第五章教學(xué)評估的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型是把現(xiàn)實(shí)對象的本質(zhì)特征和關(guān)系，用數(shù)學(xué)語言所表達(dá)出來的一種形式化的結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)模型引入教學(xué)評估，使其更具有客觀性、科學(xué)性和可操作性。教學(xué)評估的數(shù)學(xué)模型可以分為三類：評估對象具有確定因果聯(lián)系的必然性的數(shù)學(xué)模型，具有不確定的隨機(jī)性的隨機(jī)數(shù)學(xué)模型，具有模糊性的模糊數(shù)學(xué)模型。在教學(xué)評估的過程中，根據(jù)評估對象的異同，或?qū)ν辉u估對象的不同理解，合理地使用上述三類評估模型，能有效地揭示教學(xué)規(guī)律。除了前幾章已經(jīng)用到的一些數(shù)學(xué)模型以外，本章闡述在教學(xué)評估中常用的另一些數(shù)學(xué)模型，如回歸模型、馬爾可夫鏈和模糊綜合模型，同時(shí)還介紹它們的一些應(yīng)用。第一節(jié)回歸模型回歸分析是研究隨機(jī)現(xiàn)象中變量之間關(guān)系的一種數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法。它的主要內(nèi)容是：從一組數(shù)據(jù)出發(fā)，確定這些變量間的關(guān)系式，對這些關(guān)系式的可信程度進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，從影響一個(gè)量的許多變量中，判斷哪些變量的影響是顯著的，哪些是不顯著的，尋找具有較好統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的回歸設(shè)計(jì)，利用所求得的關(guān)系式進(jìn)行預(yù)報(bào)和控制。一、一元線性回歸模型一元回歸分析是處理隨機(jī)變量y和變量x之間關(guān)系的一種方法，即通過分析數(shù)據(jù)，找出變量x和y間的一種關(guān)系。如果兩個(gè)變量的關(guān)系是線性的，那就是一元線性回歸分析所研究問題。那么，怎樣建立一元線性回歸的數(shù)學(xué)模型呢？首先，把觀察得到的n對數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)表示在平面直角坐標(biāo)系(圖5－1)中，考察這些點(diǎn)的大致分布情況，如果這些點(diǎn)之間近似存在著線性關(guān)系y＝a＋bx，那么，由最小二乘法可得量x和y之間的規(guī)律，即y和x是否顯著地存在線性關(guān)系呢？這可以用F方和為S剩，則如果在給定顯著性水平α下，有P｛F≤Fα(1，n－2)｝＝1－α，于是有1－α的把握確定回歸直線的顯著性。否則，在給定顯著性水平α下，回歸不顯著，即變量x和y的線性關(guān)系不顯著。二、多元線性回歸模型對于一元以上的線性回歸，這里先討論二元線性回歸。設(shè)隨機(jī)變量y和另外兩個(gè)變量x1和x2近似存在線性關(guān)系y＝a＋b1x1＋b2x2，同樣可以討論二元以上的線性回歸。為了書寫簡便，可以用矩陣的形式來表示回歸系數(shù)。設(shè)隨機(jī)變量y與另外p個(gè)變量x1，x2，x3，…，xp近似存在線性關(guān)系y＝β0＋β1x1＋β2x2＋…＋βpxp，經(jīng)過n次試驗(yàn)，得到數(shù)據(jù)組(yi，xi1，xi2，…，xip)(i＝1，2，…，n)。這就有上述方程組就可以寫成Y＝Xβ。經(jīng)過矩陣的運(yùn)算，并運(yùn)用最小二乘法，(XTX)-1<>是XTX的逆矩陣。二元線性回歸也可以用矩陣的形式來表示。設(shè)y＝β0＋β1x1＋β2x2，于是在數(shù)據(jù)處理過程中，兩個(gè)或兩個(gè)以上變量之間的回歸關(guān)系，并非總是線性的。這時(shí)，選擇恰當(dāng)類型的曲線比直線更符合實(shí)際情況。但在許多情況下，非線性回歸可以通過某些簡單的變量變換，轉(zhuǎn)化為線性回歸。例如，假設(shè)變量y和x之間有關(guān)系式y(tǒng)＝β0eβx，只要兩邊取對數(shù)，并令y′＝lny，β′0＝lnβ0，就可以將上述非線性回歸問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題。三、回歸模型在教學(xué)評估中的應(yīng)用舉例1．同一學(xué)科成績的一元線性回歸分析從一組學(xué)生某學(xué)科的平時(shí)成績與期中考試成績或兩次不同考試的成績，分析這組學(xué)生學(xué)習(xí)該學(xué)科的水平狀況，便是一元線性回歸模型在教學(xué)評估中的一個(gè)應(yīng)用。例如，從某班隨機(jī)抽取15名學(xué)生兩個(gè)學(xué)期的數(shù)學(xué)期末考試成績?nèi)绫?－1(x、y分別表示第一學(xué)期、第二學(xué)期的期末成績)，下面用一元線性回歸進(jìn)行分析。所以，這組學(xué)生的成績相關(guān)。根據(jù)一元線性回歸計(jì)算方法，得lxy＝1117，lyy＝1365.6，下面用F檢驗(yàn)進(jìn)行方差分析，檢驗(yàn)回歸的顯著性。查表得F0.01(1，13)＝9.07，可見F＞F0.01(1，13)，于是我們有99%的把握認(rèn)為回歸是顯著的，即x和y之間存在線性關(guān)系。如果把第二次考試成績作為基礎(chǔ)，根據(jù)上面得到的一元線性回歸方程預(yù)測第三次考試學(xué)生的成績，可以把第三次考試的成績填入表5－2(x表示預(yù)測成績，y表示實(shí)際的考試成績)。同樣，用第三次考試成績作為基礎(chǔ)，又可以預(yù)測第四次考試成績，依此類推。當(dāng)然，每一次的預(yù)測都應(yīng)該與實(shí)際分?jǐn)?shù)進(jìn)行比較，判斷預(yù)測的準(zhǔn)確性，并加以修正。在不需要較為精確地對學(xué)生學(xué)習(xí)水平作出預(yù)測的情況下，為避免較大的計(jì)算量，也可以采用比較簡單的“平均數(shù)”法，粗略地對學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況作出回歸分析。具體地可以按下面步驟完成。第一步，分組。把n個(gè)測驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi，yi)(i＝1，2，…，n)分成大致均勻的兩組。若n為偶數(shù)，則平分成兩組；若n為奇數(shù)，可第二步，求平均數(shù)。分別求出這兩組數(shù)據(jù)的各個(gè)平均數(shù)，并組成新

第三步，求過P、Q兩點(diǎn)的直線可以認(rèn)為，這條直線是過這n個(gè)點(diǎn)的一元線性回歸直線。對上面提到的15名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，按照前8名為一組，后7名為另一組，分成兩組，然后用表5－3(x、y分別表示第一學(xué)期、第二學(xué)期期末成績)的數(shù)據(jù)計(jì)算。因此，得到P(79.3，76.5)，Q(73.7，70.1)，而通過P，Q的直線這樣，我們也可以用這條回歸直線來預(yù)測這15名學(xué)生的學(xué)習(xí)成績。2．同一學(xué)科成績的二元線性回歸分析利用二元線性回歸，可以從一組學(xué)生某學(xué)科更多的測驗(yàn)數(shù)據(jù)(如平時(shí)成績，考試成績)中，預(yù)測這組學(xué)生該學(xué)科的成績?，F(xiàn)在對上述15名學(xué)生三個(gè)學(xué)期數(shù)學(xué)期末成績(在表5－4中，x1、x2和y分別表示高一第一學(xué)期、第二學(xué)期和高二第一學(xué)期期末成績)進(jìn)行二元線性回歸分析．由二元線性回歸計(jì)算方法，得到：解得b1＝0.282，b2＝0.622。由此可得這組學(xué)生的二元線性回歸方程是雖然通過上面回歸方法得到了二元線性回歸方程，但兩個(gè)因素x1和x2對y的回歸并不一定是顯著的。這里存在著以下幾種情況：因素x1對y回歸顯著，而因素x2對y回歸不顯著；因素x1對y回歸不顯著，而因素x2對y回歸顯著；因素x1和x2對y回歸都顯著；因素x1和x2對y回歸都不顯著。下面通過表5－5，對前面的二元線性回歸方程進(jìn)行檢驗(yàn)。由于F0.05(2，12)＝3.89＜F，所以得到的回歸直線是顯著的。既然上面回歸是顯著的，那么，我們可以根據(jù)這15名學(xué)生的兩個(gè)學(xué)期期末成績，預(yù)測第三個(gè)學(xué)期的期末成績，然后，照樣可以把第三個(gè)學(xué)期的成績作為一個(gè)因素(如因素x2)，去預(yù)測第四個(gè)學(xué)期的期末成績。不過，每一次預(yù)測值與實(shí)際值都應(yīng)進(jìn)行檢驗(yàn)，并且加以修正。如果用F檢驗(yàn)法檢驗(yàn)回歸不顯著，那么就應(yīng)該對每個(gè)因素進(jìn)行單獨(dú)方差分析，剔除回歸不顯著的因素。一般來說，凡是偏回歸平方和(所謂偏回歸平方和，是指總的回歸平方和，減去剔除某因素后所得的回歸平方和的值)大的變量一定是顯著的；凡是偏回歸平方和小的變量，卻并不一定不顯著。3．同一學(xué)科成績的中位數(shù)穩(wěn)健性回歸分析用最小二乘法求回歸直線，對所有的測驗(yàn)數(shù)據(jù)都是一視同仁的，顯然個(gè)別遠(yuǎn)離數(shù)據(jù)群體的“離群值”影響了回歸的顯著性(擬合度)。若用“中位數(shù)”的方法，可以求出一種較為穩(wěn)健的回歸，其步驟是：第一步，分組。將各數(shù)據(jù)點(diǎn)按某一變量(例如x)值從小到大的順序重新排列，得x(1)≤x(2)≤…≤x(n)；另一變量y值隨之相應(yīng)地排列。然后將n個(gè)點(diǎn)大致均勻地分成左(L)，中(M)，右(R)三組，并使左右兩組點(diǎn)數(shù)盡可能相等，如遇有相同的x值，則應(yīng)該將相應(yīng)的點(diǎn)劃歸為同一組，不可分割開。第二步，求中位數(shù)、綜合點(diǎn)。在按第一步分出的左、中、右三組中各求出x值和y值的中位數(shù)，分別得到三個(gè)組的綜合點(diǎn)：L(xL，yL)，M(xM，yM)，R(xR，yR)。這些“綜合點(diǎn)”不一定是原始數(shù)據(jù)點(diǎn)。第三步，用“中位數(shù)”的綜合點(diǎn)求回歸直線。由綜合點(diǎn)先求出斜率的初始值再取分別過這三個(gè)綜合點(diǎn)，且以b1為斜率的三條直線的截距的平均數(shù)為截距，即第四步，求殘差及其中位數(shù)，迭代。求出各點(diǎn)(xi，yi)(i＝1，2，…，n)與初始回歸直線的初始?xì)埐睿喝籀?＝0或δ1≈0，迭代結(jié)束。否則繼續(xù)按照上面方法迭代，直到第k步出現(xiàn)δk＝0或δk≈0為止。這時(shí)最終的回歸直線為ak＝a1＋a。下面對前面提到的15名學(xué)生的成績作中位數(shù)穩(wěn)健性回歸。第一步，由表5－6，左、中、右三組的中位數(shù)分別為xL＝66，yL＝67，xM＝73，yM＝78，xR＝89，yR＝79，于是，初始的回歸直線是數(shù)，得綜合點(diǎn)：L(66，－3.35)，M(73，1.73)，R(89，－2.83)。由于δ1≈0，所以迭代結(jié)束，最終的回歸直線是從表5－6中的第五列可以看出(74，60)、(97，98)這兩個(gè)“離群點(diǎn)”，由于中位數(shù)比平均數(shù)回歸更具有穩(wěn)健性，所以，在用中位數(shù)法求回歸直線的過程中，自然降低了“離群值”的影響。4．題目難度的回歸分析題目的難度指數(shù)對測驗(yàn)結(jié)果反應(yīng)最敏感。為了對題目的難度有一個(gè)比較準(zhǔn)確，又可操作的定量化估計(jì)，可以利用回歸分析，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際得分率與決定題目難度的有關(guān)因素的賦值建立回歸關(guān)系，預(yù)測題目的難度。學(xué)科專家研究確認(rèn)，數(shù)學(xué)測驗(yàn)題目的難度因素主要取決于測驗(yàn)涉及知識的廣度、運(yùn)算量、邏輯推理量、失誤點(diǎn)、障礙點(diǎn)、綜合度、熟悉度等因素?？梢哉J(rèn)為通常意義下的難度由這七個(gè)因素所確定，只要對這七個(gè)因素客觀地賦值，可以克服主觀估計(jì)帶來的偏差。具體方法是：(1)利用已有測驗(yàn)的數(shù)據(jù)，求得各題難度指數(shù)pL(l＝1，2，…，k，k為題目數(shù))。(2)對各題給出對應(yīng)的難度因素值nil。(3)利用邏輯斯蒂回歸模型：用與pL對應(yīng)的nil建立回歸方程。由于數(shù)學(xué)測驗(yàn)一般由三類題型(填空題、選擇題和解答題)組成，它們的測試功能和考查要求各有所異，因此，應(yīng)該分別建立三個(gè)回歸方程著，以便判別回歸方程本身的優(yōu)劣。(5)當(dāng)新的題目編制完后，通過對每題難度因素nil的賦值，代(6)計(jì)算剩余標(biāo)準(zhǔn)差，衡量估計(jì)難度值WL變差的大小，確定估計(jì)難度與實(shí)際得分率的平均誤差。例如，用1989年和1990年高考數(shù)學(xué)上海試卷中的數(shù)據(jù)，分別建立三類題型的回歸方程：－1.369n4－1.363n5－0.91495n6，－0.27023n4－0.13013n5－0.29579n6－1.5384n7，－0.10652n4－1.1799n5＋0.064717n6－1.2517n7。平方和之比的算術(shù)平方根)分別為R1＝0.85，R2＝0.91；R3＝0.88?？梢哉J(rèn)為估計(jì)難度與實(shí)際考試結(jié)果的擬合度較好，同時(shí)也說明了難度因素的確定是合理的。對上述三個(gè)線性回歸方程的方差分析，可分別得到F1＝5.825＞F0.01(6，13)＝4.62，F(xiàn)2＝7.884＞F0.01(7，12)＝4.64，F(xiàn)3＝5.567＞F0.01(7，11)＝4.89。可見回歸方程是高度顯著的。利用上述回歸方程對1992年高考上海數(shù)學(xué)試題(見附件二)進(jìn)行模擬難度估計(jì)，先對各題的難度因素賦值，再通的大小，求得剩余標(biāo)準(zhǔn)差分別是S1＝0.80，S2＝0.55，S3＝0.85。得到的p值表明，共有28題落在允許誤差的范圍內(nèi)，占整卷題量的97%

第二節(jié)齊次馬爾可夫鏈一、齊次馬爾可夫鏈的概念一個(gè)隨機(jī)過程｛Xn，n＝0，1，2，…｝就是一族隨機(jī)變量，而Xn能取的各個(gè)不同的值，則稱為狀態(tài)。如果一個(gè)隨機(jī)過程｛Xn，n＝0，1，2，…｝，由一種狀態(tài)轉(zhuǎn)移到另一種狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率只與現(xiàn)在處于什么狀態(tài)有關(guān)，而與在這時(shí)刻之前所處的狀態(tài)完全無關(guān)，即如果過程｛Xn，n＝0，1，2，…｝中，Xn+1的條件概率分布只依賴于Xn的值，而與所有更前面的值相互獨(dú)立，則該過程就是所謂馬爾可夫(Markov)過程．馬爾可夫鏈?zhǔn)侵笗r(shí)間離散，狀態(tài)也離散的馬爾可夫過程。一個(gè)馬爾可夫鏈，若從u時(shí)刻處于狀態(tài)i，轉(zhuǎn)移到t＋u時(shí)刻處于狀態(tài)j的轉(zhuǎn)移概率與轉(zhuǎn)移的起始時(shí)間u無關(guān)，則稱之為齊次馬爾可夫鏈，簡稱齊次馬氏鏈。如果把從狀態(tài)i到狀態(tài)j的一步轉(zhuǎn)移概率記為pij，則pij＝P｛Xn+1＝j(luò)｜Xn＝i｝，i，j＝0，1，2，…，且有轉(zhuǎn)移概率矩陣P，這樣，一個(gè)齊次馬氏鏈，可以由一個(gè)轉(zhuǎn)移概率矩陣P以及在時(shí)刻零時(shí)狀態(tài)x＝0，1，2，…的概率分布列向量Q＝(q(0)，q(1)，…)完全確定。由齊次馬氏鏈性質(zhì)知道，第i狀態(tài)的行向量Ai與第i＋1狀態(tài)的行向量Ai+1之間存在著關(guān)系式：Ai+1＝AiP。二、齊次馬氏鏈在評估教學(xué)質(zhì)量中的應(yīng)用教學(xué)過程是一個(gè)隨機(jī)過程，也就是說，對于具有相同基礎(chǔ)知識背景的學(xué)生(個(gè)體)，在同時(shí)接受新知識時(shí)是隨機(jī)的。我們可以把一個(gè)班(群體)的學(xué)生劃分為不同的等級(譬如：優(yōu)、良、中、及格、不及格五個(gè)等級)，近似地認(rèn)為處于同一等級的學(xué)生具有相同的基礎(chǔ)知識，用齊次馬氏鏈，通過學(xué)生學(xué)習(xí)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率矩陣，最終可以預(yù)測一個(gè)班學(xué)生學(xué)習(xí)成績的穩(wěn)定狀態(tài)。對教師而言，也就可用來評估、預(yù)測一個(gè)班的教學(xué)質(zhì)量。在教學(xué)效果指標(biāo)的量化過程中，齊次馬氏鏈評估法是將一個(gè)群體(如一個(gè)班或一個(gè)年級)的學(xué)生在某次考試中獲得優(yōu)(90分以上)、良(80～89分)、中(70～79分)、及格(60～69分)和不及格(59分以下)各等級學(xué)生人數(shù)占總?cè)藬?shù)之比，作為狀態(tài)變量，并用向量表示之。即R(t)＝(X1(t)，X2(t)，X3(t)，X4(t)，X5(t))，由于齊次馬氏鏈與t時(shí)刻前的狀態(tài)無關(guān)(呈無后效性)，可以研究當(dāng)t變化時(shí)，狀態(tài)向量R(t)的變化規(guī)律，從而對教學(xué)效果進(jìn)行評估。設(shè)經(jīng)第一次考試，一個(gè)班n個(gè)學(xué)生中，優(yōu)、良、中、及格、不及格的學(xué)生數(shù)分別為ni(i＝1，2，3，4，5)，則狀態(tài)向量稱作初始向量。為考察教學(xué)效果，繼續(xù)分析下一次考試時(shí)，上述學(xué)生的等級變化。若經(jīng)第二次考試后，原來獲優(yōu)等成績的n1名學(xué)生中，仍保持優(yōu)等的是n11人，轉(zhuǎn)化為“良”，“中”，“及格”，“不及格”的學(xué)生分別有n12，n13，n14，n15人，于是，第一次考試成績優(yōu)等的學(xué)生考試成績轉(zhuǎn)移情況是同樣，其余各個(gè)等級的學(xué)生的考試成績轉(zhuǎn)移情況是向量中nij(i，j＝1，2，3，4，5)表示從狀態(tài)i變成狀態(tài)j的人數(shù)。這一轉(zhuǎn)移情況用矩陣表示為P為轉(zhuǎn)移概率矩陣，簡稱轉(zhuǎn)概陣。符合齊次馬氏鏈學(xué)習(xí)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣的學(xué)生學(xué)習(xí)成績最終必然趨于平穩(wěn)狀態(tài)X＝(x1，x2，x3，x4，x5)，即X＝X·P，也即X(E－P)＝0，解此線性方程組，可得狀態(tài)R(t)時(shí)學(xué)生學(xué)習(xí)成績的平穩(wěn)分布X。下面，我們?nèi)砸缘谝还?jié)表5－1中的15名學(xué)生的成績?yōu)槔?，分析這一群體在兩次考試中學(xué)生等級的變化。按優(yōu)、良、中、及格、不及格五等劃分，分別是2人、4人、4人、5人和0人，因此，各個(gè)等級學(xué)生轉(zhuǎn)移情況分別是第二次考試成績分布狀態(tài)按照這個(gè)變化規(guī)律，第三次考試成績分布狀態(tài)即在第三次考試后，學(xué)生中優(yōu)等、良等的人數(shù)減少了，而中等的人數(shù)和及格的人數(shù)卻在增加。這樣，就可以分析這組學(xué)生群體的變化狀態(tài)。設(shè)該過程的平穩(wěn)狀態(tài)分布列為X，由于(E－P)TX＝0，從而可以斷定，最終只有中等和及格兩等級的學(xué)生，其人數(shù)分別占總數(shù)的56％和44％。三、齊次馬氏鏈在評估解題狀態(tài)中的應(yīng)用解決問題是數(shù)學(xué)教育的一項(xiàng)主要任務(wù)。如果能夠把一個(gè)題目，按學(xué)生解題的認(rèn)知過程的發(fā)展，分解成幾個(gè)不同層次的狀態(tài)，那么就可以用齊次馬氏鏈去測量一個(gè)群體(如一個(gè)班或一個(gè)年級的學(xué)生)解決問題的能力與狀況。首先，我們認(rèn)為解決一個(gè)問題的過程是由分析S1、設(shè)計(jì)S2、探究S3、實(shí)施S4和驗(yàn)證S5這樣五個(gè)狀態(tài)組成的，并且這五個(gè)狀態(tài)存在如圖5－2的關(guān)系。分成了上面五個(gè)狀態(tài)，我們可以認(rèn)為解決問題的后一狀態(tài)只與它的前一個(gè)狀態(tài)有關(guān)，而與它的更前面的狀態(tài)無關(guān)。這就完全符合齊次馬氏鏈所要求的條件。圖5－2的關(guān)系流程圖，存在一個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣其中p23＋p24＝1，p31＋p32＝1。如果圖5－2的關(guān)系流程圖第i階段的行向量為Ai＝(a1，a2，a3，a4，a5)，由于A0＝(1，0，0，0，0)，從而A1＝(0，1，0，0，0)，A2＝A1P＝(0，0，p23，p24，0)，A3＝A2P＝(p31p23，p23p32，0，0，p24)，p24(P23P32＋1)。應(yīng)用齊次馬氏鏈的關(guān)鍵在于找到一個(gè)轉(zhuǎn)移概率矩陣中的pij，這就要從兩個(gè)方面去控制，一是通過具體題目的解題過程劃分幾個(gè)不同狀態(tài)(這一點(diǎn)相對來說是比較困難的)，二是通過解題時(shí)間來控制解題過程，以分析整個(gè)群體a的解題狀態(tài)。例如，要求40名學(xué)生在10分鐘內(nèi)完成一個(gè)題目：求證：P1(2，3)，P2(4，6)，P3(6，9)三點(diǎn)共線。當(dāng)然，對于這個(gè)題目，如何比較客觀去分析解題狀態(tài)，即究竟做到哪一步才是從分析S1到設(shè)計(jì)S2，哪一步才算是從設(shè)計(jì)S2到實(shí)施S4，這是比較困難的。但是，如果運(yùn)用時(shí)間去控制解題狀態(tài)，還是切實(shí)可行的。設(shè)8分鐘以后，有30名學(xué)生圓滿地證明了這個(gè)題目，剩下的10名學(xué)生中，經(jīng)過老師的適當(dāng)提示，又有6名學(xué)生完成了該題。這樣對照關(guān)系流A0＝(1，0，0，0，0)，A1＝(0，1，0，0，0)，由A1可見，這40名學(xué)生全部從分析狀態(tài)S1轉(zhuǎn)移到設(shè)計(jì)狀態(tài)S2；由A2齊次馬氏鏈，針對在規(guī)定的時(shí)間里，有相當(dāng)一部分的學(xué)生完成解答，即處于圖5－2關(guān)系流程圖中驗(yàn)證狀態(tài)S5，是比較有效的。但是，如果在規(guī)定的時(shí)間里，沒有學(xué)生或者有很少學(xué)生順利地完成解答，用控制時(shí)間的方法去測算解題狀態(tài)是行不通的。這時(shí)，只能通過分析題目的解題狀態(tài)，具體地分清楚狀態(tài)S1、S2、S3、S4和S5，才能使用上面方法，確定轉(zhuǎn)概陣中的pij，從而正確使用齊次馬氏鏈測算解題狀態(tài)。

第三節(jié)模糊綜合模型模糊數(shù)學(xué)是研究模糊現(xiàn)象的有力工具。在教學(xué)評估中，模糊綜合評判和模糊綜合評審這兩個(gè)模型已得到越來越廣泛的應(yīng)用。一、模糊綜合評判模型及其應(yīng)用在教學(xué)評估中，為了充分體現(xiàn)目標(biāo)制定者的意圖，全面綜合地考慮各相關(guān)因素對評估目標(biāo)的影響，增強(qiáng)所得數(shù)量指標(biāo)的客觀可比性，有時(shí)需要應(yīng)用模糊綜合評判模型。1．模糊綜合評判模型的數(shù)學(xué)表述表示抽象的加法，且得到幾個(gè)常用的具體形式的模型。(1)突出最優(yōu)因素的模型(a，b)，則bj＝max［min(a1，r1j)，min(a2，r2j)…，min(am，rmj)］，向量使主要因素起單因素控制而使評判失去綜合意義的不良后果。用突出最優(yōu)因素的模型進(jìn)行教學(xué)評估時(shí)，由于已作了同一化處理，盡管不同學(xué)生的優(yōu)因素不同，但仍然可比，同時(shí)還可以發(fā)現(xiàn)對同一成績起主要作用的優(yōu)因素。(2)突出最劣因素的模型從計(jì)算bj的方法可以看到，rij與bj已不再是具體意義下的隸屬度，而成為新的評估指標(biāo)，所求出的是突出最劣因素。將此模型用于教學(xué)評估，有利于發(fā)現(xiàn)學(xué)生當(dāng)前學(xué)習(xí)中存在的主要問題，以及主要問題中最突出的劣因素．(3)綜合評判模型可以給定，從而求出的bj值反映了指標(biāo)bj的整體綜合水平。據(jù)評估目的予以選用。為了提高評估的準(zhǔn)確性，往往多次使用模型M(·，＋)構(gòu)成所謂多級綜合評判。有時(shí)為了充分考慮突出最優(yōu)、最劣因素對整個(gè)評估的影響，還要對用模型M(·，＋)評估的結(jié)果進(jìn)行適當(dāng)修正，這就需要進(jìn)行所謂二級指標(biāo)評判。下面以某地九所中學(xué)聯(lián)合舉行的高中數(shù)學(xué)測試(試題見附件三)的成績?yōu)槔?，分別闡述多級綜合評判和二級指標(biāo)評判在教學(xué)評估中的應(yīng)用。2．多級綜合評判應(yīng)用舉例＝(d31，d32，…，d39)分別表示第一、第二、第三級考試目標(biāo)構(gòu)造向量，其中dik表示第i級的第k個(gè)以其前一級為總體的權(quán)，背景知識為所測目標(biāo)的知識載體，規(guī)定f1，f2，…，f9為試題的背景與能力要素。在測驗(yàn)之前只要將d11，d12，…，d38，d39按權(quán)要求確定，就可利用客觀意義的A類分(A類分將在后文中定義)，A類分能在目標(biāo)確立下為分?jǐn)?shù)的比較提供客觀的依據(jù)。根據(jù)高中數(shù)學(xué)測試所企求評估的內(nèi)容和目的，并對構(gòu)成試題及其評分標(biāo)準(zhǔn)的分析，可以認(rèn)為本次測試是以考察T1目標(biāo)為主的測試，而且T1目標(biāo)下的D1、D2目標(biāo)要求相當(dāng)，但D1目標(biāo)側(cè)重f2，D2目標(biāo)明顯側(cè)重于f4；考察T2目標(biāo)時(shí)，主要是考察T2下的D3目標(biāo)(D4只占整卷的6分)，D3目標(biāo)又以考察f7為核心，f6和f5均服從于f7，對于T2下的D4目標(biāo)，結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱和整套試題分析，其側(cè)重點(diǎn)在f8。由此分析取定高中數(shù)學(xué)測試的目標(biāo)等級為：d11＝0.6，d12＝0.4，d21＝d22＝0.5，d23＝0.65，d24＝0.35，d31＝0.2，d32＝0.8，d33＝0.4，d34＝0.6，d35＝0.2。d36＝0.3，d37＝0.5，d38＝0.6，d39＝0.4。其次，在分級權(quán)重表確定后，可按以下步驟進(jìn)行多級評判。(1)確定試題的背景與能力要素將試題的各題按照解答所涉及到的背景與能力要素中足碼最大的所在類來確定背景知識所在的類。對于客觀試題由于不能細(xì)分各要素所占的分?jǐn)?shù)，此時(shí)對正確解答該題所必須的背景與能力要素均賦給滿分值；在陳述性試題中，由于各要素之間的銜接作用，有的知識或技能具有雙重身份，對于具有雙重乃至多重身份的知識或技能，按同一分值分別記入不同的要素中。例如在統(tǒng)計(jì)各題的f7時(shí)，把從該題第一個(gè)技能后的有關(guān)技能、知識所占的分?jǐn)?shù)全部歸入f7中。最后將各題的f7的分?jǐn)?shù)合在一起，即可得到試題背景與能力要素f7的滿分?jǐn)?shù)。按此統(tǒng)計(jì)高中數(shù)學(xué)測試背景與能力要素值得fi，這里，f1包括第1～3、11、12、14題，計(jì)18分；f2包括第2、3、14～17題，計(jì)18分；f3與f4的題相同，均包括第4～9、13、18、19、21、22題，根據(jù)選定的評分標(biāo)準(zhǔn)可統(tǒng)計(jì)出f3＝33分，f4＝32分；f5、f6、f7的題相同，均包括第23～26題，類似統(tǒng)計(jì)f3與f4可得f5＝12分，f3＝28分，f7＝17分；f8與f9包括的題也相同，均為第10、20題，統(tǒng)計(jì)得f8＝6分，f9＝6分。應(yīng)該指出的是，統(tǒng)計(jì)fi與所選定的評分標(biāo)準(zhǔn)有關(guān)，此處統(tǒng)計(jì)的fi都應(yīng)以給定的評分標(biāo)準(zhǔn)為依據(jù)。(2)統(tǒng)計(jì)被試按背景與能力要素的得分率統(tǒng)計(jì)時(shí)對客觀試題答對者，則對所涉及的要素均賦滿分；相反，則全賦零分。取考分C1為52，C2為82，C3為83的三名被試分別作為被試1、被試2、被試3，其背景與能力要素得分率如表5－8。(3)求綜合指標(biāo)數(shù)利用模糊綜合多級評判求綜合指標(biāo)數(shù)的過程可用矩陣運(yùn)算表述：D1x＝(d31d32)(f1xf2x)T，D2x＝(d33d34)(f3xf4x)T，D3x＝(d35d36d37)(f5xf6xf7x)T，D4x＝(d38d39)(f8xf9x)T，T1x＝(d21d22)(D1xD2x)T，T2x＝(d23d24)(D3xD4x)T，rx＝(d11d12)(T1xT2x)T，其中x為被試編號數(shù)，fix表示被試x在第fi要素的得分率，rx為被試x的多級綜合評判結(jié)果。通過計(jì)算，得r1＝0.6094，r2＝0.7934，r3＝0.8342。(4)結(jié)果分析對于已經(jīng)求出的r1、r2、r3，使用A類分?jǐn)?shù)(Ax＝100rx稱為考生x的A類分?jǐn)?shù))，則A1＝60.94，A2＝79.34，A3＝83.42。A1竟高出C1近9分，A2低于C2不到2分，但A3稍高于C3，按C類分?jǐn)?shù)認(rèn)為不及格的被試1，但按A類分?jǐn)?shù)可認(rèn)為及格，被試2的A2不如C2反映的好，被試3的A3比C3反映的好。造成這種現(xiàn)象的原因是對被試求C類分的方法造成的，這個(gè)方法對各相關(guān)內(nèi)容的重要程度的區(qū)別未能得到充分體現(xiàn)。在本例所給出的目標(biāo)系統(tǒng)中分析被試1，其d31，d32，d33，d34權(quán)所對應(yīng)的背景與能力要素得分率均超過0.6，而其他權(quán)的背景與能力要素得分率均很低，由于強(qiáng)調(diào)雙基，因而最終評分對被試1有利，同時(shí)也說明被試1基本達(dá)到本次考試的目標(biāo)要求；被試3的兩類分?jǐn)?shù)非常接近，可以認(rèn)為A3就是C3所反映的目標(biāo)水平；對于被試2，由于求C2時(shí)，f32，f42，f52，f62，f72等要素得分被過分強(qiáng)調(diào)，這與目標(biāo)要求不一致，故C2不能代替A2水平。由此可見，C類分高的其A類分不一定高。這也正說明A類分一般不能用C類分代替，因而要對被試進(jìn)行特定目標(biāo)下的評估，以采用A類分為宜。3．二級指標(biāo)評判應(yīng)用舉例仍以這次數(shù)學(xué)測試為例，我們將試題大致劃分為了解、理解、掌握和靈活運(yùn)用四個(gè)水平，并依次用E、F、G、H表示，E包括第1～3、11、12、14、15、17～19題，計(jì)30分；F包括4～10、13、16、20題，計(jì)30分；G包括第21～23題，計(jì)15分；H包括第24～26題，計(jì)25分。這里選取C類分為74、75、75、75、74的5名被試(分別記為1、2、3、4、5)作為被評學(xué)生，則U＝｛1，2，3，4，5｝，按E、F、G、H因素統(tǒng)計(jì)每個(gè)被試的C類分，并求出相應(yīng)各水平的得分率。對于被試1，經(jīng)統(tǒng)計(jì)E水平實(shí)得24分，F(xiàn)水平實(shí)得27分，G水平實(shí)得11分，H水平實(shí)得12分，相應(yīng)的得分率為0.8，0.9，0.73，和0.48，類似可求出其他四名被試在相應(yīng)各水平的得分率，列成表5－9。為了方便，這里就用各水平的得分率表示相應(yīng)被試屬各評估因素的隸屬度，從而對五名被試可構(gòu)造如下評估矩陣：rij表示第j名被試對第i評估因素的隸屬度(在第i項(xiàng)上得分率)。最劣因素評估，可以發(fā)現(xiàn)被選取的被試群體的成績很不理想，進(jìn)一步還選出的被試按從優(yōu)到劣排序?yàn)椋罕辉?，被試4，被試5，被試1，被試3，五名被試被分為五個(gè)等級。這正體現(xiàn)了模糊綜合評判的優(yōu)點(diǎn)，對于按C類分評估出現(xiàn)的不能區(qū)分或區(qū)分不當(dāng)，運(yùn)用模糊綜合評判可彌補(bǔ)這些不足。(4)求二級指標(biāo)進(jìn)行二級綜合評判為了充分考慮突出最優(yōu)、劣因素對考試成績的影響，使評估盡可能反映被試的實(shí)際情況，需要按新的評估指標(biāo)集｛最優(yōu)，最劣，綜合評判｝，再對被試進(jìn)行一次綜合評估，評估的關(guān)鍵是由有經(jīng)驗(yàn)的教師或?qū)＜宜M成小組確定三維因素模糊向量D＝(d1，d2，d3)，這里D為權(quán)向量。構(gòu)造二級評判矩陣這里取定D＝(0.1，0.05，0.85)。差變化較小，這是正常的。由D的構(gòu)造可以發(fā)現(xiàn)突出最優(yōu)因素和突出最劣因素對考試的影響都極小，對被試發(fā)揮真實(shí)水平影響不大。盡管如此，非常熟悉，而有的被試恰與前者相反，通過二級評判可以發(fā)現(xiàn)這些分?jǐn)?shù)都不能有效地揭示被試的真實(shí)學(xué)習(xí)水平狀態(tài)。二、模糊綜合評審模型及其應(yīng)用模糊綜合評審模型的數(shù)量指標(biāo)具有相對意義。它是對同一等級水平進(jìn)行再評估的有力工具。教學(xué)評估中可以利用這個(gè)模型，對同一水平的學(xué)生作更精確的評定。1．模糊綜合評審模型的數(shù)學(xué)表述度，n為項(xiàng)目總數(shù)，m為指標(biāo)總數(shù)，gi，bi分別為對于優(yōu)、劣指標(biāo)項(xiàng)目i的隸屬度，w＝(w1，w2，…，wm)為權(quán)向量，則稱為模糊綜合評審模型，記為模型Uj。模型Uj揭示了被評估項(xiàng)目j相對于優(yōu)的隸屬度。在以虛擬的優(yōu)作標(biāo)準(zhǔn)的前提下，可以通過區(qū)分?jǐn)?shù)量指標(biāo)Uj來區(qū)分各項(xiàng)目的優(yōu)劣。如果把評估對象稱為項(xiàng)目，測驗(yàn)內(nèi)容的構(gòu)成要素作為評估指標(biāo)，就可運(yùn)用這個(gè)模型。2．模型Uj在教學(xué)評估中的應(yīng)用舉例在教學(xué)評估中應(yīng)用模型Uj時(shí)，通常以被試的評價(jià)者作為試題，被試在各題的得分率作為對被試的評估，這樣可運(yùn)用模型Uj對同一水平分的學(xué)生進(jìn)行再評估。為了計(jì)算的方便，將高中數(shù)學(xué)測試試題劃分為六大題：第1大題由原第1～10題組成，第2大題由原第11～20題組成，第3大題由原第21，22兩題組成，第4大題由原第23題組成