PAGE124.1.4圓周角（2）圓內(nèi)接四邊形（四大類型提分練）類型一、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)1．如圖，四邊形內(nèi)接于，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．2．如圖，已知四邊形內(nèi)接于，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．3．如圖，A，B，C，D是上的四點，且，求和的度數(shù)．4．如圖，在中，，以AB為直徑作，分別交于點D、E，連結(jié)．(1)求證：點D是的中點；(2)若，則______．類型二、利用圓內(nèi)接四邊形判斷角之間的關(guān)系5．的內(nèi)接四邊形中，與的數(shù)量關(guān)系為（

）A． B．C． D．6．如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，延長到點E，則與的數(shù)量關(guān)系一定成立的是（

）A． B．C． D．7．如圖，點A、B、C在上，P為上任意一點，，則等于（

）A． B． C． D．8．【問題提出】我們知道：同弧或等弧所對的圓周角都相等，且等于這條弧所對的圓心角的一半．那么，在一個圓內(nèi)同一條弦所對的圓周角與圓心角之間又有什么關(guān)系？(1)【初步思考】如圖1，是的弦，,點分別是優(yōu)弧和劣弧上的點，則°，°．

(2)如圖2，是的弦，圓心角，求弦所對的圓周角的度數(shù)（用m的代數(shù)式表示）；

(3)【問題解決】如圖3，已知線段，且．用尺規(guī)作圖的方法作出滿足條件的點C所組成的圖形（不寫作法，保留作圖痕跡）．

類型三、利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求線段9．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，∠C=120°．若AD=2，則AB的長為（）A． B．2 C．2 D．410．如圖，ABCD為圓O的內(nèi)接四邊形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，則圓O的面積為．11．在四邊形中，，⊙O是△ABD的外接圓，若，則=．類型四、圓內(nèi)接四邊形的綜合問題12．如圖所示，圓內(nèi)接四邊形的對角線，交于點，平分，．如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCDABCD的對角線ACAC，BDBD交于點EE，BDBD平分∠ABC∠ABC，∠BAC=∠AD(1)求證：平分，并求的大小；(2)過點作交的延長線于點，若，，試求四邊形的面積和此圓半徑的長．13．如圖，為等腰直角三角形，為直角，，在AB的延長線上，且，于點，過，，三點的交DE于點，連結(jié)CF．求的半徑．探究：其他條件不變，將點在圓上移動至點，使，求的長度．一、單選題1．（18-19九年級·湖北武漢·期中）如圖，點C是的劣弧上一點，，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．2．（2023·山東青島·一模）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，BE是的直徑，連結(jié)，．若，則（

）A． B． C． D．3．（23-24九年級上·北京海淀·期中）如圖，定點B，C，D在上，連接，若，則的度數(shù)為（

）A． B．67° C． D．4．（23-24九年級上·福建廈門·期末）如圖，正方形內(nèi)接于，E為的中點，直線交于點F，若的半徑為，則C點到的距離為（

）A． B． C． D．5．（2024·安徽合肥·二模）如圖，正五邊形的外接圓為，點是劣弧上一點，連接，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．6．（2024·甘肅天水·三模）如圖，，，，均在上，，若，則的長最大為（

）A． B． C． D．二、填空題7．（2023·吉林白城·模擬預(yù)測）如圖，是圓內(nèi)接四邊形的一條對角線，點D關(guān)于的對稱點E在邊上，若，則°．8．（2024·江蘇揚州·模擬預(yù)測）已知的半徑為2，內(nèi)接于，，則．9．（23-24九年級上·湖北武漢·期中）如圖，以為直徑作半圓O，C是半圓的中點，P是上一點，，，則的長是．10．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）小亮是個愛思考的同學(xué)，在利用量角器量角的度數(shù)時，他發(fā)現(xiàn)以下的測量方法也可以測量出的度數(shù)，他讓的頂點C恰好落在量角器的圓弧上，兩邊分別經(jīng)過圓弧上的A、B兩點，若點A、B對應(yīng)的刻度分別是和，則的度數(shù)為．11．（23-24九年級上·全國·單元測試）如圖，在中，，過B、C兩點的交于點D，交于點E，連接并延長交于點F，連接，若，，則的值為．12．（23-24九年級上·全國·單元測試）如圖，小明把一副三角尺放到圓中，斜邊重合，點A、B、C、D均在圓上，其中，點P是圓上任意一點（不與A、B、C、D重合），則的度數(shù)為．三、解答題13．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知，為的位于圓心兩側(cè)的兩條弦，且．(1)如圖1，連接，．求證：．(2)如圖2，過點作的垂線交于點．若在上取一點，使得．求證：，，三點共線．14．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）【定義新知】定義：有一個角是其對角一半的圓內(nèi)接四邊形叫做圓美四邊形，其中這個角叫做美角．【初步應(yīng)用】（1）如圖1，四邊形是圓美四邊形，是美角．①的度數(shù)為_________；②連接，若的半徑為5，求線段的長；【拓展提升】（2）如圖2，已知四邊形是圓美四邊形，是美角，連接，若平分，若的半徑為6，求的最大值是多少？15．（23-24九年級下·吉林長春·開學(xué)考試）如圖①，四邊形內(nèi)接于，的半徑為3，，，連接AD．(1)的大小為__________度；(2)如圖②，延長至點E，使，連接．求證：；(3)直接寫出的最大值．24.1.4圓周角（2）圓內(nèi)接四邊形（四大類型提分練）類型一、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)1．如圖，四邊形內(nèi)接于，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圓內(nèi)接四邊形，兩對角互補，求出的度數(shù)即可．【詳解】解：∵四邊形內(nèi)接于，，∴．故選：C．2．如圖，已知四邊形內(nèi)接于，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是熟練掌握圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出，再根據(jù)圓周角定理即可求出的度數(shù)．【詳解】∵四邊形內(nèi)接于，∴，而，∴，∴．故選：B．3．如圖，A，B，C，D是上的四點，且，求和的度數(shù)．【答案】．【分析】先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出的度數(shù)，再由圓周角定理求出的度數(shù)即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∠C=100°，∴=180°-100°=80°．∵與是同弧所對的圓心角與圓周角，∴=2=160°．【點睛】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟知圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解答此題的關(guān)鍵．4．如圖，在中，，以AB為直徑作，分別交于點D、E，連結(jié)．(1)求證：點D是的中點；(2)若，則______．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，平行線分線段成比例性質(zhì)，也考查了等腰三角形的性質(zhì)．（1）利用等腰三角形的性質(zhì)得到，，再判斷，然后利用平行線分線段成比例得到；（2）利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到，再利用等腰三角形的性質(zhì)求出的度數(shù)．【詳解】（1）證明：如圖，連接，，，，，，，，，點D是的中點；（2），，四邊形為的內(nèi)接四邊形，，，，，故答案為：類型二、利用圓內(nèi)接四邊形判斷角之間的關(guān)系5．的內(nèi)接四邊形中，與的數(shù)量關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了圓周角定理及圓內(nèi)接四邊形對角互補的性質(zhì)，根據(jù)圓周角定理及圓內(nèi)接四邊形對角互補的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：的內(nèi)接四邊形中，，故選B．6．如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，延長到點E，則與的數(shù)量關(guān)系一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查圓內(nèi)接四邊形，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補，以及同角的補角相等，即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴，又∵延長到點E，∴，∴；故選A．7．如圖，點A、B、C在上，P為上任意一點，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理和圓的內(nèi)接四邊形性質(zhì)，熟練掌握圓的內(nèi)接四邊形性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．利用三角形內(nèi)角和定理和圓的內(nèi)接四邊形對角互補，根據(jù)題意列出關(guān)系式化簡即可．【詳解】解：在中，，在中，，∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴，即，∴．故選：C．8．【問題提出】我們知道：同弧或等弧所對的圓周角都相等，且等于這條弧所對的圓心角的一半．那么，在一個圓內(nèi)同一條弦所對的圓周角與圓心角之間又有什么關(guān)系？(1)【初步思考】如圖1，是的弦，,點分別是優(yōu)弧和劣弧上的點，則°，°．

(2)如圖2，是的弦，圓心角，求弦所對的圓周角的度數(shù)（用m的代數(shù)式表示）；

(3)【問題解決】如圖3，已知線段，且．用尺規(guī)作圖的方法作出滿足條件的點C所組成的圖形（不寫作法，保留作圖痕跡）．

【答案】(1)50，130(2)在優(yōu)弧AB上：，在劣弧AB上：(3)見解析【分析】（1）一條弦對應(yīng)兩個圓周角，根據(jù)圓周角定理，圓的內(nèi)接四邊形對角互補處理；（2）同（1），根據(jù)圓周角定理，圓的內(nèi)接四邊形對角互補處理；（3）如圖,①作線段的垂直平分線，交于點P，②以點P為圓心，以為半徑作圓，交垂直平分線于點O，③以O(shè)為圓心，以為半徑作圓，劣弧AB即為所求；【詳解】（1）解：，．故答案為：50，130；（2）當P在優(yōu)弧AB上時，；當P在劣弧AB上時，；（3）如圖,①作線段的垂直平分線，交于點P，②以點P為圓心，以為半徑作圓，交垂直平分線于點O，③以O(shè)為圓心，以為半徑作圓，則劣弧AB（實線部分且不包含A、B兩個端點）就是所滿足條件的點C所組成的圖形．

【點睛】本題考查圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)，尺規(guī)作圖；理解圓周角定理及圓的內(nèi)接四邊形性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．類型三、利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求線段9．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，∠C=120°．若AD=2，則AB的長為（）A． B．2 C．2 D．4【答案】D【分析】連接OD，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠A=60°，得出△AOD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出OD=OA=AD=2，求出直徑AB即可．【詳解】解：連接OD，∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠A+∠C=180°，∵∠C=120°，∴∠A=60°，∵OD=OA，∴△AOD是等邊三角形，∴AD=OD=OA，∵AD=2，∴OA=OD=OB=2，∴AB=2+2=4，故選：D．【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)和判定，能根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠A+∠C=180°是解此題的關(guān)鍵．10．如圖，ABCD為圓O的內(nèi)接四邊形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，則圓O的面積為．【答案】【分析】連接，并延長交圓于點，連接，，可得，從而可得BD//CE，得到，所以BE=CD，由勾股定理可得AE的長，從而可求出圓O的面積．【詳解】解：如圖，連接，并延長交圓于點，連接，．則，．∵，∴//，∴∴BE=CD，∵∴．在Rt△中，AB=10，所以，由勾股定理得，∴．所以圓的面積為．【點睛】本題主要考查了直徑所對的圓周角是直角以及在同圓或等圓中平行弦所夾弧相等等知識，正確作出輔助線構(gòu)造直角是解答本題的關(guān)鍵．11．在四邊形中，，⊙O是△ABD的外接圓，若，則=．【答案】5【分析】根據(jù)已知條件得到點A，B，C，D四點共圓，推出點C在上，然后利用勾股定理可得，于是得到結(jié)論．【詳解】解：∵如圖，在四邊形ABCD中，，∴點A，B，C，D四點共圓，∵是的外接圓，∴點C在上，∵，∴，∴，∴，故答案為：5．【點睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，勾股定理，熟練掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．類型四、圓內(nèi)接四邊形的綜合問題12．如圖所示，圓內(nèi)接四邊形的對角線，交于點，平分，．如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCDABCD的對角線ACAC，BDBD交于點EE，BDBD平分∠ABC∠ABC，∠BAC=∠AD(1)求證：平分，并求的大?。?2)過點作交的延長線于點，若，，試求四邊形的面積和此圓半徑的長．【答案】(1)見解析(2)；【分析】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，平行線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到，由垂徑定理推出是等邊三角形．（1）由圓周角定理得到，而，因此，得到平分，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到，即可求出；（2）由垂徑定理推出是等邊三角形，得到由，得到，由平行線的性質(zhì)求出，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出，得到，由直角三角形的性質(zhì)得到，因為是圓的直徑，即可得到圓半徑的長是4．【詳解】（1）證明：，，，平分，平分，，四邊形是圓內(nèi)接四邊形，，，，，；（2）解：，，，，，是圓的直徑，垂直平分，，，是等邊三角形，，，，，，四邊形是圓內(nèi)接四邊形，，，，，，，，是圓的直徑，圓的半徑長是4，．13．如圖，為等腰直角三角形，為直角，，在AB的延長線上，且，于點，過，，三點的交DE于點，連結(jié)CF．求的半徑．探究：其他條件不變，將點在圓上移動至點，使，求的長度．【答案】的半徑為，【分析】連接，由直角三角形的性質(zhì)及勾股定理得進而證明點、、三點共線，利用勾股定理求得即可求得的半徑，探究：如圖，連接，先證明，，再利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得從而利用勾股定理即可得解。【詳解】解：連接，∵為等腰直角三角形，為直角，，，∴∵∴的直徑，∴∴∴點、、三點共線，∵∴是以為直角的等腰直角三角形，∴，∴∴的半徑為，探究：如圖，連接，連接并延長交AB于，∵，，∴點在線段AB的垂直平分線上，點在線段AB的垂直平分線上，∴，，∵∴，，∵是的直徑，∴，∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴∴是等腰直角三角形，∴【點睛】本題主要考查了圓內(nèi)角四邊形的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理等，熟練掌握圓內(nèi)角四邊形的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定是解題的關(guān)鍵。一、單選題1．（18-19九年級·湖北武漢·期中）如圖，點C是的劣弧上一點，，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)的應(yīng)用，正確作輔助線是解此題的關(guān)鍵．在優(yōu)弧上取一點D，連接，，根據(jù)圓周角定理求出，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)即得．【詳解】在優(yōu)弧上取一點D，連接，，∵，∴，∴．故選：C．

2．（2023·山東青島·一模）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，BE是的直徑，連結(jié)，．若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出，求出，根據(jù)圓周角定理得出，再求出即可．【詳解】四邊形是的內(nèi)接四邊形，，，，是的直徑，，，故選：A．3．（23-24九年級上·北京海淀·期中）如圖，定點B，C，D在上，連接，若，則的度數(shù)為（

）A． B．67° C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形和圓周角定理．熟練掌握圓內(nèi)接四邊形對角互補，圓周角定理，是解題的關(guān)鍵．在外的上取點A，連接，，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)得到，根據(jù)圓周角定理可得可得．【詳解】在外的上取點A，連接，，∵，∴，∴，故選：C．4．（23-24九年級上·福建廈門·期末）如圖，正方形內(nèi)接于，E為的中點，直線交于點F，若的半徑為，則C點到的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此題綜合運用了勾股定理，圓內(nèi)接四邊形，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．根據(jù)正方形的性質(zhì)以及圓的性質(zhì)可得出正方形邊長，再利用勾股定理以及三角形面積關(guān)系得出即可．【詳解】解：連接，過點作于點，∵正方形內(nèi)接于的半徑為，∴，∴，∵為的中點，∴，∴，∴，∴，∴，則C點到的距離為，故選：C．5．（2024·安徽合肥·二模）如圖，正五邊形的外接圓為，點是劣弧上一點，連接，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了正五邊形的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)正五邊形的性質(zhì)求出，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解，掌握正五邊形和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵五邊形是正五邊形，∴，∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴，∴，∴，故選：．6．（2024·甘肅天水·三模）如圖，，，，均在上，，若，則的長最大為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，連接、，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出，根據(jù)圓周角定理求出，再根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)解答即可．熟記圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，連接、，∵點，，，均在上，∴四邊形為的圓內(nèi)接四邊形，∴，∵，∴，∴，∵，，∴為等邊三角形，∴，當為的直徑時，最大，最大值為．故選：C．二、填空題7．（2023·吉林白城·模擬預(yù)測）如圖，是圓內(nèi)接四邊形的一條對角線，點D關(guān)于的對稱點E在邊上，若，則°．【答案】110【分析】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理，軸對稱的性質(zhì)，熟練掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理及軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理可得，再根據(jù)軸對稱的性質(zhì)即得答案．【詳解】四邊形是圓內(nèi)接四邊形，，，點D關(guān)于的對稱點E在邊上，，．故答案為：110．8．（2024·江蘇揚州·模擬預(yù)測）已知的半徑為2，內(nèi)接于，，則．【答案】或【分析】本題考查三角形的外接圓與外心，等邊三角形的判定和性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．分定C在優(yōu)弧、劣弧兩種情況討論即可．【詳解】解：如圖，∵，∴是等邊三角形，∴，當點C在優(yōu)弧上時，∴，當點C在劣弧上時，記為，∴，∴，∴的度數(shù)為或．故答案為：或．9．（23-24九年級上·湖北武漢·期中）如圖，以為直徑作半圓O，C是半圓的中點，P是上一點，，，則的長是．【答案】【分析】連接，過點作交延長線于點，可得為等腰直角三角形，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得，為等腰直角三角形，設(shè)，在中，根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：連接，過點作交延長線于點，如下圖

∵C是半圓的中點，∴，又∵為直徑，∴，，∴，又∵，∴，∵四邊形為圓的內(nèi)接四邊形，∴,∴∴，∴為等腰直角三角形，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理得：，即解得，負值舍去，．故答案為．【點睛】此題考查了圓內(nèi)角四邊形的性質(zhì)，直徑所對的圓心角等于，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造出以為邊的直角三角形．10．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）小亮是個愛思考的同學(xué)，在利用量角器量角的度數(shù)時，他發(fā)現(xiàn)以下的測量方法也可以測量出的度數(shù)，他讓的頂點C恰好落在量角器的圓弧上，兩邊分別經(jīng)過圓弧上的A、B兩點，若點A、B對應(yīng)的刻度分別是和，則的度數(shù)為．【答案】/130度【分析】本題考查圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，應(yīng)用圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可解答.【詳解】連接,設(shè)的直徑為,如圖:由題意可知，，，，，，故答案為：11．（23-24九年級上·全國·單元測試）如圖，在中，，過B、C兩點的交于點D，交于點E，連接并延長交于點F，連接，若，，則的值為．【答案】【分析】本題考查了圓周角定理及其推論、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及勾股定理等知識點，會綜合運用所學(xué)的知識點解決問題是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及鄰補角的定義證明，證明是等腰直角三角形，得出即可解答．【詳解】解：四邊形內(nèi)接于，，，，是等腰直角三角形，，是的直徑，，，四邊形是的內(nèi)接四邊形，，，，在和中，，，，，是等腰直角三角形，，，則，故答案為：．12．（23-24九年級上·全國·單元測試）如圖，小明把一副三角尺放到圓中，斜邊重合，點A、B、C、D均在圓上，其中，點P是圓上任意一點（不與A、B、C、D重合），則的度數(shù)為．【答案】或【分析】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)角四邊形內(nèi)角和問題，分為當點P在優(yōu)弧上時以及當點P在劣弧上時兩種情況下進行求解即可．【詳解】解：當點P在優(yōu)弧上時，；當點P在劣弧上時，四邊形為圓內(nèi)接四邊形，，，.的度數(shù)為或，故答案為：或．三、解答題13．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知，為的位于圓心兩側(cè)的兩條弦，且．(1)如圖1，連接，．求證：．(2)如圖2，過點作的垂線交于點．若在上取一點，使得．求證：，，三點共線．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）連接、，由可得，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得，可得，即可得；（2）連接，由可得，則，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得，可得，可得，則，，即可得經(jīng)過圓心．本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等，合理添加輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：，，，，；（2）如圖2，連接，，，，，，，，，，，，，經(jīng)過圓心．∴，，三點共線14．（2024·廣東