答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁湖南省部分學(xué)校2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期9月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知全集，集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知是等邊三角形，邊長為4，則（

）A． B．8 C． D．3．是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．為了研究y關(guān)于x的線性相關(guān)關(guān)系，收集了5組樣本數(shù)據(jù)（見下表）.若已求得一元線性回歸方程，則下列選項(xiàng)中正確的是（

）x12345y0.50.911.11.5A．B．x與y的樣本是負(fù)相關(guān)C．當(dāng)時，y的預(yù)估值為2.2D．去掉樣本點(diǎn)后，x與y的樣本相關(guān)系數(shù)r必會改變5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為直線，過點(diǎn)F的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，則面積的最小值為（

）A．18 B．16 C．12 D．86．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，，若，則（

）A． B． C． D．7．已知奇函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足對任意、，且，都有，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．8．已知平面向量，等差數(shù)列，則數(shù)列的前5項(xiàng)和為（

）A．-5 B．0 C．5 D．18二、多選題9．已知橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為，，P是C上任意一點(diǎn)，則（

）A．C的離心率為 B．的周長為12C．的最小值為3 D．的最大值為1610．下列說法正確的是（

）A．甲、乙兩人獨(dú)立地破譯一份密碼，已知各人能破譯的概率分別為，，則密碼被成功破譯的概率為B．一箱12罐的飲料中有2罐有獎券，從中任意抽取2罐，這2罐中有獎券的概率為C．一個袋子中有4個紅球，n個綠球，不放回地從中隨機(jī)取出兩個球，若取出的兩球都是紅球的概率為，則D．甲、乙兩選手進(jìn)行象棋比賽，如果每局比賽甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，相比3局2勝制，5局3勝制對甲更有利11．已知函數(shù)，其圖象距離軸最近的一條對稱軸方程為，最近的一個對稱中心為，則（

）A．B．的圖象上的所有點(diǎn)向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象C．的圖象在區(qū)間內(nèi)有3個對稱中心D．若在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，則的取值范圍是三、填空題12．已知是關(guān)于x的方程的一個根，則.13．已知正數(shù)滿足，則的最大值為.14．設(shè)三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則角.四、解答題15．已知四棱臺，底面是邊長為2的菱形，平面，，，E是的中點(diǎn).

(1)證明：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值.16．已知等軸雙曲線過點(diǎn)，直線與交于兩點(diǎn)，與其漸近線交于兩點(diǎn).(1)求的方程；(2)設(shè)，求的取值范圍.17．已知函數(shù).(1)若，討論的單調(diào)區(qū)間；(2)若，，滿足當(dāng)時，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.18．三角形內(nèi)到三個頂點(diǎn)距離之和的最小的點(diǎn)稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”，當(dāng)?shù)娜齻€內(nèi)角均小于時，滿足的點(diǎn)為其費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)有一個內(nèi)角大于或等于時，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為其費(fèi)馬點(diǎn).(1)在中，角的對邊分別為，滿足，.①若，求，并求費(fèi)馬點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離之和；②求周長的取值范圍.(2)若是平面內(nèi)的向量，且，，求的最小值.19．已知函數(shù)，，.(1)若，在上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，且有且僅有兩個不同的零點(diǎn)，求的最大值.《湖南省部分學(xué)校2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期9月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷》參考答案題號12345678910答案BABADDBBBDACD題號11答案BD1．B【分析】利用補(bǔ)集和交集運(yùn)算即可求得結(jié)果.【詳解】由全集，集合，得，又因?yàn)?，所?故選：B2．A【分析】利用向量的數(shù)量積的定義求解即可.【詳解】因?yàn)槭堑冗吶切?，邊長為4，所以.故選：A.3．B【分析】根據(jù)兩者的推出關(guān)系可得條件關(guān)系，從而可得正確的選項(xiàng).【詳解】若，則，若均為負(fù)數(shù)，則均無意義，故推不出；若，則，而為上的減函數(shù)，故，故能推出，故是的必要不充分條件，故選：B.4．A【分析】由表格數(shù)據(jù)求出樣本中心點(diǎn)求解判斷A；由的正負(fù)判斷B；由回歸方程計(jì)算判斷C；由相關(guān)系數(shù)公式判斷D.【詳解】，則樣本中心點(diǎn)為，對于A，由，得，A正確；對于B，由，得與的樣本是正相關(guān)，B錯誤；對于C，當(dāng)時，的預(yù)估值為，C錯誤；對于D，由相關(guān)系數(shù)公式知，去掉樣本中心點(diǎn)后，與的樣本相關(guān)系數(shù)不會改變，D錯誤．故選：A5．D【分析】根據(jù)給定條件，求出拋物線的方程，設(shè)出直線的方程并與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求出三角形面積的最小值.【詳解】依題意，，解得，則拋物線，焦點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，直線的方程為，由消去得，則，，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以面積的最小值為8.故選：D6．D【分析】利用可得，求出后可求.【詳解】因?yàn)?，故即，其?因?yàn)?，故，?故，故，所以為等比數(shù)列且首項(xiàng)為，公比為2，故，故選：D.7．B【分析】構(gòu)造函數(shù)，其中，分析函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，可得出，分、兩種情況將不等式變形，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)為偶函數(shù)，對任意的對任意、，且，都有，不妨設(shè)，則，可得，即，所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，則該函數(shù)在上為增函數(shù)，且，，當(dāng)時，由可得，可得；當(dāng)時，由可得，可得.綜上所述，不等式的解集為.故選：B.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求解函數(shù)不等式的思路如下：（1）先分析出函數(shù)在指定區(qū)間上的單調(diào)性；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性將函數(shù)值的關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)樽宰兞恐g的關(guān)系，并注意定義域；（3）求解關(guān)于自變量的不等式，從而求解出不等式的解集.8．B【分析】求出的解析式和的表達(dá)式，利用等差中項(xiàng)性質(zhì)和誘導(dǎo)公式化簡得,,代入數(shù)列的前5項(xiàng)和,化簡即得答案.【詳解】，，為等差數(shù)列，，，，，同理，，故數(shù)列的前5項(xiàng)和為.故選：B9．BD【分析】A：根據(jù)離心率定義計(jì)算出并判斷；B：根據(jù)橢圓定義計(jì)算焦點(diǎn)三角形的周長并判斷；C：根據(jù)的最小值為作出判斷；D：根據(jù)橢圓定義結(jié)合基本不等式計(jì)算并判斷.【詳解】橢圓即為，故，對于A，，故A錯誤；對于B，的周長為，故B正確；對于C，的最小值為，故C錯誤；對于D，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故D正確，故選：BD.10．ACD【分析】根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式和對立事件概率公式求解即可判斷A；結(jié)合組合數(shù)的運(yùn)算，根據(jù)古典概型概率公式求解判斷B；結(jié)合分步計(jì)數(shù)原理，根據(jù)古典概型概率公式列方程求解判斷C；分別計(jì)算采用“5局3勝制”和采用“3局2勝制”時甲獲勝的概率，比較大小即可判斷D.【詳解】對于A：因?yàn)楦魅四芷谱g的概率分別為，，所以密碼被成功破譯的概率為，故A正確；對于B：依題意所求的概率為，故B錯誤；對于C：由題意取出的兩球都是紅球的概率為，則，解得或（舍去），故C正確；對于D：采用“5局3勝制”甲獲勝的概率為，采用“3局2勝制”甲獲勝的概率為，因?yàn)椋韵啾?局2勝制，5局3勝制對甲更有利，故D正確.故選：ACD11．BD【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)題意得到函數(shù)最小正周期，進(jìn)而得到，代入對稱軸方程，求出；B選項(xiàng)，在A選項(xiàng)基礎(chǔ)上，利用平移法則得到B正確；C選項(xiàng)，區(qū)間是函數(shù)的一個周期，而，故在此區(qū)間內(nèi)有2個對稱中心，C錯誤；D選項(xiàng)，根據(jù)的位置，結(jié)合函數(shù)對稱性和三角恒等變換得到的最值.【詳解】A選項(xiàng)，的最小正周期為，因?yàn)?，故，解得．由題意得，即．又，所以令，得，A錯誤；B選項(xiàng)，由A可得，將其圖象上的所有點(diǎn)向右平移個單位長度，得到的圖象，B正確；C選項(xiàng)，因?yàn)?，又，所以區(qū)間是函數(shù)的一個周期，而，故在僅有兩個零點(diǎn)，即有2個對稱中心，C錯誤；D選項(xiàng)，由，得，即圖象的對稱軸為．的最小正周期為，由對稱性可知，當(dāng)與關(guān)于直線對稱時，取得最小值，由得，此時．當(dāng)為偶數(shù)時，最小值為，最大值為；當(dāng)為奇數(shù)時，最大值為，最小值為，故的最小值為1；當(dāng)或時，函數(shù)在上單調(diào)，此時取得最大值，，當(dāng)或時等號可以成立，所以的取值范圍為，D正確．故選：BD12．14【分析】根據(jù)給定條件，利用實(shí)系數(shù)一元二次方程虛根的特征，結(jié)合韋達(dá)定理求解.【詳解】由是方程的一個根，得是方程的另一個根，則，解得，所以.故答案為：1413．【分析】對條件等式利用基本不等式再結(jié)合一元二次不等式即可求解.【詳解】已知正數(shù)滿足，根據(jù)基本不等式，（取等號），即，即，于是，得到，當(dāng)時，時，的最大值為.故答案為：14．【分析】根據(jù)給定條件，利用二倍角公式、和差化積公式，結(jié)合誘導(dǎo)公式得，再分類討論求解.【詳解】由，得，即，則，在中，，于是，則或，當(dāng)時，，則與矛盾，當(dāng)時，，，又，則，即，解得或，于是或，符合題意，所以.故答案為：15．(1)證明見解析(2)【分析】（1）由底面菱形性質(zhì)得，再由線面垂直性質(zhì)定理得，然后利用線面垂直的判定定理證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，先求出平面和平面的法向量，再用向量夾角公式求兩平面夾角余弦值.【詳解】（1）因底面是菱形，，E是BC的中點(diǎn)，所以，又，則．又平面，平面，所以．因?yàn)槠矫?，且，所以平面．?）因?yàn)槠矫妫詢蓛纱怪保詾樵c(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

則，設(shè)平面的一個法向量為，，則，所以即，取，得，設(shè)平面的法向量為，，則，所以，取，得，設(shè)平面與平面夾角為，則，故平面與平面夾角的余弦值為．16．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等軸雙曲線得到方程的一般形式，再將所過的點(diǎn)代入后可得方程；（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程后結(jié)合韋達(dá)定理用表示，再利用函數(shù)的性質(zhì)可求范圍.【詳解】（1）∵等軸雙曲線E過點(diǎn)，①若E的焦點(diǎn)在x軸上，不妨設(shè)，代入，可得，∴，②若E的焦點(diǎn)在y軸上，不妨設(shè)，代入，可得，不符題意，綜上所述，.（2）設(shè)，，，，聯(lián)立可得，∴，，解得，∴，，顯然雙曲線E的漸近線方程為，不妨設(shè)C為直線：與直線l的交點(diǎn)，聯(lián)立可得，同理，∴，∵，∴，∴的取值范圍為.17．(1)答案見解析；(2).【分析】（1）求出，就、、分類討論導(dǎo)數(shù)的符號后可得單調(diào)區(qū)間；（2）利用同構(gòu)可得在上恒成立，構(gòu)建新函數(shù)，就、分類討論后可得的取值范圍.【詳解】（1）,若時，，故的增區(qū)間為，無減區(qū)間；若，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故的增區(qū)間為，減區(qū)間為.若，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故的增區(qū)間為，減區(qū)間為.綜上，若，的增區(qū)間為，無減區(qū)間；若，的增區(qū)間為，減區(qū)間為.若，的增區(qū)間為，減區(qū)間為.（2）時，恒成立，即為時，恒成立.設(shè)，其中，則，故為上的增函數(shù)，而，即為，即，其中，故，即在上恒成立，所以在上恒成立，設(shè)，其中，故，若即，則，故在上為增函數(shù)，故，所以，該不等式恒成立，故符合；若即，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，故，所以，即，綜上.18．(1)①2；②(2).【分析】（1）根據(jù)題中條件結(jié)合正弦定理或余弦定理化簡計(jì)算得到角①結(jié)合，計(jì)算，進(jìn)而求得費(fèi)馬點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離之和；②根據(jù)三角形周長公式和正弦定理邊化角，利用三角形內(nèi)角和定理，結(jié)合角的范圍求出三角形周長的取值范圍；（2）設(shè)，結(jié)合條件令，得到，，，代入所求式子，進(jìn)而設(shè)點(diǎn)，，，轉(zhuǎn)化為所以原式為求最小值.在中，因?yàn)?，關(guān)于x軸對稱，，根據(jù)余弦定理的推論判斷為銳角三角形，結(jié)合P點(diǎn)在內(nèi)到三個點(diǎn)距離之和最小，利用費(fèi)馬點(diǎn)定義和性質(zhì)，計(jì)算得到得到答案.【詳解】（1）法一：因?yàn)椋烧叶ɡ硭砸驗(yàn)?，所以即，因?yàn)樗裕?法二：由余弦定理得，所以所以，所以①當(dāng)，則，所以.因?yàn)?，依?jù)“費(fèi)馬點(diǎn)”性質(zhì)，此時P與點(diǎn)A重合，所以.②三角形的周長為，由正弦定理得，所以因?yàn)?，所以所以，所?（2）設(shè)，因?yàn)?，，令，所以，，所以設(shè)點(diǎn)，，，所以原式為求最小值.在中，因?yàn)?，關(guān)于x軸對稱，，因?yàn)?，即所以為銳角三角形..P點(diǎn)在'內(nèi)到三個點(diǎn)距離更小，利用費(fèi)馬點(diǎn)定義和性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為在內(nèi)找一點(diǎn)P使得，利用對稱性知P在的高上，且，所以，，所以所以最小值為.19．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)非正結(jié)合參變分離可求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）根據(jù)保號性可得當(dāng)時至少有三個不同的零點(diǎn)，再證明時有且僅有兩個不同零點(diǎn)，故可得的最大值.【詳解】（1）若，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，故在上恒成立.故即在上恒成立.設(shè)，則，設(shè)，則，故在上為減函數(shù)，而，，故在存在一個零點(diǎn)，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上為增函數(shù)，在為減函數(shù)，故，故.（2）若