重難點04常用邏輯用語?？碱}型（七種）匯總題型1充分、必要條件的判斷【例題1】（2022秋·全國·高一期末）設x∈R，則“x-1>1”是“A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】解絕對值不等式得到解集，得到xx>3是xx>2或【詳解】x-1>1，解得x>2或x<0由于xx>3?xx>2或x<0，則“x-1>1故選：B.【變式1-1】1.（2023秋·上海普陀·高一?？计谀┰Op:x<5，q:x<6，那么p是q成立的（

）條件．A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要．【答案】A【分析】根據(jù)充分性和必要性的定義進行判斷即可.【詳解】因為由x<5?x<6，由x<6推不出x<5，所以p是q成立的充分不必要，故選：A【變式1-1】2.（2023秋·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊101中學?？计谀┟}“?x∈1,2A．a(chǎn)≤4 B．a(chǎn)≥4 C．a(chǎn)≤5 D．a(chǎn)≥5【答案】D【分析】求解命題“?x∈1,2,x【詳解】命題“?x∈1,2,x2-a≤0”為真命題,則a≥x2所以命題“?x∈1,2,x2-a≤0”為真命題的充分不必要條件需要滿足是a故選：D【變式1-1】3.（2023秋·河南新鄉(xiāng)·高一校聯(lián)考期末）“a=b”是“a2A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】化簡已知條件，根據(jù)充分條件、必要條件的概念可得解.【詳解】由a2+b即(a-b)2+(b-c)所以“a=b”是“a2故選：A【變式1-1】4.（2023秋·江蘇淮安·高一統(tǒng)考期末）已知x∈R，若集合M={1,x}，N={1,2,3}，則“x=2”是“M?N”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)題意，分別驗證充分性以及必要性即可得到結果.【詳解】若x=2，則M=1,2，所以M?N若M?N，則x=2或3，顯然必要性不滿足；所以“x=2”是“M?N”的充分不必要條件.故選：A【變式1-1】5.（2023秋·浙江臺州·高一統(tǒng)考期末）“x>2A．-2<x<2 B．-4<x≤2 C．x>-2 D．x>2【答案】D【分析】先解不等式|x|>2得x<-2或x>2，找“|x|>2”的一個充分不必要條件，即找集合{x∣x<-2或x>2}的真子集，從而選出正確選項.【詳解】由|x|>2解得x<-2或x>2，找“|x|>2”的一個充分不必要條件，即找集合{x∣x<-2或x>2}的真子集，∵{x∣x>2}{x∣x<-2或x>2}，∴“|x|>2”的一個充分不必要條件是{x∣x>2}.故選：D.【變式1-1】6.（2023秋·江蘇南通·高一統(tǒng)考期末）若p是q的必要不充分條件，p是r的充分不必要條件，則q是r的（

）A．充分不必要條件 B．充要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】利用題給條件判斷出q與r的邏輯關系，進而得到正確選項.【詳解】若p是q的必要不充分條件，則q?p，p?q，p是r的充分不必要條件，則p?r,r?p，則有q?r，r?q，則q是r的充分不必要條件，故選：A．題型2充分、必要條件與參數(shù)【例題2】（2022秋·廣東汕頭·高一林百欣中學?？计谀┮阎獥l件p：-1<x<1，q：x>m，若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)m的取值范圍是（）A．m|m≥-1 B．m|m<-1C．m|-1<m<0 D．m|m≤-1【答案】D【分析】根據(jù)p是q的充分不必要條件，由x|-1<x<1?x|x>m求解.【詳解】解：因為p是q的充分不必要條件，所以x|-1<x<1?x|x>m，則m≤－1，故選：D.【變式2-1】1.（2023秋·貴州遵義·高一統(tǒng)考期末）已知非空集合P=x|a+1≤x≤2a+1，Q=(1)若a=3，求?R(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)?(2)a|0≤a≤2【分析】（1）由交集、補集的運算求解即可；（2）轉(zhuǎn)化為集合間關系后列式求解.【詳解】（1）當a=3時，P=x|4≤x≤7，Q=則?RP=x|x<4?R（2）P是非空集合，“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要條件，則P是Q的真子集，所以2a+1≥a+1a+1≥-22a+1≤5且a+1=-2與2a+1=5不同時成立，解得故a的取值范圍是a|0≤a≤2.【變式2-1】2.（2023秋·山東菏澤·高一?？计谀┮阎疷=R，集合A=xx-5x-2(1)當a=2時，求?U(2)若x∈A是x∈B的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)?UA(2)a【分析】（1）當a=2時，求出集合A、B，利用補集和交集的定義可求得集合?U（2）分析可知，BA，利用集合的包含關系可得出關于實數(shù)a的不等式組，由此可解得實數(shù)a的取值范圍.【詳解】（1）因為A=xx-5x-2≤0=因為全集U=R，則?UA=xx≤2或x>5，因此，?UA∩（2）易知集合B=x因為x∈A是x∈B的必要不充分條件，則BA，所以，a-1≥2a+1≤5，解得3≤a≤4因此，實數(shù)a的取值范圍是a3≤a≤4【變式2-1】3.（2022秋·云南·高一統(tǒng)考期末）已知命題P:?x∈R(1)求實數(shù)a的取值集合A；(2)設集合B=x|3m<x<m+2，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件，求實數(shù)m【答案】(1)A=(2)m|m≤-3或m≥1【分析】（1）根據(jù)一元二次方程無解，即可由判別式求解，（2）根據(jù)集合的包含關系，即可分類討論求解.【詳解】（1）當a=0時，原式為2x-1=0，此時存在x=12使得當a≠0時，要使P:?x∈R,a故A=a|a<-1（2）由題意可知B是A的真子集；當B=?時，3m≥m+2?m≥1；當B≠?時，m+2>3m所以m的取值范圍是xm≤-3或m≥1【變式2-1】4.（2023秋·河北邯鄲·高一?？计谀┮阎}p:?x∈R，x2(1)求實數(shù)m的取值集合B；(2)設A=x3a<x<a+4，若x∈B是x∈A的必要不充分條件，求實數(shù)【答案】(1)B=(2)a【分析】（1）由題意可得Δ<0，即可求得集合B（2）分析可知AB，分A=?、A≠?兩種情況討論，可得出關于實數(shù)a的不等式（組），綜合可得出實數(shù)a的取值范圍.【詳解】（1）解：由題意可得Δ=16-4m<0，解得m>4，故B=（2）解：由題意可知AB.當A=?時，則3a≥a+4，解得a≥2，此時AB成立；當A≠?時，則3a<a+43a≥4，解得4綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是aa≥【變式2-1】5.（2022秋·貴州畢節(jié)·高一統(tǒng)考期末）設集合A=x2<x<6，B=x|(1)若A∪B=R，A∩B=5,6，求實數(shù)a，b(2)若“x∈A”是“x∈C”的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)a=-7，b=10(2)2,5【分析】（1）根據(jù)集合A,B的交集與并集，確定集合B，再結合一元二次不等式的解集得實數(shù)a，b的值；（2）由“x∈A”是“x∈C”的必要不充分條件得集合A,C之間的包含關系，列不等式即可求得實數(shù)m的取值范圍．【詳解】（1）設方程x2+ax+b=0的兩根分別為由A∪B=R，A∩B=5,6，由于A=x2<x<6即x1=2，所以-a=2+5=7，b=2×5=10，即a=-7，b=10．（2）由C=x|x2又“x∈A”是“x∈C”的必要不充分條件，則C是A的真子集，則m≥2m+1≤6，解得2≤m≤5所以m的取值范圍是2,5．題型3充要條件的論證【例題3】（2022秋·河北衡水·高一?？茧A段練習）當m,n∈Z時，定義運算?：當m,n>0時，m?n=m+n；當m,n<0時，m?n=m?n；當m>0,n<0或m<0,n>0時，m?n=m+n；當m=0時，m?n=n；當n=0時，(1)計算-2?(2)證明，“a=0,b=-2或a=-2,b=0”是“a?b=-2”的充要條件．【答案】(1)1；(2)證明見解析【分析】（1）先理解?的運算，然后求解即可；（2）先證充分性，再證必要性即可．【詳解】（1）-2?（2）先證充分性：當a=0,b=-2或a=-2,b=0時，則a?b=-2，即a=0,b=-2或a=-2,b=0是a?b=-2的充分條件；再證必要性：當a?b=-2時，顯然當ab>0時，a?b>0，當ab<0時，a?b≥0，即ab>0與ab<0均不合題意，當a=0時，由a?b=-2，則b=-2，當b=0時，由a?b=-2，則a=-2，即“a=0,b=-2或a=-2,b=0”是“a?b=-2”的必要條件，綜上，命題得證．【變式3-1】1.（2023·江蘇·高一專題練習）證明：“m<0”是“關于x的方程x2【答案】證明見解析【分析】根據(jù)充要條件的定義，分別證明充分性和必要性即可求證.【詳解】充分性：若m<0，則關于x的方程x2當m<0時，Δ=-2所以方程x2設兩根分別為x1，x2，則x1故充分性成立，必要性：若“關于x的方程x2-2x+m=0有一正一負根”，則設方程x2-2x+m=0一正一負根分別為x1，x所以m<0，所以若“關于x的方程x2-2x+m=0有一正一負根”，則故必要性成立，所以“m<0”是“關于x的方程x2【變式3-1】2.（2021秋·安徽阜陽·高一安徽省阜陽第一中學?？茧A段練習）已知集合A=2,3,m2+4m+2，B=0,7,【答案】證明見解析【分析】根據(jù)集合的交集，分析可得m2+4m+2=7，且m2+4m-2=3或m2+4m+2=7，且【詳解】證明：若A∩B=3,7，A=2,3,m∴m2+4m+2=7，且m2+4m-2=3，解得：或m2+4m+2=7，且經(jīng)檢驗，m=-5時，2-m=7，不滿足集合中元素的互異性，不合題意舍去，則m=1，所以m=1是A∩B=3,7若m=1，A=2,3,7，B=0,1,3,7，所以所以m=1是A∩B=3,7綜上得A∩B=3,7的充要條件為m=1【變式3-1】3.（2023·全國·高一專題練習）（1）已知m是實數(shù)，集合A={1,2,m+7}，B={0,6}．求證：“m=-1”是“A∩B={6}”的充要條件．（2）設n∈Z．證明：若n2【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；【解析】（1）利用充要條件的定義，即推出關系可證充要條件；（2）應用反證法思想，利用奇偶數(shù)的性質(zhì)即可證明結論；【詳解】（1）當m=-1時，A={1,2,m+7}={1,2,6}，則A∩B={6}；若A∩B={6}，則6∈A，所以m+7=6，即m=-1；綜上，有：“m=-1”是“A∩B={6}”的充要條件．（2）假設n為偶數(shù)，則n2故n是奇數(shù)，得證.【點睛】本題考查了充要條件、反證法思想，結合了集合的基本關系，奇偶數(shù)性質(zhì)的應用，屬于基礎題.【變式3-1】4.（2023·全國·高一專題練習）已知關于x的實系數(shù)二次方程x2+ax+b=0有兩個實數(shù)根α,β，證明：α<2且β<2是【答案】證明見解析【解析】先證充分性：由韋達定理得b<4，設fx=x2+ax+b，結合二次函數(shù)圖象性質(zhì)得f2再證必要性：由2a<4+b，b<4得a<124+b<4,4±a>0，進而得Δ=【詳解】證明：（1）（充分性)由韋達定理，得b=設fx則fx又α<2，β<2，∴即有4+2a+b>0∴4+b>2a>-又b∴2a（2）（必要性）由2a<4+b∴a<判別式Δ=a又∵Δ≥0，∴Δ≤4±a∴-4<-a-Δ∴-2<-a-Δ∴α<2，【點睛】本題考查充要條件的證明，是中檔題.題型4充要條件與參數(shù)【例題4】（2023秋·山東菏澤·高一山東省鄄城縣第一中學校考階段練習）已知P=xx2(1)若x∈P是x∈S的必要條件，求m的取值范圍；(2)是否存在實數(shù)m，使x∈P是x∈S的充要條件?請說明理由.【答案】(1)m(2)不存在，理由見解析【分析】（1）根據(jù)必要條件的定義可知S?P，根據(jù)集合之間的關系求解；（2）根據(jù)充要條件的定義可知P=S，根據(jù)集合之間的關系求解.【詳解】（1）由x2-8x-20≤0，解得-2≤x≤10，∴∵x∈P是x∈S的必要條件，∴S?P，∴1-m≥-21+m≤101-m≤1+m，解得故m的取值范圍為m0≤m≤3（2）由（1）知P=x∣-2≤x≤10若x∈P是x∈S的充要條件，則P=S，∴1-m=-21+m=10，解得m=3故這樣的m不存在.【變式4-1】1.（2023·江蘇·高一專題練習）設集合A={-1<x<3},B={x∣1-m<x<m+1,m>0}，命題p:x∈A，命題q:x∈B(1)若p是q的充要條件，求正實數(shù)m的取值范圍；(2)若p是q的充分不必要條件，求正實數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)2(2)2,+∞【分析】（1）根據(jù)p是q的充要條件轉(zhuǎn)化為A=B求解即可；（2）根據(jù)p是q的充分不必要條件，得A真包含于B，列出不等式求解即可.【詳解】（1）由條件A={-1<x<3}，p是q的充要條件，得A=B，即1-m=-1m+1=3，解得m=2所以實數(shù)m的取值范圍是2.（2）由p是q的充分不必要條件，得A真包含于B，所以m>01-m≤-1m+1>3，或m>01-m<-1綜上實數(shù)a的取值范圍是2,+∞【變式4-1】2.（2023·江蘇·高一專題練習）已知P=x(1)是否存在實數(shù)m，使x∈P是x∈S的充要條件?若存在，求出m的取值范圍;若不存在，請說明理由;(2)是否存在實數(shù)m，使x∈P是x∈S的必要條件?若存在，求出m的取值范圍;若不存在，請說明理由.【答案】(1)不存在(2)m【分析】（1）根據(jù)兩集合相等，形成方程組，無解，可判斷不存在滿足題意的實數(shù)m.（2）要使x∈P是x∈S的必要條件，則S?P，根據(jù)集合關系可求得實數(shù)m的范圍.【詳解】（1）要使x∈P是x∈S的充要條件，則P=S即1-m=11+m=4所以不存在實數(shù)m，使x∈P是x∈S的充要條件.（2）要使x∈P是x∈S的必要條件，則S?P，當S=?時，1-m>1+m，解得m<0當S≠?時，1-m≤1+m，解得m≥0要使S?P，則有1-m≥11+m≤4，解得m≤0，所以綜上可得，當m≤0時，x∈P是x∈S的必要條件.【變式4-1】3.（2022秋·上海徐匯·高一上海市第二中學?？茧A段練習）已知集合A=x(x-a(1)當實數(shù)a為何值時，p是q的充要條件;(2)若A?【答案】(1)a=-1(2)a-1≤【分析】（1）解分式不等式求出集合B，根據(jù)p是q的充要條件，可得A=（2）分A=?和【詳解】（1）由2xx-1所以(x解得-1<x故B=因為p是q的充要條件，所以A=故(x-a所以a=-1解得a=-1（2）因為A?①當A=?時，此時a=a2②A≠?時，當a<0或a>1時，此時a2≤1a≥-1，又所以-1≤a當0<a<1時，a2此時a≤1a2綜上所述a的取值范圍a-1≤【變式4-1】4.（2021秋·廣東廣州·高一校考期中）已知集合A=x(x-1)(x-a)≤0,B=(1)若p是q的充要條件，求實數(shù)a的值；(2)若p是q的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍；(3)若p是q的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)a=3(2)1≤a<3(3)a>3【分析】（1）根據(jù)p是q的充要條件，得A=B，即可得解；（2）根據(jù)p是q的充分不必要條件，得A?B且A≠B，即可得解；（3）根據(jù)p是q的必要不充分條件，得B?A且A≠B，即可得解.(1)解：B=x因為p是q的充要條件，所以A=B，∴a=3；(2)因為p是q的充分不必要條件，所以A?B且A≠B，∴1≤aa<3，即1≤a<3(3)因為p是q的必要不充分條件，所以B?A且A≠B，∴a>3.題型5含有量詞命題的否定【例題5】（2022秋·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高一海拉爾第一中學?？计谀┟}“存在實數(shù)x滿足x2A．任意實數(shù)x滿足x2+2x+2<0 B．任意實數(shù)xC．任意實數(shù)x滿足x2+2x+2≤0 D．存在實數(shù)x【答案】C【分析】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關系，準確改寫，即可求解.【詳解】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關系，可得命題“存在實數(shù)x滿足x2+2x+2>0”的否定為“任意實數(shù)x滿足故選：C.【變式5-1】1.（2023秋·甘肅臨夏·高一校考期末）命題“?x0∈(0,+A．?x∈(0,+∞)，x2+1>2xC．?x∈(-∞,0]，x2+1≤2x【答案】A【分析】根據(jù)特稱命題否定形式直接求解即可.【詳解】命題“?x0∈(0,+∞)，x故選：A【變式5-1】2.（2023秋·安徽合肥·高一校聯(lián)考期末）命題“?x∈N，x3A．?x∈N，x3≤x2C．?x∈N，x3<x2【答案】C【分析】根據(jù)全稱命題的否定分析判斷.【詳解】由題意可得：命題“?x∈N，x3≥x2”的否定形式是“故選：C.【變式5-1】3．（2023秋·四川瀘州·高一統(tǒng)考期末）命題p：?x∈1,2，x2-1≥0A．?x?1,2，x2-1≥0 B．C．?x0?1,2，x【答案】D【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定的知識確定正確答案.【詳解】原命題是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，注意到是否定結論，不否定條件，所以D選項正確.故選：D【變式5-1】4.（2022秋·遼寧沈陽·高一東北育才學校?？计谀┟}“?x∈R,?A．?x∈R,??n∈N*C．?x∈R,??n∈N*【答案】D【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，即可求解.【詳解】“?x∈R,?故否定形式是?x∈R,?故選：D題型6命題真假的判斷【例題6】（2023秋·湖北十堰·高一統(tǒng)考期末）關于命題p:“?x∈N,6xA．該命題是全稱量詞命題，且為假命題B．該命題是存在量詞命題，且為真命題C．?p:?x∈N,6D．?p:?x?N,6【答案】C【分析】解不等式判斷命題的真假，結合存在量詞命題的概念及存在量詞命題的否定為全稱量詞命題得出答案.【詳解】命題p為存在量詞命題，由6x2-7x+2≤0，得1命題p的否定?p:?x∈N,6x故選：C.【變式6-1】1.（2022秋·遼寧遼陽·高一校聯(lián)考期末）關于命題“?x∈N，x2A．該命題是全稱量詞命題，且是真命題 B．該命題是存在量詞命題，且是真命題C．該命題是全稱量詞命題，且是假命題 D．該命題是存在量詞命題，且是假命題【答案】B【分析】根據(jù)存在量詞命題的定義及取x=0可判斷.【詳解】該命題是存在量詞命題，當x=0時，x2故選:B.【變式6-1】2.（多選）（2022秋·貴州畢節(jié)·高一統(tǒng)考期末）下列命題是真命題的是（

）A．?x∈R，x≥x B．?x∈R，C．?x∈R，x2-3x-5>0 D．?x∈R【答案】ABD【分析】利用絕對值的性質(zhì)可判斷A選項的正誤；取x=0，可判斷B選項的正誤；取x=0，可判斷C選項的正誤；取x=5，可判斷D選項的正誤.【詳解】對于A：當x≥0時，x=x；當x<0時，x綜上所述：?x∈R，x≥x對于B：當x=0時，滿足x≤-x對于C：當x=0時，x2對于D：當x=5時，x2故選：ABD．【變式6-1】3.（多選）（2023秋·廣東·高一校聯(lián)考期末）下列命題為真命題的是（

）A．任意兩個等邊三角形都相似 B．所有的素數(shù)都是奇數(shù)C．?x∈R，x+x≥0 D．【答案】AC【分析】利用判定全稱量詞命題、存在量詞命題真假的方法，逐項判斷作答.【詳解】對于A，因為所有的等邊三角形的每個內(nèi)角都為60°對于B，2是素數(shù)，而2是偶數(shù)，即“所有的素數(shù)都是奇數(shù)”是假命題，B錯誤；對于C，因為?x∈R，|x|≥-x，即x+|x|≥0對于D，因為?x∈R，x故選：AC【變式6-1】4.（多選）（2023秋·湖南婁底·高一統(tǒng)考期末）命題p:?x∈R，x2A．p是真命題 B．?p:?x∈R，xC．q是真命題 D．?q：存在兩個等邊三角形，它們不相似【答案】BCD【分析】根據(jù)根的判別式可判斷命題p的真假，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)判斷命題q的真假，從而判斷AC，根據(jù)命題的否定可判斷BD.【詳解】對于方程x2-x+1=0，所以?x∈R，x2?p:?x∈R，x2任意兩個等邊三角形都相似，故q是真命題，故C正確；?q：存在兩個等邊三角形，它們不相似，故D正確.故選:BCD.題型7命題真假與參數(shù)【例題7】（2023秋·江蘇鹽城·高一校聯(lián)考期末）若命題“?x∈0,3，x2-2x-a>0A．-1 B．0 C．1 D．3【答案】A【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題，把命題轉(zhuǎn)化為命題“?x∈0,3，x2-2x-a≤0”為真命題，分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為a≥【詳解】因為命題“?x∈0,3，x所以命題“?x∈0,3，x2-2x-a≤0”為真命題，即x即a≥x2-2x在x∈0,3上有解，記f(x)=x因為f(x)=x2-2x在0,1上單調(diào)遞減，在1,3所以a≥-1，所以實數(shù)a可取的最小整數(shù)值是-1.故選：A【變式7-1】1.（2023秋·江蘇