第49講互斥事件和獨(dú)立事件的概率及條件概率

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.了解互斥事件，相互獨(dú)立事件和條件概率的意義及其運(yùn)算公式.

2.理解獨(dú)立重發(fā)試臉的模型，會(huì)計(jì)算事件在n次獨(dú)立重發(fā)試臉中發(fā)生k次的概率.

【基礎(chǔ)檢測(cè)】

】.某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是().75,連續(xù)兩天為

優(yōu)良的概率是0.6,已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是

()

A.0.4B.0.6C.0.75D.0.8

【解析】設(shè)“某一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”為事件A,“隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”為

事件B,則P(A)=0.75,P(AB)=0.6,

.-.P(B|A)=y^-=^=0,8.

【答案】D

2.某學(xué)校10位同學(xué)組成為志愿者組織分別由李老師和張老師負(fù)責(zé)，每次獻(xiàn)愛(ài)心活動(dòng)均

需該組織4位同學(xué)參加.假設(shè)李老師和張老師分別將各自活動(dòng)通知的信息獨(dú)立隨機(jī)地發(fā)給4

位同學(xué)，且所發(fā)信息都能收到,則甲同學(xué)收到李老師或張老師所發(fā)活動(dòng)通知的信息的概率為

()

,2c12-16c4

4/2S6-25^5

【解析】設(shè)甲同學(xué)收到李老師的信息為事件A,收到張老師的信息為事件B,A、B相互

42

獨(dú)立，P(A)=P(B)=^=(則甲同學(xué)收到李老師或張老師所發(fā)活動(dòng)通知的信息的概率為P

1UO

=1—P(AB)=1—(1—P(A))(1—P(B))=1—|x|=||.

0040

【答案】c

3.某次戰(zhàn)役中，狙擊手A受命射擊敵機(jī)，若要擊落敵機(jī)，需命中機(jī)首2次或命中機(jī)中

3次或命中機(jī)尾1次，已知A每次射擊，命中機(jī)首、機(jī)中、機(jī)尾的概率分別為0.2、0.4、0.1,

未命中敵機(jī)的概率為0.3,且各次射擊相互獨(dú)立.若A至多射擊兩次，則他能擊落敵機(jī)的概

率為()

A.0.2313.0.2C.0.16D.0.1

【解析】A每次射擊，命中機(jī)首、機(jī)中、機(jī)尾的概率分別為0.2、0.4、0.1,未命中敵

機(jī)的概率為0.3,且各次射擊相互獨(dú)立，若A射擊一次就擊落敵機(jī)，則他擊中了敵機(jī)的機(jī)尾，

故概率為0.1：若A射擊2次就擊落敵機(jī)，則他2次都擊中了敵機(jī)的機(jī)首，概率為0.2X0.2

=0.04；或者A第一次沒(méi)有擊中機(jī)尾、且第二次擊中了機(jī)尾，概率為0.9X0.1=0.09,若A

至多射擊兩次，則他能擊落敵機(jī)的概率為0.1+0.04+0.09=0.23.

【答案】A

4.一個(gè)盒子中裝有4只產(chǎn)品，其中3只是一等品，1只是二等品，從中取產(chǎn)品兩次，

每次任取1只，做不放回抽樣.設(shè)事件A為“第一次取到的是一等品"，事件B是“第二次

取到的是一等品“，則P(B|A1=.(P(B|A)為A在發(fā)三的條件下B發(fā)生的概率)

【解析】將產(chǎn)品進(jìn)行編號(hào)，1,2,3號(hào)為一等品，4號(hào)為二等品，用(i,j)表示第一次.

第二次分別取到第i號(hào)、第j號(hào)產(chǎn)品(i,j=l，2,3,4),

則試驗(yàn)的基本事件空間為｛(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,

1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)).

則事件A包含9個(gè)基本事件，事件AB包含有6個(gè)基本事件，

根據(jù)條件概率公式P(BAl」；r'\i\)=?沁o

9

【答案】苗

【知識(shí)要點(diǎn)】

1.互斥事件與對(duì)立事件

(1)互斥事件：若AAB為不可能事件(ACB=。)，則稱事件A與事件B互斥，其含義是：

事件A與事件B在任何一次試驗(yàn)中不會(huì)同時(shí)發(fā)生.

(2)對(duì)立事件：若AAB為不可能事件，而AUB為必然事件，那么事件A與事件B互為

對(duì)立事件，其含義是：事件A與事件B在任何一次試驗(yàn)中有且漢有一個(gè)發(fā)生.

2.概率的幾個(gè)基本性質(zhì)

(1)概率的取值范圍：OWP(A)W1.

(2)互斥事件的概率加法公式:

①P(AUB)=P(A+B)=P(A)+P(B)(A,B月.斥).

②P(AiUA?U…UA,.)=P(A)UP(A2)U「?UP(AJ或Pd+A?+…+A“)=P(A】)+

P(A?)~l------HP(Ar).(Al,Ao,,,,,A”互斥).

③時(shí)立事件的概率：P(A)=l-P(A).

3.條件概率及其性質(zhì)

(1)對(duì)于任何兩個(gè)事件A卻B,在已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做條

P(AR)

件概率，用符號(hào)P(RA)來(lái)表示，其公式為P(R|A)=「.

(2)條件概率具有的性質(zhì)：

①OWP(B|A)W1；

②如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則P(BUC|A)=P(BA)+P(CA).

4.相互獨(dú)立事件

(1)對(duì)于事件A,B,若A的發(fā)生與B的發(fā)生互不影響，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立

_?

(2)若A與B相互獨(dú)立，則P(BA)=P(B),P(AB)=P(A)P(B).

(3)若A與B相互獨(dú)立，則A與B,A與B,A與B也都相互獨(dú)立.

5.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布

(1)兩個(gè)相互獨(dú)立事件A,B同時(shí)發(fā)生的概率為P(A-B)=P(A)-P(B),此公式可推廣到

n個(gè)相互獨(dú)立事件，則P(A)?品....An)=P(A.)?P(A2)...........P(A?).

(2)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概

率為P，則P(X=k)=dpk(l—p)nf,k=0,1,2,…，n.稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記

作X?B(n,p),并稱p為成切概率.

事廣

睡例剖析［0G

考點(diǎn)】互斥事件、對(duì)立事件的概率計(jì)算

例1設(shè)甲袋裝有m個(gè)白球，n個(gè)黑球，乙袋裝有m個(gè)黑球，n個(gè)白球，從甲、乙袋中各摸

一球，設(shè)事件A：“兩球同色”，事件B：“兩球異色”，試比較P(A)與P(B)的大小.

【解析】基本事件總數(shù)為(m+n),,“兩球同色”可分為“兩球皆白”或“兩球皆黑”，

mn____mn________2mn

則P(A)(m+n)(m+n：2=(m+n)2,

5

即從甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，至少有一個(gè)一等品的概率是在

【點(diǎn)評(píng)】相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的2種求法

(1)直接法：利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式：

(2)間接法：從對(duì)立事件入手計(jì)算.

考點(diǎn)3條件概率及其計(jì)算

例3(1)拋擲一枚均勻的骰子所得的樣本空間為。={1，2,3,4,5,6},令事件A={2,

3,5},B={1,2,4,5,6},則P(A|B)等于()

A?尹尹/仁

【解析】在事件B發(fā)生的條件下研究事件A,總共有5種結(jié)果，而事件AB只含有其中

的2種，所以P(A|B)

nID/u

【答案】A

(2)某種節(jié)能燈使用了80Dh,還能繼續(xù)使用的概率是0.8,使用了1000h還能繼續(xù)使

用的概率是0.5,則已經(jīng)使用了800h的節(jié)能燈,還能繼續(xù)使用到1000h的概率是________.

【解析】設(shè)“節(jié)能燈使用了800h還能繼續(xù)使用”為事件A,“使用了1000h還能繼

續(xù)使用”為事件B.

由題意知P(A)=0.8,P(B>=0.5.???BGA,，AnB=B，于是P(B|A)=?；；)-=,

_0.5_5

=0?8=8-

R

【答案】鼻

【點(diǎn)評(píng)】條件概率的2種求法：

(1)定義法

D/AD\

先求P(A)和P(AB),再由P(BA)=n入、，求P(B|A).

(2)基本事件法

當(dāng)基本事件適合有限性和等可能性時(shí)，可借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基

本事件數(shù)n(A),再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)n(AB),得P(B|A)=

n(AB)

n(A),

考點(diǎn)4互斥事件、相互獨(dú)立事件的綜合問(wèn)題

例4甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接矗得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連

2I

勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽.假設(shè)每局甲獲勝的概率為Q，乙獲勝的概率為『各局比

*5J

賽結(jié)果相互獨(dú)立.

(1)求甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽的概率；

(2)記X為比賽決出勝負(fù)時(shí)的總局?jǐn)?shù)，求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望).

【解析】用A表示“甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽”，人表示“第k局甲獲勝”，Bk

表示“第k局乙獲勝”，

2I

則P(Ak)=w，P(BOk=l,2,3,4,5.

JJ

(DP(A)=P(A,A2)+P(BAAa)十P(AHA：AJ

=P(A,)P(A2)+P(B.)P(A2)P(A3)+P(A,)P(B＞)P(A：I)P(A.)

,21'21256

3卜方

JJ

(2)X的可能取值為2,3,4,5.

5

P(X=2)=P(A,A2)+P(BA)=P(AJP(A2)+P(B)P(昆)

P(X=3)=F(BiA2A3)+P(AD2D3)

2

=P(B)P(A)P(AJ+P(AI)P(BJP(B：＜)=-,

2y

P(X=4)=P(A1B2A3A.)+P(BIABR)

=P(AI)P(4)P(AJP(A)+P(B.)P(A2)P(B：＜)P(B,)=9,

o

P(X=5)=1-P(X=2)-F(X=3)—P(X=4)=—

o1

故X的分布列為

X2345

5210

998?

E(X)=2X沁痣+4X《+5X籍等.

【點(diǎn)評(píng)】理解題意，領(lǐng)會(huì)事件的實(shí)質(zhì)是將所求概率的事件分解為互斥事件和與相互獨(dú)立

事件積.

考點(diǎn)5n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布的概率計(jì)算

例5某氣象站天氣預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確率為80%,計(jì)算(給果保用到小數(shù)點(diǎn)后第2位)：

(1)5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確的概率：

(2)5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確的概率；

(3)5次預(yù)報(bào)中恰有2次也確，旦其中第3次預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率.

【解析】令X表示5次預(yù)報(bào)中預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的次數(shù)，則X?*,5故概率P(X=k)=cg)

ly4\5-k

I1-1(k=0,1,2,3,4,5).

(1)”5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確”的概率為P(X=2)=累*("2*(1—33=10乂￡乂表

??().05.

(2)“5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確”的概率為P(X22)=l—P(X=0)—P(X=l)=l—C^X

@乂(1一號(hào)3—以乂白(1一野=1-0.00032-0.0064^0.99.

(3)”5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確，且其中第3次預(yù)報(bào)準(zhǔn)確”的概率為(::乂熹乂。一?)'*2

Q0.02.

【點(diǎn)評(píng)】二項(xiàng)分布滿足的3個(gè)條件

(1)每次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率是相同的.

(2)各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的.

(3)每次試驗(yàn)中只有兩種結(jié)果：事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生.

J方法總結(jié)6"

】?準(zhǔn)確把握事件之間的運(yùn)算關(guān)系是利用公式求概率的前提，而判斷兩個(gè)事件的關(guān)系是

解題的關(guān)鍵，要把幾個(gè)概念的要點(diǎn)分析清楚，可以通過(guò)實(shí)物和集合的知識(shí)從感性到理性來(lái)加

深理解，要特別注意公式成立的前提條件，并結(jié)合止反實(shí)例對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行加深與鞏固.

2.注意從題目一些字眼，如“互相獨(dú)立”、“互不影響”中分析各事件是否為獨(dú)立事

件.

3.對(duì)于n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中事件有X次發(fā)生的概率計(jì)算，要果斷使用公式解題，這樣

可以節(jié)約解題時(shí)間.

4.注意一些事件如獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，若隨機(jī)變量不是“事件發(fā)生的次數(shù)”，這時(shí)就不可

1.(2018?全國(guó)卷HI)某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為p,各成員的支付

方式相互獨(dú)立.設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)，DX=2.4,P(X=4)<P(X

=6),則p=()

A.0.7B.0.6C.0.4I).0.3

【解析】VDX=np(l—p),p=0.4或者p=0.6,

P(X=4)=Ciop4(l—p)6<P(X=6)=C?op6(l—p)\可知p>0.5,所以p=0.6.

【答案】B

2.(2016?全國(guó)卷H)某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位：元)，繼續(xù)購(gòu)買該險(xiǎn)種的投保人稱

為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：

上年度出

險(xiǎn)次數(shù)01234孑5

保費(fèi)0.85aa1.25a1.5a1.75a2a

設(shè)該險(xiǎn)種一續(xù)保人一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)與相應(yīng)概率如下:

一年內(nèi)出

險(xiǎn)次數(shù)0123425

概率0.300.150.200.200.100.05

(1)求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率:

(2)若一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)，求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60舟的概率:

(3)求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值.

【解析】(1)設(shè)續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)為事件A,

則P(A)=1-P(A)=1-(O.30+0.15)=0.55.

(2)設(shè)續(xù)保人保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60$為事件B,

則P(B|A)=f^0.104-0.05_3

0.55-=77,

(3)設(shè)本年度所交保費(fèi)為隨機(jī)變量X.

X0.85aa1.25a1.5a1.75a2a

p0.300.150.200.200.100.05

平均保費(fèi)

E(X)=0.85aX0.30+0.15a+l.25aX0.20+1.5aXO.20-F1.75aX0.10+2aX0.05=

0.255a+0.15a+0.25a+0.3a+0.175a+0.la=1.23a,

.??平均保費(fèi)與基本保費(fèi)比值為1.23.

3.(2017?天津)從甲地到乙地要經(jīng)過(guò)3個(gè)十字路口，設(shè)各路口信號(hào)燈工作相互獨(dú)立，

且在各路口遇到紅燈的概率分別為:，7.

(1)記X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望:

(2)若有2輛車獨(dú)立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率.

【解析】(D隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3.

P(X=0)=(T)X(T)=/

所以，隨機(jī)變量K的分布列為

X0123

1111

P

424424

隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=()X；+1乂!|+2乂｝+3乂==導(dǎo).

(2)設(shè)Y表示第一輛車遇到紅燈的個(gè)數(shù)，Z表示第二輛車遇到紅燈的個(gè)數(shù)，則所求事件

的概率為P(Y+Z=1)=P(Y=O,Z=1)+P(Y=1,Z=O)=P(Y=O)P(Z=1)+P(Y=1)P(Z=

,1111111]

°F藥+藥x廣而

所以，這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率墟.

4<5

考點(diǎn)集訓(xùn)【P必】

A組題

1.小王通過(guò)英語(yǔ)聽(tīng)力測(cè)試的概率是:，他連續(xù)測(cè)試3次，那么其中恰有1次獲得通過(guò)的

概率是（）

42,42

A."B./—D.—

2

【解析】所求概率P=C；?；?11n4

3,9'

【答案】A

2.學(xué)生李明上學(xué)要經(jīng)過(guò)4個(gè)路口，前三個(gè)路口遇到紅燈的概率均為第四個(gè)路口遇到

紅燈的概率*,設(shè)在各個(gè)路口是否遇到紅燈互不影響，則李明從家到學(xué)校恰好遇到一次紅

燈的概率為（）

A4441

244248

【解析】分兩種情況求解：

①前三個(gè)路口恰有一次紅燈，且第四個(gè)路口為綠燈的概率為C；?（1?g,（1一步/

②前三個(gè)路口都是綠燈，第四個(gè)路口為紅燈的概率為信丫-1=77.

由互斥事件的概率加法公式可得所求概率為捺+/=（.

【答案】A

42

3.某地區(qū)氣象臺(tái)統(tǒng)計(jì)，該地區(qū)下雨的概率是云，刮風(fēng)的概率為正，既刮風(fēng)又下雨的概

1510

率為卷，則在下雨天里，刮風(fēng)的概率為（）

A?怒B-?-3D-8

【解析】因?yàn)樵谙掠晏炖?，刮風(fēng)的概率為既刮風(fēng)又下雨的概率除以下雨的概率，所以在

1

To3

下雨天里，刮風(fēng)的概率為工不.

Z1O

15

【答案】D

4.爾夕兩支籃球隊(duì)進(jìn)行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束.除第

五局A隊(duì)獲勝的概率是)外，其余每局比賽，隊(duì)獲勝的概率都是J假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨(dú)

Zo

立.則力隊(duì)以3：2獲得比賽勝利的概率為()

_4_216_8_

A，27B,薩810'27

【解析】若“力隊(duì)以3：2勝利”，

則前四局力、8各勝兩局，

第五局力勝利，

因?yàn)楦骶直荣惤Y(jié)果相互獨(dú)立，

所以A隊(duì)以3：2獲得比賽勝利的概率為

4雷)黑傳)號(hào)=今.

【答案】A

5.拋擲-?枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記事件力={兩次的點(diǎn)數(shù)均為奇數(shù)},占={兩次的點(diǎn)

數(shù)之和小于7},則P(8|小=()

14,52

A.尹5c.5D-3

D(JD)

【解析】由題意得/W)=/,(J),兩次的點(diǎn)數(shù)均為奇數(shù)且和小于7的情況有(1,1),

(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(5,1),則

"'例=限=1P{A}=CS=V'-MJ)=T77F=3-

【答案】D

6.設(shè)事件力在每次試驗(yàn)中發(fā)生.的概率相同，在三次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，若事件力至少發(fā)

生一次的概率為叁，則事件力恰好發(fā)生一次的概率為_(kāi)_______.

04

【解析】假設(shè)事件力在每次試驗(yàn)中發(fā)生稱試驗(yàn)成功，設(shè)每次試驗(yàn)成功的概率為夕，由題

意得，事件/發(fā)生的次數(shù)—8(3,⑼，則有1—(1—4=獸，得片*則事件/恰好發(fā)生

一次的概率為c；x；x(i一號(hào)=言

9

【答案】而

7.事件4凡C,相互獨(dú)立，如果P(附=:，夕(力C)=1,P{ABC)=1,貝ljPS=_______,

boo

P[AB)=

c、1

P(J)-P(6)=T,

6

【解析】由《〃(力?P(C=：,

o

P(J)?P(B)?尸(Z)=1,

Io

得"(得=:,p⑵=〈,

J乙

——211

:.PlAR)=P(A)?P(而=-X-=-

J/J

【答案】:：:

8.某市為了調(diào)查學(xué)?！瓣?yáng)光體育活動(dòng)”在高三年級(jí)的實(shí)施情況，從本市某校高三男生

中隨機(jī)抽取一個(gè)班的男生進(jìn)行投擲實(shí)心鉛球(重3kg)測(cè)試，成績(jī)?cè)?.9米以上的為合格.把

所得數(shù)據(jù)進(jìn)行整理后，分成5組畫出頻率分布直方圖的一部分(如圖所示)，已知成績(jī)?cè)赱9.9,

11.4)的頻數(shù)是4.

頻率

麗

(1)求這次鉛球測(cè)試成績(jī)合格的人數(shù)；

(2)若從今年該市高中畢業(yè)男生中隨機(jī)抽取兩名，記f表示兩人中成績(jī)不合格的人數(shù),

利用樣本估計(jì)總體，求<的分布列.

【解析】(1)由直方圖知，成績(jī)?cè)冢?析，11.4)的頻率為1-(0.05+0.22+0.30+

0.03)X1.5=0.1.

4

因?yàn)槌煽?jī)?cè)冢?.9,U.4)的頻數(shù)是4,故抽取的總?cè)藬?shù)為67=40.

又成績(jī)?cè)?.9米以上的為合格，所以這次鉛球測(cè)試成績(jī)合格的人數(shù)為40-

0.05X1.5X40=37.

(2)《的所有口J能的取值為0,1,2,利用樣本估計(jì)總體，從今年該市高中畢業(yè)男生中

隨機(jī)抽取一名成績(jī)合格的概率為W成績(jī)不合格的概率為1一斗=焉可判斷一心，獨(dú)

TVTVTV\?V/

的21369

P(f=o)=c；x園I=1600'

/(<-D-C2X40X40-800,

P('=2)=C：X(京)m6oo'

故所求分布列為

X012

13691119

p

16008001600

B組題

1.一個(gè)盒子里裝有大小、形狀、質(zhì)地相同的12個(gè)球，其中黃球5個(gè)，藍(lán)球4個(gè)，綠球

3個(gè).現(xiàn)從盒子中隨機(jī)取出兩個(gè)球，記事件/為“取出的兩個(gè)戲顏色不同”，事件8為“取

出一個(gè)黃球，一個(gè)綠球"，則P(0力)=()

人梟拉齊噂

【解析】記事件為月”取中的兩個(gè)球顏色不同”，

事件〃為“取出一個(gè)黃球，一個(gè)綠球”，

-—

/ACi2—dC?Cl47

貝D一直一=標(biāo)，

cide；5

P"協(xié)=飛■=應(yīng)，

5

,?、P（AB）2215

??狄川用=刀再一=五=萬(wàn).