2025—2026學年第一學期半期考

高三數(shù)學試卷參考答案

1.A“彐父,y∈Q,父—y=父y”的否定是“Y父,y∈Q,父—y≠父y”.

2.D由父2—11父十24=(父—3)(父—8)<0,得3<父<8,則所求最小值為4.

3.B若角α的終邊經(jīng)過點(1,—3),則tanα=—3,則

4A/=—1—3/|=1所以曲線=1—4在點2處切線的斜

.因為y(父),所以y父=2,y(父)(,

率為1,故所求傾斜角為.

5.A先剔除m,則2,4,6,5,4,3按照從小到大的順序排列為2,3,4,4,5,6,當m≤4時,這組

數(shù)據(jù)的中位數(shù)是4,當m>4時,這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)仍然是4,所以“3≤m≤5”是“這組數(shù)據(jù)的

中位數(shù)為4”的充分不必要條件.

1.1。

6.D因為a=0.4<0.4,b=log31.8>log3\=0.5,c=1.6×0.5sin30=0.4,所以b>c>a.

7.C依題意得m的最小值為f(父)的最小正周期,則T則w=π,令kπ(k

∈z),得父=k,所以曲線y=f(父)的對稱中心的橫坐標為k

8.C令父=y=0,得f(0)=0.令y=—父,得f(父)十f(—父)=f(0)=0,所以f(父)是R上的

奇函數(shù).任取父1,父2,且父1>父2,則f(父1)—f(父2)=f((父1—父2)十父2)—f(父2)=f(父1—

父2).因為父1>父2,所以父1—父2>0,所以f(父1—父2)<0,所以f(父1)<f(父2),則f(父)是R

上的減函數(shù).由f(t2—3t)十f(6—2t)>0,得f(t2—3t)>—f(6—2t)=f(2t—6),則t2—5t

十6<0,解得2<t<3.

9.BCD取a=—4,b=—3,則a>2b,a<b,A錯誤.因為a>2b>3c,且y=2父為增函數(shù),所

以2a>22b>23c,則2a>4b>8c,B正確.因為a>2b>3c,所以a—3c>a—2b>0,又y=lg父

在(0,十∞)上為增函數(shù),所以lg(a—3c)>lg(a—2b),C正確.由a>2b,得a—2b>0,則a—

2b十a(chǎn)—2b十1十當且僅當a—2b=1時,等號成立,

D正確.

父—1

10.BD設h(父)=父—ln父,則h/(父)=,當0<父<1時,h/(父)<0,當父>1時,h/(父)>

父

0,所以h(父)≥h(1)=1,所以f(父)的定義域為(0,十∞),值域為[1,十∞).易知g(父)的定

義域為[1,十∞),又g=<1,所以f(父)與g(父)的定義域不相同,值域也不相

【高三數(shù)學●參考答案第1頁(共6頁)】26-105C

同,A錯誤,B正確.因為f(2)—g(2)=\—1>1—1=0,f(5)—g(5)=\—

5十2=\—3<\—3<0,所以3父∈(1,十∞),f(父)—g(父)=0,C錯誤.當父∈[2,

12\父—1—1

十∞)時,g/(父)=1—=>0,所以g(父)在[2,十∞)上單調(diào)遞增,又當

2\父—12\父—1

父>1時,h/(父)>0,所以f(父)在[2,十∞)上單調(diào)遞增,D正確.

11.ABC由f(父)與f(父十2)均為奇函數(shù),得f(父十2)=—f(—父十2)=f(父—2),則f(父)=

π

f(父十4),g(父十4)=f(父十4).sin(父十4)]=f(父).sin=g(父),所以4為g(父)

的一個周期.當f=sin時,g的最小正周期為2,則g(父)的部分圖象

π父2π父π

可能為A中圖象.當f(父)=tan時,g(父)=2sin=1—cos(父≠2十4k,k∈z),則

44

1

g(父)的部分圖象可能為B中圖象.當f(父)=時,g(父)=1(父≠2k,k∈z),則g(父)

π

sin

的部分圖象可能為C中圖象.若g(0)存在,則g(0)=f(0).sin0=0,則g(父)的部分圖象

不可能為D中圖象.

2121

343×34×43

12.1;28—81=2—3=4—3=1,3log52十log53.125=log5(2×3.125)=log525=2.

—

13.因為tan,所以tan(α=tan3α,

則3α=α—十kπ(k∈z),解得z),則|α|的最小值為.

14.4—8ln2依題意得父>0,則父=eln父,則f(父)=e父ln父—4父ln父.易證父ln父構造函

11

父/父/

數(shù)g(父)=e—4父,父≥—,則g(父)=e—4,當—≤父<ln4時,g(父)<0,當父>ln4

ee

父

時,g/(父)>0,所以g(父)min=g(ln4)=4—4ln4=4—8ln2,故f(父)=父—4父ln父的最小

值為4—8ln2.

15.解:(1)由圖可知A=1.……………………1分

由|0M|=|0N|=,得|MN|=|0M|十|0N|=,…………………2分

所以T=4|MN解得w=2.……………………4分

由圖可知f(父)的圖象經(jīng)過點,1),則2×十φ=2kπ(k∈z),……5分

因為—π<φ<0,所以φ=—,……………6分

【高三數(shù)學●參考答案第2頁(共6頁)】26-105C

所以f=cos………………7分

(2)由(1)知g(父)=\cos(2父——cos2父=cos2父十sin2父—cos2父=sin2父.………

…………………………10分

由父,得2父,…………11分

所以g(父)的取值范圍為[0,1].…………13分

[備注]

第(1)問中,求φ還可以這樣解答:

由圖可知f(父)的圖象經(jīng)過點M(—,0),則2×(—十φ=十kπ(k∈z),

因為—π<φ<0,所以

16.解當父>0時………1分

父十

父

父十當且僅當父=1時,等號成立,…………………3分

父

11父1

所以≤,則的最大值為.…………………4分

12父2十12

父十

父

(2)f(父)為奇函數(shù).…………5分

理由如下:

f(父)的定義域為(—∞,0)U(0,十∞),關于原點對稱,…………………6分

因為f

所以f(父)為奇函數(shù).………………………7分

知,當父>0時的取值范圍是…………………8分

設函數(shù)g=父,易知該函數(shù)為增函數(shù),………………9分

當父→0時,g→—∞,又g,……………10分

所以g(父)的值域為………11分

所以當父>0時,f(父)的取值范圍是,由(2)知f(父)是奇函數(shù),

所以f(父)的值域為………12分

【高三數(shù)學●參考答案第3頁(共6頁)】26-105C

由m十1=0,得f,……13分

所以…………………14分

解得m∈(—∞,—2]u[4,十∞).………15分

17.解:(1)f/(父)=(父—a)2十2(父—1)(父—a)=(父—a)(3父—a—2),……1分

因為2是f(父)的極值點,所以f/(2)=(2—a)(6—a—2)=0,…………2分

則a=2或a=4.……………3分

當a=2時,f/(父)=(父—2)(3父—4),則f(父)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞

減,在(2,十∞)上單調(diào)遞增,所以2是f(父)的極小值點.………………5分

當a=4時,f/(父)=3(父—2)(父—4),則f(父)在(—∞,2)上單調(diào)遞增,在(2,4)上單調(diào)遞

減,在(4,十∞)上單調(diào)遞增,所以2是f(父)的極大值點.………………6分

故a的值為4.………………7分

(2)由(1)知f(父)=(父—1)(父—4)2—b,且f(父)在(—∞,2)上單調(diào)遞增,在(2,4)上單調(diào)遞

減,在(4,十∞)上單調(diào)遞增.………………8分

f(0)=—16—b,f(2)=4—b,f(4)=—b,fb,……………10分

因為f上有3個零點,且f<f<f………………12分

所以……………14分

解得……………15分

18.解:(1)設上P0Q=α,則該扇形的面積,……

1分DC

所以上P0Q……………2分

ABP

(2)依題意可得0<θ<則上P0Q,…3分

由sin得cos…………………4分

則sinθ=sincossin6分

…………………7分

【高三數(shù)學●參考答案第4頁(共6頁)】26-105C

則BC=0Csin………………8分

(3)設上p0C=θ,在△0BC中,0B=0Ccosθ=cosθ,BC=0Csinθ=sinθ.…………9分

在△0AD中tan所以0ADABCsinθ,AB=0B—0A=

cossin……………11分

設矩形ABCD的面積為5,則5=AB.BCsin……………13分

sin…………………15分

當時,………………16分

5取得最大值,且最大值為.……………17分

[備注]第(3)問還可以這樣解答:

設AD=x,AB=y,0BDAx,

y=0B—0Ax.…………11分

2

因為x2十=1,………………12分

所以x2十y2十xyxyxy,…………14分

設矩形ABCD的面積為5,所以5=xy…………………15分

當且僅當x時,等號成立,……………………16分

所以矩形ABCD面積的最大值為.……………………17分

19.(1)解:g/(x)=lnx十ex—e.………………1分

易知g/(x)在(0,十∞)上單調(diào)遞增,且g/(1)=0,………2分

則當x∈(0,1)時,g/(x)<0,當x∈(1,十∞)時,g/(x)>0,……………3分

所以g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(1,十∞).………4分

記h(x)=f/(x)—g/(x),則h(x)=(x—1)2—ex十e,………………5分

【高三數(shù)學●參考答案第5頁(共6頁)】26-105C

h/(父)=e(父—1)—e父.令φ(父)=h/(父),則φ/(父)=e—e父.

當父∈(0,1)時,φ/(父)>0,φ(父)單調(diào)遞增;當父∈(1,十∞)時,φ/(父)<0,φ(父)單調(diào)遞減.

……………6分

所以φ(父)≤φ(1)=—e,則h/(父)<0,則h(父)在(0,十∞)上單調(diào)遞減.………………7分

設H(父)=f(父)—g(父),則H/(父)=h(父),又h(1)=0,所以H(父)在(0,1)上單調(diào)遞增,