第七章證明第2課認(rèn)識(shí)證明第2課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解公理的含義，初步感悟公理化思想，了解本套教科書所采用的基本事實(shí),明確證明的起點(diǎn).2.通過(guò)具體實(shí)例感受證明的過(guò)程和證明的格式，感受公理化方法對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展和促進(jìn)人類文明進(jìn)步的價(jià)值.教學(xué)設(shè)計(jì)的基本環(huán)節(jié)：協(xié)作破冰問(wèn)題構(gòu)建情境啟航教師示范鞏固拓展當(dāng)堂檢測(cè)反思總結(jié)作業(yè)設(shè)計(jì)情境啟航同學(xué)們,反例可證命題為假,那僅靠觀察、實(shí)驗(yàn)或驗(yàn)證特例能確定命題為真嗎？比如幾何結(jié)論,畫圖能完全確定其正確性嗎？其實(shí)數(shù)學(xué)家也有過(guò)困惑,直到歐幾里得編寫《原本》,才開啟證明真命題的方法.今天我們就探究如何證實(shí)一個(gè)命題是真命題.問(wèn)題:基于基本事實(shí)、定義和已證定理,通過(guò)演繹推理的方法證實(shí)一個(gè)命題是真命題？問(wèn)題構(gòu)建其實(shí),在數(shù)學(xué)發(fā)展史上,數(shù)學(xué)家們也遇到過(guò)類似的問(wèn)題.公元前3世紀(jì)，人們已經(jīng)積累了大量的數(shù)學(xué)知識(shí),在此基礎(chǔ)上,古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得（約前330—前275）編寫了一本書,書名為《原本》,為了說(shuō)明每一結(jié)論的正確性,他在編寫這本書時(shí)進(jìn)行了大膽創(chuàng)造：挑選了一部分?jǐn)?shù)學(xué)名詞和一部分公認(rèn)的真命題作為證實(shí)其他命題的出發(fā)點(diǎn)和依據(jù),其中的數(shù)學(xué)名詞稱為原名,公認(rèn)的真命題稱為公理.除了公理外，其他命題的真假都需要通過(guò)演繹推理的方法進(jìn)行判斷.演繹推理的過(guò)程稱為證明,經(jīng)過(guò)證明的真命題稱為定理.每個(gè)定理都只能用公理、定義和已經(jīng)證明為真的命題來(lái)證明.問(wèn)題構(gòu)建本套教科書選用九條基本事實(shí)作為證明的出發(fā)點(diǎn)和依據(jù),我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)了其中的八條：兩點(diǎn)確定一條直線.兩點(diǎn)之間線段最短.同一平面內(nèi),過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.兩條直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那么這兩條直線平行（簡(jiǎn)述為：同位角相等，兩直線平行）.過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行.問(wèn)題構(gòu)建6.兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等.7.兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等.8.三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等.另外一條基本事實(shí)我們將在后面的學(xué)習(xí)中認(rèn)識(shí)它.

問(wèn)題構(gòu)建定理：對(duì)頂角相等.定理：同角(或等角)的余角相等.定理：同角(或等角)的補(bǔ)交相等.定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊.

分析:在基本事實(shí)和已證定理中,哪些結(jié)論可以斷定兩個(gè)角相等？余角和補(bǔ)交的性質(zhì)，平行線間角的關(guān)系，三角形全等，等腰三角形，角平分線的定義等可以用來(lái)證明兩個(gè)角相等.問(wèn)題構(gòu)建

上述證明過(guò)程中的“∵”讀著“因?yàn)椤保啊唷弊x著“所以”.每一步括號(hào)里的紅色字體代表這一步證明的依據(jù).依據(jù)來(lái)源于已知的基本事實(shí)、定理或前面證明成立的結(jié)論.借助上面的證明，我們可以得到定理：對(duì)頂角相等.根據(jù)題意,把下列推理的依據(jù)寫出來(lái),并指出是公理還是定理.

內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，是定理.協(xié)作破冰協(xié)作破冰

兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，是定理.

等量代換，是公理.教師示范例2:(1)如圖，∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°.求證：∠1=∠3.證明：∵∠1+∠2=180°(已知)∴∠1=180°-∠2(等式的性質(zhì))∵∠2+∠3=180°(已知)∴∠3=180°-∠2(等式的性質(zhì))∴∠2=∠3(等量代換)借助上面的證明，我們可以得到定理：同角的補(bǔ)角相等.教師示范例2:(2)如圖，∠1=∠3，∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°.求證：∠2=∠4.證明：∵∠1+∠2=180°(已知)∴∠2=180°-∠1(等式的性質(zhì))∵∠3+∠4=180°(已知)∴∠4=180°-∠3(等式的性質(zhì))∵∠1=∠3(已知)∴180°-∠1=180°-∠3(等式的性質(zhì))∴∠2=∠4(等量代換)借助上面的證明，我們可以得到定理：等角的補(bǔ)角相等.綜合可得：同角(或等角)的補(bǔ)角相等.鞏固拓展

∴∠1=90°（垂直的定義）又

b

∥c（已知）∴∠2=∠1=90°（兩直線平行，同位角相等）

abc12借助上面的證明，我們可以得到定理：如果一條直線垂直于一組平行線中的一條直線，那么它也垂直于這組平行線中的另一條直線.鞏固拓展問(wèn)題：總結(jié)分析上述3個(gè)例題，證明一個(gè)命題要經(jīng)歷哪些步驟？明確命題，分清條件和結(jié)論基于學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)尋找條件分析得出證明思路檢查驗(yàn)證寫出證明過(guò)程當(dāng)堂檢測(cè)

1.下面關(guān)于公理和定理的說(shuō)法正確的是(

)CA.

公理是真命題，但定理不是B.

公理就是定理，定理也是公理C.

公理可作為證明其他定理的依據(jù)D.

公理和定理都應(yīng)經(jīng)過(guò)證明后才能使用當(dāng)堂檢測(cè)

2.下列不是公理的是(

)AA.

對(duì)頂角相等B.

兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等C.

同位角相等,兩直線平行D.

三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等當(dāng)堂檢測(cè)

當(dāng)堂檢測(cè)

反思總結(jié)1.你能嘗試分類回憶學(xué)過(guò)的基本事實(shí)嗎？你的分類依據(jù)是什么?2.證明一個(gè)命題的一般步驟是什么？你有沒(méi)有相關(guān)的經(jīng)驗(yàn)和同學(xué)分享.