1．點到直線的距離（1）點到直線的距離：直線外一點到直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離．（2）點到直線的距離是一個長度，而不是一個圖形，也就是垂線段的長度，而不是垂線段．它只能量出或求出，而不能說畫出，畫出的是垂線段這個圖形．2．三角形內(nèi)角和定理（1）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個三角形都有三個內(nèi)角，且每個內(nèi)角均大于0°且小于180°.（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°.（3）三角形內(nèi)角和定理的證明證明方法，不唯一，但其思路都是設(shè)法將三角形的三個內(nèi)角移到一起，組合成一個平角．在轉(zhuǎn)化中借助平行線．（4）三角形內(nèi)角和定理的應用主要用在求三角形中角的度數(shù)．①直接根據(jù)兩已知角求第三個角；②依據(jù)三角形中角的關(guān)系，用代數(shù)方法求三個角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角．3．線段垂直平分線的性質(zhì)（1）定義：經(jīng)過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）垂直平分線，簡稱“中垂線”．（2）性質(zhì)：①垂直平分線垂直且平分其所在線段．②垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，該點叫外心，并且這一點到三個頂點的距離相等．4．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有及．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．5．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．說明：①勾股定理的逆定理驗證利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用是判斷一個三角形是不是直角三角形．必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．（2）運用勾股定理的逆定理解決問題的實質(zhì)就是判斷一個角是不是直角．然后進一步結(jié)合其他已知條件來解決問題．注意：要判斷一個角是不是直角，先要構(gòu)造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．6．勾股定理的應用（1）在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形．（2）在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結(jié)合是解決實際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型，畫出準確的示意圖．領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應用．（3）常見的類型：①勾股定理在幾何中的應用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關(guān)線段的長度．②由勾股定理演變的結(jié)論：分別以一個直角三角形的三邊為邊長向外作正多邊形，以斜邊為邊長的多邊形的面積等于以直角邊為邊長的多邊形的面積和．③勾股定理在實際問題中的應用：運用勾股定理的數(shù)學模型解決現(xiàn)實世界的實際問題．④勾股定理在數(shù)軸上表示無理數(shù)的應用：利用勾股定理把一個無理數(shù)表示成直角邊是兩個正整數(shù)的直角三角形的斜邊．一．選擇題（共5小題）1在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c，則下列條件中不能說明△ABC是直角三角形的是()Aa+babc2C．a(chǎn)：b：c＝1：2：3D．6∠A＝2∠B＝3∠C2如圖，△ABC中，AB＝1，BC＝2，AD是BC邊上的中線，則AD的3我國南宋著名數(shù)學家秦九韶的著作《數(shù)書九章》里記載有這樣一道題：“問有沙田一塊，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知為田幾何？”這道題講的是：有一塊三角形沙田，三條邊長分別為5里，12里，13里，則這塊沙田的面積為()A．65平方里B．60平方里C．325平方里D．30平方里4在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別記為a，b，c，下列結(jié)論中不正確的A．如果a2＝b2c2，那么△ABC是直角三角形且∠A＝90°B．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，那么△ABC是直角三角形C．如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形D．如果∠A∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形5古埃及人曾經(jīng)用如圖所示的方法畫直角：把一根長繩打上等距離的13個結(jié)，然后以3個結(jié)間距、4個結(jié)間距、5個結(jié)間距的長度為邊長，用木樁釘成一個三角形，其中一個角便是直角．這樣做的道理是()A．直角三角形兩個銳角互余B．三角形內(nèi)角和等于180°C．直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方D．如果三角形兩條邊的平方和等于第三條邊的平方，那么這個三角形是直角三角形二．填空題（共5小題）6如圖，AB⊥l1，CB⊥l2，且AB＝12，AC＝5，BC＝13，則點C到直線AB的距離是．7一個三角形的三邊長分別為6，8，10，則這個三角形最長邊上的中線為．8如圖，P是直線l外一點，A、B、C三點在直線l上，且PB⊥l于點B，∠APC＝90°,若PA＝4，PC＝3，AC＝5，則點A到直線PC的距離是．9已知圖是4×5的方格紙，其中每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點，已知格點線段AB．請寫出使得△ABC為直角三角形的格點C有個．10如圖，在3×3的網(wǎng)格上標出了∠1和∠2，則∠1+∠2=.三．解答題（共5小題）11如圖，每個小正方形的邊長都為1．（1）求四邊形的面積與周長；（2）試判斷△BCD的形狀．12如圖，四邊形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°.（1）判斷∠D是否是直角，并說明理由．（2）求四邊形ABCD的面積．13如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1．（1）求△ABC的周長；（2）求證：∠ABC＝90°;（3）若點P為直線AC上任意一點，則線段BP的最小值為．14如圖，在△ABC中，AB邊上的垂直平分線DE與AB、AC分別交于點D、（1）求證：∠C＝90°;（2）若AC＝8，BC＝6，求CE的長．15如圖，在四邊形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝3，（1）求AC的長；（2）求四邊形ABCD的面積．一．選擇題（共5小題）題號12345答案CDDAD一．選擇題（共5小題）1在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c，則下列條件中不能說明△ABC是直角三角形的是()Aa+babc2C．a(chǎn)：b：c＝1：2：3D．6∠A＝2∠B＝3∠C【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理逆定理、三角形內(nèi)角和定理、三角形三邊關(guān)系分析各選項是否滿足直角三角形的條件即可．【解答】解：分析各選項如下：選項A、∵（a+babc2，展開得a2b2＝c2，即a2＝b2+c2，符合勾股定理逆定理，故△ABC是直角三角形；又∵三角形內(nèi)角和為180°,）＝選項C、設(shè)a＝k，b＝2k，c＝3k（k＞0則a+b＝c，不能構(gòu)成三角形，故該選項符合題意，選項D：D、設(shè)6∠A＝2∠B＝3∠C＝6k，則∠A＝k，∠B＝3k，∠C＝2k，∵∠A+∠B+∠C＝180°,故選：C．2如圖，△ABC中，AB＝1，BC＝2，AD是BC邊上的中線，則AD的【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，進而利用勾股定理解答即可．【解答】解：∵△ABC中，AB＝1，BC＝2，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°,∵AD是BC邊上的中線，由勾股定理得，故選：D．3我國南宋著名數(shù)學家秦九韶的著作《數(shù)書九章》里記載有這樣一道題：“問有沙田一塊，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知為田幾何？”這道題講的是：有一塊三角形沙田，三條邊長分別為5里，12里，13里，則這塊沙田的面積為()A．65平方里B．60平方里C．325平方里D．30平方里【答案】D【分析】直接利用勾股定理的逆定理進而結(jié)合直角三角形面積求法得出答案．【解答】解：∵52+122＝169，132＝169，∴根據(jù)勾股定理，52+122＝132，∴三條邊長分別為5里，12里，13里，構(gòu)成了直角三角形，∴這塊沙田面積為平方里綜上所述，只有選項D正確，符合題意，故選：D．4在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別記為a，b，c，下列結(jié)論中不正確的A．如果a2＝b2c2，那么△ABC是直角三角形且∠A＝90°B．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，那么△ABC是直角三角形C．如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形D．如果∠A∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形【答案】A【分析】根據(jù)直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可．【解答】解：A、如果a2＝b2c2，即b2＝a2+c2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90°,選項錯誤，符合題意；B、如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，由∠A+∠B+∠C＝180°,可得∠A＝90°,那么△ABC是直角三角形，選項正確，不符合題意；C、如果a2：b2：c2＝9：16：25，滿足a2+b2＝c2，那么△ABC是直角三角形，選項正確，不符合題意；D、如果∠A∠B=∠C，由∠A+∠B+∠C＝180°,可得∠A＝90°,那么△ABC是直角三角形，選項正確，不符合題意；故選：A．5古埃及人曾經(jīng)用如圖所示的方法畫直角：把一根長繩打上等距離的13個結(jié)，然后以3個結(jié)間距、4個結(jié)間距、5個結(jié)間距的長度為邊長，用木樁釘成一個三角形，其中一個角便是直角．這樣做的道理是()A．直角三角形兩個銳角互余B．三角形內(nèi)角和等于180°C．直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方D．如果三角形兩條邊的平方和等于第三條邊的平方，那么這個三角形是直角三角形【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理解題即可．【解答】解：設(shè)相鄰兩個結(jié)點的距離為m，則此三角形三邊的長分別為3m、4m、5m，∵（3m）2+（4m）25m）2，∴以3m、4m、5m為邊長的三角形是直角三角形（如果三角形的兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形故選：D．二．填空題（共5小題）6如圖，AB⊥l1，CB⊥l2，且AB＝12，AC＝5，BC＝13，則點C到直線AB的距離是5．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)點C到直線AB的距離即為AC的長求解即可．【解答】解：∵AB⊥l1，∴點C到直線AB的距離是5，故答案為：5．7一個三角形的三邊長分別為6，8，10，則這個三角形最長邊上的中線為5．【考點】勾股定理的逆定理．【分析】根據(jù)已知先判定其形狀，再根據(jù)三角形的面積公式求得其高．【解答】解：∵三角形的三邊長分別為6，8，10，符合勾股定理的逆定理62+82＝102，∴此三角形為直角三角形，則10為直角三角形的斜邊，∵三角形斜邊上的中線是斜邊的一半，∴三角形最長邊上的中線為5．故答案為：5．8如圖，P是直線l外一點，A、B、C三點在直線l上，且PB⊥l于點B，∠APC＝90°,若PA＝4，PC＝3，AC＝5，則點A到直線PC的距離是4．【答案】4．【分析】先利用勾股定理的逆定理證明△APC為直角三角形，得AP⊥PC，然后再根據(jù)點到直線距離的定義可得出答案．∴△APC為直角三角形，即∠APC＝90°,∴AP⊥PC，∴點A到直線PC的距離是是線段AP的長，即點A到直線PC的距離是是4．故答案為：4．9已知圖是4×5的方格紙，其中每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點，已知格點線段AB．請寫出使得△ABC為直角三角形的格點C有6個．【答案】6．【分析】根據(jù)直角三角形的定義畫出圖形即可．【解答】解：如圖：滿足條件的格點C有6個，故答案為：6．10如圖，在3×3的網(wǎng)格上標出了∠1和∠2，則∠1+∠2＝45°.【答案】45°.【分析】如圖，由AP∥BQ，CM∥AN知∠1=∠BAP，∠2=∠CAN，再利用勾股定理逆定理證△ABC是等腰直角三角形，得∠BAC＝45°,據(jù)此可得∠BAP+∠CAN＝45°,繼而得出答案．【解答】解：如圖，∵AP∥BQ，CM∥AN，設(shè)每個小正方形的邊長為a，∴AB2+BC2＝5a2+5a2＝10a2＝AC2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAP+∠CAN＝45°,故答案為：45°.三．解答題（共5小題）11如圖，每個小正方形的邊長都為1．（1）求四邊形的面積與周長；（2）試判斷△BCD的形狀．解：（1）周長面積14.5；（2）△BCD是直角三角形．【分析】（1）利用勾股定理求出AB、BC、CD和DA的長，即可求出四邊形ABCD的周長；利用分割法即可求出四邊形的面積；（2）連接BD，求出BD的長，利用勾股定理的逆定理即可證明出結(jié)論．【解答】解1）根據(jù)勾股定理得面積為（2）連接BD，∴BC2+CD2＝BD2，∴△BCD是直角三角形．12如圖，四邊形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°.（1）判斷∠D是否是直角，并說明理由．（2）求四邊形ABCD的面積．【答案】（1）∠D是直角．理由見解析；（2）234．【分析】（1）連接AC，根據(jù)勾股定理可知AC2＝BA2+BC2，再根據(jù)AC2＝DA2+DC2即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ADC即可得出結(jié)論．理由：連接AC，∵DA2+CD2＝242+72＝625，∴AC2＝DA2+DC2，∴△ADC是直角三角形，即∠D是直角；（2）解：∵S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ADC，=234．13如圖，在4×4的正方形