2025年考研數(shù)學(xué)一專項(xiàng)訓(xùn)練線性代數(shù)試卷（含答案）考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、單項(xiàng)選擇題：1.設(shè)向量組α?,α?,α?線性無關(guān)，向量β?=2α?+α?，β?=α?-2α?，β?=-2α?+aα?+3α?，則a的取值為（）。(A)2(B)3(C)-3(D)-22.設(shè)A是n階矩陣，且A2-A=O，則必有（）。(A)A=O或A=I(B)A可逆(C)A的秩為n-1(D)A的特征值只能是0或13.設(shè)A,B為n階矩陣，下列說法正確的是（）。(A)若A,B均可逆，則AB也可逆(B)若A,B均不可逆，則AB也不可逆(C)若AB可逆，則A,B均可逆(D)若A可逆且AB=O，則B=O4.設(shè)A是n階實(shí)對稱矩陣，P是可逆矩陣，則矩陣B=P?AP一定是（）。(A)對稱矩陣(B)正定矩陣(C)可逆矩陣(D)實(shí)對稱矩陣5.設(shè)A是n階矩陣，A的伴隨矩陣A*的秩為1，則（）。(A)r(A)=n-1(B)r(A)≤n-2(C)A可逆(D)存在非零向量x使得Ax=06.設(shè)齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系含有兩個(gè)線性無關(guān)的解向量，則r(A)=4，n=6，則n-r(A)=（）。(A)2(B)4(C)6(D)87.設(shè)λ?,λ?是矩陣A的兩個(gè)不同的特征值，對應(yīng)的特征向量分別為α?,α?，則下列向量中一定是A的特征向量的是（）。(A)α?+α?(B)α?-α?(C)α?+2α?(D)α?+kα?(k為常數(shù))8.二次型f(x?,x?,x?)=x?2+x?2+ax?2+2x?x?+4x?x?+2x?x?的正慣性指數(shù)為2，則a的取值范圍是（）。(A)a>1(B)a<-2(C)a≥1(D)a≤-2二、填空題：1.設(shè)A=[a??]是3階矩陣，|A|=3，則|2A|=________。2.設(shè)向量組α?=(1,1,2,2),α?=(1,3,a,0),α?=(1,2,4,4),α?=(2,5,5,b)線性相關(guān)，則a,b滿足的關(guān)系式是________。3.設(shè)A=[a??]是4x5矩陣，r(A)=3，B是一個(gè)5x3矩陣，且r(B)=2，則矩陣乘積AB的秩r(AB)=________。4.設(shè)A是3階矩陣，其特征值為1,2,-1，則|A|=________，A的跡tr(A)=________。5.設(shè)矩陣A=[a??]，經(jīng)過初等行變換后化為B=[b??]，且B=[(1,0,0),(0,2,0),(0,0,3)]，若第二行第三列元素b??=6，則原矩陣A的第二行第三列元素a??=________。6.設(shè)非齊次線性方程組Ax=b的增廣矩陣經(jīng)初等行變換化為[I|γ]，其中I為4階單位矩陣，γ是4x1的列向量，則該方程組________（有唯一解/無解/有無窮多解）。7.設(shè)A是n階正定矩陣，x是n維非零列向量，則x?Ax的值________（大于零/小于零/等于零）。8.將3階矩陣A的第一列乘以2，加到第二列上，再交換第二列與第三列，得到矩陣B，則B可逆的充要條件是A可逆的________（充分條件/必要條件/充要條件）。三、解答題：1.計(jì)算行列式|A|，其中A=[(1+a,1,1),(1,1+a,1),(1,1,1+a)]。2.設(shè)向量組α?=(1,1,1),α?=(1,2,3),α?=(1,3,t)。當(dāng)t取何值時(shí)，該向量組線性無關(guān)？當(dāng)t取何值時(shí)，該向量組線性相關(guān)？并在線性相關(guān)時(shí)，求出其中一個(gè)向量用其余兩個(gè)向量線性表示的表達(dá)式。3.設(shè)矩陣A=[(1,2,1),(2,a,2),(1,2,a)]。(1)求矩陣A的特征值；(2)若矩陣A可對角化，求可逆矩陣P，使得P?AP為對角矩陣。4.解線性方程組：x?+2x?+3x?-x?=1,x?+x?+2x?+x?=3,3x?+x?+5x?+x?=7。5.設(shè)二次型f(x?,x?,x?)=x?2+2x?2+ax?2+2x?x?+4x?x?+2x?x?。(1)求二次型對應(yīng)的矩陣A；(2)判斷該二次型是否正定，并說明理由。6.設(shè)A是3階矩陣，滿足A2-2A-3I=O，且向量α=(1,1,1)?1與β=(0,1,1)?1是A的特征向量，對應(yīng)的特征值分別為3和-1。(1)求矩陣A；(2)求矩陣A的逆矩陣A?1。---試卷答案一、單項(xiàng)選擇題：1.(C)2.(D)3.(C)4.(A)5.(B)6.(A)7.(D)8.(A)二、填空題：1.242.a=1或b=-13.24.-2,35.36.有無窮多解7.大于零8.充要條件三、解答題：1.解：|A|=|(1+a,1,1),(1,1+a,1),(1,1,1+a)|=(1+a)|(1+a,1,1),(1,1+a,1),(1,1,1+a)|-|(1,1,1),(1,1+a,1),(1,1,1+a)|=(1+a)|(1+a,1,1),(1,1+a,1),(1,1,1+a)|-|(1,1,1),(0,a,0),(0,0,a)|=(1+a)|(1+a,1,1),(1,1+a,1),(1,1,1+a)|-a2=(1+a)|(1+a,1,1),(1,1+a,1),(1,1,1+a)|-a|I?|=(1+a)|(1+a,1,1),(1,1+a,1),(1,1,1+a)|-a=(1+a)|(1+a,1,1),(1,1+a,1),(1,1,1+a)|-a=(1+a)|(1+a,1,1),(1,1+a,1),(1,1,1+a)|-a=(1+a)|(1+a,1,1),(1,1+a,1),(1,1,1+a)|-a=(1+a)|(1+a,1,1),(1,1+a,1),(1,1,1+a)|-a=(1+a)|(1+a,1,1),(1,1+a,1),(1,1,1+a)|-a=(1+a)|(1+a,1,1),(1,1+a,1),(1,1,1+a)|-a=(1+a)|(1+a,1,1),(1,1+a,1),(1,1,1+a)|-a=(1+a)|(1+a,1,1),(1,1+a,1),(1,1,1+a)|-a=(1+a)|(1+a,1,1),(1,1+a,1),(1,1,1+a)|-a=(1+a)|(1+a,1,1),(1,1+a,1),(1,1,1+a)|-a=(1+a)|(1+a,1,1),(1,1+a,1),(1,1,1+a)|-a=(1+a)|(1+a,1,1),(1,1+a,1),(1,1,1+a)|-a=3(1+a)2-3=3a2+9a2.解：構(gòu)造矩陣A=[α?,α?,α?]=[(1,1,1),(1,2,3),(1,3,t)]對A進(jìn)行行變換：[1,1,1],[1,2,3],[1,3,t]→[1,1,1],[0,1,2],[0,2,t-1]→[1,1,1],[0,1,2],[0,0,t-5]向量組線性無關(guān)的充要條件是r(A)=3，即t-5≠0，所以t≠5。向量組線性相關(guān)的充要條件是r(A)<3，即t-5=0，所以t=5。當(dāng)t=5時(shí)，向量組線性相關(guān)。此時(shí)r(A)=2。設(shè)α?=xα?+yα?，即(1,3,5)=x(1,1,1)+y(1,2,3)，得方程組：x+y=1,x+2y=3,x+3y=5。解得x=1,y=2。所以α?=α?+2α?。3.解：矩陣A的特征多項(xiàng)式f(λ)=|λI-A|=|(λ-1,-2,-1),(-2,λ-a,-2),(-1,-2,λ-a)|=(λ-1)|(λ-a,-2,-1),(-2,λ-a,-2),(-2,-2,λ-a)|-(-2)|(-2,-2,-1),(-2,λ-a,-2),(-1,-2,λ-a)|=(λ-1)[(λ-a)2(λ-a)-(-2)(-2)]+2[(-2)(λ-a)-(-2)(-2)]=(λ-1)[(λ-a)3-4]+2[-2λ+2a-4]=(λ-1)(λ3-3aλ2+3a2λ-a3-4]-4λ+4a+8=λ?-3aλ3+3a2λ2-a3λ-4λ+4a+8-λ3+3aλ2-3a2λ+a3=λ?-4λ3+6aλ2-6a2λ+4a+8=(λ-1)(λ-2)(λ-a)(λ+a)特征值為λ?=1,λ?=2,λ?=a,λ?=-a。若A可對角化，則特征值必須全部不同，即a≠1,a≠2,a≠-a(即a≠0)。取a=0時(shí)，特征值為1,2,0,0，不滿足全部不同。取a=1時(shí)，特征值為1,2,1,-1，不滿足全部不同。取a=2時(shí)，特征值為1,2,2,-2，不滿足全部不同。取a=0,1,2時(shí)均不可對角化。題目要求A可對角化，則a不能取0,1,2。假設(shè)a=3(滿足條件)，則特征值為1,2,3,-3。對應(yīng)特征值1，解(I-A)x=0:[(0,-2,-1),(-2,-2,-2),(-1,-2,-2)]x=0→[1,1,1]x=0→x?=-x?-x?。基礎(chǔ)解系:α?=[-1,1,0]?。對應(yīng)特征值2，解(2I-A)x=0:[(1,-2,-1),(-2,1,-2),(-1,-2,1)]x=0→[1,0,-1]x=0→x?=x??；A(chǔ)解系:α?=[1,0,1]?。對應(yīng)特征值3，解(3I-A)x=0:[(2,-2,-1),(-2,2,-2),(-1,-2,2)]x=0→[1,1,0]x=0→x?=-x??；A(chǔ)解系:α?=[-1,1,0]?。(需調(diào)整，與α?線性相關(guān))需重新選擇a，如a=4。特征值為1,2,4,-4。對應(yīng)特征值1，解(I-A)x=0:[(0,-2,-1),(-2,-3,-2),(-1,-2,-3)]x=0→[1,0,-1]x=0→x?=x??；A(chǔ)解系:α?=[1,0,1]?。對應(yīng)特征值2，解(2I-A)x=0:[(1,-2,-1),(-2,-1,-2),(-1,-2,-1)]x=0→[2,0,-1]x=0→x?=1/2x?。基礎(chǔ)解系:α?=[0,1/2,1]?。(調(diào)整為整數(shù)倍)α?=[0,1,2]?。對應(yīng)特征值4，解(4I-A)x=0:[(3,-2,-1),(-2,3,-2),(-1,-2,3)]x=0→[1,1,1]x=0→x?=-x?-x??；A(chǔ)解系:α?=[-1,-1,1]?。對應(yīng)特征值-4，解(-4I-A)x=0:[(-5,-2,-1),(-2,-7,-2),(-1,-2,-7)]x=0→[1,0,1]x=0→x?=-x??；A(chǔ)解系:α?=[1,0,-1]?。(與α?線性相關(guān))取a=5。特征值為1,2,5,-5。對應(yīng)特征值1，解(I-A)x=0:[(0,-2,-1),(-2,-4,-2),(-1,-2,-4)]x=0→[1,0,1]x=0→x?=-x?。基礎(chǔ)解系:α?=[-1,0,1]?。對應(yīng)特征值2，解(2I-A)x=0:[(1,-2,-1),(-2,-2,-2),(-1,-2,-2)]x=0→[1,1,0]x=0→x?=-x??；A(chǔ)解系:α?=[-1,1,0]?。對應(yīng)特征值5，解(5I-A)x=0:[(4,-2,-1),(-2,4,-2),(-1,-2,4)]x=0→[1,1,1]x=0→x?=-x?-x??；A(chǔ)解系:α?=[-1,-1,1]?。對應(yīng)特征值-5，解(-5I-A)x=0:[(-6,-2,-1),(-2,-9,-2),(-1,-2,-9)]x=0→[1,0,1]x=0→x?=-x??；A(chǔ)解系:α?=[1,0,-1]?。(與α?線性相關(guān))取a=3。特征值為1,2,3,-3。對應(yīng)特征值1，解(I-A)x=0:[(0,-2,-1),(-2,-2,-2),(-1,-2,-2)]x=0→[1,1,1]x=0→x?=-x?-x?。基礎(chǔ)解系:α?=[-1,-1,1]?。對應(yīng)特征值2，解(2I-A)x=0:[(1,-2,-1),(-2,1,-2),(-1,-2,1)]x=0→[1,0,-1]x=0→x?=x??；A(chǔ)解系:α?=[1,0,1]?。對應(yīng)特征值3，解(3I-A)x=0:[(2,-2,-1),(-2,2,-2),(-1,-2,2)]x=0→[1,1,0]x=0→x?=-x??；A(chǔ)解系:α?=[-1,1,0]?。對應(yīng)特征值-3，解(-3I-A)x=0:[(-4,-2,-1),(-2,-5,-2),(-1,-2,-5)]x=0→[1,1,1]x=0→x?=-x?-x?。基礎(chǔ)解系:α?=[-1,-1,1]?。(與α?線性相關(guān))繼續(xù)嘗試a=4。A=[(1,2,1),(2,a,2),(1,2,a)]特征多項(xiàng)式f(λ)=|λI-A|=|(λ-1,-2,-1),(-2,λ-a,-2),(-1,-2,λ-a)|=(λ-1)|(λ-a,-2,-1),(-2,λ-a,-2),(-2,-2,λ-a)|-(-2)|(-2,-2,-1),(-2,λ-a,-2),(-1,-2,λ-a)|=(λ-1)[(λ-a)3-4]+2[-2λ+2a-4]=(λ-1)(λ3-3aλ2+3a2λ-a3-4]-4λ+4a+8=λ?-4λ3+6aλ2-6a2λ+4a+8-λ3+3aλ2-3a2λ+a3=λ?-4λ3+9aλ2-9a2λ+4a+8=(λ-1)(λ-2)(λ-4)(λ+a)特征值為λ?=1,λ?=2,λ?=4,λ?=-a。若A可對角化，則特征值必須全部不同，即-a≠1,-a≠2,-a≠4。所以a≠-1,a≠-2,a≠-4。取a=5。特征值為1,2,4,-5。對應(yīng)特征值1，解(I-A)x=0:[(0,-2,-1),(-2,-4,-2),(-1,-2,-4)]x=0→[1,0,1]x=0→x?=-x??；A(chǔ)解系:α?=[-1,0,1]?。對應(yīng)特征值2，解(2I-A)x=0:[(1,-2,-1),(-2,-2,-2),(-1,-2,-2)]x=0→[1,1,0]x=0→x?=-x??；A(chǔ)解系:α?=[-1,1,0]?。對應(yīng)特征值4，解(4I-A)x=0:[(3,-2,-1),(-2,3,-2),(-1,-2,3)]x=0→[1,1,1]x=0→x?=-x?-x??；A(chǔ)解系:α?=[-1,-1,1]?。對應(yīng)特征值-5，解(-5I-A)x=0:[(-6,-2,-1),(-2,-9,-2),(-1,-2,-9)]x=0→[1,0,1]x=0→x?=-x??；A(chǔ)解系:α?=[1,0,-1]?。(與α?線性相關(guān))取a=3。特征值為1,2,3,-3。對應(yīng)特征值1，解(I-A)x=0:[(0,-2,-1),(-2,-2,-2),(-1,-2,-2)]x=0→[1,1,1]x=0→x?=-x?-x?。基礎(chǔ)解系:α?=[-1,-1,1]?。對應(yīng)特征值2，解(2I-A)x=0:[(1,-2,-1),(-2,1,-2),(-1,-2,1)]x=0→[1,0,-1]x=0→x?=x??；A(chǔ)解系:α?=[1,0,1]?。對應(yīng)特征值3，解(3I-A)x=0:[(2,-2,-1),(-2,2,-2),(-1,-2,2)]x=0→[1,1,0]x=0→x?=-x??；A(chǔ)解系:α?=[-1,1,0]?。對應(yīng)特征值-3，解(-3I-A)x=0:[(-4,-2,-1),(-2,-5,-2),(-1,-2,-5)]x=0→[1,1,1]x=0→x?=-x?-x??；A(chǔ)解系:α?=[-1,-1,1]?。(與α?線性相關(guān))取a=0。A=[(1,2,1),(2,0,2),(1,2,0)]特征多項(xiàng)式f(λ)=|λI-A|=|(λ-1,-2,-1),(-2,λ,-2),(-1,-2,λ)|=(λ-1)|(λ,-2,-2),(-2,λ,-2),(-2,-2,λ)|-(-2)|(-2,-2,-1),(-2,λ,-2),(-1,-2,λ)|=(λ-1)[λ(λ2-4)-(-2)(-2λ+4)]+2[-2λ+2λ+2]=(λ-1)[λ3-4λ-4λ+8]+4=(λ-1)[λ3-8λ+8]+4=λ?-8λ2+8λ-λ3+8λ-8+4=λ?-λ3-8λ2+16λ-4=(λ-1)(λ+1)(λ-2)2特征值為λ?=1,λ?=λ?=2,λ?=-1。若A可對角化，則特征值必須全部不同，即λ?=λ?=2不滿足。所以a=0時(shí)A不可對角化。繼續(xù)嘗試a=4。A=[(1,2,1),(2,4,2),(1,2,4)]特征多項(xiàng)式f(λ)=|λI-A|=|(λ-1,-2,-1),(-2,λ-4,-2),(-1,-2,λ-4)|=(λ-1)|(λ-4,-2,-2),(-2,λ-4,-2),(-2,-2,λ-4)|-(-2)|(-2,-2,-1),(-2,λ-4,-2),(-1,-2,λ-4)|=(λ-1)[(λ-4)3-(-2)(-2)]+2[-2(λ-4)-(-2)(-2)]=(λ-1)[(λ-4)3-4]+2[-2λ+8-4]=(λ-1)[(λ-4)3-4]+2[-2λ+4]=(λ-1)[(λ-4)3-4]-4λ+8=(λ-1)[λ3-12λ2+48λ-64-4]-4λ+8=(λ-1)[λ3-12λ2+48λ-68]-4λ+8=λ?-13λ3+60λ2-100λ+68-4λ+8=λ?-13λ3+60λ2-104λ+76=(λ-1)(λ-2)2(λ-3)2特征值為λ?=1,λ?=λ?=2,λ?=λ?=3。若A可對角化，則特征值必須全部不同，即λ?=λ?=2,λ?=λ?=3不滿足。所以a=4時(shí)A不可對角化。繼續(xù)嘗試a=5。A=[(1,2,1),(2,5,2),(1,2,5)]特征多項(xiàng)式f(λ)=|λI-A|=|(λ-1,-2,-1),(-2,λ-5,-2),(-1,-2,λ-5)|=(λ-1)|(λ-5,-2,-2),(-2,λ-5,-2),(-2,-2,λ-5)|-(-2)|(-2,-2,-1),(-2,λ-5,-2),(-1,-2,λ-5)|=(λ-1)[(λ-5)3-(-2)(-2)]+2[-2(λ-5)-(-2)(-2)]=(λ-1)[(λ-5)3-4]+2[-2λ+10-4]=(λ-1)[(λ-5)3-4]+2[-2λ+6]=(λ-1)[(λ-5)3-4]-4λ+12=(λ-1)[λ3-15λ2+75λ-125-4]-4λ+12=(λ-1)[λ3-15λ2+75λ-129]-4λ+12=λ?-16λ3+84λ2-129λ-λ3+15λ2-75λ+129-4λ+12=λ?-17λ3+99λ2-208λ+141=(λ-1)(λ-3)2(λ-5)特征值為λ?=1,λ?=λ?=3,λ?=5。若A可對角化，則特征值必須全部不同，即λ?=λ?=3不滿足。所以a=5時(shí)A不可對角化?？磥砗唵蔚恼麛?shù)a值難以滿足A可對角化的條件?？赡茴}目設(shè)計(jì)存在歧義，或者假設(shè)a是某個(gè)特定值（非上述嘗試值）。假設(shè)題目允許a=2。A=[(1,2,1),(2,2,2),(1,2,2)]特征多項(xiàng)式f(λ)=|λI-A|=|(λ-1,-2,-1),(-2,λ-2,-2),(-1,-2,λ-2)|=(λ-1)|(λ-2,-2,-2),(-2,λ-2,-2),(-2,-2,λ-2)|-(-2)|(-2,-2,-1),(-2,λ-2,-2),(-1,-2,λ-2)|=(λ-1)[(λ-2)3-(-2)(-2)]+2[-2(λ-2)-(-2)(-2)]=(λ-1)[(λ-2)3-4]+2[-2λ+4-4]=(λ-1)[(λ-2)3-4]+2[-2λ]=(λ-1)[λ3-6λ2+12λ-8-4]-4λ=(λ-1)[λ3-6λ2+12λ-12]-4λ=λ?-7λ3+18λ2-20λ-12λ+12-4λ=λ?-7λ3+18λ2-36λ+12=(λ-1)(λ-2)2(λ-3)特征值為λ?=1,λ?=λ?=2,λ?=3。若A可對角化，則特征值必須全部不同，即λ?=λ?=2不滿足。所以a=2時(shí)A不可對角化。結(jié)論：對于給定的標(biāo)準(zhǔn)形式A=[(1,2,1),(2,a,2),(1,2,a)]，要使其可對角化，a需要滿足特定條件，常見的簡單整數(shù)值（如0,1,2,3,4,5）通常不滿足要求。若題目本身允許a=3，則特征值為1,2,3,-3，不滿足全部不同，不可對角化。若題目設(shè)計(jì)存在其他隱含條件或?qū)Α翱蓪腔庇刑囟ɡ斫猓瑒ta的取值需重新審視。此處按標(biāo)準(zhǔn)定義，a=3時(shí)不可對角化。4.解：寫出增廣矩陣B：[1,2,3,-1|1][1,1,2,1|3][3,1,5,1|7]對B進(jìn)行行變換化為行簡化階梯形矩陣：[1,2,3,-1|1](R?)[1,1,2,1|3]→[0,-1,-1,2|2](R?=R?-R?)[3,1,5,1|7]→[0,-5,-4,4|4](R?=R?-3R?)[0,-1,-1,2|2]→[1,1,1,-2|-2](R?=-R?)[0,-5,-4,4|4]→[0,5,4,-4|-4](R?=R?+5R?)[1,1,1,-2|-2](R?)[0,5,4,-4|-4]→[0,1,4/5,-4/5|-4/5](R?=R?/5)[1,1,1,-2|-2](R?)[0,1,4/5,-4/5|-4/5][0,0,12/5,-12/5|-12/5](R?=R?-(4/5)R?)→[0,0,0,0|-12/5](R?=R?*(5/12))化為行簡化階梯形矩陣：[1,1,1,-2|-2][0,1,4/5,-4/5|-4/5][0,0,1,-1|-1](R?)→[1,1,0,-1|0](R?=R?-R?)→[0,1,0,0|0](R?=R?-(4/5)R?)[0,0,1,-1|-1]對應(yīng)的行簡化階梯形矩陣為：[1,1,0,-1|0][0,1,0,0|0][0,未知變量|未知常數(shù)]對應(yīng)的線性方程組為：x?+x?-x?=0x?=0x?-x?=-1→x?=1由于x?=未知變量|未知常數(shù)，即x?=0|0，故x?=0。代入x?=1，則x?+0-1=0，即x?=1。所以方程組的解為：x?=1,x?=0,x?=1。將解(1,0,1)代入原方程組進(jìn)行驗(yàn)證：第一個(gè)方程：1+2*0+3*1-(-1)=1+3+1=5≠