第02講統(tǒng)計與成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析目錄01TOC\o"13"\h\u考情解碼?命題預(yù)警 2TOC\o"13"\h\u02體系構(gòu)建·思維可視 203核心突破·靶向攻堅 3知能解碼 3知識點(diǎn)1隨機(jī)抽樣 3知識點(diǎn)2頻率分布直方圖 4知識點(diǎn)3總體百分位數(shù)的估計 5知識點(diǎn)4總體集中趨勢的估計 5知識點(diǎn)5總體離散程度的估計 6知識點(diǎn)6成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性及線性回歸直線方程 8知識點(diǎn)7列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn) 10題型破譯 11題型1簡單隨機(jī)抽樣 11題型2分層隨機(jī)抽樣 13題型3頻率分布直方圖 13題型4總體百分位數(shù)的估計 18題型5總體集中趨勢的估計 19題型6總體離散程度的估計 21題型7成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性 29題型8一元線性回歸模型及其應(yīng)用 31題型9列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn) 3504課本典例·高考素材 38考情分析：核心考查抽樣方法、用樣本估計總體（頻率分布直方圖、百分位數(shù)、均值與方差），以及成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析（相關(guān)系數(shù)、一元線性回歸模型）。試題緊密聯(lián)系社會生活情境，強(qiáng)調(diào)對統(tǒng)計思想的理解與數(shù)據(jù)的直觀分析，而非復(fù)雜計算。易錯點(diǎn)在于統(tǒng)計概念的實(shí)際含義辨析、回歸方程中系數(shù)的實(shí)際意義解釋，以及根據(jù)回歸方程進(jìn)行預(yù)測的規(guī)范性表述。復(fù)習(xí)目標(biāo)：1.理解簡單隨機(jī)抽樣、分層隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)與適用場景，能根據(jù)實(shí)際情境選擇合適的抽樣方法。2.掌握用樣本估計總體的方法，會頻率分布直方圖中提取信息（眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差），理解百分位數(shù)的統(tǒng)計含義并會計算。3.理解成對數(shù)據(jù)的概念，會繪制散點(diǎn)圖，并能根據(jù)散點(diǎn)圖判斷變量間的相關(guān)關(guān)系。理解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計含義，掌握其計算公式，了解其性質(zhì)。4.建立一元線性回歸模型，理解最小二乘法的思想，會求經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并能用其進(jìn)行預(yù)測。5.理解2×2列聯(lián)表的意義，了解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想與方法，并能解決簡單的實(shí)際問題。能對統(tǒng)計結(jié)果進(jìn)行合理解釋，并能用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表述。知識點(diǎn)1隨機(jī)抽樣1．總體、個體、樣本與樣本容量考察問題涉及的對象全體是總體，總體中每個對象是個體，抽取的部分對象組成總體的一個樣本，一個樣本中包含的個體數(shù)目是樣本容量．2．簡單隨機(jī)抽樣抽簽法和隨機(jī)數(shù)法是比較常用的兩種方法．3．分層隨機(jī)抽樣一般地，按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體，每個個體屬于且僅屬于一個子總體，在每個子總體中獨(dú)立地進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機(jī)抽樣，每一個子總體稱為層．自主檢測某校高一?高二?高三學(xué)生共1260人，為了解學(xué)生新學(xué)期適應(yīng)情況，現(xiàn)用分層抽樣的方法進(jìn)行調(diào)查，若分別從三個年級中抽取的人數(shù)之比為1:2:3，則該校高三的學(xué)生人數(shù)為.【答案】630【詳解】三個年級中抽取的人數(shù)比和三個年級學(xué)生的人數(shù)比一樣，所以高三的學(xué)生人數(shù)為31+2+3故答案為：630知識點(diǎn)2頻率分布直方圖畫頻率分布直方圖的步驟（1）求極差：極差為一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差．（2）決定組距與組數(shù)：當(dāng)樣本容量不超過100時，常分成5～12組，為了方便起見，一般取等長組距，并且組距應(yīng)力求“取整”．（3）將數(shù)據(jù)分組．（4）列頻率分布表：一般分四列：分組、頻數(shù)累計、頻數(shù)、頻率．其中頻數(shù)合計應(yīng)是樣本容量，頻率合計是1.（5）畫頻率分布直方圖：橫軸表示分組，縱軸表示頻率組距.小長方形的面積＝組距×頻率組距＝頻率自主檢測1某校從參加語言測試的學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名，記錄了他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成6組：40,50，50,60，60,70，70,80，80,90，90,100，并整理得到如下頻率分布直方圖.若樣本中分?jǐn)?shù)低于60分的有15人，則圖中數(shù)據(jù)a=.【答案】0.01【詳解】樣本中分?jǐn)?shù)低于60分的有15人，屬于區(qū)間40,50，50,60，由于學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名，因此分?jǐn)?shù)在40,50，50,60的頻數(shù)為15，因此這兩個區(qū)間內(nèi)的頻率和為15100設(shè)區(qū)間40,50的頻率為x，則x+10a=0.15x+10a+0.25+0.3+0.2+10a=1，解得a=0.01故答案為：0.01.自主檢測2對學(xué)校高三年級某班50名學(xué)生的高校招生體檢表中視力情況進(jìn)行統(tǒng)計，其結(jié)果的頻率分布直方圖如圖．若高校A專業(yè)對視力要求不低于0.9，則該班學(xué)生中有人能報考該專業(yè)．【答案】20【詳解】由頻率分布直方圖知：視力在0.9以上的頻率為1+0.75+0.25×0.2=0.4所以該班學(xué)生中能報專業(yè)的最多人數(shù)為50×0.4=20．故答案為：20.知識點(diǎn)3總體百分位數(shù)的估計中位數(shù)與百分位數(shù)：按照從小到大排列后的數(shù)據(jù)：x1,x2,???,x2n+1的中位數(shù)是xn+1；x1,x2,???,自主檢測若一組數(shù)據(jù)1，2，4，2，5，3，7，m，3的唯一眾數(shù)是2，則這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為.【答案】3【詳解】因?yàn)槲ㄒ槐姅?shù)為2，故m=2，9個數(shù)由小到大排列為：1,2,2,2,3,3,4,5,7，而9×60%=5.4，故這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為第6個數(shù)即故答案為：3.知識點(diǎn)4總體集中趨勢的估計1．平均數(shù)①定義：如果給定的一組數(shù)是x1,x2,?,xn這一公式在數(shù)學(xué)中常簡記為x=②性質(zhì)：一般地，利用平均數(shù)的計算公式可知，如果x1,x2,?,xn的平均數(shù)為x，且a,b為常數(shù)，則2．總體均值和樣本均值（1）總體均值：一般地，總體中有N個個體，它們的變量值分別為Y1，Y2，…，YN，則稱Y=Y1+Y（2）總體均值加權(quán)平均數(shù)的形式：如果總體的N個變量值中，不同的值共有k個k≤N個，不妨記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi；出現(xiàn)的頻數(shù)fi(i=1,2,?,k)，則總體均值還可以寫成加權(quán)平均數(shù)的形式了（3）如果從總體中抽取一個容量為n的樣本，它們的變量值分別為y1,y2,?,yn，則稱y=自主檢測1若一組樣本數(shù)據(jù)x1,x2,?,x10【答案】14【詳解】由于樣本數(shù)據(jù)x1,x2x1+4,2則2x故數(shù)據(jù)x1,2x1+4,故答案為：14自主檢測2將一個總體分為A，B，C三層，其個體數(shù)之比為5:3:2.若A，B，C三層的樣本的平均數(shù)分別為20，30，40，則總體的平均數(shù)為.【答案】27【詳解】由題意可知樣本的平均數(shù)為x=20×所以總體的平均數(shù)為27.故答案為：27.知識點(diǎn)5總體離散程度的估計1．極差?方差與標(biāo)準(zhǔn)差①極差：一組數(shù)的極差指的是這組數(shù)的最大值減去最小值所得的差，描述了這組數(shù)的離散程度②方差定義：如果x1,x2,?,xn的平均數(shù)為x，則方差可用求和符號表示為性質(zhì)：如果a,b為常數(shù)，則ax1+b,ax2+b,?，a③標(biāo)準(zhǔn)差定義：方差的算術(shù)平方根稱為標(biāo)準(zhǔn)差.一般用s表示，即樣本數(shù)據(jù)x1,x性質(zhì)：如果a,b為常數(shù)，則ax1+b,ax22．樣本方差與樣本標(biāo)準(zhǔn)差若數(shù)據(jù)x1、x2、…、xn的平均數(shù)為x，則樣本方差s2=樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=x1?3．分層隨機(jī)抽樣的方差設(shè)樣本容量為n，平均數(shù)為x，其中兩層的個體數(shù)量分別為n1,n2，兩層的平均數(shù)分別為x1,x2，方差分別為s自主檢測1．一組數(shù)據(jù)5，5，7，a，10的平均數(shù)為7，則其方差為.【答案】18【詳解】由題意可得5×7=5+5+7+a+10，則a=8，所以方差為15故答案為：18自主檢測2已知數(shù)據(jù)x1,x2【答案】12【詳解】因?yàn)閿?shù)據(jù)x1所以數(shù)據(jù)2x1?1,2故答案為：12自主檢測3已知某7個數(shù)的平均數(shù)為3，方差為s2，現(xiàn)又加入一個新數(shù)據(jù)3，此時這8個數(shù)的平均數(shù)為x?，方差為72．則【答案】4【詳解】解：設(shè)七個數(shù)分別為xii=1,2,3,4,5,6,7，所以，當(dāng)加入一個新數(shù)據(jù)3時，此時這8個數(shù)的平均數(shù)為x=所以，這8個數(shù)的方差S2=1所以，某七個數(shù)據(jù)的方差s2故答案為：4知識點(diǎn)6成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性及線性回歸直線方程1．如果從整體上看，當(dāng)一個變量的值增加時，另一個變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢，我們就稱這兩個變量正相關(guān)；如果當(dāng)一個變量的值增加時，另一個變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減少的趨勢，則稱這兩個變量負(fù)相關(guān)；2．相關(guān)關(guān)系的分類（1）正相關(guān)：從散點(diǎn)圖上看，點(diǎn)分布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)．（2）負(fù)相關(guān)：從散點(diǎn)圖上看，點(diǎn)分布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)．3．r=i=1用它來衡量兩個變量間的線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱．（1）當(dāng)r>0時，表明兩個變量正相關(guān)．（2）當(dāng)r<0時，表明兩個變量負(fù)相關(guān)．（3）r的絕對值越接近于1，表明兩個變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；（4）r的絕對值越接近于0，表明兩個變量的線性相關(guān)性越弱．通常當(dāng)r>0.754．一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計（1）經(jīng)驗(yàn)回歸方程：對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的成對樣本數(shù)據(jù)x1b=i=1n將y=bx+a稱為Y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，也稱經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗(yàn)回歸直線．這種求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的b，a叫做b，a的（2）觀測值：對于響應(yīng)變量Y，通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為觀測值．（3）預(yù)測值：通過經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的y稱為預(yù)測值．（4）殘差：觀測值減去預(yù)測值稱為殘差．（5）R2的計算公式為R2=1?i=1nyi?yi2i=1nyi?y2．在R2表達(dá)式中，i=1nyi?y2自主檢測隨著季節(jié)的變化，某種生物的繁殖量也發(fā)生變化，某研究員對所在地區(qū)該生物2025年1月至5月每月的繁殖量進(jìn)行統(tǒng)計分析（取近似值），結(jié)果如下表：月份x12345繁殖量y/千個1.523.5815(1)據(jù)上表數(shù)據(jù)，計算y與x的相關(guān)系數(shù)r（精確到0.01），并說明y與x的線性相關(guān)性的強(qiáng)弱；（若r>0.75，則認(rèn)為y與x線性相關(guān)性很強(qiáng)，否則認(rèn)為y與x(2)利用最小二乘法建立y關(guān)于x的線性回歸方程，并計算5月份該生物繁殖量的殘差.參考數(shù)據(jù)：i=15xi?x參考公式：對于一組數(shù)據(jù)xi,yii=1,2,3,?,n，其相關(guān)系數(shù)r=i=1n【答案】(1)r≈0.92，線性相關(guān)性很強(qiáng)(2)y=3.3x?3.9，【詳解】（1）由已知得，x=1+2+3+4+55i=15xii=15故r=i=1所以y與x的線性相關(guān)性很強(qiáng).（2）因?yàn)閤=3，y=6，i=15b=所以a=所以y關(guān)于x的線性回歸方程為y=3.3x?3.9，當(dāng)x=5時，y=3.3×5?3.9=12.6所以5月份該生物繁殖量的殘差為15?12.6=2.4.知識點(diǎn)7列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)1．2×2列聯(lián)表（1）定義：如果隨機(jī)事件A與B的樣本數(shù)據(jù)整理成如下的表格形式．AA總計Baba＋bBcdc＋d總計a＋cb＋da＋b＋c＋d這個表格中，核心數(shù)據(jù)是中間4個格子，所以這樣的表格通常稱為2×2列聯(lián)表．（2）χ2計算公式：χ2=n(ad?bc)2a+bc+d2．獨(dú)立性檢驗(yàn)（1）χ2計算公式:χ2=（2）臨界值的定義：對于任何小概率值α，可以找到相應(yīng)的正實(shí)數(shù)xα，使得Pχ2≥xα=α成立，我們稱x（3）獨(dú)立性檢驗(yàn)：H0:PY=1X=0=PY=1X=1基于小概率值α的檢驗(yàn)規(guī)則是：當(dāng)χ2≥xα?xí)r，我們就推斷H0不成立，即認(rèn)為X和Y當(dāng)χ2<xα?xí)r，我們沒有充分證據(jù)推斷H0這種利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，讀作“卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)（4）χ2α0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828自主檢測為研究某疾病與超聲波檢查結(jié)果的關(guān)系，從做過超聲波檢查的人群中隨機(jī)調(diào)查了1000人，得到如下列聯(lián)表：超聲波檢查結(jié)果組別正常不正常合計患該疾病20180200未患該疾病78020800合計8002001000根據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析超聲波檢查結(jié)果是否與患該疾病有關(guān).附χ2P0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】有關(guān)【詳解】由題意，零假設(shè)為H0根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得，χ2根據(jù)小概率值α=0.001的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為超聲波檢查結(jié)果與患該病有關(guān)，該推斷犯錯誤的概率不超過題型1簡單隨機(jī)抽樣例11在簡單隨機(jī)抽樣中，下列關(guān)于其中一個個體被抽中的可能性說法正確的是（）A．與第幾次抽樣有關(guān)，第一次抽到的可能性更大一些B．與第幾次抽樣有關(guān)，最后一次抽到的可能性更大一些C．與第幾次抽樣無關(guān)，每次抽到的可能性都相等D．與第幾次抽樣有關(guān)，第一次抽到的可能性更小一些【答案】C【詳解】在簡單隨機(jī)抽樣中，每個個體每次被抽中的可能性都相等，與第幾次抽樣無關(guān)，A，B，D錯誤，C正確．故選：C【變式訓(xùn)練11】下列抽取樣本的方式是簡單隨機(jī)抽樣的是（

）A．從無限多個個體中抽取100個個體作為樣本B．盒子里共有80個零件，從中逐個不放回地選出5個零件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)C．從100部手機(jī)中一次性抽取5部進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)D．某班有56名同學(xué)，指定個子最高的5名同學(xué)參加學(xué)校組織的籃球賽【答案】B【詳解】簡單隨機(jī)抽樣的定義：設(shè)一個總體中含有N個個體，從中逐個抽取n1≤n≤N對于A中，根據(jù)簡單的隨機(jī)抽樣的定義，從無限多個個體中抽取100個個體作為樣本不滿足簡單的隨機(jī)抽樣的定義，所以A不符合題意；對于B中，根據(jù)簡單的隨機(jī)抽樣的定義，80個零件，從中逐個不放回地選出5個零件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，滿足簡單的隨機(jī)抽樣的條件，所以B符合題意；對于C中，根據(jù)簡單的隨機(jī)抽樣的定義，從100部手機(jī)中一次性抽取5部進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，不滿足簡單的隨機(jī)抽樣的定義，所以C不符合題意；對于D中，根據(jù)簡單的隨機(jī)抽樣的定義，從56名同學(xué)，指定個子最高的5名同學(xué)參加學(xué)校組織的籃球賽，不滿足簡單的隨機(jī)抽樣的定義，所以D不符合題意.故選：B.【變式訓(xùn)練12】某高校對中文系新生進(jìn)行體測，利用隨機(jī)數(shù)表對650名學(xué)生進(jìn)行抽樣，先將650名學(xué)生進(jìn)行編號，001，002，…，649，650.從中抽取50個樣本，下圖提供隨機(jī)數(shù)表的第4行到第6行，若從表中第5行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，則得到的第6個樣本編號是（

）3221183429

7864540732

5242064438

1223435677

35789056428442125331

3457860736

2530073286

2345788907

23689608043256780843

6789535577

3489948375

2253557832

4577892345A．623 B．328 C．072 D．457【答案】A【詳解】從第5行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，第一個數(shù)為253，第二個數(shù)是313，第三個數(shù)是457，下一個數(shù)是860，不符合要求，下一個數(shù)是736，不符合要求，下一個是253，重復(fù)，第四個是007，第五個是328，第六個數(shù)是623，，故A正確.故選：A.題型2分層隨機(jī)抽樣例21某地區(qū)的鴻蒙用戶中心的客服人員現(xiàn)要從購買智界汽車的50名車主，享界汽車的60名車主，問界汽車的40名車主中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取容量為30的樣本進(jìn)行用戶反饋調(diào)研，則在智界汽車車主中抽取的人數(shù)為（

）A．8 B．10 C．11 D．12【答案】B【詳解】按照分層隨機(jī)抽樣，在智界汽車車主中共抽取30×50故選：B【變式訓(xùn)練21】某中學(xué)高一年級有400人，高二年級有320人，高三年級有280人，若用隨機(jī)數(shù)法在該中學(xué)抽取容量為n的樣本，每人被抽到的可能性都為0.3，則n等于（

）A．160 B．200 C．280 D．300【答案】D【詳解】由題意n400+320+280=0.3,所以故選：D.【變式訓(xùn)練22】已知A,B兩個數(shù)據(jù)庫中共有560個數(shù)據(jù)，其中A數(shù)據(jù)庫有376個數(shù)據(jù)．若利用分層抽樣的方式從A數(shù)據(jù)庫中抽取了47個數(shù)據(jù)，則從B數(shù)據(jù)庫抽取的數(shù)據(jù)個數(shù)為（

）A．22 B．23 C．24 D．25【答案】B【詳解】由已知抽樣比為47376所以從B數(shù)據(jù)庫中抽取的數(shù)據(jù)個數(shù)為560?376×故選：B.題型3頻率分布直方圖例31從某小學(xué)隨機(jī)抽取部分同學(xué)，將他們的身高（單位：厘米）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖）.已知身高在100,110內(nèi)的人數(shù)為10人，則身高在120,130內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為（

）A．40 B．60 C．80 D．2000【答案】B【詳解】依題意，身高在120,130內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為10×0.030故選：B例32某中學(xué)組織高中學(xué)生參加數(shù)學(xué)知識競賽，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取100名學(xué)生成績的頻率分布直方圖如圖所示，則這組樣本數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)為（

A．85 B．86 C．87 D．88【答案】C【詳解】由題意可得10×0.005+0.015+0.030+a=1，解得所以前兩組的頻率和為0.005+0.030×10=0.35，前三組的頻率和為0.005+0.030+0.050設(shè)這組樣本數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)為x，則0.035×10+解得x=87.故選：C.例33近日，數(shù)字化構(gòu)建社區(qū)服務(wù)新模式成為一種時尚．某社區(qū)為優(yōu)化數(shù)字化社區(qū)服務(wù)，問卷調(diào)查調(diào)研數(shù)字化社區(qū)服務(wù)的滿意度，滿意度采用計分制（滿分100分），統(tǒng)計滿意度繪制成如下頻率分布直方圖，圖中b=3a，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．a(chǎn)=0.01B．滿意度計分的眾數(shù)為75分C．滿意度計分的75%分位數(shù)是85分D．滿意度計分的平均分是76【答案】D【詳解】對于A，由頻率分布直方圖可得a+0.015+0.035+b+a×10=1，即b+2a=0.05因?yàn)閎=3a，所以a=0.01，故A正確；對于B，由頻率分布直方圖可得，滿意度計分的眾數(shù)為最高矩形底邊中點(diǎn)橫坐標(biāo)75分，故B正確；對于C，前三組的頻率之和為0.1+0.15+0.35=0.6<0.75，前四組的頻率之和為0.6+0.3=0.9>0.75，所以滿意度計分的75%分位數(shù)m∈[80,90)，所以m=80+0.75?0.6對于D，滿意度計分的平均分為55×0.1+65×0.15+75×0.35+85×0.3+95×0.1=76.5，故D錯誤．故選：D．【變式訓(xùn)練31】從某小區(qū)抽取100戶居民用戶進(jìn)行月用電量（單位：kW?h）調(diào)查，將得到的數(shù)據(jù)按[50,100),100,150,150,200A．35 B．40 C．42 D．45【答案】B【詳解】易知2m+3m+5m+0.0044+2m+m×50=1，所以13m=0.02?0.0044=0.0156即m=0.0012，而月用電量落在200,350內(nèi)的戶數(shù)為0.0044+2m+m×50×100=40故選：B【變式訓(xùn)練32】國際學(xué)生評估項(xiàng)目測試是世界經(jīng)濟(jì)合作與發(fā)展組織對各國中學(xué)生閱讀、數(shù)學(xué)、科學(xué)能力評價測試．從2000年開始，每3年進(jìn)行一次測試評估．在評估研究時將測試成績按一定規(guī)則轉(zhuǎn)換成等級賦分，賦分范圍是40至100分，如圖是2024年的某地中學(xué)生參加閱讀測試后用賦分?jǐn)?shù)據(jù)繪制成的不完整頻率分布直方圖．根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，下面說法正確的是（

）A．該地學(xué)生成績的中位數(shù)一定大于75B．該地學(xué)生成績的平均數(shù)一定小于65C．該地學(xué)生成績的極差介于40至60之間D．該地學(xué)生成績沒有超過60分的學(xué)生所占比例為30【答案】C【詳解】對于選項(xiàng)A，分?jǐn)?shù)在40,50的頻率為0.05，分?jǐn)?shù)在50,60的頻率為0.15，分?jǐn)?shù)在70,80的頻率為0.3，分?jǐn)?shù)在80,90的頻率為10a，分?jǐn)?shù)在90,100的頻率為0.1，由圖知，0.15<10a<0.3，所以分?jǐn)?shù)在80,100的頻率為10a+0.1，且0.25<10a+0.1<0.4，0.55<10a+0.4<0.7，所以中位數(shù)在70,80之間，但不一定大于75，所以選項(xiàng)A錯誤；對于選項(xiàng)B，由題意可知，分?jǐn)?shù)在60,70的頻率為0.4?a，所以該地學(xué)生成績的平均數(shù)為x=45×0.05+55×0.15+65×由圖可知a∈0.015,0.03，所以x對于選項(xiàng)C，設(shè)學(xué)生成績的最低分為n，最高分為m，則40≤n≤50，90≤m≤100，由不等式的基本性質(zhì)可得40≤m?n≤60，故學(xué)生成績的極差介于40至60之間，所以選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D，由選項(xiàng)A知，學(xué)生成績沒有超過60分的學(xué)生所占比例為20%故選：C.【變式訓(xùn)練33】某人工智能公司為優(yōu)化新開發(fā)的語言模型，在其模型試用人群中開展?jié)M意度問卷調(diào)查，滿意度采用計分制（滿分100分），統(tǒng)計滿意度并繪制成如下頻率分布直方圖，圖中m=2n，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．n=0.015B．滿意度計分的眾數(shù)約為75分C．滿意度計分的平均分約為79分D．滿意度計分的第25百分位數(shù)約為70分【答案】C【詳解】對于A，由頻率分布直方圖可得0.01+n+0.035+m+0.01×10=1，又m=2n解得n=0.015，m=0.03，故A正確；對于B，滿意度計分的眾數(shù)為最高矩形底邊中點(diǎn)橫坐標(biāo)75分，故B正確；對于C，滿意度計分的平均分約為55×0.01+65×0.015+75×0.035+85×0.03+95×0.01×10=76.5對于D，前兩組的頻率之和為0.25，所以滿意度計分的第25百分位數(shù)約為70分，故D正確.故選：C.【變式訓(xùn)練34】在某校高一年級參加的一次質(zhì)量檢測中，共有1500名學(xué)生參加數(shù)學(xué)考試.為了解本次考試考生的數(shù)學(xué)成績情況，本中抽取了100名學(xué)生的成績（成績均為正整數(shù)，滿分為100分）作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計，成績均在40,100內(nèi)，按照40,50,50,60,A．該樣本中學(xué)生成績的中位數(shù)一定大于75B．該樣本中學(xué)生成績的極差介于40至50之間C．該樣本中學(xué)生成績的平均值介于70至80之間D．若成績不低于60分為及格，估計該校高一年級學(xué)生數(shù)學(xué)及格人數(shù)不超過1300【答案】C【詳解】由題意得，0.004+a+0.022+0.028+0.022++0.018×10=1，解得a=0.006對于選項(xiàng)A，成績在40,70內(nèi)的頻率為0.004+0.006+0.022×10=0.32，成績在40,80內(nèi)的頻率為0.004+0.006+0.022+0.028×10=0.6，故中位數(shù)在70,80間，但樣本成績在對于選項(xiàng)B，由極差的定義知，學(xué)生成績的極差介于40至60之間，所以選項(xiàng)B錯誤；對于選項(xiàng)C，由平均數(shù)的定義知，學(xué)生成績的平均成績?yōu)?5×0.004+55×0.006+65×0.022+75×0.028+85×0.022+95×0.018×10=76.2對于選項(xiàng)D，由于成績不低于60分的頻率為0.18+0.22×2+0.28=0.9，所以成績不低于60分的人數(shù)是1500×0.9=1350，所以選項(xiàng)D錯誤.故選：C.題型4總體百分位數(shù)的估計例41樣本數(shù)據(jù)1，1，2，3，5，6的40%分位數(shù)為（

A．1 B．2.5 C．2 D．3【答案】C【詳解】因?yàn)?×40%=2.4，所以該組數(shù)據(jù)的故選：C.【變式訓(xùn)練41】數(shù)據(jù)3，1，1，4，5，2的第三四分位數(shù)為（）A．2.5 B．3 C．3.5 D．4【答案】D【詳解】這組數(shù)據(jù)共6個數(shù)，從小到大排列是1,1,2,3,4,5，由于6×34=4.5,所以第三四分位數(shù)是第5故選：D【變式訓(xùn)練42】某射擊運(yùn)動員在男子10米氣步槍決賽中，最后10槍成績分別為10.9,10.7,10.4,10.0，10.5,9.8,10.7,9.9,10.5,10.6，則這10槍成績的上四分位數(shù)是（

）A．10.5 B．10.6 C．10.65 D．10.7【答案】D【詳解】將這10次成績從小到大的順序排列如下：9.8，9.9，10.0，10.4，10.5，10.5，10.6，10.7，10.7，10.9，因?yàn)?0×75%故選：D【變式訓(xùn)練43】某中學(xué)數(shù)學(xué)教師共有20人，他們的年齡分布如表所示：年齡62504332302825人數(shù)2335241下列說法正確的是（

）A．29是這20人年齡的一個上四分位數(shù) B．29是這20人年齡的一個下四分位數(shù)C．31是這20人年齡的一個中位數(shù) D．這20人年齡的眾數(shù)是5【答案】B【詳解】對于A，上四分位數(shù)，即75%分位數(shù)，因20×75%=15對于B，下四分位數(shù)，即25%分位數(shù)，因20×25%=5對于C，這20人年齡的中位數(shù)是32+322對于D，這20人年齡的眾數(shù)是32，故D錯誤.故選：B題型5總體集中趨勢的估計例51已知一組數(shù)據(jù)4,2a,3?a,5,6的平均數(shù)為3，則a=（

）A．?3 B．?1 C．1 D．3【答案】A【詳解】因?yàn)閿?shù)據(jù)4,2a,3?a,5,6的平均數(shù)為3，可得4+2a+3?a+5+65=3，解得故選：A.例52若樣本平均數(shù)為y，總體平均數(shù)為Y，則（

）A．yB．yC．Y是y的估計值D．y是Y的估計值【答案】D【詳解】樣本平均數(shù)為y，總體平均數(shù)為Y，統(tǒng)計學(xué)中，可利用樣本數(shù)據(jù)估計總體數(shù)據(jù)，∴樣本平均數(shù)y是總體平均數(shù)Y的估計值.故選：D.【變式訓(xùn)練51】一組數(shù)據(jù)1，7，5，2，x，2，且1<x<5，x∈N?，若該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是中位數(shù)的23A．3 B．3.5 C．4 D．4.5【答案】B【詳解】易得眾數(shù)為2，則中位數(shù)為2×3所以將數(shù)據(jù)按照從小到大排列得1，2，2，x，5，7，則2+x2=3，解得則平均數(shù)為16故選:B.【變式訓(xùn)練52】已知數(shù)據(jù)4x1+1，4x2+1，…，4x10+1A．?1 B．34 C．1 【答案】B【詳解】由題意可得4x1所以x1故選：B.【變式訓(xùn)練53】（2526高三上·北京豐臺·開學(xué)考試）某公司為了解A，B兩個地區(qū)用戶對其產(chǎn)品的滿意程度，從A地區(qū)隨機(jī)抽取400名用戶，從B地區(qū)隨機(jī)抽取100名用戶，請用戶對公司產(chǎn)品評分.該公司將收集的評分?jǐn)?shù)據(jù)按照[20,40)，[40,60)，[60,80)，80,100分組，統(tǒng)計如下：A地區(qū)B地區(qū)20,403040,1202060,1604080,8010合計400100用頻率估計概率.(1)對A地區(qū)所抽取的400名用戶按評分區(qū)間20,40，40,60，60,80(2)從A，B兩個地區(qū)各隨機(jī)抽取1名用戶，設(shè)X為這兩人中評分不低于80分的人數(shù)，求至少有1名用戶評分不低于80分的概率以及X的數(shù)學(xué)期望；(3)若A地區(qū)用戶對該公司產(chǎn)品的評分的平均值為μ1，B地區(qū)用戶對該公司產(chǎn)品的評分的平均值為μ2，兩個地區(qū)的所有用戶對該公司產(chǎn)品的評分的平均值為μ0，試比較μ【答案】(1)6(2)0.28，E(3)μ【詳解】（1）設(shè)從A地區(qū)抽取的用戶中抽取的10名參加座談的用戶中，對公司產(chǎn)品的評分不低于60分的用戶有m名，則m10=160+80（2）從A、B兩地區(qū)各隨機(jī)抽取1名用戶，評分不低于80分的概率分別為80400=0.2和評分低于80分的概率分別為1?0.2=0.8和1?0.1=0.9.故至少有1名用戶評分不低于80分的概率為1?0.8×0.9=0.28.隨機(jī)變量X的取值為0，1，2故PX=0=0.8×0.9=0.72，PX=2所以EX（3）μ0μ1μ2μ0其中μ1+μ題型6總體離散程度的估計例61已知一組樣本數(shù)據(jù)16，x，14，15，13的平均數(shù)為15，則該組樣本數(shù)據(jù)的方差為（

）A．2.0 B．2.1 C．2.2 D．2.4【答案】A【詳解】因?yàn)樵摻M樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為15，所以16+x+14+15+135=15，解得則該組樣本數(shù)據(jù)的方差為s2故選：A..例62為了解某學(xué)校學(xué)生每周閱讀課外書籍的數(shù)量，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法.現(xiàn)抽取高一學(xué)生20人，其每周閱讀課外書籍?dāng)?shù)量的均值為4本，方差為4；抽取高二學(xué)生30人，其每周閱讀課外書籍?dāng)?shù)量的均值為3本，方差為2．則該學(xué)校高一、高二學(xué)生每周閱讀課外書籍?dāng)?shù)量的總體均值和方差分別是（

）A．總體平均數(shù)為3.4本，總體方差為3.24 B．總體平均數(shù)為3.5本，總體方差為3.04C．總體平均數(shù)為3.4本，總體方差為3.04 D．總體平均數(shù)為3.5本，總體方差為3.24【答案】C【詳解】高一學(xué)生人數(shù)m=20，均值x1=4，方差高二學(xué)生人數(shù)n=30，均值x2=3，方差所以總體均值x=總體方差s2=m故選：C.例63李明在10場籃球比賽中的投籃情況統(tǒng)計如下（假設(shè)各場比賽相互獨(dú)立）：場次投籃次數(shù)命中率場次投籃次數(shù)命中率主場1226客場1184主場2154客場21312主場3122客場3211主場4238客場4185主場5245客場52512(1)估計李明在主場比賽中的命中率；(2)從上述比賽中隨機(jī)選擇一個主場和一個客場，求李明的投籃命中率恰有一場超過0.6的概率；(3)記S12為表中主場命中次數(shù)的方差，S22為表中客場命中次數(shù)的方差.試比較【答案】(1)58(2)1325(3)S1【詳解】（1）由表格知，李明在主場命中次數(shù)為22×6所以李明在主場比賽中的命中率為6022+15+12+23+24（2）由表格，李明在5個主場中有3個命中率超過0.6，在5個客場中有2個命中率超過0.6，所以李明的投籃命中率恰有一場超過0.6的概率為C3（3）由（1）主場命中次數(shù)依次為12,12,8,8,20，平均數(shù)為605所以S1客場命中次數(shù)依次為8,12,7,15,12，平均數(shù)為545S2所以S1例64（2526高三上·北京平谷·開學(xué)考試）近期，某中學(xué)全體學(xué)生參加了“垃圾分類大賽”活動：現(xiàn)從參加該活動的學(xué)生中隨機(jī)抽取了男、女各20名學(xué)生，將他們的成績(單位：分)記錄如表：成績[50，60)[60，70)[70，80)

[80，90)[90，100]男生(人數(shù))34841女生(人數(shù))ab843(1)在抽取的40名學(xué)生中，從大賽成績在80分及以上的人中隨機(jī)取出2人，求恰好男、女生各1名，且所在分?jǐn)?shù)段不同的概率：(2)從該校參加活動的男女學(xué)生中各隨機(jī)抽取2人，求這4人中恰各有一名男女學(xué)生大賽成績在80分及以上的概率；(3)試確定a、b為何值時，使得抽取的女生大賽成績方差最小，只寫出結(jié)論【答案】(1)833(2)2731600(3)a=0,b=5.【詳解】（1）由題設(shè)，成績在80分以上的人有5名男生，7名女生，共12人，其中在區(qū)間[80,90)中男、女各4名，在區(qū)間[90,100]中男生1名、女生3名，所以隨機(jī)取2人，恰好男、女生各1名，且所在分?jǐn)?shù)段不同有C4而在12人中任選2人有C122=66（2）由表格數(shù)據(jù)知，抽取一名男生，成績在80分及以上的概率為14，成績在80分以下的概率為3抽取一名女生，成績在80分及以上的概率為720，成績在80分以下的概率為13所以從活動男女學(xué)生中各抽取2人，恰各有一名男女學(xué)生大賽成績在80分及以上的概率為C2（3）由題設(shè)，a+b=5，女生平均成績?yōu)閤=所以方差s===14×[?所以a=0,b=5時，抽取的女生大賽成績方差最小.【變式訓(xùn)練61】已知x1,x2,?,x10A．1.8 B．0.8 C．1.98 D．0.98【答案】A【詳解】x1,x2,?,x1,x方差為(x故選：A【變式訓(xùn)練62】高一某班有24名男生和40名女生，某次數(shù)學(xué)測試中，男生的平均分與女生的平均分之差為4，若男生分?jǐn)?shù)的方差為94，全班分?jǐn)?shù)的方差為84，則女生分?jǐn)?shù)的方差為（

）A．90 B．86 C．78 D．72【答案】D【詳解】設(shè)男生分?jǐn)?shù)為x1,x女生分?jǐn)?shù)為y1,y則x?y=4男生分?jǐn)?shù)方差為i=124xi全班分?jǐn)?shù)方差為i=124由方差得公式可知i=124代入得2406+i=140y因?yàn)閤=y+4化簡得i=140解得i=140則女生方差為i=140故選：D.【變式訓(xùn)練63】已知一個樣本容量為10的樣本的平均數(shù)為6，方差為2.現(xiàn)將樣本中的5個數(shù)據(jù)去掉，這5個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，方差為1，則余下的5個數(shù)的方差為（

）A．1.2 B．0.8 C．1 D．2【答案】C【詳解】因?yàn)闃颖救萘繛?0的樣本的平均數(shù)為6，所以樣本數(shù)據(jù)的總和為10×6=60，又去掉的5個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，所以剩余的5個數(shù)據(jù)的總和為60?5×5=35，所以剩余的5個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為15因?yàn)樵瓉順颖救萘繛?0的樣本的方差為2，所以σ2所以i=110又又去掉的5個數(shù)據(jù)的方差為1，所以1=1解得i=15所以余下的5個數(shù)的平方和為i=15所以余下的5個數(shù)的方差為σ故選：C.【變式訓(xùn)練64】近年來“天宮課堂”受到廣大中小學(xué)生歡迎，激發(fā)了同學(xué)們對科學(xué)知識的探索欲望和對我國航天事業(yè)成就的自豪.為領(lǐng)悟航天精神，感受中國夢想，某校組織了一次“尋夢天宮”航天知識競賽（滿分100分），各年級學(xué)生踴躍參加.為了比較高一、高二學(xué)生這次競賽的成績，從兩個年級的答卷中各隨機(jī)選取了50份，將成績進(jìn)行統(tǒng)計得到以下頻數(shù)分布表：成績[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]高一學(xué)生人數(shù)1271516高二學(xué)生人數(shù)9101813試?yán)脴颖竟烙嬁傮w的思想，解決下列問題（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）：(1)分別求樣本中高一和高二年級學(xué)生競賽的平均成績；(2)從平均數(shù)與方差的角度分析哪個年級學(xué)生這次競賽成績更好？【答案】(1)樣本中高一和高二年級學(xué)生競賽的平均成績均為82(2)樣本估計總體的思想可以認(rèn)為，高二學(xué)生這次競賽成績更好【詳解】（1）樣本中，高一學(xué)生競賽平均成績?yōu)椋?50樣本中，高二學(xué)生競賽平均成績?yōu)椋?50（2）高一學(xué)生競賽成績的方差為1高二學(xué)生競賽成績的方差為1所以樣本中平均成績一樣，但高二學(xué)生的成績更穩(wěn)定．利用樣本估計總體的思想可以認(rèn)為，高二學(xué)生這次競賽成績更好．【變式訓(xùn)練65】（2025·北京·三模）某老師為了解班里甲、乙兩位同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，從他們的數(shù)學(xué)小練習(xí)成績中各隨機(jī)抽取10份，.獲得數(shù)據(jù)如下表：甲同學(xué)86.5667.5885.597.5乙同學(xué)6777.57.58.5979.59已知數(shù)學(xué)小練習(xí)滿分為10分，最低分為0分.若小練習(xí)得分不低于7.5分視為“得分達(dá)到良好”，若小練習(xí)得分不低于8.5分視為“得分達(dá)到優(yōu)秀”.假設(shè)用頻率估計概率，且甲和乙小練習(xí)成績相互獨(dú)立.(1)從甲同學(xué)的樣本中隨機(jī)抽取1個，求“得分達(dá)到良好”的概率；(2)從乙同學(xué)的所有數(shù)學(xué)小練習(xí)成績中隨機(jī)抽取3份，記隨機(jī)變量X為“得分達(dá)到優(yōu)秀”的次數(shù).估計X的分布列和期望：(3)樣本中，甲、乙兩位同學(xué)小練習(xí)成績的方差分別為記為S12和S22，試比較【答案】(1)3(2)分別列見詳解，期望2(3)相等【詳解】（1）根據(jù)題意甲同學(xué)“得分達(dá)到良好”的有：8，7.5，8，8，9，7.5共6個，所以從甲同學(xué)的樣本中隨機(jī)抽取1個，求“得分達(dá)到良好”的概率為610（2）乙同學(xué)“得分達(dá)到優(yōu)秀”的有：8.5，9，9.5，9共4個，所以乙同學(xué)所以數(shù)學(xué)小練習(xí)中“得分達(dá)到優(yōu)秀”的概率為410從中隨機(jī)抽取3份，隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，PX=0=CPX=2=C所以分布列為X0123P2754368期望EX（3）根據(jù)題意樣本中甲同學(xué)成績的均值x1乙同學(xué)成績的均值x2所以甲同學(xué)成績的方差S1乙同學(xué)成績的方差S2所以甲、乙兩位同學(xué)小練習(xí)成績的方差相等.【變式訓(xùn)練66】某農(nóng)業(yè)興趣小組為比較長效肥和緩釋肥這兩種肥料的作用，進(jìn)行了一個季度的對比試驗(yàn)，長效肥、緩釋肥、未施肥三種處理下的同一種植物分別對應(yīng)第1,2,3組．分別從第1,2,3組各隨機(jī)抽取20株并測出株高，得到的60個樣本數(shù)據(jù)分組整理如下表所示：株高（單位：厘米）[4,7][7,10][10,13]13,16第1組（長效肥）21062第2組（緩釋肥）3881第3組（未施肥）8561(1)從第一組20株植物中隨機(jī)抽取2株，求至少有一株株高在(7,10]內(nèi)的概率；(2)為了進(jìn)一步研究，從這三組植物中各隨機(jī)抽取1株，記這3株植物中恰有X株的株高在(7,10]內(nèi)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望（假設(shè)植物的生長情況相互獨(dú)立，用頻率估計概率）；(3)已知這三組植物的平均株高分別為x=9.8,y=9.6,【答案】(1)29(2)分布列見解析，23(3)9.3；6.83【詳解】（1）設(shè)事件A=“從第一組20株植物中隨機(jī)抽取2株，至少有一株株高在(7,10]”，則P(A)=C（2）X的可能取值為0,1,2,3，則P(X=0)=1P(X=1)=1P(X=2)=1P(X=3)=1X的分布列為X0123P99111E(X)=0×9（3）樣本的平均數(shù)為ω=所以樣本的方差為s=1又i=120xi?x類似的，i=120yi所以s2=1所以樣本的平均數(shù)為9.3，方差為6.83.題型7成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性例71對四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計，獲得如圖所示的散點(diǎn)圖，關(guān)于其樣本相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是（

）A．r4<rC．r4<r【答案】D【詳解】由散點(diǎn)圖的趨勢可知r1>0，r2<0，又圖一的散點(diǎn)圖比圖三的散點(diǎn)圖更為集中，則r1>r又圖二的散點(diǎn)圖比圖四的散點(diǎn)圖更為集中，則r2>r所以r2故選：D．例72某公司20182023年的年利潤x（單位：百萬元）與年廣告支出y（單位：百萬元）的統(tǒng)計資料如表所示．年份201820192020202120222023x/百萬元12.214.616.018.020.422.3y/百萬元0.620.740.810.891.001.11根據(jù)統(tǒng)計資料，年利潤中位數(shù)（

）A．是16，x與y有正線性相關(guān)關(guān)系B．是17，x與y有正線性相關(guān)關(guān)系C．是17，x與y有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系D．是18，x與y有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系【答案】B【詳解】由題意，利潤中位數(shù)是16.0+18.02而且隨著利潤x的增加，廣告支出y也在增加，故x與y有正線性相關(guān)關(guān)系．故選：B．【變式訓(xùn)練71】為了研究y關(guān)于x的線性相關(guān)關(guān)系，收集了5組樣本數(shù)據(jù)（見下表）.若已求得一元線性回歸方程y=ax+0.34x12345y0.50.911.11.5A．a(chǎn)B．x與y的樣本是負(fù)相關(guān)C．當(dāng)x=8時，y的預(yù)估值為2.2D．去掉樣本點(diǎn)(3,1)后，x與y的樣本相關(guān)系數(shù)r必會改變【答案】A【詳解】?x=1+2+3+4+5對于A，由3a+0.34=1，得對于B，由a>0，得x與y對于C，當(dāng)x=8時，y的預(yù)估值為y=0.22×8+0.34=2.1對于D，由相關(guān)系數(shù)公式知，去掉樣本中心點(diǎn)(3,1)后，x與y的樣本相關(guān)系數(shù)r不會改變，D錯誤．故選：A【變式訓(xùn)練72】隨機(jī)抽取某集團(tuán)公司旗下五家超市，得到廣告支出x（萬元）與銷售額y（萬元）的數(shù)據(jù)如下：廣告支出x（萬元）24568銷售額y（萬元）2030506070(1)計算x，y的相關(guān)系數(shù)r，并判斷是否可以認(rèn)為廣告支出與銷售額具有較高的線性相關(guān)程度？（若0.3<r<0.75，則線性相關(guān)程度一般；若r≥0.75(2)求出y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測若廣告支出15（萬元），則銷售額約為多少萬元？參考公式：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式，相關(guān)系數(shù)r的公式分別為b=i=1nxi【答案】(1)r=0.97，可以認(rèn)為廣告支出與銷售額具有較高的線性相關(guān)程度(2)y=9x+1，銷售額為136萬元.【詳解】（1）根據(jù)表格里的數(shù)據(jù)可得：x=2+4+5+6+85所以i=1+i=15i=15r=i=1所以可以認(rèn)為廣告支出與銷售額具有較高的線性相關(guān)程度.（2）根據(jù)公式可得：b=i=15所以y關(guān)于x的線性回歸方程為y=9x+1當(dāng)廣告支出15萬元時，銷售額約為y=9×15+1=136題型8一元線性回歸模型及其應(yīng)用例81為了解女兒身高與其母親身高的關(guān)系，隨機(jī)抽取5對母女的身高數(shù)據(jù)如下：母親身高x164166166166168女兒身高y165165166167167根據(jù)最小二乘法（即i=1nyi?yi2A．y=x?1 B．y=x+1 C．y=【答案】C【詳解】觀察數(shù)據(jù)，可得y與x有關(guān)，故排除D.又x=166，y所以回歸直線方程必過點(diǎn)166,166，所以排除AB.故選：C例82下表是某公司從2020年至2024年某種產(chǎn)品盈利額的近似值（單位：萬元）年份20202021202220232024年份代號x12345盈利額y5056647283(1)求y關(guān)于x的相關(guān)系數(shù)r的值（精確到0.001），并判斷它們是否具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系（如果r≥0.75，則認(rèn)為y與x(2)求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測2025年該種產(chǎn)品的盈利額．附：①相關(guān)系數(shù)r=i=1②經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=bx+a中的b③i=15【答案】(1)r=0.994，因?yàn)閨r|=0.994≥0.75，所以y與x具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系；(2)y=8.2x+40.4，89.6【詳解】（1）已知n=5，x1=1,xy1=50,yi=155x2=5×已知i=15xi將以上值代入相關(guān)系數(shù)公式r=i=1可得：r=1057?5×3×65因?yàn)閨r|=0.994≥0.75，所以y與x具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.（2）根據(jù)b=而i=1n(x所以b=由a=y?bx，已知x=3，所以y關(guān)于x的線性回歸方程為y=8.2x+40.42025年年份代號x=6，將x=6代入線性回歸方程y=8.2×6+40.4=49.2+40.4=89.6【變式訓(xùn)練81】藥物臨床試驗(yàn)是確認(rèn)新藥有效性和安全性必不可少的步驟，為探究某藥物在人體中的代謝情況，研究人員統(tǒng)計了血液中藥物濃度ymgL與代謝時間x23456y5520631若采用一元線性回歸模型，已知一個經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=?12x+a①；若采用一元非線性回歸模型，可求得經(jīng)驗(yàn)回歸方程(1)求a；(2)①與②哪個更適合作為y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程？請比較其決定系數(shù)的大小，并說明理由.附：（i）參考數(shù)據(jù)：i=15yi（ii）對于一組數(shù)據(jù)u1,v【答案】(1)65(2)②更適合作為y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，理由見解析【詳解】（1）由題意，x=15則a=（2）在方程①中，經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=?12x+65則y1所以i=15在方程②中，i=15∵決定系數(shù)R2∴①的決定系數(shù)小于②的決定系數(shù)，∴②更適合作為y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程.【變式訓(xùn)練82】7月1日，電影《哪吒之魔童鬧?！罚ㄒ韵潞喎Q《哪吒2》在中國內(nèi)地電影院線正式下映，結(jié)束了自今年1月29日以來153天的線下放映．據(jù)統(tǒng)計，《哪吒2》在中國內(nèi)地最終斬獲154.4億元票房，總觀影人次3.24億，兩項(xiàng)數(shù)據(jù)均創(chuàng)下中國影史紀(jì)錄，并遙遙領(lǐng)先第二名，成為了又一部現(xiàn)象級電影．下表統(tǒng)計了《哪吒2》上映前15天累計票房到達(dá)y（單位：億元）與所用時間x（單位：天）的數(shù)據(jù)：累計票房y20406080100用時x4791015(1)利用表中的數(shù)據(jù)，計算相關(guān)系數(shù)r（結(jié)果精確到0.01），并推斷兩個變量的線性相關(guān)程度；(2)求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程（系數(shù)精確到0.01），并預(yù)測153天時的累計票房，判斷這種預(yù)測方法是否合理．參考公式：經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=bx+相關(guān)系數(shù)r=i=1參考數(shù)據(jù)：i=15【答案】(1)r≈0.97,兩個變量具有很強(qiáng)的相關(guān)程度(2)y=7.58x?8.18【詳解】（1）由題意有x=i=1則r==所以兩個變量具有很強(qiáng)的相關(guān)程度．（2）由題意有b=a所求經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=7.58x?8.18令x=153，得y=1151.56預(yù)測153天時的累計票房為1151.56億元，遠(yuǎn)超過實(shí)際票房，故該預(yù)測方法不合理．題型9列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)例91為考察藥物A對預(yù)防疾病B的效果，在兩個不同規(guī)模的動物種群中分別進(jìn)行了試驗(yàn)，根據(jù)種群一的試驗(yàn)結(jié)果得到如下列聯(lián)表：藥物A疾病B合計未患病患病未服用282250服用341650合計6238100計算得到χ2≈1.528．假設(shè)種群二試驗(yàn)結(jié)果對應(yīng)的列聯(lián)表中，每個單元格的數(shù)據(jù)都為上表對應(yīng)單元格數(shù)據(jù)的5倍，則根據(jù)小概率值α的獨(dú)立性檢驗(yàn)，（附：χ2α0.10.050.010.005x2.7063.8416.6357.879A．當(dāng)α=0.05時，種群一中藥物A對預(yù)防疾病B有效，該推斷犯錯誤的概率不超過5%B．當(dāng)a=0.05時，種群一中藥物A對預(yù)防疾病B有效，該推斷犯錯誤的概率不超過10%C．當(dāng)a=0.01時，種群二中藥物A對預(yù)防疾病B有效，該推斷犯錯誤的概率不超過1%D．當(dāng)α=0.005時，種群二中藥物A對預(yù)防疾病B有效，該推斷犯錯誤的概率不超過0.5%【答案】C【詳解】對于A,B，因?yàn)棣?所以當(dāng)α=0.05時，無法推斷種群一中藥物A對預(yù)防疾病B有效，故A,B錯誤；對于C,由χ2則χ'2=所以當(dāng)α=0.01時，則種群二中藥物A對預(yù)防疾病B有效，該推斷犯錯誤的概率不超過1%對于D,因?yàn)棣?所以當(dāng)α=0.005時，無法推斷種群二中藥物A對預(yù)防疾病B有效，故D錯誤.故選：C.例92（2526高三上·四川南充·階段練習(xí)）近幾年，新能源汽車的更新?lián)Q代越來越引起人們的關(guān)注.某新能源車企想了解年輕司機(jī)與中老年司機(jī)對新能源車和燃油車的喜好程度，隨機(jī)抽取了1000名司機(jī)，得到的2×2列聯(lián)表如下：偏好新能源車偏好燃油車總計年輕司機(jī)300200500中老年司機(jī)200300500總計5005001000(1)若從抽取的年輕司機(jī)中任選1人，求此人偏好新能源車的概率；(2)依據(jù)α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為司機(jī)對兩種汽車的偏好與年齡有關(guān)聯(lián)？附：χ2=nα0.010.0050.001x6.6357.87910.828【答案】(1)3(2)能夠認(rèn)為司機(jī)對兩種汽車的偏好與年齡有關(guān)聯(lián).【詳解】（1）由題意知年輕司機(jī)中，偏好新能源車的有300人，偏好燃油車的有200人，所以從抽取的年輕司機(jī)中任選1人，此人偏好新能源車的概率為300300+200（2）零假設(shè)為H0由表中的數(shù)據(jù)，得χ依據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0所以能夠認(rèn)為司機(jī)對兩種汽車的偏好與年齡有關(guān)聯(lián).【變式訓(xùn)練91】（2425高三上·湖北襄陽·期末）某學(xué)校在一次調(diào)查“籃球迷”的活動中，獲得了如下數(shù)據(jù)，以下結(jié)論最準(zhǔn)確的是（

）男生女生籃球迷9020非籃球迷6030附：χP0.100.050.010.005k2.7063.8416.6357.789A．有99．B．有99%C．在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下，可以認(rèn)為是否是籃球迷與性別有關(guān)D．在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，可以認(rèn)為是否是籃球迷與性別有關(guān)【答案】D【詳解】列出2×2列聯(lián)表：男生女生籃球迷9020110非籃球迷60309015050200χ2故在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，可以認(rèn)為是否是籃球迷與性別有關(guān).故選：D【變式訓(xùn)練92】某機(jī)構(gòu)為了調(diào)查吃核桃是否能增強(qiáng)注意力，邀請了80名青少年作為研究對象，隨機(jī)分成兩組，實(shí)驗(yàn)組每天吃3~4個核桃，對照組沒有接受任何形式的干預(yù)，持續(xù)6個月后，觀察這80名青少年的注意力變化情況，得到如下數(shù)據(jù).受試者注意力合計增強(qiáng)無明顯改善對照組103040實(shí)驗(yàn)組301040合計404080(1)記每天吃3~4個核桃，持續(xù)6個月后注意力增強(qiáng)的概率為p，求p的估計值；(2)根據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析吃核桃是否與注意力增強(qiáng)有關(guān).附：χ2=nα0.10.050.010.001x2.7063.8416.63510.828【答案】(1)0.75(2)認(rèn)為吃核桃與注意力增強(qiáng)有關(guān)【詳解】（1）由表格數(shù)據(jù)可知，實(shí)驗(yàn)組共有40人，注意力增強(qiáng)的有30人，故p的估計值為3040（2）零假設(shè)為H0根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得χ2根據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷H0即認(rèn)為吃核桃與注意力增強(qiáng)有關(guān).一、單選題1．根據(jù)分類變量x與y的觀測數(shù)據(jù)，計算得到χ2=2.974.依據(jù)α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，結(jié)論為（α0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.89710.828A．變量x與y不獨(dú)立B．變量x與y不獨(dú)立，這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過0.05C．變量x與y獨(dú)立D．變量x與y獨(dú)立，這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過0.05【答案】C【詳解】由表可知當(dāng)α=0.05時，xα因?yàn)棣?=2.974<xα=3.841因?yàn)?.706<χ所以分類變量x與y相互獨(dú)立，這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過0.1，故選：C二、解答題2．判斷兩個分類變量是否有關(guān)系，還可以借助下面的方法來進(jìn)行粗略判斷．其方法為：在2×2列聯(lián)表中，若aa+b與c【答案】答案詳見解析【詳解】列聯(lián)表如下：是否緊張是否內(nèi)向緊張不緊張合計內(nèi)向33294426外向213381594合計5454751020aa+b所以aa+b與cK2所以由99.9%3．某縣有甲、乙兩所規(guī)范化學(xué)校，教育主管部門為了檢驗(yàn)兩校九年級學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，從甲、乙兩校的九年級學(xué)生中，分別隨機(jī)抽取55人和45人（各占全校九年級學(xué)生總數(shù)的15%）進(jìn)行統(tǒng)一試題的數(shù)學(xué)測驗(yàn)．測驗(yàn)結(jié)果如下表（單位：人）：及格情況學(xué)校及格不及格甲校478乙校3015試問：甲、乙兩校九年級學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的差異是否顯著？【答案】有95%以上的把握認(rèn)為甲、乙兩校九年級學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的差異顯著【詳解】由題可得，其2×2列聯(lián)表如下所示：及格情況學(xué)校及格不及格合計甲校47855乙校301545