試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁江蘇省宿遷市第一高級中學(xué)、洋河如東中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測（2.5模）數(shù)學(xué)試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知集合，則（

）A． B．C． D．2．若，則（

）A． B． C． D．3．已知是單位向量，若，則（

）A． B． C．8 D．4．春季是流感的高發(fā)季節(jié)，某醫(yī)院對8名甲型流感患者展開臨床觀察，記錄了從開始服藥到痊愈所需的天數(shù)，具體數(shù)據(jù)如下（單位：天）：7，4，6，5，8，5，6，4.則下列說法正確的是（

）A．這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為5B．這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5C．這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為6D．這組數(shù)據(jù)的極差為55．已知數(shù)列滿足，，則（

）A． B． C． D．6．設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為直徑的圓與雙曲線的兩條漸近線分別交于（除原點(diǎn)外）兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（

）A．4 B．2 C． D．7．一個(gè)底面半徑為2的圓錐的軸截面為正三角形，現(xiàn)用平行于底面的平面將該圓錐截成兩個(gè)部分，若這兩部分的表面積相等，則該平面在圓錐上的截面面積（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．二、多選題9．的展開式中，下列結(jié)論正確的是（

）A．展開式共8項(xiàng) B．含項(xiàng)的系數(shù)為480C．無常數(shù)項(xiàng) D．所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為12810．已知函數(shù)，若，且，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)為偶函數(shù) B．函數(shù)為偶函數(shù)C． D．在區(qū)間上單調(diào)遞減11．如圖，四棱錐的外接球球心為點(diǎn)O，且底面為正方形，平面．若點(diǎn)M為上靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別為線段與平面上的點(diǎn)，則最小時(shí)，下列說法正確的是（

）A．B．點(diǎn)P為線段的中點(diǎn)C．平面截四棱錐所得的截面是直角梯形D．三棱錐的體積為三、填空題12．曲線在點(diǎn)處的切線的斜率是.13．在學(xué)校三月文明禮儀月中，學(xué)生會(huì)4位干事各自匿名填寫一張《校園設(shè)施改進(jìn)建議卡》，老師將建議卡打亂順序后，要求每人隨機(jī)抽取一張進(jìn)行互評審核，則恰好有2位干事抽到自己所寫建議卡的概率為.14．已知實(shí)數(shù)a，b滿足，記a的取值集合為M，則M中的整數(shù)有個(gè)．四、解答題15．已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對邊，且.(1)求；(2)若，的面積為，為邊上一點(diǎn)，滿足，①求的周長；②求的長.16．2025年春節(jié)假期，文旅市場火爆.文化和旅游部公布的數(shù)據(jù)顯示；春節(jié)假期8天，全國國內(nèi)出游5.01億人次，同比增長5.9%；國內(nèi)出游總花費(fèi)6770.02億元，同比增長7.0%.某景區(qū)的某網(wǎng)紅飲品小店統(tǒng)計(jì)了春節(jié)假期前7天的營業(yè)額（單位：千元），得到與的數(shù)據(jù)如表所示：第天1234567營業(yè)額791012161911(1)已知與有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測春節(jié)假期第8天的營業(yè)額；(2)如果該天營業(yè)額大于10（單位：千元），則該天“達(dá)標(biāo)”，從表格中的7組數(shù)據(jù)中隨機(jī)選4組，設(shè)表示“達(dá)標(biāo)”的數(shù)據(jù)組數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式：在線性回歸方程中，，.17．如圖，四棱錐的體積為，底面為平行四邊形，底面，的面積為．(1)求點(diǎn)到平面的距離；(2)設(shè)，二面角為，求直線與平面所成角的正弦值．18．已知橢圓上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為6.(1)求的方程；(2)已知是上一動(dòng)點(diǎn)，，當(dāng)為的右頂點(diǎn)時(shí)，取得最小值，求的取值范圍；(3)若動(dòng)直線與交于點(diǎn)，點(diǎn)是軸正半軸上異于點(diǎn)的一定點(diǎn)，若直線的傾斜角分別為，且存在實(shí)數(shù)使得恒成立，求點(diǎn)的坐標(biāo)及的值.19．已知是定義在上的函數(shù)，若對任意，恒成立，則稱為上的非負(fù)函數(shù).(1)判斷是否為上的非負(fù)函數(shù)，并說明理由.(2)已知為正整數(shù)，為上的非負(fù)函數(shù)，記的最大值為，證明：為等差數(shù)列.(3)已知且，函數(shù)，若為上的非負(fù)函數(shù)，證明：.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《江蘇省宿遷市第一高級中學(xué)、洋河如東中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測（2.5模）數(shù)學(xué)試卷》參考答案題號12345678910答案DBBCCBACACDBCD題號11答案AC1．D【解析】根據(jù)集合的交集的概念及運(yùn)算，即可求得，得到答案.【詳解】由題意，集合，根據(jù)集合的交集的概念及運(yùn)算，可得.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的表示方法，以及集合交集的概念及運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2．B【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，利用共軛復(fù)數(shù)的定義結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】因?yàn)?，則，所以，，，，，B對，ACD均錯(cuò).故選：B.3．B【分析】根據(jù)，求出，然后求解.【詳解】，即，，故選：B.4．C【分析】根據(jù)眾數(shù)，平均數(shù)，百分位數(shù)，極差的定義逐一判斷即可.【詳解】對于A，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為，故A錯(cuò)誤；對于B，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故B錯(cuò)誤；對于C，將這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為，因?yàn)?，所以這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為6，故C正確；對于D，這組數(shù)據(jù)的極差為，故D錯(cuò)誤.故選：C.5．C【分析】由已知等式變形得出，推導(dǎo)出數(shù)列為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公差，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】因?yàn)椋?，可得出，，，以此類推可知，對任意的，，且，所以，或（舍），所以，，且，所以，?shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，故，故.故選：C.6．B【分析】根據(jù)題意寫出以為直徑的圓的方程，與雙曲線的漸近線方程聯(lián)立求得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再根據(jù)即可求得.【詳解】由題意，雙曲線的漸近線方程為，如圖，設(shè)雙曲線的焦距為，以為直徑的圓的方程為：，即，聯(lián)立，解得，即由對稱性可得，，且，則，可得，故離心率.故選：B7．A【分析】利用圓錐的特征即表面積公式、圓的面積公式計(jì)算即可.【詳解】由題知，平面截圓錐后上半部分為一小圓錐，下半部分為一圓臺(tái)，且圓臺(tái)的上底面即小圓錐的底面，即該平面在原圓錐上的截面；圓臺(tái)的下底面即原圓錐的底面.不妨設(shè)圓臺(tái)上底面半徑為，圓臺(tái)下底面半徑為，小圓錐母線長為，原圓錐母線長為，由軸截面為正三角形知，，則小圓錐底面積為，底面周長為，側(cè)面積為，易知圓臺(tái)側(cè)面積可看作原圓錐側(cè)面積減去小圓錐側(cè)面積則圓臺(tái)側(cè)面積為，下底面積為由于兩部分表面積相等，則，因?yàn)椋瑒t，所以截面面積為.故選:A.8．C【分析】利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)在的單調(diào)性，再結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)求解不等式.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，，函數(shù)是偶函數(shù)，求導(dǎo)得，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，不等式，則，令函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞減，在上遞增，當(dāng)時(shí)，，令函數(shù)，求導(dǎo)得，函數(shù)在上遞增，當(dāng)時(shí)，，成立，當(dāng)時(shí)，，不成立，所以不等式的解集為.故選：C9．ACD【分析】利用二項(xiàng)式定理可判斷A正確，根據(jù)展開式通項(xiàng)可判斷B錯(cuò)誤、C正確，根據(jù)所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為可得D正確.【詳解】對于A，易知的展開式中共有8項(xiàng)，即A正確；對于B，設(shè)展開式中的第項(xiàng)為,令，解得；因此含項(xiàng)的系數(shù)為，所以B錯(cuò)誤；對于C，令，此時(shí)不是正整數(shù)，因此展開式中不存在常數(shù)項(xiàng)，即C正確；對于D，易知所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，可得D正確.故選：ACD10．BCD【分析】利用輔助角公式可得，為銳角，且，，利用余弦型函數(shù)的奇偶性可判斷AB選項(xiàng)；利用正弦型函數(shù)的最值可判斷C選項(xiàng)；利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷D選項(xiàng).【詳解】由輔助角公式可得，為銳角，且，，因?yàn)?，則，可得，所以，，因?yàn)?，故，對于A選項(xiàng)，，且，故，即函數(shù)不是偶函數(shù)，A錯(cuò)；對于B選項(xiàng)，，即函數(shù)為偶函數(shù)，B對；對于C選項(xiàng)，，所以，，C對；對于D選項(xiàng)，因?yàn)?，且?dāng)時(shí)，，由于，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，D對.故選：BCD.11．AC【分析】對于A，根據(jù)線面垂直，可得線線垂直，結(jié)合直角三角形的外接圓，可得其正誤；對于B，根據(jù)點(diǎn)到平面距離以及旋轉(zhuǎn)，將問題轉(zhuǎn)化為平面問題，結(jié)合圖象，可得其正誤；對于C，平行的傳遞性，結(jié)合平行線的比例以及線面垂直的性質(zhì)，可得其正誤；對于D，根據(jù)三棱錐的體積公式，結(jié)合直角三角形面積計(jì)算以及等積變換，可得其正誤.【詳解】對于A，連接，如下圖：因?yàn)槠矫?，且平面，所以，，，因?yàn)樵谡叫沃?，，且，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，同理可得，因?yàn)闉榈男边?，所以的中點(diǎn)到的距離都等于的一半，則球心就是的中點(diǎn)，如下圖：在正方形中，，在中，，在中，，則，，由，則易知，則，故A正確；對于B，由平面，則當(dāng)平面時(shí)，最短，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，且平面，所以平面，將繞旋轉(zhuǎn)到的位置，使得平面，在平面中，過作，垂足為，如下圖：易知，，由圖可知，在正方形中，由，則，在中，，則，易知，所以，，在中，，易知為的三等分點(diǎn)，如下圖：故B錯(cuò)誤；對于C，由B可知，易知，在中，過作，交于，連接，如下圖：易知，，即，，即，因?yàn)槠矫妫云矫?，因?yàn)槠矫妫?，故C正確；對于D，由題意可作圖如下：由C易知平面，由，則，在中，，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，在中，，，所以三棱錐的體積，故D錯(cuò)誤.故選：AC.12．【分析】求導(dǎo)即可求解.【詳解】由可得，故當(dāng)時(shí)，，故在點(diǎn)處的切線的斜率為，故答案為：13．/【分析】假設(shè)所有人拿到自己的卡，則恰好有2位干事抽到自己所寫建議卡，相當(dāng)于從4人中選兩人交換自己的卡，據(jù)此可得答案.【詳解】假設(shè)所有人拿到自己的卡，則恰好有2位干事抽到自己所寫建議卡，相當(dāng)于從4人中選兩人交換自己的卡，有種可能，而每人隨機(jī)抽取一張有種可能性，則相應(yīng)概率為：.故答案為：14．3【分析】設(shè)，則，根據(jù)幾何意義，根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求得a的取值集合，即可求解.【詳解】設(shè)，則根據(jù)題意得，由的幾何意義知，a為曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，由于曲線為圓的一部分，如圖：圓心為，半徑，圓心到原點(diǎn)的距離為，所以圓上一部分的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離范圍為，此時(shí)，又當(dāng)時(shí)，，綜上，當(dāng)時(shí)，，所以M中的整數(shù)有0，1，2共計(jì)3個(gè)．故答案為：315．(1)(2)①的周長為,②【分析】（1）結(jié)合正弦定理和三角形的內(nèi)角和定理以及兩角和與差的正弦公式，可求角.（2）①先根據(jù)三角形的面積公式及余弦定理求得，可得為等邊三角形，進(jìn)而求得周長；②根據(jù)余弦定理求.【詳解】（1）由，可得，，即，即，又，則，即.（2）①因?yàn)椋?由余弦定理：，則，即，則，所以，即為等邊三角形，則的周長為.②由，所以，在中，由余弦定理得，，所以.16．(1)，預(yù)測春節(jié)假期第8天的營業(yè)額為千元(2)分布列見解析，【分析】（1）利用最小二乘法求解即可；（2）利用超幾何分布求解即可.【詳解】（1），.，線性回歸方程為當(dāng)時(shí)，.即預(yù)測春節(jié)假期第8天的營業(yè)額為千元.（2）由題意可知的所有可能取值為：1，2，3，4.，，，的分布列為1234的數(shù)學(xué)期望為17．(1)(2)【分析】（1）計(jì)算出三棱錐的體積，利用等體積法可求得點(diǎn)到平面的距離；（2）取的中點(diǎn)E，連接，推導(dǎo)出，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）四棱錐的體積為，底面為平行四邊形，底面，則，所以，，在四棱錐中，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為．則，解得，所以點(diǎn)到平面的距離為.（2）如圖，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，又二面角為，所以平面平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，，平面，所以，平面，因?yàn)槠矫妫?，，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，則，所以，，因?yàn)槠矫?，平面，所以，，因?yàn)?，、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，所以，，又因?yàn)槠矫?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由（1）得，因?yàn)椋?，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，故，，可得，故，則、、、、，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，取，可得，設(shè)與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．18．(1)(2)(3)，.【分析】（1）將代入橢圓方程，可得，再利用橢圓的定義可得，即可得橢圓方程；（2）根據(jù)兩點(diǎn)距離公式，結(jié)合二次式的性質(zhì)即可求解；（3）聯(lián)立直線與橢圓方程得韋達(dá)定理，即可根據(jù)正切和差角公式以及斜率公式化簡求解.【詳解】（1）由已知，將代入橢圓方程得，解得，又橢圓上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為6，所以，解得，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)，則，，因?yàn)楫?dāng)為的右頂點(diǎn)時(shí)，取得最小值，即時(shí)，取得最小值，所以，即，所以的取值范圍是.（3）設(shè)，（且），，，將與聯(lián)立得，則，，又分別為直線的傾斜角，因?yàn)椋詾槎ㄖ?，又，又為定值，則，所以，當(dāng)時(shí)，，為定值，，所以，.19．(1)是上的非負(fù)函數(shù)，理由見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）通過求導(dǎo)分析函數(shù)單調(diào)性可得，即可判斷結(jié)論.（2）通過分析函數(shù)單調(diào)性得，根據(jù)得，即可證明結(jié)論.（3）通過分析函數(shù)單調(diào)性結(jié)合得，通過構(gòu)造函數(shù)，利用放縮法可證明結(jié)論.【詳解】（1）是上的非負(fù)函數(shù).理由如下：因?yàn)?，，所?當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，則，故是上