專(zhuān)升本理工科專(zhuān)業(yè)2025年量子力學(xué)試卷（含答案）考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、1.設(shè)一個(gè)量子系統(tǒng)的波函數(shù)為ψ(x,t)=ψ?(x)e^(-iE?/?)，其中E?和?是常數(shù)。請(qǐng)根據(jù)量子力學(xué)基本假設(shè)，說(shuō)明該波函數(shù)所描述的物理意義，并指出它是否滿(mǎn)足歸一化條件？如不滿(mǎn)足，請(qǐng)說(shuō)明如何修改才能使其滿(mǎn)足？2.一維無(wú)限深勢(shì)阱中粒子，其波函數(shù)為ψ(x,t)=√(2/L)sin(nπx/L)e^(-iE?/?)，其中L為阱寬，n為正整數(shù)，E?為能量。請(qǐng)計(jì)算該粒子在x=L/4處的位置概率密度，并解釋其物理意義。二、1.在一維無(wú)限深勢(shì)阱中，粒子處于基態(tài)（n=1）時(shí)，其波函數(shù)為ψ?(x)=√(2/L)sin(πx/L)。請(qǐng)用薛定諤方程驗(yàn)證該波函數(shù)對(duì)應(yīng)的能量E?=(π2?2)/(2mL2)是正確的。2.一維定態(tài)薛定諤方程為-?2/(2m)?2ψ+V(r)ψ=Eψ。請(qǐng)說(shuō)明該方程中各符號(hào)的含義，并解釋其物理意義。三、1.在量子力學(xué)中，位置算符x?和動(dòng)量算符p??=-i???之間存在怎樣的對(duì)易關(guān)系？請(qǐng)推導(dǎo)并說(shuō)明其物理意義。2.已知角動(dòng)量算符z分量L???的本征值為m?，其中m是量子數(shù)。請(qǐng)寫(xiě)出L???的本征值方程，并解釋本征值的物理意義。四、1.一維諧振子勢(shì)能函數(shù)為V(x)=(1/2)mw2x2，其中m是粒子質(zhì)量，w是角頻率。請(qǐng)導(dǎo)出諧振子能量的量子化公式E?=(n+1/2)?w，并說(shuō)明其中n的取值范圍及物理意義。2.簡(jiǎn)并微擾理論中，若HamiltonianH=H?+λV，其中H?不可約且具有簡(jiǎn)并度g，V是微擾項(xiàng)，與H?對(duì)易[H?,V]=0。請(qǐng)寫(xiě)出一級(jí)微擾能級(jí)修正ΔE??和躍遷概率公式（電偶極躍遷），并說(shuō)明λ的物理意義。五、1.設(shè)粒子處于狀態(tài)ψ=c?ψ?+c?ψ?，其中ψ?和ψ?是兩個(gè)正交歸一基態(tài)波函數(shù)，|c?|2和|c?|2分別代表粒子處于ψ?和ψ?狀態(tài)的概率。請(qǐng)證明ψ?和ψ?必須滿(mǎn)足正交歸一條件ψ?*·ψ?=δ??(Kroneckerdelta)。2.根據(jù)測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系，ΔxΔp?≥?/2。請(qǐng)解釋該關(guān)系的物理意義，并說(shuō)明它對(duì)微觀(guān)粒子運(yùn)動(dòng)有何限制？試卷答案一、1.物理意義：該波函數(shù)描述了一個(gè)能量為E?、動(dòng)量p=?k的自由粒子（在勢(shì)能為零的空間中）。ψ?(x)是其空間部分波函數(shù)，具有確定動(dòng)量p。由于ψ(x,t)=ψ?(x)e^(-iE?t/?)是非零常數(shù)乘以e^(-iωt)的形式，其模平方|ψ(x,t)|2=|ψ?(x)|2，不隨時(shí)間變化，這符合自由粒子的特性。歸一化條件：∫|ψ(x,t)|2dx=∫|ψ?(x)|2dx=1。由于ψ?(x)=√(2/L)sin(nπx/L)是歸一化的（∫??|ψ?(x)|2dx=1），但e^(-iE?t/?)是隨時(shí)間變化的非歸一化因子，因此ψ(x,t)不滿(mǎn)足歸一化條件。修改方法：可以將波函數(shù)乘以時(shí)間依賴(lài)的歸一化因子N(t)=(1/√(∫??|ψ?(x)|2dt))e^(-iE?t/?)，得到N(t)ψ?(x)e^(-iE?t/?)，使其滿(mǎn)足時(shí)間相關(guān)的歸一化條件。2.概率密度：|ψ(x,t)|2=|ψ?(x)|2=(2/L)2sin2(nπx/L)。在x=L/4處，sin(nπx/L)=sin(nπ(L/4)/L)=sin(nπ/4)。位置概率密度為(2/L)2sin2(nπ/4)。物理意義：該值表示在x=L/4處，粒子出現(xiàn)在單位長(zhǎng)度區(qū)間內(nèi)的概率密度大小。二、1.驗(yàn)證：對(duì)于n=1的基態(tài)，ψ?(x)=√(2/L)sin(πx/L)。計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)：(d2/dx2)ψ?(x)=(d/dx)[√(2/L)πcos(πx/L)]=-√(2/L)(π2/12)sin(πx/L)=-(π2/1)2(2/L)sin(πx/L)=-(π2/1)2ψ?(x)。代入一維定態(tài)薛定諤方程：-?2/(2m)(d2/dx2)ψ?+V(x)ψ?=E?ψ?。對(duì)于無(wú)限深勢(shì)阱，V(x)=0(0<x<L)。方程變?yōu)??2/(2m)(-π2/12)ψ?=E?ψ?，即?2π2/(2mL2)ψ?=E?ψ?。因此，E?=?2π2/(2mL2)。2.符號(hào)含義：?是約化普朗克常數(shù)；m是粒子質(zhì)量；?2是拉普拉斯算符（在直角坐標(biāo)系下為?2/?x2+?2/?y2+?2/?z2）；ψ是波函數(shù)；V(r)是粒子所在位置的勢(shì)能；E是系統(tǒng)的能量。物理意義：該方程是描述微觀(guān)粒子在勢(shì)場(chǎng)V(r)中定態(tài)行為的根本方程。其左邊代表粒子的總能量（動(dòng)能T=-?2/2m?2ψ+勢(shì)能V(r)ψ），右邊代表系統(tǒng)的能量E。它表明，在給定勢(shì)場(chǎng)V(r)下，只有滿(mǎn)足該方程的波函數(shù)ψ才能描述粒子的穩(wěn)定狀態(tài)，其對(duì)應(yīng)的E是粒子可能具有的一個(gè)確定能量值。三、1.對(duì)易關(guān)系：[x?,p??]=x?p??-p??x?。其中p??=-i??/?x。計(jì)算：x?p??ψ=x(-i??ψ/?x)=-i?x(?ψ/?x)。p??x?ψ=(-i??/?x)(xψ)=(-i?)(?(xψ)/?x)=(-i?)(ψ+x(?ψ/?x))=-i?ψ-i?x(?ψ/?x)。因此，[x?,p??]ψ=(-i?x(?ψ/?x))-(-i?ψ-i?x(?ψ/?x))ψ=(-i?x(?ψ/?x)+i?ψ+i?x(?ψ/?x))=i?ψ。由于該結(jié)果與波函數(shù)ψ無(wú)關(guān)，所以[x?,p??]=i?。物理意義：位置和動(dòng)量算符的不對(duì)易性是量子力學(xué)的一個(gè)基本特征，它直接導(dǎo)致了測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系的存在，體現(xiàn)了微觀(guān)粒子波粒二象性的本質(zhì)。2.本征值方程：L???|l,m?=m?|l,m?。其中L???=x?p??-y?p??，|l,m?是角動(dòng)量算符的本征態(tài)。物理意義：該方程表示，當(dāng)測(cè)量粒子的角動(dòng)量z分量時(shí)，如果粒子處于狀態(tài)|l,m?，則測(cè)得的結(jié)果必定是本征值m?。m是量子數(shù)，通常取值為-l,-l+1,...,l-1,l。四、1.導(dǎo)出：諧振子HamiltonianH=(p??+p??/2m)+(1/2)mw2x2。在量子力學(xué)中，動(dòng)量算符p??=-i??/?x。代入H得H=(-?2/2m)(?2/?x2)+(1/2)mw2x2。定態(tài)薛定諤方程Hψ=Eψ，即(-?2/2m)(?2ψ/?x2)+(1/2)mw2x2ψ=Eψ。這是一個(gè)二階常系數(shù)齊次微分方程。其特征方程為-?2r2/2m+mw2r/2=E，即r2-(mw/?)2r+2E/(mω2)=0。為簡(jiǎn)化，令ω=w，μ=mω/?，則方程變?yōu)閞2-2μr+2E/μ2=0。解得r=μ±√(μ2-2E/μ2)=μ±√(μ?-2Eμ2)/μ2=μ±(μ2-√(2Eμ2))/μ2=1±√(1-2E/(μ2ω2))。為使方程有實(shí)數(shù)解，判別式必須≥0，即1-2E/μ2≥0，得E≤μ2/2=(mω/?)2/2=(1/2)?ω。由于E必須為正，所以E=0不是一個(gè)允許的解。允許的最低能量E?=?ω/4。對(duì)于更高能量，需要E=(n+1/2)?ω，其中n=0,1,2,...。此時(shí)，r=μ±n。解得波函數(shù)形式為ψ(x)=Aexp[-μ2x2/2]*(exp(iμx)或exp(-iμx))*H??(nμx2/2)。歸一化后得到厄米多項(xiàng)式H??(x)。因此，能量量子化公式為E?=(n+1/2)?ω，n=0,1,2,...。n的取值范圍是正整數(shù)（包括零）。物理意義：n是量子數(shù)，代表振子的振動(dòng)模式或能級(jí)序號(hào)。最低能量E?=(?ω)/2不為零，稱(chēng)為零點(diǎn)能，這是量子力學(xué)特有的現(xiàn)象，源于測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系。2.一級(jí)微擾能級(jí)修正：ΔE??=∑<?|V|?>δ??=<?|V|?>(因?yàn)镠?的本征態(tài)ψ?已經(jīng)是對(duì)角化的，δ??=1ifi=j,0otherwise)。躍遷概率（電偶極躍遷）：P(?→?)∝|<?|μ|?>|2，其中μ=-e(r?×p?)是電偶極矩算符。在電偶極近似下，通?？紤]V=αz，α是微擾強(qiáng)度。選擇定則由μ·?L=μ·(L?-L?)=0給出，對(duì)于角動(dòng)量量子數(shù)m，選擇定則為Δm=m?-m?=0,±1。λ的物理意義：λ是微擾項(xiàng)V與哈密頓量H?的能量量級(jí)之比，通常λ<<1，表示V是相對(duì)于H?來(lái)說(shuō)的弱微擾。五、1.證明：計(jì)算概率：|<ψ|ψ>|2=|c?*<ψ?|+c?*<ψ?||c?ψ?+c?ψ?|>2=|c?*<ψ?|c?ψ?+c?*<ψ?|c?ψ?+c?*<ψ?|c?ψ?+c?*<ψ?|c?ψ?|>2=|c?*<ψ?|c?|2+|c?*<ψ?|c?|2+c?*c?*<ψ?|ψ?>+c?*c?*<ψ?|ψ?|>。由于ψ?和ψ?是正交的，<ψ?|ψ?>=0。又因?yàn)棣?和ψ?是歸一的，<ψ?|ψ?>=1,<ψ?|ψ?>=1。所以，|<ψ|ψ>|2=|c?|2+|c?|2。根據(jù)量子力學(xué)基本假設(shè)，|c?|2是粒子處于狀態(tài)ψ?的概率，|c?|2是粒子處于狀態(tài)ψ?的概率。概率總和為1是量子力學(xué)的一個(gè)基本要求。因此，要使|<ψ|ψ>|2=1成立，必須滿(mǎn)足|c?|2+|c?|2=1。這意味著ψ?和ψ?必須是正交歸一基矢。2.測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系：ΔxΔp?≥?/2。物理意義：它表明微觀(guān)粒子不可能同時(shí)精確地知道其位置和動(dòng)量。位置不確定性（Δ