試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)黑龍江省佳木斯市第一中學(xué)2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期第四次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．已知集合，且，則（

）A． B． C． D．2．已知a，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知數(shù)列為等比數(shù)列，，若的前3項(xiàng)和為7，則數(shù)列的前3項(xiàng)和為（）A．7 B． C． D．4．荀子《勸學(xué)》中說(shuō)：“不積跬步，無(wú)以至千里；不積小流，無(wú)以成江海.”所以說(shuō)學(xué)習(xí)是日積月累的過(guò)程，每天進(jìn)步一點(diǎn)點(diǎn)，前進(jìn)不止一小點(diǎn).我們可以把看作是每天的“進(jìn)步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；這樣，一年后的“進(jìn)步值”是“退步值”的倍.那么當(dāng)“進(jìn)步”的值是“退步”的值的2倍，大約經(jīng)過(guò)（

）天.（參考數(shù)據(jù)：，，A．9 B．15 C．25 D．355．平行四邊形中，，，，分別是的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．6．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．7．設(shè)的面積為，角所對(duì)的邊分別為，且，若，則此三角形的形狀為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形8．已知函數(shù).若函數(shù)有8個(gè)不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題9．設(shè)向量，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．若與的夾角為銳角，則B．的最小值為C．與共線(xiàn)的單位向量只有一個(gè)，為D．時(shí)，在上的投影向量為10．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法不正確的是（

）A．若的最小正周期是，則B．當(dāng)時(shí)，圖象的對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)都可以表示為C．當(dāng)時(shí)，D．若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則11．對(duì)于數(shù)列，若存在正數(shù)M，使得對(duì)一切正整數(shù)n，都有，則稱(chēng)數(shù)列是有界的.若這樣的正數(shù)M不存在，則稱(chēng)數(shù)列是無(wú)界的.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則數(shù)列是無(wú)界的 B．若，則數(shù)列是有界的C．若，則數(shù)列是有界的 D．若，則數(shù)列是有界的三、填空題12．已知，，與的夾角為，則=．13．已知定義在上的奇函數(shù)滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，，則．14．如圖，已知，，為邊上的兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足，，則當(dāng)取最大值時(shí)，的面積等于.四、解答題15．如圖，在平面四邊形中，，，，，．(1)求邊的長(zhǎng)；(2)求的面積．16．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿(mǎn)足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.17．已知向量，函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期及對(duì)稱(chēng)中心；(2)在銳角中，若且，求周長(zhǎng)的取值范圍18．在數(shù)列中，，，且(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)恒成立，求的取值范圍；(3)證明：.19．已知函數(shù).(1)判斷函數(shù)在區(qū)間上極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)并證明；(2)將函數(shù)在區(qū)間上的極值點(diǎn)從小到大排列，形成數(shù)列，數(shù)列滿(mǎn)足：，證明：①；②答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)《黑龍江省佳木斯市第一中學(xué)2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期第四次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題》參考答案題號(hào)12345678910答案CCDDACDDBCDBCD題號(hào)11答案BC1．C【分析】由題意，根據(jù)交集的運(yùn)算與定義可得，結(jié)合復(fù)數(shù)的除法、乘法運(yùn)算即可求解.【詳解】由題意知，，得.故選：C2．C【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)在單調(diào)遞增檢驗(yàn)充分必要性即可求解.【詳解】令，在上都為增函數(shù)，在單調(diào)遞增，又a，，所以，即“”是“”的充要條件，故選：C3．D【分析】設(shè)數(shù)列的公比為，由已知可得，進(jìn)而計(jì)算，得解.【詳解】設(shè)數(shù)列的公比為，則，即，所以.故選：D.4．D【分析】設(shè)經(jīng)過(guò)天“進(jìn)步”的值是“退步”的值的2倍，根據(jù)題設(shè)可得，求解出，即可求解.【詳解】設(shè)經(jīng)過(guò)天“進(jìn)步”的值是“退步”的值的2倍，則，所以，故選：D.5．A【分析】根據(jù)向量的線(xiàn)性運(yùn)算用表示，再利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求解.【詳解】由題，，，.故選：A.

6．C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間對(duì)應(yīng)導(dǎo)數(shù)大于的區(qū)間，單調(diào)遞減區(qū)間對(duì)應(yīng)導(dǎo)數(shù)小于的區(qū)間.【詳解】對(duì)于函數(shù)，求導(dǎo)得：，區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，也就是在內(nèi)有解，整理得在內(nèi)有解，令，其對(duì)稱(chēng)軸為，在區(qū)間內(nèi)，計(jì)算端點(diǎn)值：，所以在上的最大值為，因?yàn)樵趦?nèi)有解，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.7．D【分析】根據(jù)計(jì)算得出角，因?yàn)槔谜叶ɡ砗陀嘞叶ɡ淼玫?，從而判斷三角形形?【詳解】因?yàn)?，所以，則，因?yàn)?，所以，又，所以，由，所以，，所以為等腰直角三角?故選：D.8．D【分析】畫(huà)出函數(shù)的圖象并利用函數(shù)與方程的思想結(jié)合圖象可知方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且，再由二次函數(shù)根的分布解不等式可得a的取值范圍.【詳解】根據(jù)題意對(duì)于函數(shù)可得；當(dāng)時(shí)，令，可得，所以時(shí)，，可得在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減；因此在處取得極小值，也是最小值；畫(huà)出函數(shù)的圖象如下圖所示：令，可得，若函數(shù)有8個(gè)不同的零點(diǎn)，可知方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，結(jié)合圖象可知，所以需滿(mǎn)足，解得故選：D【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在求解復(fù)合函數(shù)根的個(gè)數(shù)問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常利用函數(shù)與方程的思想畫(huà)出函數(shù)圖象并根據(jù)圖象之間的交點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)限定參數(shù)所滿(mǎn)足的不等關(guān)系，解不等式即可得出結(jié)論.9．BCD【分析】結(jié)合向量的夾角、模長(zhǎng)、共線(xiàn)單位向量、投影向量等知識(shí)點(diǎn)，逐一分析每個(gè)選項(xiàng).【詳解】選項(xiàng)A，若與的夾角為銳角，則它們的點(diǎn)積大于0，點(diǎn)積，當(dāng)夾角為銳角時(shí)，，即，因此A正確；選項(xiàng)B，向量的模長(zhǎng)，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最小值，因此B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，與共線(xiàn)的單位向量包括同向和反向兩種情況，因此C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，，計(jì)算在上的投影向量為，點(diǎn)積，，因此投影向量為，而非，因此D錯(cuò)誤.故選：BCD.10．BCD【分析】對(duì)于A.根據(jù)正切函數(shù)最小正周期公式計(jì)算即可；對(duì)于B.整體代入正切函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心公式計(jì)算即可；對(duì)于C.寫(xiě)出函數(shù)解析式代入計(jì)算即可；對(duì)于D.整體代入正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出關(guān)于的單增區(qū)間，再根據(jù)題意列出不等式計(jì)算出取值范圍.【詳解】當(dāng)?shù)淖钚≌芷谑菚r(shí)，，則，故A選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，，所以令，，解得，，所以函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)為，故B選項(xiàng)不正確；當(dāng)時(shí)，，，故C選項(xiàng)不正確；令，，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得，，另一方面，，所以，又因?yàn)?，所以由，得，由，得，所以的取值范圍是，故D選項(xiàng)不正確．故選:BCD11．BC【分析】利用有界數(shù)列與無(wú)界數(shù)列的定義，結(jié)合放縮法與等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可得解.【詳解】對(duì)于A，恒成立，存在正數(shù)，使得恒成立，數(shù)列是有界的，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，，，所以存在正數(shù)，使得恒成立，則數(shù)列是有界的，B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以?dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；，存在正數(shù)，使得恒成立，數(shù)列是有界的，C正確；對(duì)于D，，；在上單調(diào)遞增，，不存在正數(shù)，使得恒成立，數(shù)列是無(wú)界的，D錯(cuò)誤.故選：BC.12．【分析】先根據(jù)已知條件計(jì)算，再計(jì)算，進(jìn)而得結(jié)果.【詳解】由，，與的夾角為，則，所以.故答案為：.13．【分析】根據(jù)，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由可得，又為奇函數(shù)，故，故答案為：14．/【分析】由題設(shè)足，考慮三角形的面積之比，將其化簡(jiǎn)得，借助于余弦定理和基本不等式求得的最大值和此時(shí)的三角形邊長(zhǎng)，由面積公式即可求得.【詳解】如圖，不妨設(shè),分別記的面積為,則①②由①，②兩式左右分別相乘，可得：,故得：.設(shè)，在中，由余弦定理，，因，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，因，故，取得最大值，此時(shí)的面積等于.故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)條件等式的轉(zhuǎn)化，本題中，注意到有角的相等和邊長(zhǎng)乘積的比，結(jié)合圖形容易看出幾個(gè)等高的三角形，故考慮從面積的比入手探究，即得關(guān)鍵性結(jié)論，之后易于想到余弦定理和基本不等式求出邊長(zhǎng)和角即得.15．(1)(2)【分析】（1）在中利用正弦定理可得解；（2）在中，先由余弦定理得，進(jìn)而得，最后利用面積公式求解即可.【詳解】（1）在中，，由正弦定理得．（2）在中，由余弦定理得．∴．∴．16．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的遞推公式和，即可求出結(jié)果；（2）由（1）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)錯(cuò)位相減法即可求出數(shù)列的前n項(xiàng)和為.【詳解】（1）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，解得.當(dāng)時(shí)，，整理得，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以.（2）由（1）得，，所以.所以，，兩式相減，得，所以.17．(1)最小正周期為，對(duì)稱(chēng)中心為(2)【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算以及三角恒等變換化簡(jiǎn)得的表達(dá)式，再利用三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可求得結(jié)果；（2）由結(jié)合（1）可求得，又為銳角三角形，可得，由此利用正弦定理，三角恒等變換可求得的范圍，從而得解.【詳解】（1）因?yàn)椋瑒t，所以最小正周期為，由，解得，所以的對(duì)稱(chēng)中心為.（2）由（1）及，即，又，所以，解得，又為銳角三角形，即，即，解，，又，，，所以周長(zhǎng)的取值范圍為.18．(1)數(shù)列是首項(xiàng)為2、公差為1的等差數(shù)列，證明見(jiàn)詳解.(2)，證明見(jiàn)詳解.(3)不等式成立，證明見(jiàn)詳解.【分析】（1）根據(jù)題目條件，建立和的關(guān)系，判斷是否為常數(shù).（2）利用，結(jié)合第一問(wèn)的結(jié)果，求出的表達(dá)式從而化簡(jiǎn)，根據(jù)，求出數(shù)列的前項(xiàng)和，將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，從而求出的最小值.（3）利用進(jìn)行放縮，對(duì)放縮后的不等式進(jìn)行求和得到：，判斷求和后的不等式是否成立，從而得出結(jié)論.【詳解】（1）已知，兩邊平方得：，利用三角恒等式，代入得：，解此方程得：，取倒數(shù)得：，因此，是公差為1，首項(xiàng)為的等差數(shù)列.（2）由（1）得，又，所以，，，，則，單調(diào)遞增，故恒成立，可得.（3）由（1）得，左邊和式為：，放縮通項(xiàng)：需證，令，則不等式化為，構(gòu)造，求導(dǎo)得：，令，遞增，，不等式成立，求和：.19．(1)有兩個(gè)極值點(diǎn)，證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求函數(shù)在給定區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)，以分子整式構(gòu)造函數(shù)，再次求導(dǎo)，研究該導(dǎo)數(shù)在給定區(qū)間上與零的大小關(guān)系，以判斷構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性和變號(hào)零點(diǎn)的性質(zhì)，根據(jù)極值的定義，可得答案；（2）①根據(jù)（1）可得所在區(qū)間，根據(jù)極值點(diǎn)的必要條件，進(jìn)一步縮小其所在區(qū)間，根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，將變?yōu)?，使其在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，可得與2大小關(guān)系，可得答案；②由①可得，進(jìn)而得到當(dāng)為偶數(shù)或奇數(shù)時(shí)，和與零大小關(guān)系，再根據(jù)變形即可證明.【詳解】（1）因?yàn)?，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，得，在上無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，且，在上有唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，，在上有唯