第八章平面解析幾何第5節(jié)橢圓第一課時(shí)學(xué)習(xí)導(dǎo)航站核心知識(shí)庫(kù)：重難考點(diǎn)總結(jié)，梳理必背知識(shí)、歸納重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)1橢圓的定義★★★☆☆知識(shí)點(diǎn)2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)★★★☆☆（星級(jí)越高，重要程度越高）限時(shí)訓(xùn)練挑戰(zhàn)場(chǎng)：感知真題，檢驗(yàn)成果，考點(diǎn)追溯【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)1橢圓的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距.注：若集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a、c為常數(shù)，則有如下結(jié)論：(1)若a＞c，則集合P為橢圓；(2)若a＝c，則集合P為線(xiàn)段F1F2；(3)若a＜c，則集合P為空集.知識(shí)點(diǎn)2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)圖形性質(zhì)范圍－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸：坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)軸長(zhǎng)軸A1A2的長(zhǎng)為2a；短軸B1B2的長(zhǎng)為2b焦距|F1F2|＝2c離心率e＝eq\f(c,a)∈(0,1)a、b、c的關(guān)系c2＝a2－b2【名師點(diǎn)撥】1．a(chǎn)＋c與a－c分別為橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值和最小值；a與b分別為橢圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值和最小值．2．過(guò)橢圓的焦點(diǎn)且與長(zhǎng)軸垂直的弦|AB|＝eq\f(2b2,a)，稱(chēng)為通徑．3．若過(guò)焦點(diǎn)F1的弦為AB，則△ABF2的周長(zhǎng)為4a.4．e＝eq\r(1－\f(b2,a2)).離心率e越大，橢圓越扁；離心率e越小，橢圓越圓．5．橢圓的焦點(diǎn)在x軸上?標(biāo)準(zhǔn)方程中x2項(xiàng)的分母較大，橢圓的焦點(diǎn)在y軸上?標(biāo)準(zhǔn)方程中y2項(xiàng)的分母較大．6．AB為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中點(diǎn)M(x0，y0)，則(1)弦長(zhǎng)|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|；(2)直線(xiàn)AB的斜率kAB＝－eq\f(b2x0,a2y0).7．若M、N為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)長(zhǎng)軸端點(diǎn)，P是橢圓上不與M、N重合的點(diǎn)，則kPM·kPN＝－eq\f(b2,a2).【考向核心題型】1.過(guò)點(diǎn)A(2,0)且與圓x2＋y2＋4x－32＝0內(nèi)切的圓的圓心的軌跡方程為.2．已知F1、F2分別是橢圓5x2＋9y2＝45的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則|PF1|·|PF2|的最大值為9，若A(1,1)，則|PA|＋|PF1|的取值范圍為.3．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上的一點(diǎn)，且∠F1PF2＝60°.若△PF1F2的面積為3eq\r(3)，則b＝.[引申]本例2中，若將“A(1,1)”改為“A(2,2)”，則|PF1|－|PA|的最大值為，|PF1|＋|PA|的最大值為.【變式訓(xùn)練】(2024·江蘇淮安淮陰中學(xué)期中)已知F為橢圓C：eq\f(x2,4)＋y2＝1的右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，Q為圓M：x2＋(y－3)2＝1上一點(diǎn)，則|PQ|＋|PF|的最大值為(D)A．3 B．6C．4＋2eq\r(3) D．5＋2eq\r(3)考向二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程——師生共研1.短軸一個(gè)端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成一個(gè)正三角形，且焦點(diǎn)到同側(cè)頂點(diǎn)的距離為eq\r(3)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.2．經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(－2eq\r(3)，1)，Q(eq\r(3)，－2)兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.3．與橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1有相同離心率，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，－eq\r(3))的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.4．(多選題)(2024·重慶調(diào)研)已知橢圓C：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，左、右頂點(diǎn)分別是A1，A2，點(diǎn)P是橢圓C上異于A1，A2的任意一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是()A．|PF1|＋|PF2|＝4B．若△F1PF2的面積為2eq\r(7)，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為±eq\f(4,3)eq\r(5)C．存在點(diǎn)P滿(mǎn)足∠F1PF2＝90°D．直線(xiàn)PA1與直線(xiàn)PA2的斜率之積為－eq\f(9,16)[引申]若將本例3中“離心率”改為“焦點(diǎn)”，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【名師點(diǎn)撥】1．求橢圓標(biāo)準(zhǔn)的方程多采用定義法和待定系數(shù)法，利用橢圓的定義定形狀時(shí)，一定要注意常數(shù)2a>|F1F2|這一條件．2．用待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的一般步驟：(1)作判斷：根據(jù)條件判斷焦點(diǎn)的位置；(2)設(shè)方程：根據(jù)焦點(diǎn)位置，設(shè)相應(yīng)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程．焦點(diǎn)不確定時(shí)，要注意分類(lèi)討論，或設(shè)方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠0)；(3)找關(guān)系：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于a，b，c或m，n的方程組；(4)求解，得方程．可概括為先“定位”，再“定量”．3．橢圓系方程的應(yīng)用(1)與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)有相同的離心率橢圓系方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝λ(λ>0)．(2)與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)共焦點(diǎn)的橢圓系方程為eq\f(x2,a2＋k)＋eq\f(y2,b2＋k)＝1(a>b>0，k＋b2>0)，恰當(dāng)運(yùn)用橢圓系方程，可使運(yùn)算簡(jiǎn)便．【變式訓(xùn)練】1．(多選題)若方程eq\f(x2,3－t)＋eq\f(y2,t－1)＝1所表示的曲線(xiàn)為C，則下面四個(gè)說(shuō)法中正確的是()A．若1<t<3，則C為橢圓B．若C為橢圓，且焦點(diǎn)在y軸上，則2<t<3C．曲線(xiàn)C可能是圓D．若C為雙曲線(xiàn)，則t<12．(2022·全國(guó)甲卷)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(1,3)，A1，A2分別為C的左、右頂點(diǎn)，B為C的上頂點(diǎn)．若eq\o(BA1,\s\up6(→))·eq\o(BA2,\s\up6(→))＝－1，則C的方程為()A.eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,16)＝1 B．eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1C.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1 D．eq\f(x2,2)＋y2＝1考向三橢圓的幾何性質(zhì)——多維探究角度1橢圓焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、焦距、長(zhǎng)軸、短軸1.(2025·安徽蚌埠質(zhì)檢)若橢圓C：eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,2)＝1的離心率為eq\f(\r(6),3)，則橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為()A．6 B．eq\f(2\r(6),3)或2eq\r(6)C．2eq\r(6) D．2eq\r(2)或2eq\r(6)角度2求橢圓的離心率1．(2024·江西名校教研聯(lián)盟開(kāi)學(xué)考)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的焦距為2，且ab＝eq\r(6)，則C的離心率為()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(3),3)2．(2025·江蘇南通如皋中學(xué)測(cè)試)F1、F2分別是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)，過(guò)F2作直線(xiàn)交橢圓于A、B兩點(diǎn)，已知AF1⊥BF1，∠ABF1＝30°，則橢圓的離心率為()A．eq\f(\r(6)－\r(2),2) B．eq\f(\r(6)－\r(3),2)C．eq\r(6)－eq\r(2) D．eq\r(6)－eq\r(3)3．(2025·山西大同調(diào)研)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)點(diǎn)P(3c,0)作直線(xiàn)l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，若eq\o(PM,\s\up6(→))＝2eq\o(NM,\s\up6(→))，|eq\o(F2M,\s\up6(→))|＝4|eq\o(F2N,\s\up6(→))|，則橢圓C的離心率為_(kāi)_______.角度3求橢圓離心率的取值范圍1．(2024·河南許昌中學(xué)定位考試)已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)．若橢圓上存在一點(diǎn)P使eq\f(a,sin∠PF1F2)＝eq\f(c,sin∠PF2F1)，則該橢圓的離心率的取值范圍為_(kāi)___________.2．(2025·山西部分學(xué)校月考)設(shè)F1、F2分別是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)，若橢圓C上存在點(diǎn)P，使線(xiàn)段PF1的垂直平分線(xiàn)過(guò)點(diǎn)F2，則橢圓離心率的取值范圍是()A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1)) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))【變式訓(xùn)練】1．(角度1)橢圓C的焦點(diǎn)為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，點(diǎn)P在C上，|F2P|＝2，∠F1F2P＝eq\f(2π,3)，則C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為()A．2 B．2eq\r(3)C．2＋eq\r(3) D．2＋2eq\r(3)2．(角度2)(2025·廣東三校模擬)已知點(diǎn)F，A分別是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)、右頂點(diǎn)，B(0，b)滿(mǎn)足eq\o(FB,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，則橢圓的離心率等于()A．eq\f(\r(3)＋1,2) B．eq\f(\r(5)－1,2)C．eq\f(\r(3)－1,2) D．eq\f(\r(5)＋1,2)3．(角度3)(2024·云南昆明一中雙基檢測(cè))已知點(diǎn)P(x0，y0)是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，若eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))≤0，則橢圓C的離心率的取值范圍是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))【知識(shí)拓展】與橢圓有關(guān)的最值問(wèn)題1．(2025·浙江數(shù)海漫游模擬)已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)，過(guò)F2的一條直線(xiàn)與C交于A，B兩點(diǎn)，且AF1⊥AB，|BF2|＝1，則橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值是()A．4eq\r(2) B．3＋2eq\r(2)C．6 D．4＋2eq\r(2)2．(2024·山東煙臺(tái)、德州診斷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(－1,0)，B(2,3)，向量eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))，且m－n－4＝0.若P為橢圓x2＋eq\f(y2,7)＝1上一點(diǎn)，則|eq\o(PC,\s\up6(→))|的最小值為()A．eq\f(4,5)eq\r(10) B．eq\r(10)C．eq\f(8,5)eq\r(10) D．2eq\r(10)【變式訓(xùn)練】(2024·江蘇南通海安中學(xué)月考)P為橢圓C：eq\f(x2,4)＋y2＝1上一點(diǎn)，A(1,0)，則|PA|最小值為()A．1 B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(\r(6),3)【限時(shí)訓(xùn)練】（限時(shí)：60分鐘）【基礎(chǔ)必刷題】一、單選題1．(2024·四川成都七中開(kāi)學(xué)考)橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,4)＝1的焦距是2，則m的值為()A．5 B．3C．5或3 D．202．(2024·福建百校聯(lián)盟聯(lián)考)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F，短軸長(zhǎng)為2eq\r(3)，點(diǎn)M在橢圓上，若|MF|的最大值是最小值的3倍，則橢圓的焦距為()A．3 B．4C．1 D．23．(2025·遼寧葫蘆島模擬)已知橢圓G：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，A，B為G的短軸端點(diǎn)，P為G上異于A，B的一點(diǎn)，則直線(xiàn)AP，BP的斜率之積為()A．eq\f(3,4) B．eq\f(4,3)C．－eq\f(3,4) D．－eq\f(4,3)4．(2024·福建泉州二模)若橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,3)＝1(a>0)的離心率為eq\f(\r(2),2)，則該橢圓的焦距為()A．eq\r(3) B．eq\r(6)C．2eq\r(6)或eq\r(3) D．2eq\r(3)或eq\r(6)5．(2025·安徽重點(diǎn)高中聯(lián)盟校摸底)已知橢圓C：eq\f(x2,λ)＋eq\f(y2,4)＝1(λ>0且λ≠4)，則“C的離心率e＝eq\f(\r(2),2)，是λ＝8”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件6．(2023·新課標(biāo)Ⅰ卷)設(shè)橢圓C1：eq\f(x2,a2)＋y2＝1(a>1)，C2：eq\f(x2,4)＋y2＝1的離心率分別為e1，e2.若e2＝eq\r(3)e1，則a＝()A．eq\f(2\r(3),3) B．eq\r(2)C．eq\r(3) D．eq\r(6)7．(2025·河南平許濟(jì)絡(luò)質(zhì)檢)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(1,2)，A1，A2分別為C的左、右頂點(diǎn)，B為C的上頂點(diǎn)．若eq\o(BA1,\s\up6(→))·eq\o(BA2,\s\up6(→))＝－2，則橢圓C的方程為()A．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1 B．eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1C．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 D．eq\f(x2,2)＋eq\f(2y2,3)＝18．(2025·廣西示范性高中質(zhì)檢)已知橢圓M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在M上，Q為PF2的中點(diǎn)，且F1Q⊥PF2，|F1Q|＝b，則M的離心率為()A．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(\r(2),2)9．(2024·河南焦作期中)已知橢圓C：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)E(0,2)，點(diǎn)P是C上的動(dòng)點(diǎn)，則|PF|＋|PE|的最小值為()A．5 B．10－2eq\r(5)C．10 D．10＋2eq\r(5)二、多選題10．(2024·山東臨沂聯(lián)考)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在C上，且|PF1|的最大值為3，最小值為1，則()A．橢圓C的離心率為eq\f(1,2)B．△PF2F1的周長(zhǎng)為4C．若∠F2PF1＝60°，則△PF2F1的面積為3D．若|PF1||PF2|＝4，則∠F2PF1＝60°11．(2025·河南許昌高級(jí)中學(xué)測(cè)試)已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓C上一點(diǎn)，則()A．當(dāng)a＝eq\r(2)b時(shí)，滿(mǎn)足∠F1PF2＝90°的點(diǎn)P有2個(gè)B．△PF1F2的周長(zhǎng)一定小于4aC．△PF1F2的面積可以大于eq\f(a2,2)D．若|PF1|≤2b恒成立，則C的離心率的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,5)))三、填空題12．(2025·湖南長(zhǎng)沙長(zhǎng)郡中學(xué)月考)點(diǎn)M在橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上，F(xiàn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，N為MF的中點(diǎn)，|ON|＝3，則|MF|＝________.13．(2025·河北唐山摸底)已知橢圓C的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，若△ABF為等腰三角形，則C的離心率為_(kāi)_______.14．(2025·廣東調(diào)研)已知點(diǎn)P在橢圓C：eq\f(x2,10)＋y2＝1上運(yùn)動(dòng)，D(0,6)，動(dòng)點(diǎn)Q滿(mǎn)足|DQ|＝eq\r(2)，則|PQ|的最大值為_(kāi)_______.15．(2024·云南曲靖一中階段測(cè)試)曲線(xiàn)eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1上點(diǎn)到直線(xiàn)x－2y＋8＝0距離的最小值為_(kāi)_______.【鞏固必刷題】1．(2025·湖南長(zhǎng)沙雅禮中學(xué)開(kāi)學(xué)考)過(guò)橢圓C：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1的中心作直線(xiàn)l交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，F(xiàn)是C的一個(gè)焦點(diǎn)，則△PFQ周長(zhǎng)的最小值為()A．16 B．14C．12 D．102．(2024·江西五市九校聯(lián)考)若點(diǎn)P既在直線(xiàn)l：x－y＋2＝0上，又在橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上，C的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，|F1F2|＝2，且∠F1PF2的平分線(xiàn)與l垂直，則C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為()A．eq\f(\