第30頁（共30頁）2025-2026學(xué)年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)人教A版（2019）期末必刷?？碱}之三角函數(shù)的應(yīng)用一．選擇題（共6小題）1．已知函數(shù)f(x)=sin(A．(23，83] B．[162．集合A={x|y=A．? B．[﹣1，1] C．[1，+∞） D．（1，+∞）3．已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx-A．(0，23] B．[1，53]4．設(shè)集合A={x|A．1011 B．1012 C．1013 D．10145．函數(shù)f(x)=2sin(3x-A．[2-2，2] B．[2，2] 6．隨著冬天的到來，越來越多的旅客從全國各地來到“爾濱”賞冰樂雪，今年冰雪大世界以“冰雪同夢，亞洲同心”為主題，一睹冰雕雪雕風(fēng)采的同時還能體驗各種冰上項目，如抽索，大滑梯，摩天輪等．如圖所示，某地摩天輪最高點離地面高度128m，最低點離地面高度8m，設(shè)置若干個座艙，游客從離地面最近的位置進艙，開啟后按逆時針勻速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)一周的時間約為24min，游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉(zhuǎn)動tmin后距離地面高度為hm，下列說法正確的是（）A．摩天輪的輪盤直徑為60m B．h關(guān)于t的函數(shù)解析式為h=60C．h關(guān)于t的函數(shù)解析式為h=60D．在游客乘坐一周的過程中，游客有16min時間距地面高度超過38m二．多選題（共3小題）（多選）7．定義：一個平面封閉區(qū)域內(nèi)任意兩點之間的距離的最大值稱為該區(qū)域的“直徑”．在△ABC中，BC＝1，BC邊上的高等于tanA，以△ABC的各邊為直徑向△ABC外分別作三個半圓，記三個半圓圍成的平面區(qū)域為W，其“直徑”為d，則（）A．AB2+AC2＝3 B．△ABC面積的最大值為54C．當∠ABC=πD．d的最大值為6（多選）8．中國古代的記里鼓車通過多重齒輪的設(shè)計，將小齒輪走過的距離與大齒輪對應(yīng)，從而達到記錄里程的目的．如圖1所示，可以理解為將一個立輪的轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)化為三個平輪的轉(zhuǎn)動．忽略齒輪對半徑的影響，簡化后如圖2，記初始時，在小平輪上，與中平輪的切點為點A，大平輪上最高點為點B，大、中、小平輪和立輪的半徑分別為4，3，2，1．隨著轉(zhuǎn)動，以下說法正確的是（）A．小平輪轉(zhuǎn)2圈，大平輪轉(zhuǎn)1圈 B．AB兩點距離最大為18 C．AB兩點距離最小為10 D．若立輪與小平輪相互咬合，忽略齒輪對半徑的影響，則小平輪與立輪上的點的最大距離為2（多選）9．如圖所示，一半徑為4米的水輪，水輪圓心O距離水面2米，已知水輪每60秒逆時針轉(zhuǎn)動一圈，如果當水輪上點P從水中浮現(xiàn)時（圖中點P0）開始計時，則（）A．點P第一次到達最高點需要20秒 B．當水輪轉(zhuǎn)動155秒時，點P距離水面1米 C．當水輪轉(zhuǎn)動50秒時，點P在水面下方，距離水面2米 D．點P距離水面的高度h（米）與t（秒）的函數(shù)解析式為h＝4sin（π30t-π三．填空題（共4小題）10．已知函數(shù)y＝f（x）的表達式是f（x）＝cos2x+asinx，若對于任意x∈R都滿足f(x)≤f(π2)11．已知圓M：（x﹣r）2+y2＝4r2（r＞0），在函數(shù)f(x)=12sinπxr的圖象中，僅有一個最高點與一個最低點在圓M內(nèi)或在圓M12．設(shè)函數(shù)f（x）＝sinx，若對于任意α∈[2π3，π]，都存在β∈[0，m]，使得f（α）+f（β）＝0，則13．寫出函數(shù)f（x）＝3﹣5cosx取得最大值時的x的取值集合：．四．解答題（共2小題）14．如圖，有一塊邊長為50m的正方形球場ABCD，其中陰影部分ATN是一個半徑為30m的扇形，由于天氣原因，這個扇形內(nèi)有積水，無法在上面踢球，但是球場的其余部分可以正常使用．一群熱愛足球的正在準備“霸王杯”比賽的高一同學(xué)相在可以正常使用的球場上截取一塊矩形場地PQCR進行訓(xùn)練，其中R，Q兩點分別在邊CD，BC上，點P落在弧TN上（包括T，N兩點）．設(shè)∠TAP＝θ，矩形PQCR的面積為Sm2．（1）求S關(guān)于θ的函數(shù)表達式；（2）求S的最大值，并求此時θ的值．15．設(shè)函數(shù)f(x)=2（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的對稱中心；（Ⅱ）若函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，m]上有最小值﹣1，求實數(shù)m的最小值．

2025-2026學(xué)年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)人教A版（2019）期末必刷?？碱}之三角函數(shù)的應(yīng)用參考答案與試題解析一．選擇題（共6小題）題號123456答案ABCCDD二．多選題（共3小題）題號789答案ABDABDACD一．選擇題（共6小題）1．已知函數(shù)f(x)=sin(A．(23，83] B．[16【考點】三角函數(shù)的最值．【專題】函數(shù)思想；分析法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；運算求解．【答案】A【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想進行求解即可．【解答】解：因為ω＞0，所以當0＜則有π6因為f（x）在區(qū)間(0，結(jié)合函數(shù)圖象，得π2解得23故選：A．【點評】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．2．集合A={x|y=A．? B．[﹣1，1] C．[1，+∞） D．（1，+∞）【考點】三角函數(shù)的最值；求集合的交集；正弦函數(shù)的定義域和值域．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；集合；運算求解．【答案】B【分析】根據(jù)二次根式有意義，解不等式得到集合A包含的元素，根據(jù)正弦函數(shù)的值域化簡集合B，然后利用交集定義算出答案．【解答】解：由題意得A＝{x|1﹣x2≥0}＝{x|﹣1≤x≤1}，即A＝[﹣1，1]．根據(jù)﹣1≤sinx≤1，可得2sinx+1∈[﹣1，3]，所以B＝{y|y＝2sinx+1}＝[﹣1，3]，因此A?B，可得A∩B＝A＝[﹣1，1]．故選：B．【點評】本題主要考查函數(shù)的定義域求法、正弦函數(shù)的值域、交集的運算法則等知識，屬于基礎(chǔ)題．3．已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx-A．(0，23] B．[1，53]【考點】三角函數(shù)的最值；正弦函數(shù)的單調(diào)性．【專題】計算題；函數(shù)思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；運算求解．【答案】C【分析】利用整體法，結(jié)合三角函數(shù)圖像性質(zhì)對x∈(0，【解答】解：當0＜x＜π3時，因為ω因為函數(shù)f（x）在(0，π3)上存在最值，則ωπ3當2π3＜因為函數(shù)f（x）在(2則(2所以2πω3-π6≥kπ所以32k-又因為ω＞0，則k∈{0，1，2}．當k＝0時，0＜當k＝1時，1≤當k＝2時，52又因為ω＞2，因此ω的取值范圍是[5故選：C．【點評】本題主要考查三角函數(shù)的最值，正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查運算求解能力，屬于中檔題．4．設(shè)集合A={x|A．1011 B．1012 C．1013 D．1014【考點】三角函數(shù)應(yīng)用；集合的確定性、互異性、無序性；運用誘導(dǎo)公式化簡求值．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；三角函數(shù)的求值；集合；運算求解．【答案】C【分析】依題意由表達式中角的特征可知當0＜k≤1012，k∈Z時，sinkπ1013的取值各不相同，當k≥2025時，利用誘導(dǎo)公式以及集合元素的互異性即可求得元素個數(shù)為【解答】解：因為A={x當0＜k≤506，k∈Z時，kπ1013∈(0，又因為1013為奇數(shù)，k∈Z，且kπ1013中的任意兩組角都不關(guān)于π所以sinkπ1013的取值各不相同，因此當0＜k≤506，k∈Z時，集合A中x的取值會隨著當507≤k≤1012，k∈Z時kπ1013∈(π又因為1013為奇數(shù)，k∈Z，且kπ1013中的任意兩組角都不關(guān)于π所以sinkπ1013的取值各不相同，因此當507≤k≤1012，k∈Z時，集合A中x的取值會隨著綜上可得當0＜k≤1012，k∈Z時，集合A中x的取值會隨著k的增大而增大，所以當k＝1012時，集合A中有1012個元素；當k＝1013時，易知：x==sin即k＝1013時x的取值與k＝1012時的取值相同，根據(jù)集合元素的互異性可知，k＝1013時并沒有增加集合中的元素個數(shù)，當1014≤k≤2024，k∈Z時，則1≤k﹣1013≤1011，sinkπ即sinkπ所以x=sin所以當1014≤k≤2024，k∈Z時集合A中x的取值會隨著k的增大而減少，且均為正數(shù)，當k＝2025時，易知：x==sin＝0，可得當k≥2025，k∈Z時，集合A中的元素個數(shù)只增加了一個0，所以可得集合A的元素個數(shù)為1013個．故選：C．【點評】本題考查了誘導(dǎo)公式以及集合元素的互異性，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于難題．5．函數(shù)f(x)=2sin(3x-A．[2-2，2] B．[2，2] 【考點】三角函數(shù)的最值．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；運算求解．【答案】D【分析】設(shè)f（x）在區(qū)間[t-π6，t]上的最大值與最小值之差為m，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象【解答】解：根據(jù)正弦曲線的性質(zhì)，可知：當點（t-π6，f（t-π6））與點（t，f（t））關(guān)于點（t函數(shù)f（x）在區(qū)間[t-π此時f（t-π12）＝2sin（3t-5不妨設(shè)f（x）在區(qū)間[t-π6，t]上單調(diào)增，可得3t-5π12=2kπ，k∈Zf（x）的最大值為f（t）＝2sin（3t-π6）＝2sin（2kπ+5π最小值為f（t-π6）＝2sin（3t-2π3）＝2sin（2kπ+5π所以f（x）在區(qū)間[t-π若f（x）在區(qū)間[t-π6，t]上不單調(diào)，且f（則f（x）在區(qū)間[t-π此時f（t-π12）達到最大或最小值，不妨設(shè)f（t-π12）為最大值2，即2sin（3t則3t-5π12=2kπ+π2，k∈Z，解得t=23此時f（x）的最小值為f（t-π6）＝f（t）＝2sin（3t-π6）＝2sin（2kπ所以f（x）在區(qū)間[t-π6綜上所述，f（x）在區(qū)間[t-π6，t]故選：D．【點評】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性與最值等知識，考查了計算能力、概念的理解能力，屬于中檔題．6．隨著冬天的到來，越來越多的旅客從全國各地來到“爾濱”賞冰樂雪，今年冰雪大世界以“冰雪同夢，亞洲同心”為主題，一睹冰雕雪雕風(fēng)采的同時還能體驗各種冰上項目，如抽索，大滑梯，摩天輪等．如圖所示，某地摩天輪最高點離地面高度128m，最低點離地面高度8m，設(shè)置若干個座艙，游客從離地面最近的位置進艙，開啟后按逆時針勻速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)一周的時間約為24min，游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉(zhuǎn)動tmin后距離地面高度為hm，下列說法正確的是（）A．摩天輪的輪盤直徑為60m B．h關(guān)于t的函數(shù)解析式為h=60C．h關(guān)于t的函數(shù)解析式為h=60D．在游客乘坐一周的過程中，游客有16min時間距地面高度超過38m【考點】三角函數(shù)應(yīng)用．【專題】應(yīng)用題；函數(shù)思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；運算求解．【答案】D【分析】根據(jù)摩天輪離地最高距離和最低距離的差值，求出直徑判斷A；依題意，分別求出A，ω，φ，B可得解析式，判斷B，C；根據(jù)題意，令h＞38，求出t的取值范圍，判斷D．【解答】解：對于A，因為摩天輪最高點離地面高度128m，最低點離地面高度8m，所以摩天輪的輪盤直徑為128﹣8＝120m，故A錯誤；對于B，設(shè)h＝Asin（ωt+φ）+B，（ω＞0，|φ|≤π則ω=令t＝0時，則sinφ＝﹣1，φ=-又A+B=128所以h＝60sin（π12t-π2）+68＝﹣60cosπ12t+68，t∈[0，24]，故對于D．h=60sin(π12t-當距地面高度超過38m時，即-60cosπ即π3解得4+24k＜t＜20+24k，k∈Z，又因為t∈[0，24]，所以4＜t＜20，所以游客有16min時間距地面高度超過38m，故D正確．故選：D．【點評】本題考查了根據(jù)部分三角函數(shù)圖象確定三角函數(shù)解析式，考查了三角函數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題．二．多選題（共3小題）（多選）7．定義：一個平面封閉區(qū)域內(nèi)任意兩點之間的距離的最大值稱為該區(qū)域的“直徑”．在△ABC中，BC＝1，BC邊上的高等于tanA，以△ABC的各邊為直徑向△ABC外分別作三個半圓，記三個半圓圍成的平面區(qū)域為W，其“直徑”為d，則（）A．AB2+AC2＝3 B．△ABC面積的最大值為54C．當∠ABC=πD．d的最大值為6【考點】三角函數(shù)應(yīng)用；解三角形．【專題】計算題；數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；解三角形；運算求解．【答案】ABD【分析】由三角形等面積法及余弦定理可判斷A，再由基本不等式得出cosA范圍即可得出面積最大值判斷B，再由題目條件得出三角形為等腰直角三角形，即可求出d最大值判斷C，由C中結(jié)論及基本不等式判斷D．【解答】解：設(shè)角A，B，C所對的邊長為a，b，c，則a＝1，又BC邊上的高等于tanA，由三角形的面積公式可得S△所以cosA=又由余弦定理cosA=b2+c2-a22bc，所以b可得b2+c2＝3，故A正確；由S△又b2+c所以cosA≥23，可得tanA所以S△ABC≤54設(shè)AB，AC邊上的中點分別為E，F(xiàn)，在AB上取一點M，在AC上取一點N，由兩點間線段最短可得MN≤ME+EF+FN=12所以d=又∠ABC所以tanA=1tanA所以c＝a＝1，b=所以d=22由前可知，d=12(a故選：ABD．【點評】本題考查了三角形面積公式，余弦定理以及基本不等式等知識在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．（多選）8．中國古代的記里鼓車通過多重齒輪的設(shè)計，將小齒輪走過的距離與大齒輪對應(yīng)，從而達到記錄里程的目的．如圖1所示，可以理解為將一個立輪的轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)化為三個平輪的轉(zhuǎn)動．忽略齒輪對半徑的影響，簡化后如圖2，記初始時，在小平輪上，與中平輪的切點為點A，大平輪上最高點為點B，大、中、小平輪和立輪的半徑分別為4，3，2，1．隨著轉(zhuǎn)動，以下說法正確的是（）A．小平輪轉(zhuǎn)2圈，大平輪轉(zhuǎn)1圈 B．AB兩點距離最大為18 C．AB兩點距離最小為10 D．若立輪與小平輪相互咬合，忽略齒輪對半徑的影響，則小平輪與立輪上的點的最大距離為2【考點】三角函數(shù)應(yīng)用．【專題】應(yīng)用題；數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；運算求解．【答案】ABD【分析】利用每個輪轉(zhuǎn)過的弧長是相等，可判斷A；利用建立平面直角坐標系，借助轉(zhuǎn)過角度為變量，可表示兩個動點的坐標，從而用兩點間距離來求最小值和最大值，即可判斷BC；利用勾股定理可判斷D．【解答】解：對于A，單位時間內(nèi)，三個平輪的弧長滿足l?。絣中＝l大，而大、中、小平輪和立輪的半徑分別為4，3，2，1，因為小平輪轉(zhuǎn)2圈，大平輪轉(zhuǎn)1圈的弧長分別為l?。?×2π×1＝4π，l大＝2π×2＝4π，滿足l?。絣大，所以小平輪轉(zhuǎn)2圈，大平輪正好轉(zhuǎn)1圈，故A正確；建立如圖所示平面直角坐標系，利用半徑是2倍關(guān)系，則轉(zhuǎn)過的角度是一半的關(guān)系，可設(shè)A（2cos2θ，2sin2θ），則B(12+4即B（12﹣4sinθ，4cosθ），可得AB2＝（12﹣4sinθ﹣2cos2θ）2+（4cosθ﹣2sin2θ）2＝[12﹣（4sinθ+2cos2θ）]2+（4cosθ﹣2sin2θ）2＝144+（4sinθ+2cos2θ）2﹣24（4sinθ+2cos2θ）+16cos2θ+4sin22θ﹣16cosθsin2θ＝144+16sin2θ+4cos22θ﹣96sinθ﹣48cos2θ+16sinθcos2θ+16cos2θ+4sin22θ﹣16cosθsin2θ＝164﹣48×（1﹣2sin2θ）﹣112sinθ＝116+96sin2θ﹣112sinθ，令sinθ＝t∈[﹣1，1]，可得AB2＝4（24t2﹣28t+29），t∈[﹣1，1]，當t=282×24當t＝﹣1時，AB取得最大值為4×當t＝1時，AB取值為4×(24-28+29)=10對于D．立輪直徑為2，小平輪直徑為4，所以最大值為22+4故選：ABD．【點評】本題考查了三角函數(shù)恒等變換，三角函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)思想，屬于中檔題．（多選）9．如圖所示，一半徑為4米的水輪，水輪圓心O距離水面2米，已知水輪每60秒逆時針轉(zhuǎn)動一圈，如果當水輪上點P從水中浮現(xiàn)時（圖中點P0）開始計時，則（）A．點P第一次到達最高點需要20秒 B．當水輪轉(zhuǎn)動155秒時，點P距離水面1米 C．當水輪轉(zhuǎn)動50秒時，點P在水面下方，距離水面2米 D．點P距離水面的高度h（米）與t（秒）的函數(shù)解析式為h＝4sin（π30t-π【考點】三角函數(shù)應(yīng)用；由y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；運算求解．【答案】ACD【分析】由題意設(shè)出函數(shù)解析式h＝Asin（ωt+φ）+B，由最大值與最小值列式求得A與B的值，由周期求得ω，再由t＝0時，h＝0求解φ，得到函數(shù)解析式判斷D；令h＝0求解t判斷A；取t＝155秒求得h判斷B；取t＝50秒求得h判斷D．【解答】解：設(shè)點P距離水面的高度為h（米）和t（秒）的函數(shù)解析式為h＝Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜π由題意，hmax＝6，hmin＝﹣2，∴A+B=6∵T=2πω=60，∴ω=2πT=π30，則h當t＝0時，h＝0，∴4sinφ+2＝0，則sinφ=-又∵|φ|＜π2，∴φh＝4sin（π30t-π6）+2令h＝4sin（π30t-π6）+2＝6，∴sin（π30t-π6）＝1，得當t＝155秒時，h＝4sin（π30×155-π6）+2＝4sin5π+2＝當t＝50秒時，h＝4sin（π30×50-π6）+2＝4sin3π2故選：ACD．【點評】本題考查三角函數(shù)模型的應(yīng)用，考查y＝Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查運算求解能力，是中檔題．三．填空題（共4小題）10．已知函數(shù)y＝f（x）的表達式是f（x）＝cos2x+asinx，若對于任意x∈R都滿足f(x)≤f(π2)，則實數(shù)a【考點】三角函數(shù)的最值．【專題】轉(zhuǎn)化思想；換元法；三角函數(shù)的求值；運算求解．【答案】[4，+∞）【分析】求出f（π2）的值，再換元，分類討論求出f（x）的最大值，由題意可得a【解答】解：f（x）＝cos2x+asinx＝﹣2sin2x+asinx+1，設(shè)t＝sinx∈[﹣1，1]，f（π2）＝﹣1+a＝a﹣1則g（t）＝﹣2t2+at+1＝﹣2（t-a4）2+1+a2（i）當a4∈[﹣1，1]，即a∈[﹣4，4]時，g（t）的最大值為1+a28≤a﹣1，解得a＝4∈[（ii）當a4＞1時，即a＞4時，g（t）在[﹣1，1]上單調(diào)遞增，則g（t）max＝g（1）＝a﹣由題意a﹣1≤a﹣1，顯然恒成立，這時a的范圍為（4，+∞）；當a4＜-1時，即a＜﹣4，g（t）在[﹣1，1]上單調(diào)遞減，則g（t）max＝g（﹣1）＝﹣a由題意﹣a﹣1＜a﹣1，解得a＞0，此時與a＜﹣4相矛盾，綜上所述滿足條件的a的范圍為[4，+∞）．故答案為：[4，+∞）．【點評】本題考查換元法的應(yīng)用及分類討論的思想，屬于基礎(chǔ)題．11．已知圓M：（x﹣r）2+y2＝4r2（r＞0），在函數(shù)f(x)=12sinπxr的圖象中，僅有一個最高點與一個最低點在圓M內(nèi)或在圓M上，則r的取值范圍為{r【考點】三角函數(shù)應(yīng)用；點與圓的位置關(guān)系；正弦函數(shù)的圖象．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；直線與圓；運算求解．【答案】{r|1515≤r＜【分析】由正弦函數(shù)性質(zhì)可得圓心（r，0）是函數(shù)f（x）的一個對稱中心，結(jié)合對稱性，根據(jù)函數(shù)f（x）在直線x＝r右邊的第一個最值點在圓M內(nèi)或在圓M上，第二個最值點在圓M外，列不等式組求解可得．【解答】解：∵f（r）=12sinπ＝0，∴（r，0）是函數(shù)f（圓M的圓心為（r，0），半徑為2r，由對稱性知，要使f（x）的圖象僅有一個最高點與一個最低點在圓M內(nèi)或在圓M上，只需滿足直線x＝r右邊的第一個最值點在圓M內(nèi)或在圓M上，第二個最值點在圓M外，由正弦函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)f（x）的周期為T＝2r，∴函數(shù)f（x）在直線x＝r右邊的第一個最值點為（3r2，-12），第二個最值點為（∴(3r2-r)2+(-∴r的取值范圍是{r|155≤r＜故答案為：{r|155≤r＜【點評】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，也考查了圓的方程應(yīng)用，是中檔題．12．設(shè)函數(shù)f（x）＝sinx，若對于任意α∈[2π3，π]，都存在β∈[0，m]，使得f（α）+f（β）＝0，則【考點】三角函數(shù)的最值．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；運算求解．【答案】4π【分析】由已知可得f（α）∈[0，32]，將已知轉(zhuǎn)化為存在β∈[0，m]，使得f（β）＝﹣f（α）∈[-32，0]，再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得m【解答】解：函數(shù)f（x）＝sinx，因為x∈[所以f（x）＝sinx∈[0，32]，即f（α）∈[0，32又因為存在β∈[0，m]，使得f（α）+f（β）＝0，即存在β∈[0，m]，使得f（β）＝﹣f（α）∈[-32，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得m≥4所以m的最小值為4π故答案為：4π【點評】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于中檔題．13．寫出函數(shù)f（x）＝3﹣5cosx取得最大值時的x的取值集合：{x|x＝π+2kπ，（k∈Z）}．【考點】三角函數(shù)的最值．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；邏輯思維；運算求解．【答案】{x|x＝π+2kπ，（k∈Z）}．【分析】直接利用余弦型函數(shù)的性質(zhì)求出結(jié)果．【解答】解：由題可知cosx＝﹣1時，函數(shù)有最大值，此時x的取值集合為{x|x＝π+2kπ，（k∈Z）}．故答案為：{x|x＝π+2kπ，（k∈Z）}．【點評】本題考查的知識點：余弦型函數(shù)的性質(zhì)，主要考查學(xué)生的運算能力，屬于基礎(chǔ)題．四．解答題（共2小題）14．如圖，有一塊邊長為50m的正方形球場ABCD，其中陰影部分ATN是一個半徑為30m的扇形，由于天氣原因，這個扇形內(nèi)有積水，無法在上面踢球，但是球場的其余部分可以正常使用．一群熱愛足球的正在準備“霸王杯”比賽的高一同學(xué)相在可以正常使用的球場上截取一塊矩形場地PQCR進行訓(xùn)練，其中R，Q兩點分別在邊CD，BC上，點P落在弧TN上（包括T，N兩點）．設(shè)∠TAP＝θ，矩形PQCR的面積為Sm2．（1）求S關(guān)于θ的函數(shù)表達式；（2）求S的最大值，并求此時θ的值．【考點】三角函數(shù)應(yīng)用；根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型．【專題】整體思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；運算求解．【答案】（1）S=2500（2）Smax＝1000，此時θ＝0或π2【分析】（1）延長RP交AB于E，延長QP交AD于F，根據(jù)邊角關(guān)系得出PR＝50﹣30sinθ，PQ＝50﹣30cosθ，再求即可；（2）令t＝sinθ+cosθ，由正弦函數(shù)的性質(zhì)得出的范圍，再由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解．【解答】解：（1）延長RP交AB于E，延長QP交AD于F，由四邊形ABCD是正方形，四邊形PQCR是矩形，可知PE⊥AB，PF⊥AD，由∠TAP＝θ，AP＝30，AB＝50，可得EP＝30sinθ，F(xiàn)P＝30cosθ，所以PR＝50﹣30sinθ，PQ＝50﹣30cosθ，所以S＝PR?PQ＝（50﹣30sinθ）（50﹣30cosθ）＝2500﹣1500（sinθ+cosθ）+900sinθcosθ，0≤θ（2）令t＝sinθ+cosθ，則t2＝（sinθ+cosθ）2＝sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ＝1+2sinθcosθ，即sinθcosθ=而t=由θ∈[0，即sin(θ+所以S=2500根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得，當t＝1時，即2sin解得θ＝0或π2，此時S取得最大值1000m2【點評】本題主要考查了三角恒等變換及三角函數(shù)性質(zhì)，二次函數(shù)性質(zhì)在實際問題中的應(yīng)用，屬于中檔題．15．設(shè)函數(shù)f(x)=2（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的對稱中心；（Ⅱ）若函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，m]上有最小值﹣1，求實數(shù)m的最小值．【考點】三角函數(shù)的最值．【專題】整體思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；運算求解．【答案】（Ⅰ）（kπ+π3，0）,k（Ⅱ）π3【分析】（Ⅰ）由已知結(jié)合正弦函數(shù)的對稱性即可求解；（Ⅱ）先利用和差角公式，二倍角公式及輔助角公式進行化簡，然后結(jié)合余弦函數(shù)取得最值的條件即可求解．【解答】解：（Ⅰ）令x-π3=kπ，k則x=π3+kπ，故函數(shù)的對稱中心為（kπ+π3，0），k（Ⅱ）g(x)=f(x-π6)?f(x+π6)=4sin（x＝﹣23sinxcosx+2cos2x=-3sin2x+cos2＝2cos（2x+π3）若函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，m]上有最小值﹣1，即cos（2x+π3）在[0，m]上取得最小值﹣令2x+π3=π，可得故m的最小值為π3【點評】本題主要考查了和差角公式，二倍角公式及輔助角公式的應(yīng)用，還考查了正弦函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．

考點卡片1．集合的確定性、互異性、無序性【知識點的認識】集合中元素具有確定性、互異性、無序性三大特征．（1）確定性：集合中的元素是確定的，即任何一個對象都說明它是或者不是某個集合的元素，兩種情況必居其一且僅居其一，不會模棱兩可，例如“著名科學(xué)家”，“與2接近的數(shù)”等都不能組成一個集合．（2）互異性：一個給定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出現(xiàn)相同的元素．例如不能寫成{1，1，2}，應(yīng)寫成{1，2}．（3）無序性：集合中的元素，不分先后，沒有如何順序．例如{1，2，3}與{3，2，1}是相同的集合，也是相等的兩個集合．【解題方法點撥】解答判斷型題目，注意元素必須滿足三個特性；一般利用分類討論逐一研究，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與方程的思想，解答問題，結(jié)果需要回代驗證，元素不許重復(fù)．【命題方向】本部分內(nèi)容屬于了解性內(nèi)容，但是近幾年高考中基本考查選擇題或填空題，試題多以集合相等，含參數(shù)的集合的討論為主．2．求集合的交集【知識點的認識】由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與B的交集，記作A∩B．符號語言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B實際理解為：x是A且是B中的相同的所有元素．當兩個集合沒有公共元素時，兩個集合的交集是空集，而不能說兩個集合沒有交集．運算性質(zhì)：①A∩B＝B∩A．②A∩?＝?．③A∩A＝A．④A∩B?A，A∩B?B．【解題方法點撥】解答交集問題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解．不能把“或”與“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②無限集用數(shù)軸、韋恩圖．【命題方向】掌握交集的表示法，會求兩個集合的交集．已知集合A＝{x∈Z|x+1≥0}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，則A∩B＝（）解：因為A＝{x∈Z|x+1≥0}＝{x∈Z|x≥﹣1}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，所以A∩B＝{﹣1，0，1，2}．故選：D．3．運用誘導(dǎo)公式化簡求值【知識點的認識】利用誘導(dǎo)公式化簡求值的思路1．“負化正”，運用公式三將任意負角的三角函數(shù)化為任意正角的三角函數(shù)．2．“大化小”，利用公式一將大于360°的角的三角函數(shù)化為0°到360°的三角函數(shù)，利用公式二將大于180°的角的三角函數(shù)化為0°到180°的三角函數(shù)．3．“小化銳”，利用公式六將大于90°的角化為0°到90°的角的三角函數(shù)．4．“銳求值”，得到0°到90°的三角函數(shù)后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由計算器求得．4．正弦函數(shù)的圖象【知識點的認識】正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RRk∈Z值域[﹣1，1][﹣1，1]R單調(diào)性遞增區(qū)間：（2kπ-π2，2kπ（k∈Z）；遞減區(qū)間：（2kπ+π2，2kπ（k∈Z）遞增區(qū)間：（2kπ﹣π，2kπ）（k∈Z）；遞減區(qū)間：（2kπ，2kπ+π）（k∈Z）遞增區(qū)間：（kπ-π2，kπ（k∈Z）最值x＝2kπ+π2（k∈Z）時，ymax＝x＝2kπ-π2（k∈ymin＝﹣1x＝2kπ（k∈Z）時，ymax＝1；x＝2kπ+π（k∈Z）時，ymin＝﹣1無最值奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對稱性對稱中心：（kπ，0）（k∈Z）對稱軸：x＝kπ+π2，k對稱中心：（kπ+π2，0）（k∈對稱軸：x＝kπ，k∈Z對稱中心：（kπ2，0）（k∈Z無對稱軸周期2π2ππ5．正弦函數(shù)的定義域和值域【知識點的認識】三角函數(shù)的定義域和值域的規(guī)律方法1．求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是解三角不等式，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來求解．2．求解三角函數(shù)的值域（最值）的常見類型及方法．（1）形如y＝asinx+bcosx+c的三角函數(shù)化為y＝Asin（ωx+φ）+k的形式，再求最值（值域）；（2）形如y＝asin2x+bsinx+c的三角函數(shù)，可先設(shè)sinx＝t，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域（最值）；（3）形如y＝asinxcosx+b（sinx±cosx）+c的三角函數(shù)，可設(shè)t＝sinx±cosx，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求解．6．正弦函數(shù)的單調(diào)性【知識點的認識】三角函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)律方法1．求含有絕對值的三角函數(shù)的單調(diào)性及周期時，通常要畫出圖象，結(jié)合圖象判定．2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的單調(diào)區(qū)間時，要視“ωx+φ”為一個整體，通過解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助誘導(dǎo)公式將ω化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯．7．由y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式【知識點的認識】根據(jù)圖象確定解析式的方法：在由圖象求三角函數(shù)解析式時，若最大值為M，最小值為m，則A=M-m2，k=M+m2，ω由周期8．三角函數(shù)的最值【知識點的認識】三角函數(shù)的最值其實就是指三角函數(shù)在定義域內(nèi)的最大值和最小值，涉及到三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性和它們的圖象．在求三角函數(shù)最值中常用的手法是化簡和換元．化簡的原則通常是盡量的把復(fù)合三角函數(shù)化為只含有一個三角函數(shù)的一元函數(shù)．【解題方法點撥】例1：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝32+22cos（2x解：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x=1-cos2x2-sin2x2=32+22cos故答案為：32+22cos（這個題所用到的方法就是化簡成一個單一的三角函數(shù)，把一個復(fù)合的三角函數(shù)最后化成了只關(guān)于余弦函數(shù)的式子，然后單獨分析余弦函數(shù)的特點，最后把結(jié)果求出來．化簡當中要熟練的掌握三角函數(shù)的轉(zhuǎn)換，特別是二倍角的轉(zhuǎn)換．例2：函數(shù)y＝sin2x﹣sinx+3的最大值是．解：令sinx＝t，可得y＝t2﹣t+3，其中t∈[﹣1，1]∵二次函數(shù)y＝t2﹣t+3的圖象開口向上，對稱軸是t=∴當t=1而函數(shù)的最大值為t＝﹣1時或t＝1時函數(shù)值中的較大的那個∵t＝﹣1時，y＝（﹣1）2﹣（﹣1）+3＝5，當t＝1時，y＝12﹣1+3＝3∴函數(shù)的最大值為t＝﹣1時y的值即sinx＝﹣1時，函數(shù)的最大值為5．這個題就是典型的換元，把sinx看成是自變量t，最后三角函數(shù)看成是一個一元二次函數(shù)，在換元的時候要注意到三角函數(shù)的定義域和相應(yīng)的值域．【命題方向】求三角函數(shù)的最值是高考的一個常考點，主要方法我上面已經(jīng)寫了，大家要注意的是把一些基本的方法融會貫通，同時一定要注意函數(shù)的定義域和相對應(yīng)的值域．9．三角函數(shù)應(yīng)用【知識點的認識】1．三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用：1）在生活中的應(yīng)用；2）；在建筑學(xué)中的應(yīng)用；3）在航海中的應(yīng)用；4）在物理學(xué)中的應(yīng)用．2．解三角函數(shù)應(yīng)用題的一般步驟：（1）閱讀理解材料：將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言；（2）建立變量關(guān)系：抽象成數(shù)學(xué)問題，建立變量關(guān)系；（3）討論變量性質(zhì)：根據(jù)函數(shù)性質(zhì)討論變量性質(zhì)；（4）作出結(jié)論．【解題方法點撥】1、方法與技巧：（1）在生產(chǎn)生活中，常常有一些與角有關(guān)的最值問題，需要確定以角作為變量的三角函數(shù)來解決．（2）理清題意，分清題目中已知和所求，準確解讀題目中的術(shù)語和有關(guān)名詞．（3）要能根據(jù)題意，畫出符合題意的圖形．（4）對計算結(jié)果，可根據(jù)實際情況進行處理．2、注意：（1）建立三角函數(shù)關(guān)系式關(guān)鍵是選擇適當?shù)慕亲鳛樽兞浚?）解決應(yīng)用問題要注重檢驗．（3）選擇變量后，要根據(jù)題中的條件，確定角的范圍．10．根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型【知識點的認識】1．實際問題的函數(shù)刻畫在現(xiàn)實世界里，事物之間存在著廣泛的聯(lián)系，許多聯(lián)系可以用函數(shù)刻畫．用函數(shù)的觀點看實際問題，是學(xué)習(xí)函數(shù)的重要內(nèi)容．2．用函數(shù)模型解決實際問題（1）數(shù)據(jù)擬合：通過一些數(shù)據(jù)尋求事物規(guī)律，往往是通過繪出這些數(shù)據(jù)在直角坐標系中的點，觀察這些點的整體特征，看它們接近我們熟悉的哪一種函數(shù)圖象，選定函數(shù)形式后，將一些數(shù)據(jù)代入這個函數(shù)的一般表達式，求出具體的函數(shù)表達式，再做必要的檢驗，基本符合實際，就可以確定這個函數(shù)基本反映了事物規(guī)律，這種方法稱為數(shù)據(jù)擬合．（2）常用到的五種函數(shù)模型：①直線模型：一次函數(shù)模型y＝kx+b（k≠0），圖象增長特點是直線式上升（x的系數(shù)k＞0），通過圖象可以直觀地認識它，特例是正比例函數(shù)模型y＝kx（k＞0）．②反比例函數(shù)模型：y=kx（k＞0）型，增長特點是y隨③指數(shù)函數(shù)模型：y＝a?bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增長特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快（底數(shù)b＞1，a＞0），常形象地稱為指數(shù)爆炸．④對數(shù)函數(shù)模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增長特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大越來越慢（底數(shù)a＞1，m＞0）．⑤冪函數(shù)模型，即y＝a?xn+b（a≠0）型，其中最常見的是二次函數(shù)模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值先減小后增大（a＞0）．在以上幾種函數(shù)模型的選擇與建立時，要注意函數(shù)圖象的直觀運用，分析圖象特點，分析變量x的范圍，同時還要與實際問題結(jié)合，如取整等．3．函數(shù)建模（1）定義：用數(shù)學(xué)思想、方法、知識解決實際問題的過程，叫作數(shù)學(xué)建模．（2）過程：如下圖所示．【解題方法點撥】用函數(shù)模型解決實際問題的常見類型及解法：（1）解函數(shù)關(guān)系已知的應(yīng)用題①確定函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f（x）中的參數(shù)，求出具體的函數(shù)解析式y(tǒng)＝f（x）；②討論x與y的對應(yīng)關(guān)系，針對具體的函數(shù)去討論與題目有關(guān)的問題；③給出實際問題的解，即根據(jù)在函數(shù)關(guān)系的討論中所獲得的理論參數(shù)值給出答案．（2）解函數(shù)關(guān)系未知的應(yīng)用題①閱讀理解題意看一看可以用什么樣的函數(shù)模型，初步擬定函數(shù)類型；②抽象函數(shù)模型在理解問題的基礎(chǔ)上，把實際問題抽象為函數(shù)模型；③研究函數(shù)模型的性質(zhì)根據(jù)函數(shù)模型，結(jié)合題目的要求，討論函數(shù)模型的有關(guān)性質(zhì)，獲得函數(shù)模型的解；④得出問題的結(jié)論根據(jù)函數(shù)模型的解，結(jié)合實際問題的實際意義和題目的要求，給出實際問題的解．【命題方向】典例1：某公司為了實現(xiàn)1000萬元的利潤目標，準備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金數(shù)額y（單位：萬元）隨銷售利潤x（單位：萬元）的增加而增加，但獎金數(shù)額不超過5萬元，同時獎金數(shù)額不超過利潤的25%，其中模型能符合公司的要求的是（參考數(shù)據(jù)：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（）A．y＝0.025xB．y＝1.003xC．y＝l+log7xD．y=14000分析：由題意，符合公司要求的模型只需滿足：當x∈[10，1000]時，①函數(shù)為增函數(shù)；②函數(shù)的最大值不超過5；③y≤x?25%，然后一一驗證即可．解答：解：由題意，符合公司要求的模型只需滿足：當x∈[10，1000]時，①函數(shù)為增函數(shù)；②函數(shù)的最大值不超過5；③y≤x?25%=14A中，函數(shù)y＝0.025x，易知滿足①，但當x＞200時，y＞5不滿足公司要求；B中，函數(shù)y＝1.003x，易知滿足①，但當x＞600時，y＞5不滿足公司要求；C中，函數(shù)y＝l+log7x，易知滿足①，當x＝1000時，y取最大值l+log71000＝4﹣lg7＜5，且l+log7x≤14D中，函數(shù)y=14000x2，易知滿足①，當x＝40