3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

人教A版（2019）選擇性必修一學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解橢圓的定義及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象能力(重點)2.理解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，并能運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)方程解決相關(guān)問題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)計算能力(難點)1新課導(dǎo)入橢圓是圓錐曲線的一種，具有豐富的幾何性質(zhì)，在科研、生產(chǎn)和人類生活中具有廣泛的應(yīng)用.那么，橢圓到底有怎樣的幾何特征？我們該如何利用這些特征建立橢圓的方程，從而為研究橢圓的幾何性質(zhì)奠定基礎(chǔ)？新課學(xué)習(xí)34取一條定長的細(xì)繩，把它的兩端都固定在圖板的同一點，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，這時筆尖(動點)畫出的軌跡是一個圓．如果把細(xì)繩的兩端拉開一段距離，分別固定在圖板的兩點

F1，F(xiàn)2(如圖)，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的軌跡是什么曲線？在這一過程中，移動的筆尖(動點)滿足的幾何條件是什么？新課學(xué)習(xí)34橢圓的概念平面內(nèi)與兩個定點F1,F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓.（如下圖）這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距.焦距的一半稱為半焦距.F1F2M焦點焦距新課學(xué)習(xí)34觀察橢圓的形狀，你認(rèn)為怎樣建立坐標(biāo)系可能使所得的橢圓方程形式簡單？觀察我們畫出的圖形，可以發(fā)現(xiàn)橢圓具有對稱性，而且過兩個焦點的直線是它的對稱軸，所以我們以經(jīng)過橢圓兩焦點

F1，F(xiàn)2的直線為

x軸，線段

F1F2的垂直平分線為

y軸，建立平面直角坐標(biāo)系

Oxy，如圖所示.F1F2MxOy設(shè)

M(x，y)是橢圓上任意一點，橢圓的焦距為2c(c＞0)，那么焦點

F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別為(-c，0)，(c，0)．根據(jù)橢圓的定義，設(shè)點M與焦點F1，F(xiàn)2的距離的和等于2a．新課學(xué)習(xí)34觀察橢圓的形狀，你認(rèn)為怎樣建立坐標(biāo)系可能使所得的橢圓方程形式簡單？由橢圓的定義可知，橢圓可看作點集P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}．因為所以為了化簡方程①，我們將其左邊一個根式移到右邊，得對方程②兩邊平方，得新課學(xué)習(xí)34觀察橢圓的形狀，你認(rèn)為怎樣建立坐標(biāo)系可能使所得的橢圓方程形式簡單？整理，得對方程③兩邊平方，得a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2，整理，得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2).④新課學(xué)習(xí)34觀察橢圓的形狀，你認(rèn)為怎樣建立坐標(biāo)系可能使所得的橢圓方程形式簡單？將方程④兩邊同除以

a2(a2－c2)，得由橢圓的定義可知，2a＞2c＞0，即

a＞c＞0，所以

a2－c2＞0．新課學(xué)習(xí)

F1F2M??xyO(x,y)

⑥這樣，橢圓上任意一點的坐標(biāo)

(x，y)都滿足方程⑥；反之，以方程⑥的解為坐標(biāo)的點

(x，y)與橢圓的兩個焦點

(c,0)，(－c,0)

的距離之和為

2a，即以方程⑥的解為坐標(biāo)的點都在橢圓上.由于方程的兩邊都是非負(fù)實數(shù)，因此方程①到方程⑥的變形都是同解變形.新課學(xué)習(xí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的概念我們稱是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.它表示焦點在

x軸上，兩個焦點分別是

F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)的橢圓，這里c2=a2-b2.新課學(xué)習(xí)如圖，如果焦點F1，F(xiàn)2

在y軸上，且F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別為(0,－c)，(0,c)，a，b的意義同上，那么橢圓的方程是什么？F1F2M??xyO此時的橢圓的方程是新課學(xué)習(xí)定義圖形方程焦點a,b,c之間的關(guān)系F1F2MxOyF1F2MxOyF1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c)，F(xiàn)2(0,c)a2=b2+c2新課學(xué)習(xí)例1：已知橢圓的兩個焦點坐標(biāo)分別是(－2，0)，(2，0)，并且經(jīng)過點

，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程．

由于橢圓的焦點在x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為由橢圓的定義知

c＝2，

所以

b2＝a2－c2＝10－4＝6．所以，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為新課學(xué)習(xí)例2：在圓

x2＋y2＝4

上任取一點

P，過點

P作

x軸的垂線段

PD，D為垂足.當(dāng)點

P在圓上運(yùn)動時，線段

PD的中點

M的軌跡是什么?

為什么?(當(dāng)點

P經(jīng)過圓與

x軸的交點時，規(guī)定點

M與點

P重合.)xyPMO?D?分析：點

P在圓

x2＋y2＝4

上運(yùn)動，點

P的運(yùn)動引起點

M運(yùn)動.我們可以由

M為線段

PD的中點得到點

M與點

P坐標(biāo)之間的關(guān)系式，并由點

P的坐標(biāo)滿足圓的方程得到點

M的坐標(biāo)所滿足的方程.新課學(xué)習(xí)例2：在圓

x2＋y2＝4

上任取一點

P，過點

P作

x軸的垂線段

PD，D為垂足.當(dāng)點

P在圓上運(yùn)動時，線段

PD的中點

M的軌跡是什么?

為什么?(當(dāng)點

P經(jīng)過圓與

x軸的交點時，規(guī)定點

M與點

P重合.)設(shè)點M的坐標(biāo)為(x，y)，點P的坐標(biāo)為(x0，y0)，則點

D的坐標(biāo)為(x0，0).由點M是線段PD的中點，得因為點P(x0，y0)在圓

x2＋y2＝4

上，所以

x02＋y02＝4

①.把x0=x,y0=2y代入方程①，得

x2＋4y2＝4，即所以點M的軌跡是橢圓.新課學(xué)習(xí)根據(jù)上面的例題，總結(jié)一下求軌跡M的方法:尋求點M的坐標(biāo)中x，y與x0，y0之間的關(guān)系，然后消去x0，y0，得到點M的軌跡方程常用的方法.利用信息技術(shù)，可以更方便地探索點M的軌跡方程.新課學(xué)習(xí)由例2我們發(fā)現(xiàn)，可以由圓通過“壓縮”得到橢圓.你能由圓通過“拉伸”得到橢圓嗎？如何“拉伸”？由此你能發(fā)現(xiàn)橢圓與圓之間的關(guān)系嗎？由例2我們可以發(fā)現(xiàn)，將圓

x2＋y2＝4

上的所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/p>

時，利用三角函數(shù)中學(xué)習(xí)的伸縮變換的知識，可以得到x2＋(2y)2＝4，即

，此為橢圓方程.xyPMO?D?

同理可將圓上所有點橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，利用伸縮變換可得

，得到拉伸后的橢圓方程.所以橢圓可以由圓經(jīng)過伸縮變換得到.新課學(xué)習(xí)例3：如圖，設(shè)A，B兩點坐標(biāo)分別為(-5,0),(5,0).直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是-，求點M的軌跡方程.

分析：設(shè)點M的坐標(biāo)為(x，y)，那么直線

AM，BM

的斜率就可用含

x，y

的關(guān)系式分別表示.

由直線

AM，BM的斜率之積是-

，可得出

x，y

之間的關(guān)系式，進(jìn)而得到點M的軌跡方程.xyBMOA?

新課學(xué)習(xí)例3：如圖，設(shè)A，B兩點坐標(biāo)分別為(-5,0),(5,0).直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是-，求點M的軌跡方程.

xyBMOA?設(shè)點

M的坐標(biāo)為(x,y)，因為點

A的坐標(biāo)是(-5,0)，所以直線AM的斜率同理，直線

BM的斜率由已知，有新課學(xué)習(xí)例3：如圖，設(shè)A，B兩點坐標(biāo)分別為(-5,0),(5,0).直線AM，BM相交于點M，且它們的