度米，拱高米．設(shè)計方案方案一方案二設(shè)計類型圓弧型拋物線型任務(wù)一設(shè)計成圓弧型，求該圓弧所在圓的半徑．設(shè)計成拋物線型，以AB所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸建立坐標系，求橋拱的函數(shù)表達式．任務(wù)二如圖，一艘貨船露出水面部分的橫截面為矩形，測得米，米．請你通過計算說明貨船能否分別順利通過這兩座橋梁．22．（23-24九年級上·江蘇南通·期末）根據(jù)素材解決問題：設(shè)計貨船通過拱橋的方案素材1左圖中有一座圓拱石橋，右圖是其圓形橋拱的示意圖，測得水面寬，拱頂離水面的距離．素材2如圖，一艘貨船露出水面部分的橫截面為矩形，測得，．因水深足夠，貨船可以根據(jù)需要運載貨物．據(jù)調(diào)查，貨船的載重量每增加1噸，則船身下降．問題解決任務(wù)1確定橋拱半徑（1）求圓形橋拱的半徑；任務(wù)2擬定設(shè)計方案（2）根據(jù)圖3狀態(tài)，貨船能否通過圓形拱橋？若能，最多還能卸載多少噸貨物？若不能，至少要增加多少噸貨物才能通過？一、單選題1．（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）已知的半徑為5，弦，M是上一點，且的長為整數(shù)，則點M的位置有（

）A．6個 B．5個 C．4個 D．3個2．（2024·山東臨沂·模擬預(yù)測）春秋時代的名著《墨子非儒下》載：“孔子窮于陳蔡，藜羹不糝”．“糝”在文字上講是用肉作成的湯羹，是臨沂地區(qū)的風味小吃．因其香辣可口、肥而不膩、祛風除寒、開食健胃實為眾人所喜愛，早晨喝糝是臨沂傳統(tǒng)食俗．糝湯做好后會盛入大碗中；如圖②是從正面看到的一個盛糝湯的大碗(圖①)的形狀示意圖．是的一部分，是的中點，連接，與弦交于點，連接，．已知cm，碗深，則的半徑為（

）A．12cm B．13cm C．14cm D．15cm3．（2023·陜西安康·一模）如圖，小穎畫出了一件出土的古代文物碎片示意圖，為求其外圓半徑，連接外圓上的，兩點，并使與文物內(nèi)圓相切于點，已知為文物外圓和內(nèi)圓的圓心，連接并延長交外圓于點，測得，，則該文物的外圓半徑是（

）A． B． C． D．4．（2024·云南·模擬預(yù)測）如圖，是的直徑，是弦且不是直徑，，垂足為E，則下列結(jié)論不一定正確的是（

）

A． B．C． D．5．（24-25九年級上·全國·假期作業(yè)）蘇州園林中的月亮門是中國古典園林住宅中常見的圓弧形洞門（如圖1），因圓形如月而得名．月亮門因其寓意美好且形態(tài)優(yōu)美，被廣泛使用．圖2是小明同學家中的月亮門示意圖，經(jīng)測量，水平跨徑為2.4米，水平木條和鉛錘木條長都為0.4米，點C恰好落在上，則此月亮門的半徑為（）A．2.1米 B．2.0米 C．1.9米 D．1.8米6．（2024·新疆烏魯木齊·模擬預(yù)測）如圖，在半徑為5的圓O中，，是互相垂直的兩條弦，垂足為P，且，則的長為（）A．3 B．4 C． D．二、填空題7．（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）已知在半徑為4的中，弦，點P在圓上，則的度數(shù)為．8．（2024·內(nèi)蒙古通遼·模擬預(yù)測）如圖是一個隧道的橫截圖，它的形狀是以點O為圓心的一部分，如果M是中弦的中點，經(jīng)過圓心O交于點E，若，則⊙O的半徑為m．9．（2024·山東棗莊·模擬預(yù)測）如圖，一個底部呈球形的燒瓶，弦長為cm，瓶內(nèi)液體的最大深度，則截面圓中液體的面積為．10．（2024·寧夏吳忠·模擬預(yù)測）一次綜合實踐主題為：只用一張矩形紙條和刻度尺，測量一次性紙杯杯口的直徑．小明同學所在的學習小組設(shè)計了如下方法：如圖，將紙條拉直并緊貼杯口，紙條的上下邊沿分別與杯口相交于A、B、C、D四點，然后利用刻度尺量得該紙條的寬為，，．請你根據(jù)上述數(shù)據(jù)計算紙杯的直徑是．三、解答題11．（2024·安徽馬鞍山·一模）如圖，在中，、為弦，為直徑，于E，于F，與相交于G．(1)求證：；(2)若，，求的半徑．12．（23-24九年級上·江蘇連云港·階段練習）如圖所示：殘缺的圓形輪片上，弦AB的垂直平分線CD交圓形輪片于點C，垂足為D，解答下列問題：(1)用尺規(guī)作圖找出圓形輪片的圓心O的位置，并將圓形輪片所在的圓補全；（要求：保留所有的作圖痕跡，不寫作法）(2)若弦，，求殘缺圓形輪片所在圓半徑r．13．（24-25九年級上·全國·假期作業(yè)）如圖，點A、B是上兩點，，點P是上的動點（與A、B不重合），連接、，過點O分別作于E，于F，求的長．14．（2024·河南信陽·一模）河南是全國重要的文物大省，地下文物全國第一，地上文物全國第二．“以銅為鑒，可以正衣冠”．銅鏡，是我國古代人民勤勞和智慧的結(jié)晶．如圖是一個銅鏡的殘片，文物修復(fù)專家準備用現(xiàn)代高科技手段將其復(fù)原，使得“破鏡重圓”．文物修復(fù)專家量得銅鏡殘片上最大的弦的長為，銅鏡上的點到弦的最大距離為．(1)請你用尺規(guī)作圖的方法，幫助文物修復(fù)專家找出銅鏡所在圓的圓心（簡要說明作圖思路，不寫具體作法，保留作圖痕跡）；(2)請你幫助文物修復(fù)專家求出銅鏡所在圓的半徑．15．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測）根據(jù)背景素材，探索解決問題．測算石拱橋拱圈的半徑素材1某數(shù)學興趣小組測算一座石拱橋拱圈的半徑（如圖1），石拱橋由側(cè)面為矩形的花崗巖疊砌而成，上、下的花崗巖錯縫連接（花崗巖的各個頂點落在上、下花崗巖相應(yīng)邊的中點，如圖2）．

素材2通過觀察發(fā)現(xiàn)A，B，C三個點都在拱圈上，A是拱圈的最高點（不在花崗巖的頂點處），B，C兩個點都是花崗巖的頂點（如圖3）．

素材3如果沒有帶測量工具，可以用身體上的“尺子”來測，比如前臂長（包括手掌、手指）（如圖4），利用該方法測得一塊花崗巖的長和高（如圖5）．

解決問題任務(wù)1獲取數(shù)據(jù)通過觀察計算，得到B，C兩點之間的水平距離為肘，鉛垂距離（高度差）為肘．任務(wù)2分析計算通過觀察、計算，得到石拱橋拱圈的半徑為肘．任務(wù)3預(yù)測判斷若水平面位于點C處，一艘寬6肘，水面之上的高為7肘的貨船是否能順利通過此石拱橋？請說明理由．注：在測量、計算時，都以“肘”為單位．專題24.1.2垂直于弦的直徑（八大題型提分練）類型一、垂徑定理的認識1．（22-23·江蘇鹽城·階段練習）下列說法正確的是（）A．弧長相等的弧一定是等弧 B．所對圓心角相等的弧是等弧C．同弧或等弧所對的圓周角相等 D．平分弦的直徑必垂直于弦【答案】C【分析】本題考查了圓的有關(guān)定義和性質(zhì)，根據(jù)等弧的定義、圓周角定理、垂徑定理的推論逐項判斷即可求解，掌握圓的有關(guān)定義和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：、弧長相等的弧不一定是等弧，原說法錯誤，不合題意；、所對圓心角相等的弧不一定是等弧，原說法錯誤，不合題意；、同弧或等弧所對的圓周角相等，該說法正確，符合題意；、平分弦（不是直徑）的直徑必垂直于弦，原說法錯誤，不合題意；故選：．2．（23-24九年級上·重慶九龍坡·階段練習）下列說法正確的個數(shù)有（

）①相等的弦所對的圓心角相等；②平分弦的直徑垂直于這條弦；③直徑所對的弧是半圓；④圓是軸對稱圖形，其對稱軸有無數(shù)條，對稱軸是圓的直徑．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】本題考查圓周角定理、垂徑定理、圓的性質(zhì)、直徑的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．根據(jù)圓周角定理、垂徑定理、圓的性質(zhì)、直徑的性質(zhì)一一判斷即可.【詳解】解：①錯誤．必須在同圓或等圓中；②錯誤，此弦不是直徑；③正確；④錯誤，對稱軸是直徑所在的直線；故選A．3．（23-24九年級上·江蘇南通·期中）如圖，是的直徑，是弦，，垂足為M，則下列結(jié)論中錯誤的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】垂直于弦的的直徑平分弦及弦所對的兩條弧，根據(jù)垂徑定理即可進行判斷，熟練掌握垂徑定理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵是的直徑，是弦，，垂足為M，∴，，，無法判斷，故選：C類型二、用垂徑定理計算線段的長4．（23-24九年級下·四川達州·階段練習）如圖，是的直徑，弦于點E，，，則（

）A．6 B． C．9 D．12【答案】C【分析】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。部疾榱斯垂啥ɡ恚雀鶕?jù)垂徑定理得到，然后利用勾股定理可計算出的長．【詳解】解：，，在中，．故選：C．5．（23-24九年級上·安徽淮北·期末）如圖，的半徑為3，圓心O到的距離為2，則弦的長為（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了垂徑定理和勾股定理，能熟記垂徑定理是解此題的關(guān)鍵．連接半徑，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求出的長，從而求出的長．【詳解】解：連接，過O點作于C，如圖，于C，，在中，，，，．故選：B．6．（22-23九年級上·江蘇無錫·期中）如圖，在平面直角坐標系中，以原點O為圓心的圓過點，直線與交于B、C兩點，則弦的長的最小值為（

）A．22 B．24 C．10.5 D．12.5【答案】B【分析】對于直線，無論為何值時，恒經(jīng)過點，記為點,即過圓內(nèi)定點的所有弦中，與垂直的弦最短，過點作于點,即可求出，再根據(jù)垂徑定理及勾股定理即可求出答案．【詳解】對于直線，無論為何值時，恒經(jīng)過點，記為點，過點作于點，則有，，即，由于過圓內(nèi)定點的所有弦中，與垂直的弦最短，如圖所示，∴當時，取最小值，∵過點，∴,∴，∵當時，有過圓內(nèi)定點的弦最短，∴根據(jù)垂徑定理及勾股定理可得：，故選：B．【點睛】本題考查了垂徑定理，一次函數(shù)以及勾股定理等知識，得出直線在無論為何值時，恒經(jīng)過點，是解答本題的關(guān)鍵．類型三、利用垂徑定理解平行弦的問題7．九年級上·全國·階段練習）如圖所示，矩形與相交于、、、，若，，，則的長為（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】過O作OH⊥CD并延長，交AB與P，求出DH的長，再根據(jù)矩形的性質(zhì)求出MP的長，再由垂徑定理解答即可.【詳解】如圖所示，過O作OH⊥CD并延長，交AB與P，則EH＝EF＝×8＝4，DH＝DE＋EH＝1＋4＝5，即AP＝5，MP＝AP－AM＝5－2＝3，MN＝2MP＝2×3＝6.故C選項正確,

【點睛】此題涉及圓中求半徑的問題，此類在圓中涉及弦長、半徑、圓心角的計算的問題，常把半弦長，半圓心角，圓心到弦距離轉(zhuǎn)換到同一直角三角形中，然后通過直角三角形求解.8．（九年級上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習）若⊙的半徑為10cm，且兩平行弦，的長分別為12cm，16cm，則兩弦間的距離是(

)A．2cm B．14cm C．2cm或14cm D．6cm或8cm【答案】C【分析】分兩種情況解答：①弦AC、BD在⊙O的同側(cè)；②弦AC、BD在⊙O的兩側(cè)．根據(jù)垂徑定理分別求出圓心到弦的距離，再根據(jù)兩種情況求出兩弦間的距離即可.【詳解】①如圖：作OE⊥AC垂足為E，交BD于點F，∵OE⊥AC

AC∥BD，∴OF⊥BD，∴AE=AC=6cm；BF=BD=8cm，在Rt△AOE中OE===8cm同理可得：OF=6cm∴EF=OE-OF=8-6=2cm；②如圖：同理可得：EF=OE+OF=8+6=14cm.綜上所述兩弦之間的距離為2cm或14cm．故選C．【點睛】此題主要利用垂徑定理，把問題轉(zhuǎn)化為直角三角形，運用勾股定理來解決，注意分情況討論是解題關(guān)鍵．9．（九年級上·安徽淮南·階段練習）如圖，A，B，C，D是⊙O上的四個點，AD∥BC,那么弧AB與弧CD的數(shù)量關(guān)系是（)

A．弧AB=弧CD B．弧AB＞弧CD C．弧AB＜弧CD D．無法確定【答案】A【詳解】因為在同圓中,平行弦所夾弧是等弧.故選A.點睛:本題主要考查圓中平行弦所夾弧,解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握平行弦定理.類型四、用垂徑定理解同心圓的問題10．（九年級上·廣東廣州·期末）如圖，兩個同心圓，大圓的半徑為5，小圓的半徑為3，若大圓的弦AB與小圓有公共點，則弦AB的取值范圍是（）A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5【答案】A【分析】解決此題首先要弄清楚AB在什么時候最大，什么時候最?。擜′B′與小圓相切時有一個公共點，此時可知A′B′最??；當AB經(jīng)過同心圓的圓心時，弦AB最大且與小圓相交有兩個公共點，此時AB最大，由此可以確定所以AB的取值范圍．【詳解】解：如圖，當AB與小圓相切時有一個公共點，在Rt△A′DO中，OD=3，OA′=5，∴，∴A′B′=8；當AB經(jīng)過同心圓的圓心時，弦AB最大且與小圓相交有兩個公共點，此時AB=10，所以AB的取值范圍是8≤AB≤10．故選：A．【點睛】本題主要考查了圓中的有關(guān)性質(zhì)．利用垂徑定理可用同心圓的兩個半徑和與小圓相切的大圓的弦的一半構(gòu)造直角三角形，運用勾股定理解題這是常用的一種方法，也是解決本題的關(guān)鍵，注意臨界值．11．（20-21九年級上·山東德州·階段練習）如圖，⊙O1的弦AB是⊙O2的切線，且AB∥O1O2，如果AB＝12cm，那么陰影部分的面積為（

）．A．36πcm2 B．12πcm2 C．8πcm2 D．6πcm2【答案】A【分析】根據(jù)題意將小圓平移至與大圓共圓心處，再利用垂徑定理及勾股定理求解即可．【詳解】由⊙O1的弦AB是⊙O2的切線，且AB∥O1O2，故將⊙O2平移至⊙O1的圓心處，此時AB與小圓相切與點E，則陰影部分面積即為小圓外部和大圓內(nèi)部環(huán)狀部分的面積由切線的性質(zhì)可得：，則由垂徑定理可得：，在中，由勾股定理可得：，，，，故選：A．【點睛】本題考查圓的切線性質(zhì)，垂徑定理及勾股定理等，靈活對圖中兩個圓進行平移構(gòu)成同心圓進而求解是解題關(guān)鍵．12．（九年級下·四川成都·期中）在某校校園文化建設(shè)活動中，小彬同學為班級設(shè)計了一個班徽，這個班徽圖案由一對大小相同的較大半圓挖去一對大小相同的較小半圓而得．如圖，若它們的直徑在同一直線上，較大半圓的弦，且與較小半圓相切，AB=4，則班徽圖案的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用班徽圖案的面積=大圓的面積-小圓的面積即圓環(huán)面積．【詳解】解：平移小圓使和重合，設(shè)與較小半圓相切的切點為C，連接，∴⊥AB，∴AC=BC=AB=2，∴=πAC2=4π．故選D．【點睛】本題考查了圓的面積公式和垂徑定理、切線的性質(zhì)定理的運用，解題的關(guān)鍵是把陰影部分面積轉(zhuǎn)化為圓環(huán)的面積．類型五、垂徑定理的推論13．（23-24九年級上·山東聊城·階段練習）如圖，的直徑，C是圓O上一點，點D平分，，則弦【答案】【分析】本題主要考查了垂徑定理的推論，三角形中位線定理．由題意可知點D平分，為的中位線，根據(jù)直徑求出半徑，進而求出的長度，再根據(jù)中位線原理即可解答．【詳解】解：∵點D平分，∴平分，∴為的中位線，∴，又∵的直徑，∴，∵，∴，∴弦，故答案為：．14．（23-24九年級上·福建廈門·期中）如圖，已知是的弦，點C在上，且，分別連接，并延長，交弦于點D，，，若點E在上，，則的長為．

【答案】【分析】本題考查了垂徑定理及其推論，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，連接，證垂直平分，在中通過勾股定理求出半徑，再由證明，即可得到．【詳解】連接，

∵，∴垂直平分，∴，∵，∴，在中∴，解得，∵，∴，∵，，∴，∴，故答案為：．15．（23-24九年級上·河南信陽·期中）如圖，一圓弧過方格的格點A、B、C，在方格中建立平面直角坐標系，使點A的坐標為，點B的坐標為，則該圓弧所在圓的圓心坐標是．

【答案】【分析】直接利用垂徑定理推論得出圓心位置，進而利用點A坐標得出原點位置即可得出答案．本題主要考查了垂徑定理以及坐標與圖形的性質(zhì)，正確得出圓心位置是解題關(guān)鍵．【詳解】解：如圖：分別作與的垂直平分線，相交于點O，

則點O即是該圓弧所在圓的圓心．∵點A的坐標為，∴點O的坐標為．類型六、垂徑定理的應(yīng)用16．（2023·浙江衢州·一模）某品牌太陽能熱水器的實物圖和截面示意圖如圖所示，支架與地面垂直，真空集熱管與地面水平線夾角為，直線與都經(jīng)過水箱截面的圓心O．已知，，則水箱內(nèi)水面寬度為．【答案】【分析】取與的交點為點G，由題意得，，，從而可得，，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，，設(shè)，則，，進而可得，，再利用，列方程求解即可．【詳解】解：取與的交點為點G，由題意得，，，∴，，∴，設(shè)，則，，∴，，∵，∴，解得，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)、垂徑定理、平行線的性質(zhì)、解一元一次方程，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)和垂徑定理是解題的關(guān)鍵．17．（23-24九年級上·山東濟寧·期末）圓管涵是公路路基排水中常用的涵洞結(jié)構(gòu)類型，它不僅力學性能好，而且構(gòu)造簡單、施工方便．某水平放置的圓管涵圓柱形排水管道的截面是直徑為的圓，如圖所示，若水面寬，求水的最大深度．（精確到0.1）

【答案】【分析】本題主要考查了垂徑定理、勾股定理等知識，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．過點作于點，連接，根據(jù)垂徑定理可得，再在中，根據(jù)勾股定理解得的值，進而獲得答案．【詳解】解：如圖，過點作于點，連接，

∴，，∵，∴，∵直徑為，∴，在中，根據(jù)勾股定理，可得，∴，∴水的最大深度為．18．（23-24九年級上·廣東廣州·期中）“兩龍“高速公路是某省高速公路隧道和橋梁最多的路段．如圖，是一個單心圓曲隧道的截面，若路面寬為8米，凈高為8米，求此隧道單心圓的半徑．【答案】半徑的長度是5米【分析】本題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理，根據(jù)垂徑定理，平分，則，在中，有，進而可求得半徑．【詳解】解：為高，∴根據(jù)垂徑定理：平分，又∵路面寬為8米，則有：米．設(shè)圓的半徑是x米，則，在中，有，即：，解得：，即此隧道單心圓的半徑的長度是5米．類型七、垂徑定理的有關(guān)計算與證明19．（2024九年級·全國·競賽）如圖，在中，為直徑，弦于點，連接．(1)若，求的直徑；(2)若，求弦與的夾角．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了垂徑定理，圓周角定理；（1）根據(jù)垂徑定理，勾股定理建立方程，解方程，即可求解；（2）根據(jù)已知條件與圓周角定理可得，進而得出，設(shè)交于點，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)的直徑為，，又，，解得，的直徑為．（2）解：，，，，設(shè)交于點，即弦與的夾角為．

20．（23-24九年級上·江蘇無錫·階段練習）（1）如圖1，是的直徑、C、D是上的兩點，若，弧?。螅孩俚亩葦?shù)；②求的度數(shù)；（2）如圖2，的弦垂直平分半徑，若的半徑為4，求弦的長．【答案】（1）①；；（2）【分析】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．（1）①根據(jù)圓周角定理得到，可得，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可求出；②根據(jù)得到，利用等腰三角形的性質(zhì)計算即可；（2）連接，根據(jù)弦垂直平分半徑，可求出的長，再由勾股定理求出的長，進而可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）①∵是直徑，∴，∵，∴．∵四邊形是的圓內(nèi)接四邊形，∴，∴，②∵，∴，∴；（2）連接，∵弦垂直平分半徑，，∴．∵，即，解得，∴．類型八、垂徑定理與實際應(yīng)用中的方案探究問題21．（23-24九年級上·浙江紹興·期末）利用素材解決：《橋梁的設(shè)計》問題驅(qū)動某地欲修建一座拱橋，橋的底部兩端間的水面寬，稱跨度，橋面最高點到的距離稱拱高，拱橋的輪廓可以設(shè)計成是圓弧型或拋物線型，若修建拱橋的跨度米，拱高米．設(shè)計方案方案一方案二設(shè)計類型圓弧型拋物線型任務(wù)一設(shè)計成圓弧型，求該圓弧所在圓的半徑．設(shè)計成拋物線型，以AB所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸建立坐標系，求橋拱的函數(shù)表達式．任務(wù)二如圖，一艘貨船露出水面部分的橫截面為矩形，測得米，米．請你通過計算說明貨船能否分別順利通過這兩座橋梁．【答案】任務(wù)一：方案一，米；方案二，任務(wù)二：方案一，能通過；方案二，不能通過【分析】本題考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，垂徑定理，勾股定理的應(yīng)用，掌握建模的數(shù)學思想是解題關(guān)鍵．任務(wù)一：方案一，設(shè)圓的半徑為米，根據(jù)即可求解；方案二，設(shè)橋拱的函數(shù)解析式為，將代入即可求解；任務(wù)二：方案一，根據(jù)即可判斷；方案二，當H點的橫坐標時，計算其縱坐標即可判斷．【詳解】解：任務(wù)一方案一，設(shè)圓的半徑為米，在中，，（米）方案二，∵頂點C坐標為，設(shè)橋拱的函數(shù)解析式為代入得，．函數(shù)解析式為．任務(wù)二方案一，如圖，由上得，在中，．能通過方案二，如圖建立直角坐標系，當H點的橫坐標時，，不能通過．22．（23-24九年級上·江蘇南通·期末）根據(jù)素材解決問題：設(shè)計貨船通過拱橋的方案素材1左圖中有一座圓拱石橋，右圖是其圓形橋拱的示意圖，測得水面寬，拱頂離水面的距離．素材2如圖，一艘貨船露出水面部分的橫截面為矩形，測得，．因水深足夠，貨船可以根據(jù)需要運載貨物．據(jù)調(diào)查，貨船的載重量每增加1噸，則船身下降．問題解決任務(wù)1確定橋拱半徑（1）求圓形橋拱的半徑；任務(wù)2擬定設(shè)計方案（2）根據(jù)圖3狀態(tài)，貨船能否通過圓形拱橋？若能，最多還能卸載多少噸貨物？若不能，至少要增加多少噸貨物才能通過？【答案】(1)(2)10噸【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理，任務(wù)1，設(shè)圓心為點，則點在延長線上，延長，則經(jīng)過點，連結(jié)，設(shè)橋拱的半徑為，則，由勾股定理，垂徑定理，列出關(guān)于半徑的方程，即可解決問題；任務(wù)2，由勾股定理得到貨船不能通過圓形橋拱，通過計算，即可得到需要增加的貨物的噸數(shù)．【詳解】解：任務(wù)1，設(shè)圓心為點，則點在延長線上，延長，則經(jīng)過點，連結(jié)，如圖，設(shè)橋拱的半徑為，則，，，，，，圓形拱橋的半徑為．任務(wù)2，根據(jù)圖3狀態(tài)，貨船不能通過圓形橋拱，至少要增加10噸的貨物才能通過．理由：當是的弦時，與的交點為，連接，，如圖，四邊形為矩形，，，∵，，．，，，，根據(jù)圖3狀態(tài)，貨船不能通過圓形橋拱，船在水面部分可以下降的高度為．貨船的載重量每增加噸，則船身下降，噸，至少要增加10噸的貨物才能通過．一、單選題1．（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）已知的半徑為5，弦，M是上一點，且的長為整數(shù)，則點M的位置有（

）A．6個 B．5個 C．4個 D．3個【答案】B【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，圓的軸對稱性，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．連接，過點O作于點C，可知為的最小值，為的最大值，根據(jù)勾股定理求得，即可得到的取值范圍，取其整數(shù)值再根據(jù)圓的軸對稱性即可解題．【詳解】解：連接，過點O作于點C，，，又，，．的長為整數(shù)，的長為3，4，5．根據(jù)圓的軸對稱性，知點M的位置共有5個．2．（2024·山東臨沂·模擬預(yù)測）春秋時代的名著《墨子非儒下》載：“孔子窮于陳蔡，藜羹不糝”．“糝”在文字上講是用肉作成的湯羹，是臨沂地區(qū)的風味小吃．因其香辣可口、肥而不膩、祛風除寒、開食健胃實為眾人所喜愛，早晨喝糝是臨沂傳統(tǒng)食俗．糝湯做好后會盛入大碗中；如圖②是從正面看到的一個盛糝湯的大碗(圖①)的形狀示意圖．是的一部分，是的中點，連接，與弦交于點，連接，．已知cm，碗深，則的半徑為（

）A．12cm B．13cm C．14cm D．15cm【答案】B【分析】本題考查了垂徑定理、勾股定理的應(yīng)用，設(shè)的半徑為，列出關(guān)于的方程是解題的關(guān)鍵．首先利用垂徑定理的推論得出，，再設(shè)的半徑為，則．在中根據(jù)勾股定理列出方程，求出即可．【詳解】解：是的一部分，是的中點，，，．設(shè)的半徑為，則．在中，，，，，即的半徑為．故選：B．3．（2023·陜西安康·一模）如圖，小穎畫出了一件出土的古代文物碎片示意圖，為求其外圓半徑，連接外圓上的，兩點，并使與文物內(nèi)圓相切于點，已知為文物外圓和內(nèi)圓的圓心，連接并延長交外圓于點，測得，，則該文物的外圓半徑是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，根據(jù)與文物內(nèi)圓相切于點可知，由垂徑定理得，然后根據(jù)勾股定理即可求得外圓的半徑．本題考查了垂徑定理的應(yīng)用以及勾股定理，切線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線構(gòu)早出直角三角形是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，連接，∵與文物內(nèi)圓相切于點，∴，，，，設(shè)外圓的半徑為，則，根據(jù)題意得：，解得：．該文物的外圓半徑是．故選：．4．（2024·云南·模擬預(yù)測）如圖，是的直徑，是弦且不是直徑，，垂足為E，則下列結(jié)論不一定正確的是（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】此題考查了圓周角定理、垂徑定理，由于，根據(jù)垂徑定理有，，，根據(jù)圓周角定理及圓的性質(zhì)求出，．熟記圓周角定理、垂徑定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，連接、，

∵，是的直徑，∴，，，∴，，∴A不正確，符合題意；B、C、D正確，不符合題意；故選：A．5．（24-25九年級上·全國·假期作業(yè)）蘇州園林中的月亮門是中國古典園林住宅中常見的圓弧形洞門（如圖1），因圓形如月而得名．月亮門因其寓意美好且形態(tài)優(yōu)美，被廣泛使用．圖2是小明同學家中的月亮門示意圖，經(jīng)測量，水平跨徑為2.4米，水平木條和鉛錘木條長都為0.4米，點C恰好落在上，則此月亮門的半徑為（）A．2.1米 B．2.0米 C．1.9米 D．1.8米【答案】B【詳解】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用、勾股定理的應(yīng)用等知識，掌握垂徑定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．過O作于N，過C作于M，由垂徑定理得米，再證四邊形是矩形，則米，（米），設(shè)該圓的半徑長為r米，然后由題意列出方程求解．【解答】解：過O作于N，過C作于M，如圖2所示：則米，，∵，∴，∴四邊形是矩形，∴米，（米），設(shè)該圓的半徑長為r米，根據(jù)題意得，，∴，∴，即此月亮門的半徑為2米．故選：B．6．（2024·新疆烏魯木齊·模擬預(yù)測）如圖，在半徑為5的圓O中，，是互相垂直的兩條弦，垂足為P，且，則的長為（）A．3 B．4 C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了垂徑定理以及勾股定理，作出輔助線是解題的關(guān)鍵．作于M，于N，連接，，首先利用勾股定理求出的長，然后判定四邊形是正方形即可得到答案．【詳解】解：作于M，于N，連接，，由垂徑定理得勾股定理得：，弦互相垂直，，于M，于N，四邊形是矩形，，四邊形是正方形，故選：D．二、填空題7．（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）已知在半徑為4的中，弦，點P在圓上，則的度數(shù)為．【答案】或【分析】如圖，過點O作于點C，連接，．由，可得，分當點P在優(yōu)弧上時，當點P在劣弧上兩種情況，再進一步解答可得答案；【詳解】解：如圖，當點P在優(yōu)弧上時，過點O作于點C，連接，．由垂徑定理可得．在中，，∴，∴．在中，∵，∴．∴所對的圓心角，則．當點P在劣弧上時，．故答案為：或【點睛】本題考查的是垂徑定理，圓周角定理的應(yīng)用，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和解直角三角形，能夠分情況討論是解題的關(guān)鍵．8．（2024·內(nèi)蒙古通遼·模擬預(yù)測）如圖是一個隧道的橫截圖，它的形狀是以點O為圓心的一部分，如果M是中弦的中點，經(jīng)過圓心O交于點E，若，則⊙O的半徑為m．【答案】【分析】本題主要考查了垂徑定理、勾股定理等知識點，掌握垂徑定理成為解題的關(guān)鍵．由根據(jù)垂徑定理可得，則，在中，有，然后求解即可解答．【詳解】解：如圖：連接,∵M是中弦的中點，∴，又∵，∴，設(shè)圓的半徑是x米，，在中，有，即：，解得：，所以圓的半徑長是．故答案為：．9．（2024·山東棗莊·模擬預(yù)測）如圖，一個底部呈球形的燒瓶，弦長為cm，瓶內(nèi)液體的最大深度，則截面圓中液體的面積為．【答案】【分析】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用和勾股定理的應(yīng)用、弓形面積計算，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵．由垂徑定理得，再由勾股定理得，根據(jù)弓形面積等于扇形面積減去三角形面積即可得出結(jié)論．【詳解】解：由題意得：，弦長為，，設(shè)，，，在中，由勾股定理得：，解得：，，，，截面圓中液體的面積為．故答案為：．10．（2024·寧夏吳忠·模擬預(yù)測）一次綜合實踐主題為：只用一張矩形紙條和刻度尺，測量一次性紙杯杯口的直徑．小明同學所在的學習小組設(shè)計了如下方法：如圖，將紙條拉直并緊貼杯口，紙條的上下邊沿分別與杯口相交于A、B、C、D四點，然后利用刻度尺量得該紙條的寬為，，．請你根據(jù)上述數(shù)據(jù)計算紙杯的直徑是．【答案】【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理等知識．熟練掌握矩形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理是解題的關(guān)鍵．如圖，記圓心為，連接，作于，作于，則，，由矩形的性質(zhì)可知，，則三點共線，設(shè)，則，由勾股定理得，，即；，即；由，可得，可求，則，進而可求紙杯的直徑．【詳解】解：如圖，記圓心為，連接，作于，作于，∴，，由矩形的性質(zhì)可知，，∴三點共線，設(shè)，則，由勾股定理得，，即；，即；∵，∴，解得，，∴或（舍去），∴紙杯的直徑是，故答案為：．三、解答題11．（2024·安徽馬鞍山·一模）如圖，在中，、為弦，為直徑，于E，于F，與相交于G．(1)求證：；(2)若，，求的半徑．【答案】(1)見詳解(2)【分析】本題考查了圓的基本性質(zhì)，垂徑定理，等腰三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理等；（1）連接，由同弧所對的圓周角相等得，由同角的余角相等得，從而可得，由等腰三角形的判定及性質(zhì)即可得證；（2）連接，設(shè)，可得，由線段和差得，由垂徑定理得，由勾股定理得，即可求解；掌握垂徑定理，能構(gòu)建直角三角形，并熟練利用勾股定理求解是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：如圖，連接，，，，，，，，，，，，，；（2）解：如圖，連接，設(shè)，，，，，為直徑，，，在中，，，解得：，，故的半徑為．12．（23-24九年級上·江蘇連云港·階段練習）如圖所示：殘缺的圓形輪片上，弦AB的垂直平分線CD交圓形輪片于點C，垂足為D，解答下列問題：(1)用尺規(guī)作圖找出圓形輪片的圓心O的位置，并將圓形輪片所在的圓補全；（要求：保留所有的作圖痕跡，不寫作法）(2)若弦，，求殘缺圓形輪片所在圓半徑r．【答案】(1)見解析(2)13【分析】本題考查圓的垂徑定理，勾股定理，熟練掌握通過垂徑定理找圓心，通過勾股定理構(gòu)造方程求邊長是解題的關(guān)鍵．（1）由于是弦的垂直平分線，則圓心在上，因此連接，圓心在的垂直平分線上，故作的垂直平分線，交于點O，則點O就是所求的圓心，然后補全圓即可；（2）連接，設(shè)半徑為x，即，則，根據(jù)是的垂直平分線，得到，，因此在中，根據(jù)勾股定理構(gòu)造方程，即可求出x的值，即為此殘片所在圓的半徑．【詳解】（1）解：如圖，點O為所求的圓心．（2）連接，設(shè)半徑為x，即，∴，∵是的垂直平分線，∴∴在中，，即，解得：，∴此殘片所在圓的半徑為13．13．（24-25九年級上·全國·假期作業(yè)）如圖，點A、B是上兩點，，點P是上的動點（與A、B不重合），連接、，