專題1.3不等式與復數(shù)【七大題型】【新高考專用】1、不等式不等式是每年高考的必考內(nèi)容，對不等式的考查一般以選擇題、填空題為主，主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值等問題。但不等式的相關(guān)知識往往可以滲透到高考的各個知識領(lǐng)域，作為解題工具與函數(shù)、向量、解析幾何、數(shù)列等知識相結(jié)合，在知識的交匯處命題，難度中檔，其中在解析幾何中利用基本不等式求解范圍或解決導數(shù)問題時利用不等式進行求解，難度偏高。2、復數(shù)復數(shù)是高考的熱點內(nèi)容，是高考的必考內(nèi)容之一.從近幾年的高考情況來看，高考對復數(shù)的考查比較穩(wěn)定，往往以單選題、填空題的形式考查，考查內(nèi)容、難度變化不大，主要考查復數(shù)的概念、運算及其幾何意義，屬于簡單題.【知識點1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)】1．等式的基本性質(zhì)性質(zhì)1如果a＝b，那么b＝a；性質(zhì)2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性質(zhì)3如果a＝b，那么a±c＝b±c；性質(zhì)4如果a＝b，那么ac＝bc；性質(zhì)5如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).2．不等式的性質(zhì)(1)如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b?b<a.(2)如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c?a>c.(3)如果a>b，那么a＋c>b＋c.(4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.(6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.(7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．【知識點2基本不等式】1．基本不等式與最值已知x，y都是正數(shù)，(1)如果積xy等于定值P，那么當x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值2eq\r(P)；(2)如果和x＋y等于定值S，那么當x＝y(tǒng)時，積xy有最大值eq\f(1,4)S2.溫馨提示：從上面可以看出，利用基本不等式求最值時，必須有：(1)x、y>0，(2)和(積)為定值，(3)存在取等號的條件．2．常見的求最值模型(1)模型一：，當且僅當時等號成立；(2)模型二：，當且僅當時等號成立；(3)模型三：，當且僅當時等號成立；(4)模型四：，當且僅當時等號成立.3．利用基本不等式求最值的幾種方法(1)直接法：條件和問題間存在基本不等式的關(guān)系，可直接利用基本不等式來求最值．(2)配湊法：利用配湊法求最值，主要是配湊成“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式.(3)常數(shù)代換法：主要解決形如“已知x+y=t(t為常數(shù)),求的最值”的問題，先將轉(zhuǎn)化為，再用基本不等式求最值.(4)消元法：當所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時，通?？紤]利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式，最后利用基本不等式求最值.【知識點3一元二次不等式】1．一元二次不等式的解法(1)解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟：①通過對不等式變形，使二次項系數(shù)大于零；②計算對應方程的判別式；③求出相應的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說明方程沒有實根；④根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的相關(guān)位置寫出不等式的解集．(2)解含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟：①若二次項系數(shù)含有參數(shù)，則需對二次項系數(shù)大于0、等于0與小于0進行討論；②若求對應一元二次方程的根需用公式，則應對判別式Δ進行討論；③若求出的根中含有參數(shù)，則應對兩根的大小進行討論．2．一元二次不等式恒成立、存在性問題不等式對任意實數(shù)x恒成立，就是不等式的解集為R，對于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集為R的條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac<0；))一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集為R的條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac≤0；))一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集為?的條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ≤0.))【知識點4復數(shù)有關(guān)問題的解題策略】1．復數(shù)的概念的有關(guān)問題的解題策略(1)復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)，其中a，b分別是它的實部和虛部.若z為實數(shù)，則虛部b=0，與實部a無關(guān)；若z為虛數(shù)，則虛部b≠0，與實部a無關(guān)；若z為純虛數(shù)，當且僅當a=0且b≠0.(2)復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的模記作或，即.(3)復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的共軛復數(shù)為，則，即，若，則.2．復數(shù)的運算的解題策略(1)復數(shù)的乘法類似于多項式的乘法運算；(2)復數(shù)的除法關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共輪復數(shù).3．復數(shù)的幾何意義的解題策略由于復數(shù)、點、向量之間建立了一一對應的關(guān)系，因此解題時可運用數(shù)形結(jié)合的方法，把復數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，使問題的解決更加直觀.4．復數(shù)的方程的解題策略(1)對實系數(shù)二次方程來說，求根公式、韋達定理、判別式的功能沒有變化，仍然適用.(2)對復系數(shù)(至少有一個系數(shù)為虛數(shù))方程，判別式判斷根的功能失去了，其他仍適用.【題型1不等式性質(zhì)及其應用】【例1】（2024·河南駐馬店·二模）已知a>b>c>0，則下列說法一定正確的是（

）A．a(chǎn)>b+c B．a(chǎn)C．a(chǎn)c>b2 【解題思路】利用賦值法來舉反例比較大小，利用作差法來比較大小，利用不等式的性質(zhì)來比較大小.【解答過程】當a=3,b=2,c=1時，a=b+c，且ac<b2，故因為a>b>0，a>c>0，所以a2ab+bc?b故選：D.【變式1-1】（2024·陜西商洛·三模）已知a,b∈R，則“1a<1b”是“A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】結(jié)合不等式的性質(zhì)分充分性、必要性兩方面進行說明即可求解.【解答過程】若

1a<1b，則若a3>b3，則所以“1a<1故選：A．【變式1-2】（2024·吉林長春·模擬預測）已知π4<α<β<π2，則A．?π2,C．?π,π【解題思路】應用不等式的性質(zhì)，線性運算即可求出2α?2β的取值范圍.【解答過程】因為π4<α<π則?π2<2α?2β<π2從而?π故選：B．【變式1-3】（2024·浙江金華·模擬預測）設a,b,c的平均數(shù)為M,a與b的平均數(shù)為N,N與c的平均數(shù)為P.若a>b>c,則（

）A．N<P B．P<MC．N<M D．M+N<2P【解題思路】根據(jù)作差法比較大小,首先將要比較的M,N,P,用a,b,c表示,后作差變形,運用a>b>c這個條件,判斷正負即可比較出大小.【解答過程】根據(jù)題意得,M=a+b+c3,N=a+b對于A選項,N?P=a+b2對于B選項,M?P=∵a>b>c,∴a?c>0,b?c>0,∴a+b?2c>0,∴M?P=對于C選項,M?N=a+b+c3對于D選項,∵M>P,N>P,∴M+N>2P.故選：B.【題型2基本不等式與最值】【例2】（2024·四川綿陽·一模）已知x>0,y>0，且滿足x+y=xy?3，則xy的最小值為（

）A．3 B．23 C．6 【解題思路】利用基本不等式化簡已知條件，再解不等式求得xy的范圍，從而求得xy的最小值.【解答過程】x+y=xy?3≥2xyxy2xy?3≥0,xy≥9當且僅當x=y=3時等號成立，所以xy的最小值為9.故選：D.【變式2-1】（2024·河北·模擬預測）已知非負實數(shù)x,y滿足x+y=1，則12x+1A．3+222 B．3+224 【解題思路】根據(jù)x+y=1，化簡求得12x+1+y=1，得到1【解答過程】因為x+y=1，可得x+y+1=2，即12又因為非負實數(shù)x,y，所以x>0，y+1>0，則1≥1當且僅當1+y2x=x所以12x+1故選：B．【變式2-2】（2024·山西·模擬預測）已知x>0，y>0，且4x2+5xy=(4+y)(4?y)，則7x+4yA．63 B．65 C．83【解題思路】由條件得到(4x+y)(x+y)=16，再由7x+4y=4x+y+3(x+y)結(jié)合基本不等式即可求解.【解答過程】因為4x所以4x所以7x+4y=4x+y+3(x+y)≥23(x+y)(4x+y)當且僅當4x+y=3(x+y)，即x=839所以7x+4y的最小值為83故選：C.【變式2-3】（2024·山東淄博·二模）記maxx,y,z表示x,y,z中最大的數(shù)．已知x,y均為正實數(shù)，則maxA．12 B．1 C．2 【解題思路】設M=max2x【解答過程】由題意可知：x,y均為正實數(shù)，設M=max2x,1則3M≥2當且僅當x2=4y又因為2x當且僅當2x=1可得3M≥6，即M≥2，所以M=max故選：C.【題型3基本不等式中的恒成立問題】【例3】（2024·重慶·模擬預測）已知x>0，y>0，且xy+2x+y=6，則2x+y的最小值為（

）．A．4 B．6 C．8 D．12【解題思路】利用基本不等式和消元思想對本題目進行求解.【解答過程】解：已知x>0，y>0，且xy+2x+y=6，y=6?2xx+12x+y=2x+6?2xx+1=2(x+1)+8x+1故2x+y的最小值為4.故選:A.【變式3-1】（2024·四川成都·三模）設函數(shù)fx=x3?x，正實數(shù)a,b滿足fa+fA．2+22 B．4 C．2+2 【解題思路】依題意可得a3+b3=a?b【解答過程】因為fx=x3?x又fa所以a3?a+b因為a>0，b>0，所以a3+b3>0又a2+λb所以λb2≤令t=ab，則所以1+=t?1+2當且僅當t?1=2t?1，即所以b2+a則實數(shù)λ的最大值為2+22故選：A.【變式3-2】（23-24高一上·河南商丘·期末）若對任意實數(shù)x>0,y>0，不等式x+xy≤a(x+y)恒成立，則實數(shù)a的最小值為（A．2?12 B．2?1 C．2【解題思路】分離變量將問題轉(zhuǎn)化為a≥x+xyx+y對于任意實數(shù)x>0,y>0恒成立，進而求出x+xyx+y【解答過程】由題意可得，a≥x+xyx+y對于任意實數(shù)x>0,y>0恒成立，則只需求x+xyx+y的最大值即可，x+xyx+y=1+yx1+yx，設所以a≥2+12，即實數(shù)a故選：D.【變式3-3】（2024·廣東湛江·二模）當x，y∈0,+∞時，4x4+17xA．25,+∞ B．26,+∞ C．994【解題思路】將左側(cè)分式的分子因式分解成4x【解答過程】當x，y∈0,+∞時，當且僅當4x2+y=所以4x4+17所以m4>25故選：A.【題型4二次不等式及其參數(shù)問題】【例4】（2024·山西·模擬預測）已知關(guān)于x的不等式ax+b>0的解集為(?4,+∞)，則關(guān)于x的不等式bxA．?14,0C．0,14 【解題思路】先根據(jù)不等式的解集可得a,b的關(guān)系及a的符號，再根據(jù)一元二次不等式的解法即可得解.【解答過程】由ax+b>0的解集為(?4,+∞)，可得a>0，且方程ax+b=0的解為所以?ba=?4，則b=4a，所以bx2所以4x2?x<0，解得0<x<14，即關(guān)于x故選：C.【變式4-1】（2024·浙江紹興·三模）若關(guān)于x的不等式x2+mx+n>0的解集為xA．m=3，n=2 B．m=?3，n=2 C．m=3，n=?2 D．m=?3，n=?2【解題思路】由題得1、2為方程x2【解答過程】由已知可得1、2為方程x2由韋達定理可得：1+2=?m1×2=n，解得：m=?3故選：B.【變式4-2】（2024·甘肅張掖·模擬預測）不等式x2?3x<2?2xA．?1,12 B．?12,1【解題思路】按照x2【解答過程】當x2?3x≥0，即x≥3或不等式x2?3x<2?2x等價于x解得?1<x<2，所以?1<x≤0；當x2?3x<0，即0<x<3時，不等式x2?3x<2?2x解得x>5+172或x<綜上，不等式x2?3x<2?2x故選：C.【變式4-3】（2024·河南·模擬預測）某同學解關(guān)于x的不等式ax2+bx+c<0(a≠0)時，因弄錯了常數(shù)c的符號，解得其解集為(?∞,?3)∪(?2,+A．?1,?15 C．15,1 【解題思路】利用根與系數(shù)關(guān)系、一元二次不等式的解求得a,b,c的關(guān)系式，進而求得不等式bx【解答過程】由題意可知a<0，且?3+(?2)=?ba所以bx2+cx+a>0化為55x?1x?1<0，解得故選：C.【題型5一元二次不等式恒成立、有解問題】【例5】（2024·浙江·模擬預測）若不等式kx2+k?6x+2>0A．2≤k≤18 B．?18<k<?2C．2<k<18 D．0<k<2【解題思路】分類討論k=0與k≠0兩種情況，結(jié)合二次不等式恒成立問題的解決方法即可得解.【解答過程】當k=0時，不等式kx2+當k≠0時，因為kx所以k>0Δ=k?6綜上：2<k<18.故選：C.【變式5-1】（2024·遼寧鞍山·二模）已知當x>0時，不等式：x2?mx+16>0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（A．?8,8 B．?∞,8 C．?∞【解題思路】先由x2?mx+16>0得m<x+16x，由基本不等式得【解答過程】當x>0時，由x2?mx+16>0得因x>0，故x+16x≥2x×16因當x>0時，m<x+16x恒成立，得故選：C.【變式5-2】（2024·河南·模擬預測）已知命題“?x0∈?1,1，?xA．?∞,?2 B．?∞,4 C．【解題思路】由題知x0∈?1,1【解答過程】解：因為命題“?x0∈所以，命題“?x0∈所以，x0∈?1,1因為，y=x所以，當x∈?1,1時，ymin=?2所以，x0∈?1,1時，a>x故選：C.【變式5-3】（24-25高一上·河北·階段練習）設命題p：對任意?1≤x≤1，不等式x2?2x?4+m<0恒成立；命題q：存在0≤x≤1，使得不等式2x?2≥m2?3m成立，若p，qA．m∣m<?1 B．m∣0≤m≤3C．m∣0≤m<1 D．?∞,0【解題思路】先由二次函數(shù)的性質(zhì)求出p為真時m<1，解二次不等式可得命題q等價于0≤m≤3，可求p，q都是真命題m的范圍，進而可得答案.【解答過程】若p為真命題，即對任意?1≤x≤1，不等式x2等價于當?1≤x≤1時，m<?當?1≤x≤1時，?x即?x2+2x+4若q為真命題，即存在0≤x≤1，不等式2x?2≥m等價于當0≤x≤1時，2x?2max由于0≤x≤1，?2≤2x?2≤0，所以m2?3m≤0，解得若p，q都是真命題，則m<10≤m≤3所以，若命題p，q中至少有一個是假命題，則m<0或m≥1.即m∈?∞,0故選：D.【題型6復數(shù)的四則運算】【例6】（2024·陜西商洛·一模）若復數(shù)z=(2+i)(1?i)，則A．1?i B．1+i C．3?i【解題思路】根據(jù)復數(shù)的乘法運算化簡，即可根據(jù)共軛復數(shù)的定義求解.【解答過程】因為z=(2+i)(1?i故選：D.【變式6-1】（2024·海南·模擬預測）若復數(shù)z滿足z+1i=2?i，則z=A．1?2i B．1+2i C．?2i【解題思路】由復數(shù)的四則運算即可求解.【解答過程】由題意得z+1=i2?i故選：D.【變式6-2】（2024·甘肅蘭州·模擬預測）若z=?2+i，則z?zz+1A．?1+i B．1+i C．1?i【解題思路】根據(jù)給定條件，利用復數(shù)除法運算求解即得.【解答過程】由z=?2+i，得z?故選：C.【變式6-3】（2024·湖北武漢·模擬預測）若復數(shù)z滿足z+2z=2?i，則z=A．?1?i B．?1+i C．1?i【解題思路】先化簡再根據(jù)復數(shù)的乘除法計算可得.【解答過程】因為z+2z=2?i所以2z=2故選：D.【題型7復數(shù)的幾何意義】【例7】（2024·浙江·模擬預測）若復數(shù)z滿足z+2z=3+i（i為虛數(shù)單位)，則zA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解題思路】利用復數(shù)的運算法則求出z，再根據(jù)復數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義得出z對應的點，進而求解．【解答過程】設z=a+bi,(a,b∈R)則a+bi+2a?bi=3+i，即解得a=1，b=?1，故z=1?i，對應的點1,?1故選：D．【變式7-1】（2024·江蘇連云港·模擬預測）已知復數(shù)z所對應的點在第四象限，且z=22，z2的虛部為?8，則復數(shù)z=A．2?2i B．2i?2 C．2【解題思路】設z=a+bi，根據(jù)條件列出a、b【解答過程】設z=a+bia,b∈R，則zz2=a復數(shù)z所對應的點在第四象限，所以a>0，b<0，a?b>0，a+b2=a所以a+b=0a?b=4，解得a=2b=?2，則故選：A.【變式7-2】（2024·寧夏·二模）已知復數(shù)z滿足z?4+5i=1，則z在復平面內(nèi)對應的點位于（A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解題思路】設出復數(shù)的代數(shù)形式，利用復數(shù)模的意義列出方程即可判斷得解．【解答過程】令z=x+yi因為z?4+5i=1，所以即點(x,y)在以4,?5為圓心，1為半徑的圓上，該圓在第四象限內(nèi)，所以z在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限，故選：D.【變式7-3】（2024·重慶·二模）若復數(shù)z=2?a+2a?1ia∈RA．第一象限內(nèi) B．第二象限內(nèi)C．第三象限內(nèi) D．第四象限內(nèi)【解題思路】根據(jù)純虛數(shù)的定義解出a，利用復數(shù)的幾何意義求解．【解答過程】∵復數(shù)z=(2?a)+(2a?1)i(a∈R復數(shù)z+a=3i+2在復平面上的對應點為故選：A．1．（2023·北京·高考真題）在復平面內(nèi)，復數(shù)z對應的點的坐標是(?1,3)，則z的共軛復數(shù)z=A．1+3i C．?1+3i 【解題思路】根據(jù)復數(shù)的幾何意義先求出復數(shù)z，然后利用共軛復數(shù)的定義計算.【解答過程】z在復平面對應的點是(?1,3)，根據(jù)復數(shù)的幾何意義，由共軛復數(shù)的定義可知，z=?1?故選：D.2．（2023·全國·高考真題）2+i2+2A．1 B．2 C．5 D．5【解題思路】由題意首先化簡2+i【解答過程】由題意可得2+i則2+i故選：C.3．（2023·全國·高考真題）51+i3A．?1 B．1 C．1?i D．【解題思路】利用復數(shù)的四則運算求解即可.【解答過程】5故選：C.4．（2023·全國·高考真題）設a∈R,a+i1?aiA．-1 B．0

C．1 D．2【解題思路】根據(jù)復數(shù)的代數(shù)運算以及復數(shù)相等即可解出．【解答過程】因為a+i所以2a=21?a2故選：C.5．（2023·全國·高考真題）設z=2+i1+i2A．1?2i B．1+2i C．2?i【解題思路】由題意首先計算復數(shù)z的值，然后利用共軛復數(shù)的定義確定其共軛復數(shù)即可.【解答過程】由題意可得z=2+則z=1+2故選：B.6．（2023·全國·高考真題）已知z=1?i2+2i，則A．?i B．i C．0 【解題思路】根據(jù)復數(shù)的除法運算求出z，再由共軛復數(shù)的概念得到z，從而解出．【解答過程】因為z=1?i2+2i=故選：A．7．（2023·全國·高考真題）在復平面內(nèi)，1+3i3?iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解題思路】根據(jù)復數(shù)的乘法結(jié)合復數(shù)的幾何意義分析判斷.【解答過程】因為1+3i則所求復數(shù)對應的點為6,8，位于第一象限.故選：A.8．（2024·上?！じ呖颊骖}）a,b,c∈R,b>c，下列不等式恒成立的是（A．a(chǎn)+b2>a+C．a(chǎn)b2>a【解題思路】根據(jù)不等式的性質(zhì)可判斷AB的正誤，根據(jù)特例可判斷CD的正誤.【解答過程】對于A，若c<b<0，則b2對于B，因為b>c，故a2對于C、D，若a=0，則選項不成立，故C、D錯誤；故選：B.9．（2024·北京·高考真題）已知zi=?1?i，則z=A．?1?i B．?1+i C．1?i【解題思路】直接根據(jù)復數(shù)乘法即可得到答案.【解答過程】由題意得z=i故選：C.10．（2024·全國·高考