廣東專插本（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷5（共

9套）

（共182題）

廣東專插本（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第1

套

一、綜合題（本題共2題，每題7.0分，共2分。）

1、過曲線y=￡（發(fā)（））上某點A作切線，若過點A作的切線，|11|線y=￡及無軸圍成

的圖形面積為衣，求該國形繞無軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積V。

標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)A點坐標(biāo)（沈，xo2）?由y=2%,得切線方程為y-%（）2-2xo（%-xo）或

工TT由已知/=「（貴"蕓一6戶尸告三所以2，A（I,

1），切線方程為2%-y?l=0切線與無軸交點為尸5,于是

V=jtl/業(yè)一尸d/=—4—我（立方單位）.

JoJf3b30

2、證明:歷在（0,1）內(nèi)恰有一實根。

標(biāo)準(zhǔn)答案：

原方程可化為：「出山一上=0.

令/(J)=「4；山一，?則八/)在［01］上連續(xù).且/<0)=一。<0?

11-/I。10

/⑴史尹士山一上

Jo14-/10J”】十/)0

=f('-i』產(chǎn)一《二夕，7》|：7n(一八|：一』

=In2T.

j

乂In2=ln(11)~1-.L+-+——~???

人(11123456

故/⑴>(T+1+1)-.>0?6167-。?6=。?。167>0.故由零點

,「J」

定理知，f(y)在(0,I)內(nèi)至少有一零點，即方程人】十，】°在(0,1)內(nèi)至少有一

實根，乂‘ZG(O,i),故f(%)在(o,i)內(nèi)單調(diào)遞增，十是函數(shù)

'上-山=1

y=f(x)與無軸至多有一個交點，即方程f(%)=o，也是J。仃了一記在(0，1)內(nèi)至多

有一個實根。綜上所述，方程J。號”=告在(0,1)內(nèi)有一實根。

知識點解析：暫無解析

二、選擇題(本題共5題，每題7.0分，共5分。)

、洌.3=

3、設(shè)函數(shù)f(%)可導(dǎo)且f(D)=O,則-QN()

A、f(%)

B、f\0)

C、f(0)

X

D、7f(0)

標(biāo)準(zhǔn)答案：B

知識點解析：暫無解析

4、下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的為()

A、y=x4+x2+i

B、y=x.sinx2

c、y=x3-e-z2

D、y=ln2x

標(biāo)準(zhǔn)答案：B

知識點解析：暫無解析

5、設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)在點xo處不連續(xù)，而函數(shù)h(?在點％o處連續(xù)，則函數(shù)()在xo

處必小連續(xù)。

A、f(X)+g(X)

B、Hx)g(x)

C、故)+h(x)

D、f(x)h(x)

標(biāo)準(zhǔn)答案：C

知識點解析：暫無解析

V2=3――

6、由曲線’，直線y改及％=2所圍圖形面積為()

A、射-，產(chǎn)

B、位

C、『(2-《四+。2一.，

D、21)4r+02一業(yè)

標(biāo)準(zhǔn)答案：B

知識點解析：暫無解析

7、交換二次積分'=/對；八3出十『d獷

的積分次序后，1=

(),

A、阿"(3)力

B、'/(八山力

c]d.r]/(i?y)力

口J時/J..v)d.v

標(biāo)準(zhǔn)答案：C

知識點解析：暫無解析

三、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)

z

標(biāo)準(zhǔn)答案：百

知識點解析?：暫無解析

9、設(shè)股）=?2川，則產(chǎn)35）⑼二

標(biāo)準(zhǔn)答案:2235”

知識點解析：暫無解析

、.,Iri.rdj-:

10、定積分J1o

2F+1

標(biāo)準(zhǔn)答案：~

知識點解析：暫無解析

IJI<>—）dud>

11、設(shè)區(qū)域D={%,yI0<x<l,-l<y<l}，則吆

2

標(biāo)準(zhǔn)答案：3

知識點解析：暫無解析

12、函數(shù)y=2/+3￡-12%+l的單調(diào)遞減區(qū)間是_____

標(biāo)準(zhǔn)答案：（-2,1）

知識點解析：暫無解析

四、解答題（本題共8題，每題L0分，共8分。）

(arctan/)*d-r

lim

13、求極限L.s4—1O

(arctan/)*d/(arcian/)dr

lim---:-----------=lim-----------------?lim:--

-vCr:4-I…”J->/jr+1

=lim(arctan.r)-

r???、

標(biāo)準(zhǔn)答案：4,

知識點解析：暫無解析

(」.?

JC=a(t—sin/),求益也

14、已知參數(shù)方程1y=Q(l_cos>"

x—a(t—sin/),

求s.4

標(biāo)準(zhǔn)答案：l>=a(l-cos/),"M

知識點解析：暫無解析

15、依，求不定積分JpGimi+xHdx

|[e?,+in(1-f-x)]dx=yje2,d(2.r)4-|ln(I+i)(Lr

=:昌+川水1+上)一1而必

=+xln(14-x)—|p-尸①

=J?'+/ln(1+1)—『十ln(1+I)4-C

標(biāo)準(zhǔn)答案:J

知識點解析：暫無解析

『一比一

16、求人向1+”)。

標(biāo)準(zhǔn)答案：令G=t,則/=?,d/=2tdt,tG[l,],故

知識點解析：暫無解析

17、求函數(shù)y=xarctanx-ln八十工'的導(dǎo)數(shù)y。

y-(1)'arcian.r十上?(arctanx)7—(In1/1-Fx')

=arctan.r4--~—~~q----工—?(八+三)'

]十天

1

=arctartr

八十P

=arcianj,+,”，-,f—arctanj.

標(biāo)準(zhǔn)答案：I+?r14-x

知識點解析:暫無解析

18、設(shè)p+y2+2%-2yz二」確定函數(shù)z=z(x，y),求心*'K。

227z

標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(%,y,z)=%+y+2%-2yz-e-0,則Fy=2y-2z,Fz=-2y-e,

衛(wèi)=_&=2(/+1)<iz__F,_2(>—z)

故當(dāng)③"松時，有"一五一2y+e，-F「2y十￡

知識點解析：暫無解析

ITEd?rdy

19、計算二重積分號”，其中D是由直線％=2,y=%與雙曲線d=1所圍成的

區(qū)域。

11,

]&y&N.

標(biāo)準(zhǔn)答案：先沿y方向積分，區(qū)域D可表示成:則

=1：6T,劃工

知識點解析：暫無解析

20、求微分方程y-2y-3y=xe，的通解。

標(biāo)準(zhǔn)答案：相應(yīng)的齊次方程為，?2二3y=0,其特征方程為凡2「-3=0,得特征根為

n=3,r2=-l,故齊次方程的通解為yuCdX^e^Ci，C2為任意常數(shù))。由于自由

項敢)=短乙人=-1是特征單根，故可設(shè)原方程的特解為y*=K(A%+B)e]，將y*代入

原方程，得-8A%+2A-4B=x，有-8A=I,2A-4B=0得、=一至，3二—正故原方程

的特解為山岡。所以原方程的通A解為y=Cie3，+C2e%(2%+l)6(Ci，C2為任意常

數(shù))。

知識點解析：暫無解析

廣東專插本(高等數(shù)學(xué))模擬試卷第2

套

一、綜合題(本題共3題，每題7.0分，共3分。)

設(shè)函數(shù)f(x)=x-2arctanxo

1、求函數(shù)f(%)的單調(diào)區(qū)間和極值：

/"(]*)1---2Si，..—I,

標(biāo)準(zhǔn)答案：因為函數(shù)f(2)=%-2arctanx,則1。'【?尸，令f(%)=0,

，

得駐點尸±1。當(dāng)時，f(x)>0：當(dāng)-1V%V1時，f(x)<0;當(dāng)%>1時，

/(%)>0故函數(shù)人%)在(-8,-1)與(1,+8)上單調(diào)增加；函數(shù)f(%)在(-1,1)上單調(diào)減

少。因此函數(shù)f(%)在尸-1處取得極大值f(-l)二口1在尸1處取得極小值

f(l)=l-O

知識點解析：暫無解析

2、求曲線y=f(%)的凹凸區(qū)間和拐點。

標(biāo)準(zhǔn)答案：因為“小二土兀所以=行方，令f(%)=0,得尸0。因為

當(dāng)%>0時，f"(%)VO,故曲線y=f(x)在區(qū)間(。，0)上是凸的。又因為當(dāng)x>0E寸，

f(%)>0,故曲線y=f(x)在(0，+8)上是凹的，且(0,0)是曲線的拐點。

知識點解析：暫無解析

4_]=「_A_

3、證明：方程”在(0,1)內(nèi)僅有一個根。

標(biāo)準(zhǔn)答案：令/8="7一1，備，則f(%)=4?l-arctanx,且政)的定義域為(-

岡

8,+oo)o因為f(0)=IV0,f(l)=3-口>0,所以，由零點存在定理，可知函數(shù)

f(?在(0，1)內(nèi)至少存在一個零點。又，所以，f(%)在(0,1)上是單調(diào)遞增的，即函

數(shù)f(%)存(0,1)內(nèi)有且僅有一個根。

知識點解析：暫無解析

二、選擇題(本題共5題,每題分，共5分。)

，

y=31一

4、函數(shù),2+3"的反函數(shù)是()

3r

A、、-3'+2

2+3?

V一—

B、，￥

y=log,

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：c

知識點解析：暫無解析

sin(zr1)

lim

5、V-1=()

A、1

B、0

、

C2x

D、2

標(biāo)準(zhǔn)答案：D

知識點解析：暫無解析

6、已知加2k）=油%,則1%）=（）

B、z

C、1股

D、/Inx

標(biāo)準(zhǔn)答案：B

知識點解析：暫無解析

7、在下列給定的區(qū)間內(nèi)滿足洛爾中值定理的是（）

A、y=Ix-1I,[0,2]

->[0,2]

y

B、y（x-i）

2

C、y=x-3Z+2,[1,2]

D、y=xarcsinx,[0,1]

標(biāo)準(zhǔn)答案：C

知識點解析：暫無解析

8、下列關(guān)于二次積分交換積分次序錯誤的是（）

ru

d1|人工，y)dy=

A、

/(?r,y)dy=

B

f(jr^y)dy

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D

知識點解析：暫無解析

三、填空題（本題共5題，每題分，共5分。）

9、y=X3lnx（x>0）,則y（4）。

6

標(biāo)準(zhǔn)答案.y

知識點解析：暫無解析

(尸?arctanj+cos.r)d.r

10、定積分

標(biāo)準(zhǔn)答案：2

知識點解析：暫無解析

=31+1,

i則力

11、設(shè)13一2「一/十1,di

標(biāo)準(zhǔn)答案：1

知識點解析：暫無解析

12、若函數(shù)f（無尸a￡+-b%在％=1處取得極值2,則a二.，b=

標(biāo)準(zhǔn)答案：-2,4

知識點解析：暫無解析

13、交換積分；的積分次序，則1=

標(biāo)準(zhǔn)答案」時?！?/p>

知識點解析：暫無解析

四、解答題（本題共8題，每題上。分，共8分。）

lim.re-c?(c1-1)cos[?]

14、求極限’“L8sin3.r

lim[(c,-1)?COS

?一n8sin3.r

im*；---lim(e'-1)?cos-

一“bsm3/,一》x

im-lim/-cos1

?i>241-oj-

imM"

-0

2?1

標(biāo)準(zhǔn)答案：一丁

知識點解析：暫無解析

2xq/

15、設(shè)ynE,求必

"cos

di(備)?(品)

/2.r、2(1+/')—2?r?2;

…(G)---aTPT-

2

2(1-x)2JT

7

標(biāo)準(zhǔn)答案:一(1-FJ:)：C05ITT'

知識點解析：暫無解析

[--L—dx

16、求不定積分J/戶了o

[一；_?—[———，癡疝

J丁?(\+-Jtan'/?ttccf

=f雪山

Jsin,t

二iIr-

標(biāo)準(zhǔn)答案：s皿1

知識點解析：暫無解析

17、求函數(shù)y=2/+3/-12%+l的單調(diào)區(qū)間。

標(biāo)準(zhǔn)答案：y=6X2+6%-I2=6(X2+%-2)=6(X+2)(X-1),令y=0,得為『2,殍=1,歹ij表

1(-.-2)-2(-2.1)1(1?+3

$0一0

、W

，M/

討論如下：由

表可知，單調(diào)遞增區(qū)間是(-8,-2],[1,+00),單調(diào)遞減區(qū)問是[-2,1]。

知識點解析：暫無解析

18、設(shè)政)是連續(xù)函數(shù)，且J。求政)。

1

標(biāo)準(zhǔn)答案：等式兩邊對義求導(dǎo)得f(f-l).3/=i,即敢令%=2,得f(7)二

I

我。

知識點解析：暫無解析

Bdidy

19、y,其中D是由y=%和丫2=%所圍成的區(qū)域。

P號亞"f學(xué)叱"

=|￡2^（y_y2）dy

—jcosydy-Jycosydy

=sinj-[yd（5inv）

oJo"

=sinl-sinl-cosyI

標(biāo)準(zhǔn)答案：1-cosl.

知識點解析：暫無解析

20、設(shè)'>7（>）"fX（x）,其中f（u）,g（v）分別為可微函數(shù)，求喜'羨

票="?。?：+|仔）+必仔）?（一力

舒=/（5）+”（介「熱+用'（介土

標(biāo)準(zhǔn)答案："住廠?'（力*）?

知識點解析：暫無解析

21、求微分方程2￡*噌+3y=。的通解。

標(biāo)準(zhǔn)答案：原方程的特征方程為2r2+4什3=0,特征根為

〃一十爭心-一凈,所以原方程的通解為

.V=e'（c.cosyj-FCjsin

知識點解析：暫無解析

廣東專插本（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第3

套

一、綜合題（本題共2題，每題1.0分，共2分。）

J

1、求拋物線丫=5￡與/+y2=8(y>0)所圍成圖形的面積及該圖形繞/軸旋轉(zhuǎn)一

周所成旋轉(zhuǎn)體的體積.

獷，得或仁”

22-Oy=2，\y=2,

標(biāo)準(zhǔn)答案：解方程組”十、一8,故所求的面積為：

C2._______1

S=卜8T―/嚴(yán)

=「依二？"一4

J-26-2

352

=15w，

知識點解析?：暫無解析

arctarrr

2、證明：當(dāng)心0,ln(l+x)N1+工,

標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)F(%)=(1一%)ln(l+%)—arctan%,則Ff(x)=ln(l+%)+1—

]=1(1+)

1+下一n”-1+工2當(dāng)％>0時，P(x)>0，所以F(x)單調(diào)增加，則當(dāng)

arctanz

%>0時，F(xiàn)(x)>F(O)=O.即(1+%)ln(l+%)>arctan%故ln(l+?>1+工.當(dāng)％=0

arctaniarctanx

時，ln(l+?=0,1+z=0.所以當(dāng)發(fā)0時，有l(wèi)n(l+%)21+-.

知識點解析：暫無解析

二、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)

z)0,?T20.

/(X)=

nV0,<0,則當(dāng)時,

3、設(shè)f(%)=(<0

fl<p(x)]=()

A、X

9

B、-X-

c、-x

D、X2

標(biāo)準(zhǔn)答案：B

知識點解析：左0時，(p(x)=x>0,f[(p(x)]=x2j/V。時，▼(%)=—/vo，f[<p(x)]=

產(chǎn)2,彳2O.

一/所以fk(x)]=1一”<0'故本題選民

-ijm__________________=X

4、設(shè)政)在廣加可導(dǎo)，有…/Q。一2])一/(%)-彳，則，(沈)=()

A、4

B、-4

C、2

D、-2

標(biāo)準(zhǔn)答案：D

知識點解析：

_____￡=..________T_______=工]=]_

…/(Xo—2N)—/(Z0)___Mf(工o—2z)—f(Ho)_____2f(x0)4

-2a

則?a0)=—2,故選D.

5、若Jf(%)d%=F(%)+C,則Jsin%f(cos%)dx=()

A、F(sin%)+C

B、-F(sinZ)+C

C^F(cosx)+C

D、—F(cos/)4-C

標(biāo)準(zhǔn)答案：D

知識點解析：kinyf(cc*%)d%=—Jf(co女)dcc*x=-F(co*%)+C,故選D.

2

6、設(shè)當(dāng)為一0時，(l—8S%)ln(l+￡)是比％sin%n高階的無窮小，而％sin￡是比

—1高階的無窮小，則正整數(shù)n等于()

A、1

B、2

C、3

D、4

標(biāo)準(zhǔn)答案：B

知識點解析：根據(jù)題意有，

I22

1.(J-cosx)ln(1+x2)..2X

hm---------：~;-------=hm----7n—=

一oxsinx一ox則n—3

<0,則，n—1>0,綜上所述，得n

=2.

CO8

2s

7、若級數(shù)”Sn收斂于S,則（an+an+l—an+2）收斂于（）

A、S+ai

B、S+a2

C、S+ai-32

D、S—ai+a2

標(biāo)準(zhǔn)答案：B

知識點解析：由多即收斂于S,則前n項和SS）=￡%,，"Fsi（n）=S.令

+an+i—an+2）的前n項和為S2（n）,即S2（n）=ai+32-33+32+33—34+...4-an-i+an

s

-4-1

an+iIanIan+i—an+2=ajIa?—an+2?故

limS2（n）=lim（Yja,+a2—a”.，）

—=S4-a2-0=S4-a2.

三、填空題（本題共5題，每題分，共5分。）

8、若f（勸的定義域為[（）?1],則f（疥的定義域是______.

標(biāo)準(zhǔn)答案：[-1，1]

知識點解析：由心右1卻OE￡WI,則一吆仄1,故《/）的定義域為[-1,

9、若％—0時，（1一公2），-1與鄧in%是等價無窮小，則a=.

標(biāo)準(zhǔn)答案：a=-4

1上?（—ax2）

].（1—ar2）7—1..4一一&_1

lim-------：-------=nm------Q----------7----1

4

知識點解析：isinzLO“所以a=

-4.

lim/（*—2'z）一/（冗）

10、設(shè)政）在點加可導(dǎo)，型…△工

標(biāo)準(zhǔn)答案：一2?（%0）

知識點解析：

lim/(入_2/)-必=-21im八工。一2空一卜色一2/3

tur~?O>工Ar-?O-20工

11、設(shè)f(%)的一個原函數(shù)為In2%,則垃P(x)dx=.

標(biāo)準(zhǔn)答案：21n%—ln2%+C

知識點解析：霰積函數(shù)中有「⑴，用分部積分法，kF(%)d%=kdf(%)=%f(%)—Jf(%)d%

21nx

=%f(%)—ln2%+C，其中f(x)=(ln2%)，="，于是/?(%)&(=21叫一1112%+(2?

12、微分方程(l+/)y，=y]ny=O的通解為.

標(biāo)準(zhǔn)答案：lny=C°arc⑶叨

(1+尸)史=>lny=>=-2-jdx=>ln|ln>|

知識點解析：&1+彳=arctanx+

lnICI,Iny=Cearcsnz其中c為任意常數(shù).

四、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)

14x4-3

lim(1-----\.

13、求極限—8、工)

標(biāo)準(zhǔn)答案：令一X=3則當(dāng)先—>8時，有t—CO,所以

知識點解析：暫無解析

(X=/(Z)—六，

切

14、設(shè)I)=一1),其中f可導(dǎo)，且？(0)加求di!；“。的值.

標(biāo)準(zhǔn)答案：

因字=/(e^-1)?e3,-3=3a.=fU),

dtd￡

dy

于是乎=*=止行二1A,所以y=需=3.

dxdxJ⑴driJ(0)

dt

知識點解析：暫無解析

15、計算不定積分

標(biāo)準(zhǔn)答案：

a--s^—dj=2arcsinjrd(+z)

yiJ

I

=2\/l+xarcsinx-2+z?—.-1.djr

=2Ml+jrarcsinz-2-—dz

J

=2(y/}+xarcsinjr+2—彳)+c.

知識點解析：暫無解析

16、由曲線y=(%—1)(%—2)和4軸圍成一平面圖形，求此平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周

所成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖選為為枳分變量，得旋轉(zhuǎn)體體積V=J/2兀%(0—丫)取=2兀//—以%—

l)(X-2)dx=-27rfi2(x3-3x2+2x)dx=2.

知識點解析：暫無解析

17、設(shè)z=ln(z+〃z2+7),求"3"

標(biāo)準(zhǔn)答案:

牛=-?2工］

2工z+J/+y2L2」

=1+/（，+y，）T

X+，一+?

齊---^了（/+，）孑?2y（z+J*+，）一［1+J€Z^+，）V］?［~］（拉+，尸?2

曬Cr+，？+』）2

:孫（RZ+爐）-+口+（/+y）+］+口十十；/）［?+；/）T

一（工+，/+.）2

「y（」+y）T［。+2］（白+>2。+（Z2+、2）］

（N+"+-）2

=_蟲/+丁)7=--各產(chǎn)2

知識點解析：暫無解析

』5"

18、求D,其中Dffty=x，xy=lX及y=2圍成.

標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖所示區(qū)域D：10yW2,則

4亍“=△^：^dx=f(i-27)d>

=(q+$)「=高

知識點解析：暫無解析

19、求微分方程,常+2手，工的通解.

標(biāo)準(zhǔn)答案：觀察題目，直觀看出原方程可寫為(1?)'=%兩端積分有

e，y=J/+C.《彳2e，+八一)

乙所以原方程的通解為y=2,其中c

為任意常數(shù).

知識點解析：暫無解析

OO

1

20、判定級數(shù)G3-5+1)

的斂散性.

1

lim=lim?3-(兀+1)=—

標(biāo)準(zhǔn)答案：L8…3"(n+2)3<1,故

OO

1

3-(〃+/收斂.

>t-1

知識點解析：暫無解析

廣東專插本(高等數(shù)學(xué))模擬試卷第4

套

一、綜合題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)

1、設(shè)z=f(屋丫，ytanx)，其中f(u,v)是可微函數(shù)，求dz.

標(biāo)準(zhǔn)答案：令u=e/丫，v=ytan%,則z=f(u,v),故dz=fu(u,v)duJ-fv(u,v)dv

x-y2z-y

=fud(e'—y)+fv，d(ytanx)=fue(dx—dy)+fv(ysecxdx4-tan/dy)=(efu+

2zy

ysecfv)dx+(tan%fv—efu)dy.

知識點解析：暫無解析

市

2、證明：方程3%—1一建丁”=0在區(qū)間(0，1)內(nèi)有唯一實數(shù)根.

標(biāo)準(zhǔn)答案：令政)=3廠1一J。1+”,則散)=3—1+/在［0,1］上有意

義.即有f(x)在［0，1］上連續(xù)，而f(0)=—IVO,f(l)=2-arctanl=2-4>0,所

以至少存在一個：在0,1)使f(&)=0,即方程f(%)=0在(0,1)內(nèi)至少有一個實數(shù)

]=2+3/

根，又？(%)=3—1+三一廠K>0,即f(%)在(0，1)內(nèi)單調(diào)增加.故方程3%

一I-Jo】+“dl=O在(0,1)內(nèi)有唯一實根.

知識點解析：暫無解析

二、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)

sinx>0,

<則linj/(x)=

xsin—,x<0,1"

3、設(shè)函f(%)=(”()

A、-1

B、0

C、1

D、不存在

標(biāo)準(zhǔn)答案：D

limsin-

知識點解析：―工極限不存在，本題應(yīng)選D.

4、設(shè)函數(shù)f(x)=lnsinx，則df(%)=()

1

A、six

B、—cotxdx

C、cot^dx

D、tan/d/

標(biāo)準(zhǔn)答案：C

1

知識點解析：d(lnsinx)=s*arcos%dx=cotxdx，故應(yīng)選C.

5、f(X2)=x(X>0),則敢)=()

A、2%+C

B、26+C

C、x2+c

1

D、6+C

標(biāo)準(zhǔn)答案：B

I

知識點解析：令1=/則％=〃，「(%)=?(%>()),f(x)=ff(x)dx=

f-yz.dx=2日

JG+C,故應(yīng)選B.

+7——i-/

6、如果使函數(shù)f(%)=x在點％=0處連續(xù)，應(yīng)將其在點％=0史的

函數(shù)值補充定義為()

A、0

B、2

C^一1

D、1

標(biāo)準(zhǔn)答案:D

Jl+—*J\—X[?1-Fx-1+J'

hm-----------------=lim----「，，J---------,.

RX

--°LOX(/+1R+y/\—x)

2

lim

知識點解析:若敏)在

%=0處連續(xù)需補充定義f(O)=l,故本題選D.

a”+1a”Ia”一I

7、設(shè)Pn=2，qn=n=l,2,則下列命題中正確的是

()

Z22OO

A、若”Tan條件收斂，則1IPn與”7qn都收斂

ooOo

B、若”7an絕對收斂，貝hs=1Pn與s"Iqn都收斂

anOQ8

C、若”7an條件收斂，則”7Pn與一5】的斂散性都不定

8OUoo

22X

D、若“—an絕對收斂，則”-Pn與*】qn的斂散性都不定

標(biāo)準(zhǔn)答案：B

g8q

知識點解析：a絕對收斂“小與牛都收斂,朵條件收斂

oooooo一個收斂，一個發(fā)散=￡而發(fā)散，故

0中與牛都發(fā)散,經(jīng),與畢

本題選B.

三、填空題(本題共5題，每題L0分，共5分。)

「(l+x)(l+2x)(l+3x)+a

lim-----------------------------

8、設(shè)“-0X=6,則a=.

標(biāo)準(zhǔn)答案：一1

(l+x)(l+2x)(1+3x)-Fa

hrm---------------------------

知識點解析：—1=6,則(1+0)(1+20)(1+3.0)+

a=0,a=-1.

9、已知曲線y=『+%-2上點M處的切線平行于直線y—5%—I,則點M的坐標(biāo)

為.

標(biāo)準(zhǔn)答案：(2,4)

知識點解析：y,=2%+l=5,則％=2,故M點坐標(biāo)為(2,4).

X

10、已知政)=/+cos%+2分敢姒，則敢)=.

標(biāo)準(zhǔn)答案：％+cos%+3+sinl

知識點解析：令f(%)=/+cos%+C,則f(%)=/+cos%+2Jo(x2+cosx+c)d%,f(%)

x2+cosx+:(事+sin/+Cr)|°=z?+cosx+y(y+sinl+C),

+sinl+C)2_A.

即C='\J),C=3+sinl,故f(x)=%+cosx+3+sinl.

11、微分方程y〃一/=0的通解為.

標(biāo)準(zhǔn)答案：y=Ci+C2e*

知識點解析；微分方程的特征方程為九2—入=0,則特征根為筋=0,入2=1，故微

分方程的通解為y=CI+C2eZ(Cl，C2為任意常數(shù)).

3e4x<0,

2“+等，z20

12、若函數(shù)f(x)=〔.'在/=0處連續(xù)，則a=.

標(biāo)準(zhǔn)答案：6

知識點解析：

lim/2工+葛)=-2.,Iim3e0=3,又lim/(z)=lim/(x)=/(x)*年

LQ+1乙)2lLr?『即'=3,

故a=6.

四、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)

ln(]+orJ)

x<0,

JC-arcsinx

6,x=0,

4

e"+d—or—1

~—-9x>0,

xsinf

4

13、設(shè)f(%)=問a為何值時,f(X)在％=0連續(xù);a

為何值時，％=0是f(x)的可去間斷點.

標(biāo)準(zhǔn)答案：(l)f(0)=6；

(2)limf(工)=lim區(qū)VW"=lim——

丁一)一一()一1—arcsinjr.。一x-arcsinx

(3)lim/(z)=lim竺+P-or-1=.￥十二一。一1=+4?

一0-isin97寸—JC2

44

若f(%)在％=0處連續(xù)，應(yīng)有2a2+4=-6,故a=-l.若政)是敢)的可去間斷

lim/(x)=lim

點，則應(yīng)有—。'-。一(?丹(0)，即2a2+4=—62彳6,故存一1，所以a=一

2時，％=0是可去斷點.

知識點解析：暫無解析

[,「211

14、求，一L/+11+1」

2=2

標(biāo)準(zhǔn)答案：原式=1—彳—2.

知識點解析：暫無解析

15、設(shè)函數(shù)y=y(%)由方程y=(l”)z.嚴(yán)確定，求y：

標(biāo)準(zhǔn)答案：

y=[(Inz)']'?+(lnjr)x?(彳巾)'

=[e,“…了."+(lnx)-?

f,,n(hu，?

=erin(lnj-)+/??_L].+(\nxy.小，2\nx.

LInmzjr

=(lnT)r?「In(lnx)+工[?彳應(yīng)+2(lnLr)^r,?xlnjr~l

inj-?

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[—

16、求不定積分J1+/3-工

標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)t=，3-則％=3—f2,d%=一

Ji+^T備"

二T釬山

=_2九1一告產(chǎn)

2tdt.=2(lnI1+c|—”+C,再將t=，3—z代入,整理

f------g=21n(1+v^3—x)—2-3—z+C.

后得J1+43—工

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17、過點M(3,0)作曲線y=ln(%—3)的切線，該切線與此曲線及％軸圍成一平面圖

形D.試求平面圖形D繞為軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.

標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)切線與曲線的切點為Mo(xo,1n(xo-3)),由于工。一3,

]

所以切線方程為丫一儂M—3)=4。-3(%一/0),因為切線經(jīng)過點M(3,0),所以將

M(3,0)代入上式得/o=e+3,從而切線方程為y=e(%—3),于是，所求旋轉(zhuǎn)體

22

V=XlXe-K(ln(x-3))dx

34

&二學(xué)—邛(In。?|；一2「rudJ

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18、求7(r+y-)dc,其中口為丫=%+2,y=3a(a>0)為邊的平行四邊形.

223ay2

標(biāo)準(zhǔn)答案：首先畫出積分區(qū)域D,把它看作Y型.則?(Z+y)da=fadyfy-a(X

2

324

+y2)d%=]/a(3z+yx)|y.a>,dy=14a.

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19、求微分方程y"+4y，+3y=0滿足yI尸0=2,y，15c=o=6的特解.

標(biāo)準(zhǔn)答案：微分方程的特征方程為#+4入+3=0,則特征根入1=-1,入2=一

3.則微分方程的通解為y=Cie-%+C2e、x(C],C2為任意常數(shù)).又y，=-Ci/%

?Ci+C2=2?=6,

—3C2e』，yI尸。=2,y,I尸0=6。1一G-3C?=6,m=-4.故微分

方程特解為y=6cF-4「3%.

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￡2k-1

20、判定級數(shù)。T(6的斂散性.

標(biāo)準(zhǔn)答案：…M"…(62n\?，故…(a)

收斂.

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廣東專插本(高等數(shù)學(xué))模擬試卷第5

套

一、綜合題(本題共2題，每題分，共2分。)

1、過點P(I,0)作拋物線》一/工一2的切線,該切線與上述拋物線及無軸圍成一平

面圖形，求此圖形繞無軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)休體的體積。

y—k(T—I).

標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)切線的斜率為k,則切線方程為y=k(a),聯(lián)立?得是

2222

kZ-(2k+l)x+k+2=0,由于直線和拋物線相切，所以(21?+1)2-41<2(1?+2尸0,叱簡

得4k2=1,聯(lián)系實際解得2。又一N一相不與-5,解得％=3,代入

丁=廳互，得尸I,即切點坐標(biāo)為(3,1),所以

V=-1-X2XxX1：一”「(彳一2)(1X=工

JJ26o

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2、證明方程"=7-Jo，】_cos2/d/在區(qū)間ee5內(nèi)僅有一個實根。

l、h代…/(1)=Irv-土+A-cos2xdz顯然政)在匡，e)上連續(xù),

標(biāo)準(zhǔn)答案：令A(yù)eJo

/(e)=Inc--4-Jy/1—cos2xd-r=J_cos2?rd.r=25/2>0.

八e」)—lnes一"+Jvzl-cos2jrdr=3—+2&V6—c?<0.

由根的存在定理

得，在e。3)內(nèi)至少存在一個根。使得解)=0,又八*"!一?，在(e,eb內(nèi)

f(X)<0,所以f(x)在(e,C?)內(nèi)單調(diào)減少。綜上所述，方程

，nX=e"L⑺-在區(qū)間二e5內(nèi)僅有一個實根。

知識點解析：暫無解析

二、選擇題(本題共5題，每題7.0分，共5分。)

3、極限()

A、1

B、-1

C、0

D、不存在

標(biāo)準(zhǔn)答案：D

知識點解析：暫無解析

/(X)=Jx

4、設(shè)1°，”=0唄1卜=0是函數(shù)人7)的()

A、可去間斷點

B、第二類間斷點

C、連續(xù)點

D、跳躍間斷點

標(biāo)準(zhǔn)答案：A

知識點解析：暫無解析

5、設(shè)f(功在［a,b］上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且f(a)=f(b),則曲線y=f(%)在(a,b)內(nèi)

平行于X軸的切線()

A、僅有一條

B、至少有一條

C、有兩條

D、不存在

標(biāo)準(zhǔn)答案：B

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