2025年專升本理工科專業(yè)數(shù)值分析測(cè)試試卷（含答案）考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題：本大題共5小題，每小題3分，共15分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)。1.若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得()。A.f(ξ)=0B.f'(ξ)=0C.f(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)D.f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)2.已知函數(shù)y=lnx，在點(diǎn)x=1處，用線性插值法構(gòu)造插值函數(shù)L(x)，則L(1.1)的值約為()。A.0.1B.0.915C.1.1D.1.1053.對(duì)于求解線性方程組Ax=b的Jacobi迭代法，下列說(shuō)法正確的是()。A.任何線性方程組都收斂B.要求矩陣A對(duì)稱正定C.要求矩陣A對(duì)角占優(yōu)或嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)D.迭代矩陣的對(duì)角元必須大于非對(duì)角元之和的絕對(duì)值4.若用梯形求積公式計(jì)算積分I=∫[a,b]f(x)dx的近似值，其代數(shù)精度為()。A.0B.1C.2D.35.數(shù)值求解常微分方程初值問(wèn)題y'=f(t,y),y(t0)=y0，歐拉方法的局部截?cái)嗾`差階為()。A.O(1)B.O(h)C.O(h^2)D.O(h^3)二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分。請(qǐng)將答案填寫(xiě)在題中橫線上。6.設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則按拉格朗日插值公式計(jì)算得到的插值多項(xiàng)式Pn(x)在[a,b]上與f(x)的誤差余項(xiàng)Rn(x)=f(x)-Pn(x)=________。7.迭代法x(k+1)=γAx(k)+b用于求解線性方程組Ax=b，若矩陣A的譜半徑ρ(A)=0.8，為保證迭代收斂，常數(shù)γ應(yīng)滿足________。8.已知函數(shù)f(x)在x=0,0.1,0.2處的函數(shù)值分別為f(0)=1,f(0.1)=1.105,f(0.2)=1.221，則利用這三點(diǎn)構(gòu)造的二次牛頓插值多項(xiàng)式N2(x)在x=0處的導(dǎo)數(shù)值N2'(0)=________。9.用復(fù)合辛普森求積公式計(jì)算定積分∫[a,b]f(x)dx，若將區(qū)間[a,b]等分為n個(gè)子區(qū)間（n為偶數(shù)），則積分區(qū)間長(zhǎng)度h=(b-a)/n，其求積公式為∫[a,b]f(x)dx≈________。10.數(shù)值求解常微分方程初值問(wèn)題y'=y,y(0)=1，使用歐拉方法h=0.1步長(zhǎng)進(jìn)行計(jì)算，得到y(tǒng)(0.1)的近似值約為_(kāi)_______。三、計(jì)算題：本大題共4小題，每小題10分，共40分。請(qǐng)寫(xiě)出詳細(xì)的計(jì)算過(guò)程。11.已知函數(shù)f(x)在節(jié)點(diǎn)x0=0,x1=1處的值分別為f(0)=1,f(1)=e，試構(gòu)造線性插值函數(shù)L1(x)，并用它計(jì)算e^0.5的近似值，然后估計(jì)該近似值的誤差。12.用二分法求方程x^3-x-1=0在區(qū)間[1,2]內(nèi)的根，要求誤差不超過(guò)10^(-3)。13.給定線性方程組如下：4x1+x2=5x1+3x2=6試用高斯消元法（不使用主元消去）求解該方程組的解。14.已知數(shù)據(jù)點(diǎn)(x,y)如下：(0,1)(1,2)(2,5)(3,10)試用最小二乘法求擬合這組數(shù)據(jù)的一元線性函數(shù)y=a+bx。四、證明題：本大題共1小題，共10分。請(qǐng)寫(xiě)出詳細(xì)的證明過(guò)程。15.證明：若矩陣A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，即對(duì)于矩陣A的任意非零列向量x，都有||Ax||_1<||x||_1，則求解線性方程組Ax=b的Jacobi迭代法收斂。試卷答案1.C2.B3.C4.C5.B6.f(x)*[(x-x0)(x-x1)...(x-xn)]/[(x0-x1)...(x0-xn)]+f[α(x),x0,x1,...,xn]*[(x-x0)(x-x1)...(x-xn)]/[(x0-x1)...(x0-xn)]7.0<γ<2/ρ(A)=2/0.8=2.58.f'(0)=(f(0.1)-f(0))/0.1+(f(0.2)-f(0.1))/0.1-(f(0.2)-f(0.1))/(0.2-0)=(1.105-1)/0.1+(1.221-1.105)/0.1-(1.221-1.105)/0.2=10.59.(b-a)*[f(a)+4*Σ[f(x_i)]+2*Σ[f(x_{i+1})]]/(3*n)(其中x_i=a+i*h,i=0,...,n-1)10.y(0.1)≈y0+h*y0=1+0.1*1=1.111.解：構(gòu)造線性插值函數(shù)L1(x)=f(0)+(x-0)*[f(1)-f(0)]/(1-0)=1+x(e-1)。L1(0.5)=1+0.5(e-1)=1+0.5*(2.71828-1)≈1+0.5*1.71828≈1+0.85914=1.85914。誤差估計(jì)R1(x)=f(x)-L1(x)=f[α(x),0,1]*[(x-0)(x-1)]/[(0-1)(0-0)]=f[α(x),0,1]*x(x-1)。|R1(0.5)|≤|f''(ξ)|*|(0.5-0)(0.5-1)|/2!≤max{|f''(x)|forxin[0,1]}*|0.5*(-0.5)|/2=max{|f''(x)|}*0.125。f(x)=e^x，f''(x)=e^x，在[0,1]上maxf''(x)=e≈2.71828。|R1(0.5)|≤2.71828*0.125≈0.339785。近似值1.85914的誤差絕對(duì)值約為0.3398。12.解：方程f(x)=x^3-x-1在區(qū)間[1,2]內(nèi)有根，因?yàn)閒(1)=-1<0,f(2)=5>0。且f(x)在[1,2]上連續(xù)，單調(diào)遞增（f'(x)=3x^2-1>0forxin[1,2]），故根唯一。取中點(diǎn)x0=(1+2)/2=1.5，計(jì)算f(1.5)=1.5^3-1.5-1=3.375-1.5-1=0.875>0。根在區(qū)間[1,1.5]內(nèi)。取x1=(1+1.5)/2=1.25，計(jì)算f(1.25)=1.25^3-1.25-1=1.953125-1.25-1=-0.296875<0。根在區(qū)間[1.25,1.5]內(nèi)。|1.5-1.25|=0.25>10^(-3)。取x2=(1.25+1.5)/2=1.375，計(jì)算f(1.375)=1.375^3-1.375-1=2.599609375-1.375-1=0.224609375>0。根在區(qū)間[1.25,1.375]內(nèi)。|1.375-1.25|=0.125>10^(-3)。取x3=(1.25+1.375)/2=1.3125，計(jì)算f(1.3125)=1.3125^3-1.3125-1=2.2939453125-1.3125-1=-0.0385546875<0。根在區(qū)間[1.3125,1.375]內(nèi)。|1.375-1.3125|=0.0625>10^(-3)。取x4=(1.3125+1.375)/2=1.34375，計(jì)算f(1.34375)=1.34375^3-1.34375-1=2.443359375-1.34375-1=0.099609375>0。根在區(qū)間[1.3125,1.34375]內(nèi)。|1.34375-1.3125|=0.03125>10^(-3)。取x5=(1.3125+1.34375)/2=1.328125，計(jì)算f(1.328125)=1.328125^3-1.328125-1=2.3671875-1.328125-1=0.0390625>0。根在區(qū)間[1.3125,1.328125]內(nèi)。|1.328125-1.3125|=0.015625>10^(-3)。取x6=(1.3125+1.328125)/2=1.3203125，計(jì)算f(1.3203125)=1.3203125^3-1.3203125-1=2.3359375-1.3203125-1=-0.004375<0。根在區(qū)間[1.3203125,1.328125]內(nèi)。|1.328125-1.3203125|=0.0078125>10^(-3)。取x7=(1.3203125+1.328125)/2=1.32421875，計(jì)算f(1.32421875)=1.32421875^3-1.32421875-1=2.35645703125-1.32421875-1=0.03223828125>0。根在區(qū)間[1.3203125,1.32421875]內(nèi)。|1.32421875-1.3203125|=0.00390625>10^(-3)。取x8=(1.3203125+1.32421875)/2=1.322265625，計(jì)算f(1.322265625)=1.322265625^3-1.322265625-1=2.356173828125-1.322265625-1=0.033908203125>0。根在區(qū)間[1.3203125,1.322265625]內(nèi)。|1.322265625-1.3203125|=0.001953125>10^(-3)。取x9=(1.3203125+1.322265625)/2=1.321296875，計(jì)算f(1.321296875)=1.321296875^3-1.321296875-1=2.3563232421875-1.321296875-1=0.0350263671875>0。根在區(qū)間[1.3203125,1.321296875]內(nèi)。|1.321296875-1.3203125|=0.00098765625>10^(-3)。取x10=(1.3203125+1.321296875)/2=1.320802078125，計(jì)算f(1.320802078125)=1.320802078125^3-1.320802078125-1=2.35627322998046875-1.320802078125-1=0.0350311523349609375>0。根在區(qū)間[1.3203125,1.320802078125]內(nèi)。|1.320802078125-1.3203125|=0.00049052763671875>10^(-3)。取x11=(1.3203125+1.320802078125)/2=1.3205573125，計(jì)算f(1.3205573125)=1.3205573125^3-1.3205573125-1=2.356298231689453125-1.3205573125-1=0.035030119644556135>0。根在區(qū)間[1.3203125,1.3205573125]內(nèi)。|1.3205573125-1.3203125|=0.0002448125>10^(-3)。取x12=(1.3203125+1.3205573125)/2=1.3204349609375，計(jì)算f(1.3204349609375)=1.3204349609375^3-1.3204349609375-1=2.35628673858642578125-1.3204349609375-1=0.0350298389909825390625>0。根在區(qū)間[1.3203125,1.3204349609375]內(nèi)。|1.3204349609375-1.3203125|=0.00012240625>10^(-3)。取x13=(1.3203125+1.3204349609375)/2=1.320373720703125，計(jì)算f(1.320373720703125)=1.320373720703125^3-1.320373720703125-1=2.356285363349609375-1.320373720703125-1=0.035029508728636474609375>0。根在區(qū)間[1.3203125,1.320373720703125]內(nèi)。|1.320373720703125-1.3203125|=0.000060625>10^(-3)。迭代停止。根的近似值為x≈1.32037。13.解：方程組為：4x1+x2=5(①)x1+3x2=6(②)第一步：用(①)-(②)*4得到x2的表達(dá)式：(4x1+x2)-4(x1+3x2)=5-4*64x1+x2-4x1-12x2=5-24-11x2=-19x2=19/11第二步：將x2=19/11代入(②)得到x1：x1+3*(19/11)=6x1+57/11=6x1=6-57/11=66/11-57/11=9/11方程組的解為x1=9/11,x2=19/11。14.解：設(shè)擬合直線為y=a+bx。根據(jù)最小二乘法，需最小化誤差平方和S=Σ[y_i-(a+bx_i)]^2。由正交性條件?S/?a=0和?S/?b=0，得到正規(guī)方程組：n*a+Σ[b*x_i]=Σy_iΣ[a*x_i]+Σ[b*x_i^2]=Σ[y_i*x_i]代入數(shù)據(jù)：n=4,Σx_i=0+1+2+3=6,Σx_i^2=0^2+1^2+2^2+3^2=14,Σy_i=1+2+5+10=18,Σy_i*x_i=0*1+1*2+2*5+3*10=36正規(guī)方程組為：4a+6b=18(①)6a+14b=36(②)用(①)*7-(②)*3消去a：(28a+42b)-(18a+42b)=126-10810a=18a=9/5將a=9/5代入(①)：4*(9/5)+6b=1836/5+6b=186b=18-36/5=90/5-36/5=54/5b=9/5擬合直線方程為y=9/5+9/5*x。15.證明：Jacobi迭代法公式為x(k+1)=D*x(k)+(b-(L+U)*x(k))，其中D為A的對(duì)角矩陣。令r(k)=x(k+1)-x(k)=(D-A)*x(k)+b。要證明迭代收斂，需證明||r(k)||趨于0（