5.1.4用樣本估計總體第五章1.會用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征；2.能用樣本的分布來估計總體的分布；3.會應(yīng)用相關(guān)知識解決實際統(tǒng)計問題.以下是某學(xué)校高一年級98位學(xué)生的身高(單位：cm)：已知這組數(shù)的總體平均數(shù)為163.5，總體方差為56.3.用簡單隨機(jī)抽樣的方法從總體中抽取容量為10的樣本3次，分別計算樣本平均數(shù)與樣本方差，并與總體對應(yīng)的值進(jìn)行比較，說說由什么發(fā)現(xiàn)？在容許一定誤差存在的情況下，可以用樣本的平均數(shù)與方差去估計總體的平均數(shù)與方程.用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征：①一般情況下，如果樣本的容量恰當(dāng)，抽樣方法又合理的話，樣本的特征能夠反映總體的特征.特別地，樣本平均數(shù)(也稱為樣本均值)、方差(也稱為樣本方差)與總體對應(yīng)的值相差不會太大.②在容許一定誤差存在的前提下，可以用樣本的數(shù)字特征去估計總體的數(shù)字特征.這樣就能節(jié)省人力和物力等.另外，有時候總體的數(shù)字特征不可能獲得，此時只能用樣本的數(shù)字特征去估計總體的數(shù)字特征.(1)利用隨機(jī)抽樣得到樣本，從樣本數(shù)據(jù)得到的分布、平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差(通常稱之為樣本分布、樣本平均數(shù)和樣本標(biāo)準(zhǔn)差)并不是總體真正的分布、平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，而只是總體的一個估計，但這個估計是合理的，特別是當(dāng)樣本容量很大時，它們確實反映了總體的信息.(2)一般地，平均數(shù)反映的是樣本個體的平均水平，眾數(shù)和中位數(shù)則反映樣本中個體的“重心”，而標(biāo)準(zhǔn)差則反映了樣本的波動程度、離散程度，即均衡性、穩(wěn)定性、差異性等.因此，我們可以根據(jù)問題的需要選擇用樣本的不同數(shù)字特征來分析問題.一般來說，在估計總體的數(shù)字特征時，只需直接算出樣本對應(yīng)的數(shù)字特征即可.提醒例1若甲、乙兩機(jī)床同時加工直徑為100cm的零件，為檢驗質(zhì)量，各從中抽取6件測量，數(shù)據(jù)為甲：99

100

98

100

100

103乙：99

100

102

99

100

100(1)分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差；(2)根據(jù)計算結(jié)果判斷哪臺機(jī)床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定.嘗試與發(fā)現(xiàn)：在考察某中學(xué)的學(xué)生身高時，如果采用分層抽樣的方法，得到了男生身高的平均數(shù)為170，方差為16；女生的身高平均數(shù)為165，方差為25.(1)如果沒有其他信息，怎樣估計總體的平均數(shù)與方差？(2)如果知道抽取的樣本中，男生有20人，女生有15人，怎樣估計總體的平均數(shù)與方差？(1)方案1：選男生(或女生)的樣本平均數(shù)與方差作為總體對應(yīng)值的估計；方案2：取每一層樣本特征的算術(shù)平均值，即選擇男生和女生樣本的算數(shù)平均數(shù)作為總體身高平均數(shù)167.5，方差20.5.因為每層(男生，女生)的個體數(shù)目不定，故估算的結(jié)果可能誤差很大.嘗試與發(fā)現(xiàn)：在考察某中學(xué)的學(xué)生身高時，如果采用分層抽樣的方法，得到了男生身高的平均數(shù)為170，方差為16；女生的身高平均數(shù)為165，方差為25.(2)如果知道抽取的樣本中，男生有20人，女生有15人，怎樣估計總體的平均數(shù)與方差？(2)設(shè)樣本均值為，樣本方差為b2，則可以算出：故總體的平均數(shù)可以估計為167.86，總體的方差可以估計為25.98.

B例2(多選)某分層抽樣中，有關(guān)數(shù)據(jù)如表所示.

樣本量平均數(shù)方差第1層4542第2層3581第3層1063則下列敘述正確的是()(結(jié)果保留兩位小數(shù))A.第1，2層所有數(shù)據(jù)的均值為5.75B.第1，2層所有數(shù)據(jù)的方差為1.50C.第1，2，3層所有數(shù)據(jù)的均值約為7.68D.第1，2，3層所有數(shù)據(jù)的方差約為5.23AD歸納總結(jié)運用公式求分層抽樣的均值與方差時要注意(1)清楚公式中各個符號的含義，避免代入數(shù)據(jù)混亂.(2)運算要格外仔細(xì)，并按要求保留有效小數(shù).例3統(tǒng)計局就某地居民的月收入(單位：元)情況調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出了樣本頻率分布直方圖(如圖)，每個分組包括左端點，不包括右端點，如第一組表示月收入在[500，1000)內(nèi).(1)為了分析居民的收入與年齡、職業(yè)等方面的關(guān)系，必須按月收入再從這10000人中用分層抽樣的方法抽出100人作進(jìn)一步分析，則月收入在[2000，2500)內(nèi)的應(yīng)抽取多少人？(2)根據(jù)頻率分布直方圖估計樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)；(3)根據(jù)頻率分布直方圖估計樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù).1.利用頻率分布直方圖求數(shù)字特征(1)眾數(shù)是最高的矩形的底邊的中點；(2)中位數(shù)左右兩側(cè)直方圖的面積相等；(3)平均數(shù)等于每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)之和.2.利用直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)均為近似值，往往與實際數(shù)據(jù)得出的不一致，但它們能粗略估計其眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù).歸納總結(jié)根據(jù)今天所學(xué)，回答下列問題：1.為什么可以用樣本來估計總體？2.舉例說明，哪些情況下，需要使用樣本來估計總體？1.對于數(shù)據(jù)3，3，2，3，6，3，10，3，6，3，2，有下列結(jié)論：①這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是3；②這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)與中位數(shù)的數(shù)值不相等；③這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)與平均數(shù)的數(shù)值相等；④這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與眾數(shù)的數(shù)值相等.其中正確結(jié)論的個數(shù)為(

)A.1B.2C.3D.4A2.有一個容量為66的樣本，

數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下：[11.5，15.5)

2

[15.5，19.5)

4[19.5，23.5)9[23.5，27.5)18[27.5，31.5)11[31.5，35.5)12[35.5，39.5)7[39.5，43.5]3則總體中大于或等于31.5的數(shù)據(jù)約占()B3.某校從參加高二年級學(xué)業(yè)水平測試的學(xué)生中抽出80名學(xué)生，其數(shù)學(xué)成績(均為整數(shù))的頻率分布直方圖如圖所示.估計這次測試數(shù)學(xué)成績的平均分為()A.50