高中數(shù)學(xué)必修1知識點

第一章集合與函數(shù)概念

[1.1.11集合的含義與表示

(1)集合的概念

集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.

(2)常用數(shù)集與其記法

表示自然數(shù)集，或表示正整數(shù)集，表示整數(shù)集，表示有理數(shù)集，表示實數(shù)集.

(3)集合與元素間的關(guān)系

對象與集合的關(guān)系是，或者，兩者必居其一.

(4)集合的表示法

①自然語言法：用文字敘述的形式來描述集合.

②列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)表示集

合.

③描述法：｛I具有的性質(zhì)｝,其中為集合的代表元素.

④圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合.

(5)集合的分類

①含有有限個元素的集合叫做有限集.②含有無限個元素的集合叫

做無限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(0).

[1.1.2]集合間的基本關(guān)系

(6)子集、真子集、集合相等

名稱記號意義性質(zhì)示意圖

（1）1

?或

（2）0cA

A中的任一元

（或⑶若且，則

子集

素都屬于B

5"）⑷若且，則

（4）若4GB且4=A,則?

A=B

（1）0uA（A為非空子集）

真子U*,且B中至少有⑵若且，則

一元素不屬于A

（2）若AuB且BuC，則

集（或=））*H

AuC

A中的任一元

素都屬于B,B

集合⑴C

A=B中的任一元素

相等⑵q0

都屬于A

（7）已知集合有個元素，則它有個子集，它有個真子集，它

有個非空子集，它有非空真子集.

[1.1.3]集合的基本運算

（8）交集、并集、補集

名記

意義性質(zhì)示意圖

稱號

(1)A^A=A

交{x|xwA且

ACI8(2)A0=0

集xeB]

(3)AB=A

(1)人A=A

并4,或

A(JB(2)A0=A

集xeB}

(3)AB^AGD

補心1A[QA)=0

{x|xeU，且xeA]旗A/(U)(

a，A8)=AU%B)

集飄AM)=(〃A)n(%B)%。

【補充知識】含絕對值的不等式與一元二次不等式的解法

(1)含絕對值的不等式的解法

不等式解集

\x|<a(a>0){x|-rz<x<a}

|x|>a(a>0)x\x<-a^x>a}

把看成一個整體，化成

Iax+b\<c,\ax+b\>c(c>0)型不等式來求解

(2)一元二次不等式的解法

判別式

A>0A=0A<0

A=Z?2-4ac

二次函數(shù)11yj

\/

Ji

y=ax2+bx+c(a>0)?卜

的圖象1

一元二次方程

-b±y]b2-4ac

=----------b

cix2+bx+c=0(a>0)2aX]-k-無實根

2a

(其中8<x)

的根2

ax2+bx+c>0(a>0)

,,b、

{x|x<M或x>R

的解集2a

ax2+bx+c<0(a>0)

{x[內(nèi)<x<x2)00

的解集

n.23函數(shù)與其表示

[1.2.1]函數(shù)的概念

(1)函數(shù)的概念

①設(shè)、是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種對應(yīng)法則，對于集

合中任何一個數(shù)，在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對應(yīng)，

那么這樣的對應(yīng)(包括集合，以與到的對應(yīng)法則)叫做集

合到的一個函數(shù)，記作.

②函數(shù)的三要素:定義域、值域和對應(yīng)法則.

③只有定義域相同，且對應(yīng)法則也相同的兩個函數(shù)才是同一函數(shù).

(2)區(qū)間的概念與表示法

①設(shè)是兩個實數(shù)，且，滿足的實數(shù)的集合叫做閉區(qū)間，

記做；滿足的實數(shù)的集合叫做開區(qū)間，記做；滿足，或

的實數(shù)的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別記做，；滿足

的實數(shù)的集合分別記做.

注意：對于集合與區(qū)間，前者可以大于或等于，而后者必須

（3）求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原則：

①是整式時，定義域是全體實數(shù).

②是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的一切實數(shù).

③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數(shù)的集

合.

④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時,

底數(shù)須大于零且不等于1.

⑤中，.

⑥零（負）指數(shù)轅的底數(shù)不能為零.

⑦若是由有限個基本初等函數(shù)的四則運算而合成的函數(shù)時，則

其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交集.

⑧對于求復(fù)合函數(shù)定義域問題，一般步驟是：若已知的定義域為，

其復(fù)合函數(shù)的定義域應(yīng)由不等式解出.

⑨對于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問題具體情況需對字母

參數(shù)進行分類討論.

⑩由實際問題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問

題的實際意義.

（4）求函數(shù)的值域或最值

求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的.事實上,

如果在函數(shù)的值域中存在一個最小（大）數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最

小（大）值.因此求函數(shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的，只是提

問的角度不同.求函數(shù)值域與最值的常用方法：

①觀察法：對于比較簡單的函數(shù)，我們可以通過觀察直接

得到值域或最值.

②配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，

然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的值域或最值.

③判別式法：若函數(shù)可以化成一個系數(shù)含有的關(guān)于的二次

方程，則在時，由于為實數(shù)，故必須有，從而確定函

數(shù)的值域或最值.

④不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值.

⑤換元法：通過變量代換達到化繁為簡、化難為易的目的，三角代

換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題.

⑥反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系

確定函數(shù)的值域或最值.

⑦數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值.

⑧函數(shù)的單調(diào)性法.

[1.2.2]函數(shù)的表示法

（5）函數(shù)的表示方法

表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種.

解析法：就是用數(shù)學(xué)表達式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.列表

法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.圖象法：就是用

圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.

(6)映射的概念

①設(shè)、是兩個集合，如果按照某種對應(yīng)法則，對于集合

中任何一個元素，在集合中都有唯一的元素和它對應(yīng)，那么這

樣的對應(yīng)(包括集合，以與到的對應(yīng)法則)叫做集合

到的映射，記作.

②給定一個集合到集合的映射，且.如果元素和元素對應(yīng),

那么我們把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象.

K1.32函數(shù)的基本性質(zhì)

[1.3.1]單調(diào)性與最大(小)值

(1)函數(shù)的單調(diào)性

①定義與判定方法

函數(shù)的

定義圖象判定方法

性質(zhì)

如果對于屬于定義(1)利用定義

域I內(nèi)某個區(qū)間上(2)利用已知

的任意兩個自變量函數(shù)的單調(diào)性

的值xl.x2,當xl<(3)利用函數(shù)

/

x2時，都有‘％f(Xj圖象(在某個

f(xl)<f(x2),那區(qū)間圖

°lX,4X

么就說f(x)在這象上升為

個區(qū)間上是增函增)

數(shù).(4)利用復(fù)合

函數(shù)的函數(shù)

單調(diào)性如果對于屬于定義(1)利用定義

域I內(nèi)某個區(qū)間上(2)利用已知

的任意兩個自變量函數(shù)的單調(diào)性

的值xl、x2,當(3)利用函數(shù)

yy=f(x)

xl<x2時，都有圖象(在某個

f(x

f(xl)>f(x2),那區(qū)間圖

0x,x：x

么就說f(x)在這象下降為減)

個區(qū)間上是減函(4)利用復(fù)合

數(shù).函數(shù)

②在公共定義域內(nèi)，兩個增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個減函數(shù)的和

是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)減去一個增

函數(shù)為減函數(shù).

③對于復(fù)合函數(shù)，令，若為增，為增，則為增；若為減，為減，則為增：若為增，為減，則為

減：若為減，為增.則為減.

（2）打“函數(shù)八制=工+色（〃>0）的圖象與性質(zhì)

x

分別在、上為增函數(shù)，分別在、上為減函數(shù).

（3）最大（?。┲刀x

①一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，如果存在實數(shù)滿足：（1）

對于任意的，都有；

（2）存在，使得.那么，我們稱是函數(shù)的最

大值，記作.

②一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，如果存在實數(shù)滿足：（1）對于

任意的，都有；（2）存在，使得.那么，我們稱是函數(shù)

的最小值，記作.

[1.3.2]奇偶性

（4）函數(shù)的奇偶性

①定義與判定方法

函數(shù)的

定義圖象判定方法

性質(zhì)

如果對于函數(shù)（1）利用定義

f（x）定義域內(nèi)任意（要先判斷定

一個X,都有f（一y義域是否關(guān)于

(a.f(a))

/T一

X）=—f（X）,那么函-a原點對稱）

Jcax

數(shù)f（x）叫做奇函(-a,f(-a))（2）利用圖象

數(shù).（圖象關(guān)于原

函數(shù)的點對稱）

奇偶性如果對于函數(shù)（1）利用定義

f（x）定義域內(nèi)任意（要先判斷定

一個X,都有f（一V'義域是否關(guān)于

(-a.f(-a))^(a.f(a))

x）（X）,那么函數(shù)原點對稱）

-aoax

f（x）叫做偶函數(shù).（2）利用圖象

（圖象關(guān)于y

軸對稱）

②若函數(shù)為奇函數(shù)，且在處有定義，則.

③奇函數(shù)在軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在軸兩側(cè)

相對稱的區(qū)間增減性相反.

④在公共定義域內(nèi)，兩個偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的和（或差）仍是偶函

數(shù)（或奇函數(shù)），兩個偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的積（或商）是偶函數(shù)，一

個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的積（或商）是奇函數(shù).

K補充知識》函數(shù)的圖象

（1）作圖

利用描點法作圖：

①確定函數(shù)的定義域；②化解函數(shù)解析

式；

③討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性）;④畫出函數(shù)的圖

象.

利用基本函數(shù)圖象的變換作佟I:

要準確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函

數(shù)、轅函數(shù)、三角函數(shù)等各種基本初等函數(shù)的圖象.

①平移變換

心0.左移4個單位f（Y+h}

）一力＜0,右移I4個單位＞）-U+〃）

v—f（x],上移A個單位、-f（\k

）一八―k＜o,下移1用個v單位x+?

②伸縮變換

k/⑴騎秒

尸/⑴嗡耦

③對稱變換

），=/（x）3U），=/（一）

y=f(x)b?:,->y=-f(-x)）,=/（?真級二、一》）,=/⑶

去抻y軸左邊圖象

)=fM保留沖山右邊圖象，并作其關(guān)于y軸對稱圖象>y=/(l-r|)

保留霜h上方圖象>y=l/(-r)l

y=fM將X軸下方圖象翻折上去

（2）識圖

對于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨勢、

對稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性，注意圖

象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系.

(3)用圖

函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系問題

提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得問題結(jié)果的重要工

具.要重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法.

第二章基本初等函數(shù)(I)

K2.13指數(shù)函數(shù)

L2.1.1］指數(shù)與指數(shù)幕的運算

(1)根式的概念

①如果，且，那么叫做的次方根.當是奇數(shù)時;

的次方根用符號表示；當是偶數(shù)時，正數(shù)的正的次

方根用符號表示，負的次方根用符號表示；0的次方根是

0；負數(shù)沒有次方根.

②式子叫做根式，這里叫做根指數(shù)，叫做被開方數(shù).當為奇

數(shù)時，為任意實數(shù)；當為偶數(shù)時，.

③根式的性質(zhì)：；當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時，.

(2)分數(shù)指數(shù)塞的概念

①正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)幕的意義是：且.0的正分數(shù)指數(shù)幕

等于0.

②正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)幕的意義是：且.0的負分數(shù)指數(shù)幕沒有意

義.注意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù).

(3)分數(shù)指數(shù)幕的運算性質(zhì)

①ar?a=ar+x(a>0,r,seR)②(ar)'=ars(a>0,r,seR)

③(ab)r=arbr(a>Q,b>O,rG7?)

[2.1.2]指數(shù)函數(shù)與其性質(zhì)

（4）指數(shù)函數(shù)

函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)

定義函數(shù)產(chǎn)優(yōu)（a>0且叫做指數(shù)函數(shù)

a>\0<6/<1

圖象

定義域y

值域

V=1(0.1)

々______1_____X,

0象過定點，即當時，

過定點

0x"。X

奇偶性非奇非偶

單調(diào)性在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)

ax>1(x>0)ax<\(x>0)

函數(shù)值的

ax=\(x=0)ax=1(x=0)

變化情況ax<1(x<0)ax>1(x<0)

在第一象限內(nèi)，越大圖象越高；在第二象限內(nèi)，越

。變化對圖象

大圖象越低.

的影響

K2.23對數(shù)函數(shù)

[2.2.1]對數(shù)與對數(shù)運算

⑴對數(shù)的定義

①若，則叫做以為底的對數(shù)，記作，其中叫做

底數(shù)，叫做真數(shù).

②負數(shù)和零沒有對數(shù).

③對數(shù)式與指數(shù)式的互化：.

(2)幾個重要的對數(shù)恒等式

，，?

(3)常用對數(shù)與自然對數(shù)

常用對數(shù)：，即；自然對數(shù)：，即(其中…).

(4)對數(shù)的運算性質(zhì)如果，那么

①加法：②減法：

③數(shù)乘：④

⑤⑥換底公式：

[2.2.2]對數(shù)函數(shù)與其性質(zhì)

(5)對數(shù)函數(shù)

函數(shù)

對數(shù)函數(shù)

名稱

定義函數(shù)y=log"且awl)叫做對數(shù)函數(shù)

a＞\0＜。＜1

圖象1IX=1iX=1

yy=Eg.xyy=i%%

定義域(0收)

\

值域乙___AR(1,0)

u/(1,0)x?KJ

圖象過定點，即當E寸，

過定點

奇偶性非奇非偶

單調(diào)性在（0,田）上是增函數(shù)在。+00）上是減函數(shù)

logax>。(x>l)logx<()(X>1)

函數(shù)值的rt

logax=0(x=l)logrtx=0(x=l)

變化情況

log(rx<0(0<x<l)logf；x>0(0<x<l)

在第一象限內(nèi)，越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，

〃變化對圖象

越大圖象越靠高.

的影響

（6）反函數(shù)的概念

設(shè)函數(shù)的定義域為，值域為，從式子中解出，得式子.

如果對于在中的任何一個值，通過式子，在中都有唯一確定

的值和它對應(yīng)，那么式子表示是的函數(shù)，函數(shù)叫做函數(shù)的

反函數(shù)，記作，習(xí)慣上改寫成.

（7）反函數(shù)的求法

①確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；②從原函數(shù)式中反解

出；

③將改寫成，并注明反函數(shù)的定義域.

（8）反函數(shù)的性質(zhì)

①原函數(shù)與反函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.

②函數(shù)的定義域、值域分別是其反函數(shù)的值域、定義域.

③若在原函數(shù)的圖象上，則在反函數(shù)的圖象上.

④一般地，函數(shù)要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù).

K2.32幕函數(shù)

(1)幕函數(shù)的定義

一般地，函數(shù)叫做塞函數(shù)，其中為自變量，是常數(shù).

(2)幕函數(shù)的圖象

(3)第函數(shù)的性質(zhì)；:第四象限無圖象

①圖象分布：事函數(shù)圖象

幕函數(shù)是偶函數(shù)時，圖象布在第1、/象限(圖象關(guān)于一軸對稱);

、或《(圖象關(guān)印，金對稱)；是非奇

是奇函數(shù)時,

非偶函數(shù)時

②過定點：所有的幕函數(shù)在都有定義，并且圖象都通過點.

③單調(diào)性：如多/,則基函數(shù)的圖象過原點，并且在上為增

函數(shù).如果，)森函數(shù)的圖象在上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，

//圖象無限/近軸與軸.

④奇偶性：當為奇數(shù)時，幕函數(shù)為奇函數(shù)，當為偶數(shù)時，幕

函數(shù)為偶函數(shù).當(其中互質(zhì)，和)，若為奇數(shù)為奇數(shù)

時，則是奇函數(shù)，若為奇數(shù)為偶數(shù)時，則是偶函數(shù)，若

為偶數(shù)為奇數(shù)時，則是非奇非偶函數(shù).

⑤圖象特征：基函數(shù)，當時，若，其圖象在直線下方,

若，其圖象在直線上方，當時，若，其圖象在直線上方,

若，其圖象在直線下方.

K補充知識』二次函數(shù)

(1)二次函數(shù)解析式的三種形式

①一般式：②頂點式：③兩根式：（2）求二次函數(shù)解

析式的方法

①已知三個點坐標時，宜用一般式.

②已知拋物線的頂點坐標或與對稱軸有關(guān)或與最大（?。┲涤嘘P(guān)時，常

使用頂點式.

③若已知拋物線與軸有兩個交點，且橫線坐標已知時，選用兩根式

求更方便.

（3）二次函數(shù)圖象的性質(zhì)

①二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，對稱軸方程為頂點坐標是.

②當時，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增，當時,

;當時，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減，當

時，.

③二次函數(shù)當時，圖象與軸有兩個交點.

（4）一元二次方程加+bx+c=0（。*0）根的分布

一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容，這部分知識在初中

代數(shù)中雖有所涉與，但尚不夠系統(tǒng)和完整，且解決的方法偏重于

二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系定理（韋達定理）的運用，下

面結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，系統(tǒng)地來分析一元二次方程實根的

分布.

設(shè)一元二次方程的兩實根為，且.令，從以下四個

方面來分析此類問題：①開口方向：②對稱軸位置：③判別式：

④端點函數(shù)值符號.

①kVxWx?<=>

②xgx2<k<=>

④發(fā)〈XWX2V420

⑤有且僅有一個根xl(或x2)滿足klVxl(或x2)<k2

f(kl)f(k2)0,并同時考慮f(kl)=0或f(k2)=0這兩種情況是否也

符合

@kI<Xi<k2^pi<x2<p2<=>

此結(jié)論可直接由⑤推出.

(5)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(aw0)在閉區(qū)間［p,q］上的最值

設(shè)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，令

(I)當〃>0時(開口向上)

①若，則②若，則③若，則

①若，則八

②一則

HM<b時(或口向下)

①若\,，則若/，則

2a五)

A\

①褂②，刎八.2)

根電函數(shù)的零為

.的敕念；對于扁數(shù),G成刊勺3數(shù)叫做函!

數(shù)序聿點。7

2.褊數(shù)零總的直為函數(shù)的零置就是方程國數(shù)根，亦即函

數(shù)的鹵象與面交點的橫坐標。即：:一

方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零

J3、、\?

3.函數(shù)零點的求法:

求函數(shù)的零點：

(代數(shù)法)求方程/(幻=0的實數(shù)根；

(幾何法)對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性

質(zhì)找出零點.

4.二次函數(shù)的零點：

二次函數(shù).

1)A>0,方程有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與軸有

兩個交點，二次函數(shù)有兩個零點.

2)△=(),方程有兩相等實根(二重根)，一次函數(shù)的圖象與

軸有一個交點，二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點.

3)A<0,方程無實根，二次函數(shù)的圖象與軸無交點，二次函

數(shù)無零點.

高中數(shù)學(xué)必修2知識點

第一章空間幾何體

L1柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征

1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖

1三視圖：

正視圖：從前往后側(cè)視圖：從左往右

俯視圖：從上往下

2畫三視圖的原則：

長對齊、高對齊、寬相等

3直觀圖：斜二測畫法

4斜二測畫法的步驟：

(1).平行于坐標軸的線依然平行于坐標軸；

(2).平行于y軸的線長度變半，平行于x,z軸的線長度不變；

(3).畫法要寫好。

5用斜二測畫法畫出長方體的步驟：（1）畫軸（2）畫底面（3）畫

側(cè)棱（4）成圖

1.3空間幾何體的表面積與體積

（一）空間幾何體的表面積

1棱柱、棱錐的表面積：各個面的積之和

2圓柱的表觀積2M+2^r23圓錐的表

面積5二加"勿2

4圓臺的表面積S=M+R=+成/+成25球的表面積

S=4派2

（二）空間幾何體的體積

1柱體的體積v=sg2錐體的體積

V=-S^xh

3K

3臺體的體積+JS|S下+S下）x〃4球體的體積

VJ*

3

第二章直線與平面的位置關(guān)系

2.1空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

2.1.1

1平面含義：平面是無限延展的

2平面的畫法與表示

（1）平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形，銳角

畫成450,且橫邊畫成鄰邊的2倍長（如圖）

（2）平面通常用希臘字母a、B、丫等表示，如平面。、平面B等,

也可以用表示平面的平行四邊形的四個頂點或者相對的兩個頂點的

大寫字母來表示，如平面、平面等。

3三個公理：

(1)公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線

在此平面內(nèi)

符號表示為

AeL[/A7

BeLJ=?Laz---------/

AEa

BEa

公理1作用：判斷直線是否在平面內(nèi)

(2)公理2:過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。

符號表示為：A、B、C三點不共線=>有且只有一個平面。，

使A￡a、Q、Ceao

公理2作用：確定一個平面的依據(jù)。

(3)公理3:如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且

只有一條過該點的公共直線。

符號表示為：peanP=>anp,且PGL

公理3作用：判定兩個平面是否相交的依據(jù)

2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

1空間的兩條直線有如下三種關(guān)系：

相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；

平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；

異面直線；不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點。

2公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行,

符號表示為：設(shè)a、b、c是三條直線

a〃b}=>a〃c

c〃b

強調(diào)：公理4實質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質(zhì)都

適用。

公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。

3等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角

相等或互補

4注意點：

①a'與b'所成的角的大小只由a、b的相互位置來確定，與0的必擇無關(guān)，為簡便，點0一般取在兩直線

中的一條上：

②兩條異面直線所成的角Oe(0,)；

③當兩條異面直線所成的角是直角時，我們就說這兩條異面直線互

相垂直記作a_Lb；

④兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；

⑤計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成

的角。

2.1.3—2.1.4空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系

1.直線與平面有三種位置關(guān)系：

(1)直線在平面內(nèi)一一有無數(shù)個公共點

(2)直線與平面相交一一有且只有一個公共點

(3)直線在平面平行一一沒有公共點

指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用aa來表示

aCaaPaa〃a

2.2.直線、平面平行的判定與其性質(zhì)

2.2.1直線與平面平行的判定

1.直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條

直線平行，則該直線與此平面平行。

簡記為：線線平行，則線面平行。

符號表示:

a〃b

2.2.2平面與平面平行的判定

1.兩個平面平行的判定定理：一個平面內(nèi)的兩條交直線與另一個平

面平行，則這兩個平面平行。

aAb=PB〃a

alla

b〃a

2.判斷兩平面平行的方法有三種：

（1）用定義；

（2）判定定理；

（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行。

2.2.3—2.2.4直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)

L定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任平面與此

平面的交線與該直線平行。

簡記為：線面平行則線線平行。

符號表示：

a〃a'A

aCBa//b

an0=b

作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。

2.定理：如果兩個平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。

符號表示：

a〃BIA

J

anY=aa〃b

3AY=b

作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行

2.3直線、平面垂直的判定與其性質(zhì)

2.3.1直線與平面垂直的判定

1.定義

如果直線L與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線L

與平面?；ハ啻怪保涀鱈_La,直線L叫做平面。的垂線，平面0

叫做直線L的垂面。如圖，直線與平面垂直時，它們唯一公共點P叫

做垂足。

L

2.判定定理：一條直委與一個十面向的兩條相交直線都垂直，則

該直線與此平面垂直。

注意點：a）定理中的“兩條相交直線”這一條件不可

忽視；

b）定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”

互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

2.3.2平面與平面垂直的判定

1.二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個半平面所組成

的圖形

A

梭一B

弋

2.二面角的記法：二面角Q8或QB

3、兩個平面互相垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則

這兩個平面垂直。

2.3.3—2.3.4直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)

L定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行°

2性質(zhì)定理：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另

一個平面垂直。

本章知識結(jié)構(gòu)框圖

平面（公理1、公理2、公理3、公理4）

3.1直線的傾斜角和斜率

3.1傾斜角和斜率

1.直線的傾斜角的概念：當直線1與X軸相交時，取X軸作為基準，X

軸正向與直線1向上方向之間所成的角a叫做直線1的傾斜角.特別

地,當直線1與x軸平行或重合時，規(guī)定a=0°.

2、傾斜角a的取值范圍：0°Wa<180°.當直線1與x軸垂

直時，a=90°.

3,直線的斜率：

一條直線的傾斜角a(。#90。)的正切值叫做這條直線的斜率,

斜率常用小寫字母k表示,也就是k=a

⑴當直線1與x軸平行或重合時，a=0。，k=0°=0;

⑵當直線1與x軸垂直時，a=90°,k不存在.

由此可知，一條直線1的傾斜角a一定存在，但是斜率k不一定存在.

4.直線的斜率公式：

給定兩點P1定11)2(x22)l#x2,用兩點的坐標來表示直線P1P2的斜

率：

斜率公式：2121

3.L2兩條直線的平行與垂直

1.兩條直線都有斜率而且不重合，如果它們平行，那么它們的斜率

相等；反之，如果它們的斜率相等，那么它們平行，即

注意：上面的等價是在兩條直線不重合且斜率存在的前提下才成立

的，缺少這個前提，結(jié)論并不成立.即如果kl2,那么一定有L1//

L2

2、兩條直線都有斜率，如果它們互相垂直，那么它們的斜率互為負倒數(shù)：反之，如果它們的斜率互為負倒

數(shù)，那么它們互相垂直，即

"J山止際FF直線的點斜式方程

1.直線的點斜式方程：直線經(jīng)過點

,且斜率為

2、、直線的斜截式方程：已知直線的斜率為，且與軸的交點為

3.2.2直線的兩點式方程

L直線的兩點式方程：已知兩點其中1212

2、直線的截距式方程：已知直線與軸的交點為A,與軸的

交點為B,其中

3.2.3直線的一般式方程

L直線的一般式方程：關(guān)于的二元一次方程(A,B不同時為0)

2.各種直線方程之間的互化。

3.3直線的交點坐標與距離公式

3.3.1兩直線的交點坐標

1.給出例題：兩直線交點坐標

L1:342=0L1:2+2=0

3.3.2解：解方程組得2,2

3.3.3所以L1與L2的交點坐標為M(-2,2)

3.3.4兩點間距離

兩點間的距離公式

3.3.5點到直線的距離公式

L點到直線距離公式：

點到直線的距離為：

2.兩平行線間的距離公式：

第四章已知兩條平行線直線和的一般式方程為：，

第五章：，則與的距離為

第六章圓與方程

4.1.1圓的標準方程

1.圓的標準方程：

圓心為A(),半徑為r的圓的方程

2.點與圓的關(guān)系的判斷方法：

(1)>，點在圓外(2)二，點在圓上

(3)<，點在圓內(nèi)

4.1.2圓的一般方程

1.圓的一般方程：

2.圓的一般方程的特點：

(1)①x2和y2的系數(shù)相同，不等于0.②沒有這樣的二次

項.

(2)圓的一般方程中有三個特定的系數(shù)D、E、F,因之只要求出這三

個系數(shù)，圓的方程就確定了.

(3)、與圓的標準方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數(shù)

特征明顯，圓的標準方程則指出了圓心坐標與半徑大小，幾何特征

較明顯。

4.2.1圓與圓的位置關(guān)系

1.用點到直線的距離來判斷直線與圓的位置關(guān)系.

設(shè)直線：，圓：，圓的半徑為，圓心到直線的距離

為，則判別直線與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點：

（1）當時，直線與圓相離；（2）當時，直線與圓相

切；

（3）當時，直線與圓相交；

4.2.2圓與圓的位置關(guān)系

兩圓的位置關(guān)系.

設(shè)兩圓的連心線長為，則判別圓與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下

幾點：

（1）當時，圓與圓相離；（2）當時，圓與圓外切；

（3）當時，圓與圓相交；

（4）當時，圓與圓內(nèi)切；（5）當時，圓與圓內(nèi)含；

4.2.3直線與圓的方程的應(yīng)用

1.利用平面直角坐標系解決直線與圓的位置關(guān)系；

2.過程與方法

用坐標法解決幾何問題的步驟：

第一步：建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，用坐標和方程表示問題中

的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；

第二步：通過代數(shù)運算,解決代數(shù)問題；

第三步：將代數(shù)運算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論.

4.3.1空間直角坐標系

L點M對應(yīng)著唯一確定的有序?qū)崝?shù)組，、、分別是P、Q、R

在、、軸上的坐標

2.有序?qū)崝?shù)組，對應(yīng)著空間直角坐標系中的一點

3、空間中任意點M的坐標都可以用有序?qū)崝?shù)組來表示，該數(shù)組叫

做點M在此空間直角坐標系中的坐標，記M,叫做點M的橫坐標，

叫做點M的縱坐標，叫做點M的豎坐標。

1Z

4.3.2空間兩點間的距離公式八

P2

1?空間中任意一點到點之間的距離公式p

山周二一々）2+（Y-%）2+（Z|-Z2）27y

N

高中數(shù)學(xué)必修3知識點

第一章算法初步

1.1.1算法的概念

1.算法概念：

在數(shù)學(xué)上，現(xiàn)代意義上的“算法”通常是指可以用計算機來解決的某

一類問題是程序或步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的，而

且能夠在有限步之內(nèi)完成.

2.算法的特點：

⑴有限性：一個算法的步驟序列是有限的，必須在有限操作之后停

止，不能是無限的.

⑵確定性：算法中的每一步應(yīng)該是確定的并且能有效地執(zhí)行且得到

確定的結(jié)果，而不應(yīng)當是模棱兩可.

⑶順序性與正確性：算法從初始步驟開始，分為若干明確的步驟，

每一個步驟只能有一個確定的后繼步驟，前一步是后一步的前提，

只有執(zhí)行完前一步才能進行下一步，并且每一步都準確無誤，才能

完成問題.

1.1.2(4)不唯一性：求解某一個問題的解法不一定是唯一的，對于

一個問題可以有不同的算法.

1.1.3(5)普遍性：很多具體的問題，都可以設(shè)計合理的算法去解決,

如心算、計算器計算都要經(jīng)過有限、事先設(shè)計好的步驟加以解

決.

1.1.4程序框圖

1.程序框圖基本概念：

（一）程序構(gòu)圖的概念：程序框圖又稱流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、

指向線與文字說明來準確、直觀地表示算法的圖形。

一個程序框圖包括以下幾部分：表示相應(yīng)操作的程序框；帶箭頭的流

程線；程序框外必要文字說明。

（二）構(gòu)成程序框的圖形符號與其作用

程序框名稱功能

表示一個算法的起始和結(jié)束，

起止框是任何流程圖不可少的。

二表示一個算法輸入和輸出的信

息，可用在算法中任何需要輸

輸入、輸出框

入、輸出的位置。

賦值、計算，算法中處理數(shù)據(jù)需

要的算式、公式等分別寫在不同

處理框

<的用以處理數(shù)據(jù)的處理框內(nèi)。

判斷某一條件是否成立，成立

時在E）口處標明“是”或“Y”；

判斷框

不成立時標明“否”或“N”。

學(xué)習(xí)這部分知識的時候，要掌握各個圖形的形狀、作用與使用規(guī)則,

畫程序框圖的規(guī)則如下：

1.使用標準的圖形符號。2.框圖一般按從上到下、從左到右的方向畫。

3.除判斷框外，大多數(shù)流程圖符號只有一個進入點和一個退出點。判

斷框具有超過一個退出點的唯一符號。4.判斷框分兩大類，一類判斷

框“是”與“否”兩分支的判斷，而且有且僅有兩個結(jié)果；另一類是

多分支判斷，有幾種不同的結(jié)果。5.在圖形符號內(nèi)描述的語言要非常

簡練清楚。

（三）、算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)

構(gòu)。

1、順序結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)是最簡單的算法結(jié)構(gòu)，語句與語句之間,

框與框之間是按從上到下的順序進行的，它是由若干個依次執(zhí)行的

處理步驟組成的，它是任何一個算法都離不開的一種基本算法結(jié)構(gòu)。

順序結(jié)構(gòu)在程序框圖中的體現(xiàn)就是用流程線將程序框自上而?

下地連接起來，按順序執(zhí)行算法步驟。如在示意圖中，A框和

框是依次執(zhí)行的，只有在執(zhí)行完A框指定的操作后，才能接著

1I

行B框所指定的操作。

▼

2.條件結(jié)構(gòu)：

條件結(jié)構(gòu)是指在算法中通過對條件的判斷

根據(jù)條件是否成立而選擇不同流向的算法結(jié)構(gòu)。

條件P是否成立而選擇執(zhí)行A框或B框。無論P條件是否成立，只能

執(zhí)行A框或B框之一，不可能同時執(zhí)行A室和B框，也不可能A框、

B框都不執(zhí)行。一個判斷結(jié)構(gòu)可以有多個判斷框。

3.循環(huán)結(jié)構(gòu)：在一些算法中，經(jīng)常會出現(xiàn)從某處開始，按照一定條

件，反復(fù)執(zhí)行某一處理步驟的情況，這就是循環(huán)結(jié)構(gòu)，反復(fù)執(zhí)行的

處理步驟為循環(huán)體，顯然，循環(huán)結(jié)構(gòu)中一定包含條件結(jié)構(gòu)。循環(huán)結(jié)構(gòu)

又稱重復(fù)結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)可細分為兩類：

(1)、一類是當型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如下左圖所示，它的功能是當給定

的條件P成立時，執(zhí)行A框，A框執(zhí)行完畢后，再判斷條件P是否成

立，如果仍然成立，再執(zhí)行A框，如此反復(fù)執(zhí)行A框，直到某一次條

件P不成立為止，此時不再執(zhí)行A框，離開循環(huán)結(jié)構(gòu)。

(2)、另一類是直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如下右圖所示，它的功能是先

執(zhí)行，然后判斷給定的條件P是否成立，如果P仍然不成立，則繼續(xù)

執(zhí)行A框，直到某一次給定的條件P成立為止，此時不再執(zhí)行A框,

離開循環(huán)結(jié)構(gòu)。

當型循環(huán)＜--------1結(jié)構(gòu)＜-----------1

直到型A循環(huán)結(jié)構(gòu)[上上

__r

成立1.2.1注意：1循

成立不成立

結(jié)構(gòu)要在某個條件下終止循環(huán)，這

就需要條件結(jié)構(gòu)來判斷。因此，循環(huán)結(jié)構(gòu)中一定包含條件結(jié)構(gòu),

但不允許“死循環(huán)”。2在循環(huán)結(jié)構(gòu)中都有一個計數(shù)變量和累加

變量。計數(shù)變量用于記錄循環(huán)次數(shù)，累加變量用于輸出結(jié)果。

計數(shù)變量和累加變量一般是同步執(zhí)行的，累加一次，計數(shù)一

次。

1.2.2輸入、輸出語句和賦值語句

1.輸入語句

（1）輸入語句的一般格式：.........

!圖形計算器

“提示內(nèi)容”；變量L一處一“提示內(nèi)容”,變量

（2）輸入語句的作用是實現(xiàn)算法的輸入信息功能；（3）“提示內(nèi)容”

提示用戶輸入什么樣的信息、，變量是指程序在運行時其值是可以變

化的量；（4）輸入語句要求輸入的值只能是具體的常數(shù)，不能是函數(shù)、

變量或表達式；（5）提示內(nèi)容與變量之間用分號“；”隔開，若輸入

多個變量，變量與變量之