6.1平面向量的概念向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本概念之一，向量理論具有豐富的物理背景、深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)涵。向量既是代數(shù)研究對象，也是幾何研究對象，是溝通幾何與代數(shù)的橋梁，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)和研究其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域問題的基礎(chǔ)，在解決實際問題中發(fā)揮著重要作用。本章我們將通過實際背景引入向量的概念，類比數(shù)的運算，學(xué)習(xí)向量的運算及性質(zhì)，建立向量的運算體系。在此基礎(chǔ)上，用向量的語言、方法表述和解決現(xiàn)實生活、數(shù)學(xué)和物理中的一些問題。問題1：今天老師想做個調(diào)查，你們每個人距離學(xué)校有多遠(yuǎn)？老師每天下班開車20公里回到家，那請大家猜猜我家住哪里？問題2：那如何才能猜出老師住在哪里？如果給你一副西安市部分區(qū)地圖，你能如何定位你家的具體位置嗎？在現(xiàn)實生活中，我們會遇到很多量，其中一些量在取定單位后只用一個實數(shù)就可以表示出來，如長度、質(zhì)量、年齡等.還有一些量則不是，例如老師家到學(xué)校的位移，老師每天開車上班的車速，書桌上水杯受到的支撐力等等.選題的背景一本書、一棵樹、一支筆…只有大小的數(shù)量“1”數(shù)量既有大小又有方向向量位移、速度、重力、浮力…從“一支筆”、“一棵樹”、“一本書”……中抽象出只有大小的數(shù)量“1”.類似地，我們可以對力、位移、速度……這些既有大小又有方向的量進(jìn)行抽象，形成一種新的量.

只有大小沒有方向的量叫做數(shù)量既有大小又有方向的量叫做向量定義注意1.我們所學(xué)的向量是自由向量，即只有大小和方向，而沒有特定

的位置，這樣的向量可以任意進(jìn)行平移

把這種既有大小又有方向的量叫做向量，而把那些只有大小沒有方向的量稱為數(shù)量.向量在物理中常稱為矢量，數(shù)量在物理中常稱為標(biāo)量.問題3：給出下列量:① 面積；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧角度.用你所學(xué)的知識請將它們分成兩類，并指出它們有什么不同.例1.舉例：根據(jù)向量與數(shù)量的定義，將學(xué)過的量進(jìn)行分類數(shù)量：路程、面積、身高、體重、功、功率……向量：位移、速度、重力、……例2.判斷下列說法是否正確,并說明理由:①.由于零上溫度可以用正數(shù)來表示,零下溫度可以用負(fù)數(shù)來表示,所以溫度是向量.

錯誤,因為溫度沒有方向。②.坐標(biāo)平面上的x軸和y軸是向量.

錯誤,因為無法刻畫x軸和y軸的大小。我們能不能找到一種幾何圖形來表示平面向量呢？數(shù)量可由數(shù)軸上的點表示，那如何表示一個向量呢？數(shù)量向量

一一對應(yīng)回顧物理學(xué)科中力和位移的表示方式探究平面向量的幾何表示和字母表示，探究向量的大小的表示方式.向量

知識點二向量的幾何表示通常，在線段AB的兩個端點中，規(guī)定一個順序，假設(shè)A為起點，B為終點，我們就說線段AB具有方向，具有方向的線段叫做有向線段.通常在有向線段的終點處畫上箭頭表示它的方向.以A為起點、B為終點的有向線段記作,線段AB的長度也叫做有向線段AB的長度，記作|AB|

.向量也可以用字母a、b、c……表示知識點二向量的幾何表示

方向起點、方向、長度知識點二向量的幾何表示

長度方向向量的幾何表示：向量常用一條有向線段來表示有向線段的長度表示向量的大小.箭頭所指的方向表示向量的方向

注意有向線段三要素：起點、方向、長度注意符號表示向量時，起點必須寫在終點的前面。理解識記相關(guān)概念

注意1.向量不能比較大小，但向量的?？梢员却笮?；2.零向量的長度為0，方向不確定，它的方向是任意的；3.單位向量長度為1，每個單位向量的方向是確定的（由題設(shè)規(guī)定）在數(shù)軸上，哪些實數(shù)比較特殊？那在你畫的有向線段中，哪些有向線段比較特殊呢？知識點二向量的幾何表示找出0、1這兩個特殊實數(shù)之后，類比發(fā)現(xiàn)向量集合中兩個特殊的向量，一個是長度為零的向量，叫做零向量.一個是長度為1個單位的向量，叫做單位向量.3.特殊的向量(1)零向量:長度為

的向量叫作零向量,記作

.

零向量的方向為

.(2)單位向量:長度等于

的向量叫作單位向量.

知識點二向量的幾何表示001個單位長度任意的明確向量是既有大小又有方向的量.研究向量需要將代數(shù)形式和幾何形式相結(jié)合.牛刀小試運用新知例3：任取不共線的三個點，觀察能構(gòu)成哪些向量？分別用有向線段和字母表示這些向量BAC

通過探索我們發(fā)現(xiàn)：向量AB與EF具有大小相等、方向相反的特征，從而總結(jié)得出長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.與方向相同，線段所在的直線相互平行，得出平行向量的概念.知識點四相等向量與共線向量1.平行向量:方向

的

叫作平行向量.如向量a與b平行,記作

.

方向相同或相反的向量.記作AB∥EF.規(guī)定：零向量與任意向量平行.a、b、c是一組平行向量，任作一條與a所在直線平行的直線l，在l上任取一點O，在l上分別作出=a,=b,=c，這組平行向量可以平移到一條直線上，因此，平行向量也叫共線向量.

相同或相反非零向量a∥b知識點四相等向量與共線向量1.平行向量:方向

的

叫作平行向量.如向量a與b平行,記作

.規(guī)定:零向量與任意向量平行.

2.相等向量:長度

且方向

的向量叫作相等向量,如向量a與b相等,記作a=b.

3.共線向量:任一組

都可以平移到同一條直線上,因此,平行向量也叫作

.

相同或相反非零向量a∥b相等相同平行向量共線向量動腦思考再探新知

這就是說，任一組平行向量都可以平移到同一直線上因此，平行向量也叫做共線向量任意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段表示，并且與有向線段的起點無關(guān)；同時，兩條方向相同且長度相等的有向線段表示同一個向量，因為向量