第54頁（共54頁）2025年廣東省廣州市番禺區(qū)中考數(shù)學(xué)三模試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．（3分）（2017?北京）下列圖形中，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）（2025?番禺區(qū)三模）下列運算正確的是（）A．a(chǎn)2+a3＝a6 B．（ab）2＝ab2 C．（a+b）2＝a2+b2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b23．（3分）（2025?番禺區(qū)三模）如果x2+2mx+9是一個完全平方式，則m的值是（）A．3 B．±3 C．6 D．±64．（3分）（2023?衢州）如圖是脊柱側(cè)彎的檢測示意圖，在體檢時為方便測出Cobb角∠O的大小，需將∠O轉(zhuǎn)化為與它相等的角，則圖中與∠O相等的角是（）A．∠BEA B．∠DEB C．∠ECA D．∠ADO5．（3分）（2024?天津）估計10的值在（）A．1和2之間 B．2和3之間 C．3和4之間 D．4和5之間6．（3分）（2018?廣州）甲袋中裝有2個相同的小球，分別寫有數(shù)字1和2；乙袋中裝有2個相同的小球，分別寫有數(shù)字1和2．從兩個口袋中各隨機取出1個小球，取出的兩個小球上都寫有數(shù)字2的概率是（）A．12 B．13 C．14 7．（3分）（2025?番禺區(qū)三模）若點A（x1，﹣1），B（x2，1），C（x3，5）都在反比例函數(shù)y=5x的圖象上，則x1，x2，A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x3＜x2＜x1 D．x2＜x1＜x38．（3分）（2024?無錫）下列命題中，是真命題的為（）A．一組對邊平行、另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形 B．對角線互相平分的四邊形是矩形 C．一組對邊相等且對角線互相垂直的四邊形是菱形 D．三個角是直角且對角線互相垂直的四邊形是正方形9．（3分）（2024?天津）如圖，△ABC中，∠B＝30°，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△DEC，點A，B的對應(yīng)點分別為D，E，延長BA交DE于點F，下列結(jié)論一定正確的是（）A．∠ACB＝∠ACD B．AC∥DE C．AB＝EF D．BF⊥CE10．（3分）（2024?天津）從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度h（單位：m）與小球的運動時間t（單位：s）之間的關(guān)系式是h＝30t﹣5t2（0≤t≤6）．有下列結(jié)論：①小球從拋出到落地需要6s；②小球運動中的高度可以是30m；③小球運動2s時的高度小于運動5s時的高度．其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）11．（3分）（2025?番禺區(qū)三模）0.00000032用科學(xué)記數(shù)法表示為．12．（3分）（2025?番禺區(qū)三模）若代數(shù)式xx-4有意義，則實數(shù)x的取值范圍是13．（3分）（2023?衢州）如圖是一個圓形餐盤的正面及其固定支架的截面圖，凹槽ABCD是矩形．當餐盤正立且緊靠支架于點A，D時，恰好與BC邊相切，則此餐盤的半徑等于cm．14．（3分）（2024?揚州）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（1，0），點B在反比例函數(shù)y=kx（x＞0）的圖象上，BC⊥x軸于點C，∠BAC＝30°，將△ABC沿AB翻折，若點C的對應(yīng)點D落在該反比例函數(shù)的圖象上，則k的值為15．（3分）（2024?揚州）數(shù)學(xué)興趣小組做拋擲一枚瓶蓋的實驗后，整理的實驗數(shù)據(jù)如下表：累計拋擲次數(shù)501002003005001000200030005000蓋面朝上次數(shù)2854106157264527105615872650蓋面朝上頻率0.5600.5400.5300.5230.5280.5270.5280.5290.530根據(jù)以上實驗數(shù)據(jù)可以估計出“蓋面朝上”的概率約為.（精確到0.01）16．（3分）（2023?衢州）下面是勾股定理的一種證明方法：圖1所示紙片中，∠ACB＝90°（AC＜BC），四邊形ACDE，CBFG是正方形．過點C，B將紙片CBFG分別沿與AB平行、垂直兩個方向剪裁成四部分，并與正方形ACDE，△ABC拼成圖2．（1）若cos∠ABC=34，△ABC的面積為16，則紙片Ⅲ的面積為（2）若PQBQ=1915，則BKAK三、解答題（本大題共9小題，共66分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或推理過程）17．（7分）（2023?廣州）解方程：x2﹣6x+5＝0．18．（7分）（2024?南京）如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AD＝BC，對角線AC是⊙O的直徑．求證：四邊形ABCD是矩形．19．（7分）（2025?番禺區(qū)三模）小紅家到學(xué)校有兩條公共汽車線路．為了解兩條線路的乘車所用時間，小紅做了試驗，第一周（5個工作日）選擇A線路，第二周（5個工作日）選擇B線路，每天在固定時間段內(nèi)乘車2次并分別記錄所用時間．數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：（單位：min）數(shù)據(jù)統(tǒng)計表實驗序號12345678910A線路時間15321516341821143520B線路時間25292325272631283024根據(jù)以上信息解答下列問題：平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差極差A(yù)線路所用時間22a15d21B線路所用時間b26.5c6.36e（1）請直接寫出a，c的值，并求出b，d，e三個數(shù)量的值；（2）應(yīng)用你所學(xué)的統(tǒng)計知識幫助小紅分析如何選擇乘車線路，并利用至少2個統(tǒng)計量說明理由．20．（7分）（2015?廣州）已知A=x（1）化簡A；（2）當x滿足不等式組x-1≥0x-321．（7分）（2017?北京）如圖，在平面直角坐標系xOy中，函數(shù)y=kx（x＞0）的圖象與直線y＝x﹣2交于點A（3，（1）求k、m的值；（2）已知點P（n，n）（n＞0），過點P作平行于x軸的直線，交直線y＝x﹣2于點M，過點P作平行于y軸的直線，交函數(shù)y=kx（x＞0）的圖象于點①當n＝1時，判斷線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②若PN≥PM，結(jié)合函數(shù)的圖象，直接寫出n的取值范圍．22．（7分）（2024?無錫）如圖，在△ABC中，AB＜AC．（1）尺規(guī)作圖：求作點D，使得∠DBC＝∠DCA＝∠ACB；（不寫作法，保留痕跡）（2）在（1）的條件下，若BC＝8，tan∠ACB=34，則CD＝23．（7分）（2023?杭州）如圖，在⊙O中，直徑AB垂直弦CD于點E，連接AC，AD，BC，作CF⊥AD于點F，交線段OB于點G（不與點O，B重合），連接OF．（1）若BE＝1，求GE的長．（2）求證：BC2＝BG?BO．（3）若FO＝FG，猜想∠CAD的度數(shù)，并證明你的結(jié)論．24．（13分）（2024?天津）將一個平行四邊形紙片OABC放置在平面直角坐標系中，點O（0，0），點A（3，0），點B，C在第一象限，且OC＝2，∠AOC＝60°．（Ⅰ）填空：如圖①，點C的坐標為，點B的坐標為；（Ⅱ）若P為x軸的正半軸上一動點，過點P作直線l⊥x軸，沿直線l折疊該紙片，折疊后點O的對應(yīng)點O′落在x軸的正半軸上，點C的對應(yīng)點為C′．設(shè)OP＝t．①如圖②，若直線l與邊CB相交于點Q，當折疊后四邊形PO′C′Q與?OABC重疊部分為五邊形時，O′C′與AB相交于點E．試用含有t的式子表示線段BE的長，并直接寫出t的取值范圍；②設(shè)折疊后重疊部分的面積為S，當23≤t25．（10分）（2023?天津）已知拋物線y＝﹣x2+bx+c（b，c為常數(shù)，c＞1）的頂點為P，與x軸相交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸相交于點C，拋物線上的點M的橫坐標為m，且-c＜m＜b2，過點M作（1）若b＝﹣2，c＝3．①求點P和點A的坐標；②當MN=2時，求點（2）若點A的坐標為（﹣c，0），且MP∥AC，當AN+3MN=9

2025年廣東省廣州市番禺區(qū)中考數(shù)學(xué)三模試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案ADBBCCBDDC一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．（3分）（2017?北京）下列圖形中，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【考點】中心對稱圖形；軸對稱圖形．【答案】A【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．【解答】解：A、是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形，故本選項正確；B、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故本選項錯誤；C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項錯誤；D、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故本選項錯誤．故選：A．【點評】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合．2．（3分）（2025?番禺區(qū)三模）下列運算正確的是（）A．a(chǎn)2+a3＝a6 B．（ab）2＝ab2 C．（a+b）2＝a2+b2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2【考點】平方差公式；冪的乘方與積的乘方．【專題】整式；運算能力．【答案】D【分析】根據(jù)積的乘方、平方差公式、完全平方公式運算法則判斷即可．【解答】解：A、a2+a3不是同類項不能計算，故A不正確；B、（ab）2＝a2b2，故B不正確；C、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故C不正確；D、（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，正確；故選：D．【點評】本題考查了積的乘方、平方差公式、完全平方公式運算法則的應(yīng)用，熟練的運用法則是解題關(guān)鍵．3．（3分）（2025?番禺區(qū)三模）如果x2+2mx+9是一個完全平方式，則m的值是（）A．3 B．±3 C．6 D．±6【考點】完全平方式．【專題】符號意識；運算能力．【答案】B【分析】根據(jù)完全平方公式是和的平方加減積的2倍，可得m的值．【解答】解：∵x2+2mx+9是一個完全平方式，∴2m＝±6，∴m＝±3，故選：B．【點評】本題考查了完全平方公式，完全平方公式是兩數(shù)的平方和加減積的2倍，注意符合條件的m值有兩個．4．（3分）（2023?衢州）如圖是脊柱側(cè)彎的檢測示意圖，在體檢時為方便測出Cobb角∠O的大小，需將∠O轉(zhuǎn)化為與它相等的角，則圖中與∠O相等的角是（）A．∠BEA B．∠DEB C．∠ECA D．∠ADO【考點】直角三角形的性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形；幾何直觀；應(yīng)用意識．【答案】B【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可知：∠O與∠ADO互余，∠DEB與∠ADO互余，根據(jù)同角的余角相等可得結(jié)論．【解答】解：由示意圖可知：△DOA和△DBE都是直角三角形，∴∠O+∠ADO＝90°，∠DEB+∠ADO＝90°，∴∠DEB＝∠O，故選：B．【點評】本題考查直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，掌握直角三角形的兩個銳角互余是解題的關(guān)鍵．5．（3分）（2024?天津）估計10的值在（）A．1和2之間 B．2和3之間 C．3和4之間 D．4和5之間【考點】估算無理數(shù)的大小．【專題】實數(shù)；數(shù)感．【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)得出9＜【解答】解：∵9＜∴3＜10＜即10在3和4之間．故選：C．【點評】本題考查了估算無理數(shù)的大小的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是確定出10的范圍，題目比較典型，難度不大．6．（3分）（2018?廣州）甲袋中裝有2個相同的小球，分別寫有數(shù)字1和2；乙袋中裝有2個相同的小球，分別寫有數(shù)字1和2．從兩個口袋中各隨機取出1個小球，取出的兩個小球上都寫有數(shù)字2的概率是（）A．12 B．13 C．14 【考點】列表法與樹狀圖法．【專題】常規(guī)題型．【答案】C【分析】直接根據(jù)題意畫出樹狀圖，再利用概率公式求出答案．【解答】解：如圖所示：，一共有4種可能，取出的兩個小球上都寫有數(shù)字2的有1種情況，故取出的兩個小球上都寫有數(shù)字2的概率是：14故選：C．【點評】此題主要考查了樹狀圖法求概率，正確得出所有的結(jié)果是解題關(guān)鍵．7．（3分）（2025?番禺區(qū)三模）若點A（x1，﹣1），B（x2，1），C（x3，5）都在反比例函數(shù)y=5x的圖象上，則x1，x2，A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x3＜x2＜x1 D．x2＜x1＜x3【考點】反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征．【專題】反比例函數(shù)及其應(yīng)用；運算能力．【答案】B【分析】根據(jù)反比例函數(shù)性質(zhì)即可判斷．【解答】解：∵k＝5＞0，∴反比例函數(shù)y=5x的圖象分布在第一、三象限，在每一象限y∵點B（x2，1），C（x3，5），都在反比例函數(shù)y=5x的圖象上，1∴x2＞x3＞0．∵﹣1＜0，A（x1，﹣1）在反比例函數(shù)y=5x∴x1＜0，∴x1＜x3＜x2．故選：B．【點評】本題主要考查了比較反比例函數(shù)值的大小，正確進行計算是解題關(guān)鍵．8．（3分）（2024?無錫）下列命題中，是真命題的為（）A．一組對邊平行、另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形 B．對角線互相平分的四邊形是矩形 C．一組對邊相等且對角線互相垂直的四邊形是菱形 D．三個角是直角且對角線互相垂直的四邊形是正方形【考點】命題與定理；平行四邊形的判定與性質(zhì)；矩形的判定．【專題】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定判斷即可．【解答】解：A、一組對邊平行、另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形或等腰梯形，故本選項命題是假命題，不符合題意；B、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，不一定是矩形，故本選項命題是假命題，不符合題意；C、一組對邊相等且對角線互相平分的四邊形是菱形，故本選項命題是假命題，不符合題意；D、三個角是直角且對角線互相垂直的四邊形是正方形，是真命題，符合題意；故選：D．【點評】本題考查的是命題與定理，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．9．（3分）（2024?天津）如圖，△ABC中，∠B＝30°，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△DEC，點A，B的對應(yīng)點分別為D，E，延長BA交DE于點F，下列結(jié)論一定正確的是（）A．∠ACB＝∠ACD B．AC∥DE C．AB＝EF D．BF⊥CE【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；平行線的判定．【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．【答案】D【分析】先根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得∠BCE＝∠ACD＝60°，結(jié)合∠B＝30°，即可得證BF⊥CE，再根據(jù)同旁內(nèi)角互補證明兩直線平行，來分析AC∥DE不一定成立；根據(jù)圖形性質(zhì)以及角的運算或線段的運算得出A和C選項是錯誤的．【解答】解：設(shè)BF與CE相交于點H，如圖所示：∵△ABC中，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△DEC，∴∠BCE＝∠ACD＝60°，∵∠B＝30°，∴在△BHC中，∠BHC＝180°﹣∠BCE﹣∠B＝90°，∴BF⊥CE，故D選項正確；設(shè)∠ACH＝x°，∴∠ACB＝60°﹣x°，∵∠B＝30°，∴∠EDC＝∠BAC＝180°﹣30°﹣（60°﹣x°）＝90°+x°，∴∠EDC+∠ACD＝90°+x°+60°＝150°+x°，∵x°不一定等于30°，∴∠EDC+∠ACD不一定等于180°，∴AC∥DE不一定成立，故B選項不正確；∵∠ACB＝60°﹣x°，∠ACD＝60°，x°不一定等于0°，∴∠ACB＝∠ACD不一定成立，故A選項不正確；∵將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△DEC，∴AB＝ED＝EF+FD，∴BA＞EF，故C選項不正確；故選：D．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)性質(zhì)以及兩個銳角互余的三角形是直角三角形，平行線的判定，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．10．（3分）（2024?天津）從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度h（單位：m）與小球的運動時間t（單位：s）之間的關(guān)系式是h＝30t﹣5t2（0≤t≤6）．有下列結(jié)論：①小球從拋出到落地需要6s；②小球運動中的高度可以是30m；③小球運動2s時的高度小于運動5s時的高度．其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用．【專題】二次函數(shù)的應(yīng)用；應(yīng)用意識．【答案】C【分析】令h＝0，解方程求出t的值，即可判斷①；求出h的最大值，即可判斷②；分別求出t＝2和t＝5時h的值是，即可判斷③．【解答】解：①令h＝0，則30t﹣5t2＝0，解得t1＝0，t2＝6，∴小球從拋出到落地需要6s，故①正確；②h＝30t﹣5t2＝﹣5（t2﹣6t）＝﹣5（t﹣3）2+45，∵﹣5＜0，∴當t＝3時，h有最大值，最大值為45，∴小球運動中的高度可以是30m，故②正確；③t＝2時，h＝30×2﹣5×4＝40（m），t＝5時，h＝30×5﹣5×25＝25（m），∴小球運動2s時的高度大于運動5s時的高度，故③錯誤．故選：C．【點評】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用．解此題的關(guān)鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，利用二次函數(shù)的性質(zhì)就能求出結(jié)果．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）11．（3分）（2025?番禺區(qū)三模）0.00000032用科學(xué)記數(shù)法表示為3.2×10﹣7．【考點】科學(xué)記數(shù)法—表示較小的數(shù)．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】絕對值＜1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．【解答】解：0.00000032＝3.2×10﹣7．【點評】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．12．（3分）（2025?番禺區(qū)三模）若代數(shù)式xx-4有意義，則實數(shù)x的取值范圍是x≥0且x≠4【考點】二次根式有意義的條件；分式有意義的條件．【專題】二次根式；運算能力．【答案】x≥0且x≠4．【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0及分母不為0，列不等式求解即可．【解答】解：由條件可知x≥0解得x≥0∴實數(shù)x的取值范圍是x≥0且x≠4．【點評】本題考查二次根式有意義的條件，分母不為0，掌握知識點是解題的關(guān)鍵．13．（3分）（2023?衢州）如圖是一個圓形餐盤的正面及其固定支架的截面圖，凹槽ABCD是矩形．當餐盤正立且緊靠支架于點A，D時，恰好與BC邊相切，則此餐盤的半徑等于10cm．【考點】切線的性質(zhì)；勾股定理；矩形的性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；運算能力；推理能力．【答案】10．【分析】連接OA，過點O作OE⊥BC，交BC于點E，交AD于點F，則點E為餐盤與BC邊的切點，由矩形的性質(zhì)得AD＝BC＝16cm，AD∥BC，∠BCD＝∠ADC＝90°，則四邊形CDFE是矩形，OE⊥AD，得CD＝EF＝4cm，∠AFO＝90°，AF＝DF＝8cm，設(shè)餐盤的半徑為xcm，則OA＝OE＝xcm，OF＝（x﹣4）cm，然后由勾股定理列出方程，解方程即可．【解答】解：由題意得：BC＝16cm，CD＝4cm，如圖，連接OA，過點O作OE⊥BC，交BC于點E，交AD于點F，則∠OEC＝90°，∵餐盤與BC邊相切，∴點E為切點，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝16cm，AD∥BC，∠BCD＝∠ADC＝90°，∴四邊形CDFE是矩形，OE⊥AD，∴CD＝EF＝4cm，∠AFO＝90°，AF＝DF=12AD=12×16設(shè)餐盤的半徑為xcm，則OA＝OE＝xcm，∴OF＝OE﹣EF＝（x﹣4）cm，在Rt△AFO中，由勾股定理得：AF2+OF2＝OA2，即82+（x﹣4）2＝x2，解得：x＝10，∴餐盤的半徑為10cm，故答案為：10．【點評】本題考查了切線的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．14．（3分）（2024?揚州）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（1，0），點B在反比例函數(shù)y=kx（x＞0）的圖象上，BC⊥x軸于點C，∠BAC＝30°，將△ABC沿AB翻折，若點C的對應(yīng)點D落在該反比例函數(shù)的圖象上，則k的值為23【考點】反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征；坐標與圖形變化﹣對稱；翻折變換（折疊問題）．【專題】反比例函數(shù)及其應(yīng)用；運算能力．【答案】23．【分析】作DG⊥x軸，垂足為G，利用對稱性質(zhì)和解直角三角形解答即可得到結(jié)果．【解答】解：設(shè)點B坐標為（m，km），則C（m，0∵A（1，0），∴AC＝m﹣1，由對稱可知：AD＝m﹣1，∠DAB＝∠CAB＝30°，∴∠DAC＝60°，作DG⊥x軸，垂足為G，∴AG=m-12∴D（m-12∵點D在反比例函數(shù)圖象上，∴（m-12+1）?(在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，∴BC=33AC，即km=33（由①②解得k＝23．故答案為：23．【點評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、坐標與圖形變化、折疊問題，熟練掌握圖象上點的坐標特征是關(guān)鍵．15．（3分）（2024?揚州）數(shù)學(xué)興趣小組做拋擲一枚瓶蓋的實驗后，整理的實驗數(shù)據(jù)如下表：累計拋擲次數(shù)501002003005001000200030005000蓋面朝上次數(shù)2854106157264527105615872650蓋面朝上頻率0.5600.5400.5300.5230.5280.5270.5280.5290.530根據(jù)以上實驗數(shù)據(jù)可以估計出“蓋面朝上”的概率約為0.53.（精確到0.01）【考點】利用頻率估計概率．【專題】概率及其應(yīng)用；推理能力．【答案】0.53．【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可知，蓋面朝上頻率在0.53左右波動，據(jù)此可得出結(jié)論．【解答】解：由題意可知，蓋面朝上頻率在0.53左右波動，∴根據(jù)以上實驗數(shù)據(jù)可以估計出“蓋面朝上”的概率約為0.53．故答案為：0.53．【點評】本題考查的是利用頻率估計概率，熟知大量重復(fù)實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率是解題的關(guān)鍵．16．（3分）（2023?衢州）下面是勾股定理的一種證明方法：圖1所示紙片中，∠ACB＝90°（AC＜BC），四邊形ACDE，CBFG是正方形．過點C，B將紙片CBFG分別沿與AB平行、垂直兩個方向剪裁成四部分，并與正方形ACDE，△ABC拼成圖2．（1）若cos∠ABC=34，△ABC的面積為16，則紙片Ⅲ的面積為9（2）若PQBQ=1915，則BKAK【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形；一元二次方程的應(yīng)用；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理的證明．【專題】矩形菱形正方形；圖形的相似；解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力；推理能力．【答案】（1）9；（2）259【分析】（1）在圖1中，過C作CM⊥AB于M，由cos∠ABC=34，可得CT=34BC，CM=34AC，故CT?CM=34BC?34AC=916BC?AC，而△ABC的面積為16，即可得紙片Ⅲ的面積為（2）標識字母如圖，設(shè)NT＝19t，證明△BFN≌△CBW（ASA），可得BN＝CW＝34t，由△BCT∽△WBT，有CT?WT＝BT2，即CT?（34t﹣CT）＝（15t）2，可得CT＝9t或CT＝25t，而BK＝CT，AK＝WT，即可得到答案．【解答】解：（1）在圖1中，過C作CM⊥AB于M，如圖：∵CT∥AB，∴∠ABC＝∠BCT，∵cos∠ABC=3∴cos∠BCT=34，即∴CT=34∵∠ACM＝90°﹣∠BCM＝∠ABC，∴cos∠ACM＝cos∠ABC=34，即∴CM=34∴CT?CM=34BC?34AC=9∵△ABC的面積為16，∴12BC?AC＝16∴BC?AC＝32，∴CT?CM＝18，∴紙片Ⅲ的面積為12CT?BT=12CT?CM故答案為：9；（2）如圖：∵PQBQ∴NTBT設(shè)NT＝19t，則BT＝15t，BN＝34t，∵∠FBN＝90°﹣∠CBN＝∠BCW，BF＝BC，∠BFN＝∠CBW＝90°，∴△BFN≌△CBW（ASA），∴BN＝CW＝34t，∵∠BCT＝∠WBT，∠BTC＝∠WTB＝90°，∴△BCT∽△WBT，∴BTWT∴CT?WT＝BT2，∴CT?（34t﹣CT）＝（15t）2，解得CT＝9t或CT＝25t，當CT＝9t時，WT＝25t，這情況不符合題意，舍去；當CT＝25t時，WT＝9t，而BK＝CT，AK＝WT，∴BKAK故答案為：259【點評】本題考查相似三角形的性質(zhì)與判定，涉及正方形性質(zhì)及應(yīng)用，全等三角形性質(zhì)與判定，銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握三角形相似的判定定理．三、解答題（本大題共9小題，共66分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或推理過程）17．（7分）（2023?廣州）解方程：x2﹣6x+5＝0．【考點】解一元二次方程﹣因式分解法．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】先分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：分解因式得：（x﹣1）（x﹣5）＝0，x﹣1＝0，x﹣5＝0，x1＝1，x2＝5．【點評】本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程．18．（7分）（2024?南京）如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AD＝BC，對角線AC是⊙O的直徑．求證：四邊形ABCD是矩形．【考點】圓心角、弧、弦的關(guān)系；矩形的判定．【專題】矩形菱形正方形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力．【答案】見解析．【分析】由AC是⊙O的直徑，可得∠B＝∠D＝90°，證明Rt△ABC≌Rt△CDA，得到AB＝CD，可證明四邊形ABCD是平行四邊形，即可解答．【解答】證明：∵對角線AC是⊙O的直徑，∴∠B＝∠D＝90°，∴△ABC和△CDA是直角三角形，在Rt△ABC和Rt△CDA中，AC=∴Rt△ABC≌Rt△CDA（HL），∴AB＝CD，又∵AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵∠B＝90°，∴平行四邊形ABCD是矩形．【點評】本題考查了矩形的判定，圓周角定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識．19．（7分）（2025?番禺區(qū)三模）小紅家到學(xué)校有兩條公共汽車線路．為了解兩條線路的乘車所用時間，小紅做了試驗，第一周（5個工作日）選擇A線路，第二周（5個工作日）選擇B線路，每天在固定時間段內(nèi)乘車2次并分別記錄所用時間．數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：（單位：min）數(shù)據(jù)統(tǒng)計表實驗序號12345678910A線路時間15321516341821143520B線路時間25292325272631283024根據(jù)以上信息解答下列問題：平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差極差A(yù)線路所用時間22a15d21B線路所用時間b26.5c6.36e（1）請直接寫出a，c的值，并求出b，d，e三個數(shù)量的值；（2）應(yīng)用你所學(xué)的統(tǒng)計知識幫助小紅分析如何選擇乘車線路，并利用至少2個統(tǒng)計量說明理由．【考點】方差；中位數(shù)；眾數(shù)；極差．【專題】統(tǒng)計的應(yīng)用；運算能力．【答案】（1）a＝19，b＝26.8，c＝25，d＝63.2，e＝7；（2）見解析．【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)，眾數(shù)，平均數(shù)，方差的定義解答即可求解；（2）根據(jù)中位數(shù)，眾數(shù)，平均數(shù)的意義解答即可求解．【解答】解：（1）從小到大順序為：14，15，15，16，18，20，21，32，34，35．共有10個數(shù)，中位數(shù)在第5和6個數(shù)為18和20，所以中位數(shù)為18+202=19，即a＝平均數(shù)b=因為B線路所用時間25出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以眾數(shù)c＝25，d=e＝31﹣24＝7；（2）答案一：因為小紅統(tǒng)計的選擇A線路平均數(shù)為22，選擇B線路平均數(shù)為26.8，用時差不太多．而方差63.2＞6.36，所以相比較B路線的波動性更小，所以選擇B路線更優(yōu)．答案二：根據(jù)A眾數(shù)為15小于B眾數(shù)25，說明大多數(shù)出行次數(shù)耗時A比B更少，而A線路中位數(shù)19小于B線路中位數(shù)26.5，說明A線路出行超過一半次數(shù)耗時要比B線路的時長更少，所以選A路線更優(yōu)．【點評】本題主要考查了中位數(shù)，眾數(shù)，平均數(shù)，方差：熟練掌握以上知識點是關(guān)鍵．20．（7分）（2015?廣州）已知A=x（1）化簡A；（2）當x滿足不等式組x-1≥0x-3【考點】分式的化簡求值；一元一次不等式組的整數(shù)解．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)分式四則混合運算的運算法則，把A式進行化簡即可．（2）首先求出不等式組的解集，然后根據(jù)x為整數(shù)求出x的值，再把求出的x的值代入化簡后的A式進行計算即可．【解答】解：（1）A==(=x=1（2）∵x∴x∴1≤x＜3，∵x為整數(shù)，∴x＝1或x＝2，①當x＝1時，∵x﹣1≠0，∴A=1x-1∴當x＝1時，A=1②當x＝2時，A=1【點評】（1）此題主要考查了分式的化簡求值，注意化簡時不能跨度太大，而缺少必要的步驟．（2）此題還考查了求一元一次不等式組的整數(shù)解問題，要熟練掌握，解決此類問題的關(guān)鍵在于正確解得不等式組或不等式的解集，然后再根據(jù)題目中對于解集的限制得到下一步所需要的條件，再根據(jù)得到的條件求得不等式組的整數(shù)解即可．21．（7分）（2017?北京）如圖，在平面直角坐標系xOy中，函數(shù)y=kx（x＞0）的圖象與直線y＝x﹣2交于點A（3，（1）求k、m的值；（2）已知點P（n，n）（n＞0），過點P作平行于x軸的直線，交直線y＝x﹣2于點M，過點P作平行于y軸的直線，交函數(shù)y=kx（x＞0）的圖象于點①當n＝1時，判斷線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②若PN≥PM，結(jié)合函數(shù)的圖象，直接寫出n的取值范圍．【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）將A點代入y＝x﹣2中即可求出m的值，然后將A的坐標代入反比例函數(shù)中即可求出k的值．（2）①當n＝1時，分別求出M、N兩點的坐標即可求出PM與PN的關(guān)系；②由題意可知：P的坐標為（n，n），由于PN≥PM，從而可知PN≥2，根據(jù)圖象可求出n的范圍．【解答】解：（1）將A（3，m）代入y＝x﹣2，∴m＝3﹣2＝1，∴A（3，1），將A（3，1）代入y=k∴k＝3×1＝3，（2）①PM＝PN，證明如下：當n＝1時，P（1，1），令y＝1，代入y＝x﹣2，x﹣2＝1，∴x＝3，∴M（3，1），∴PM＝2，令x＝1代入y=3∴y＝3，∴N（1，3），∴PN＝2∴PM＝PN，②P（n，n），n＞0點P在直線y＝x上，∴M（n+2，n），∴PM＝2，∵PN≥PM，即PN≥2，∵PN＝|3n-n|3n∴0＜n≤1或n≥3【點評】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問題，解題的關(guān)鍵是求出反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式，本題屬于基礎(chǔ)題型．22．（7分）（2024?無錫）如圖，在△ABC中，AB＜AC．（1）尺規(guī)作圖：求作點D，使得∠DBC＝∠DCA＝∠ACB；（不寫作法，保留痕跡）（2）在（1）的條件下，若BC＝8，tan∠ACB=34，則CD＝20039【考點】作圖—復(fù)雜作圖；解直角三角形．【專題】作圖題；幾何直觀；推理能力．【答案】（1）見解答；（2）20039【分析】（1）利用基本作圖，先作∠ACE＝∠ACB，再作∠FBC＝∠ACB，CE和BF相交于點D；（2）BF交AC于J點，過J點作JT⊥BC于T點，如圖，先利用等腰三角形的判定與性質(zhì)證明BT＝CT＝4，再利用正切的定義求出JT＝3，則利用勾股定理可計算出JC＝5，所以BJ＝5，接著證明△DCJ∽△DBC，利用相似三角形的性質(zhì)得到DJDC=JCBC=58，則可設(shè)DJ＝5x，則DC＝8x，然后利用DJ【解答】解：（1）如圖，點D為所作；（2）BF交AC于J點，過J點作JT⊥BC于T點，如圖，∵∠JBC＝∠JCB，∴JB＝JC，∴BT＝CT=12BC＝在Rt△JCT中，∵tan∠JCT=JT∴JT＝3，∴JC=32∴BJ＝5，∵∠DCJ＝∠DBC，∠JDC＝∠CDB，∴△DCJ∽△DBC，∴DJDC設(shè)DJ＝5x，則DC＝8x，∵△DCJ∽△DBC，∴DJDC=DC解得x=25∴DC＝8x=200故答案為：20039【點評】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了解直角三角形和相似三角形的判定與性質(zhì)．23．（7分）（2023?杭州）如圖，在⊙O中，直徑AB垂直弦CD于點E，連接AC，AD，BC，作CF⊥AD于點F，交線段OB于點G（不與點O，B重合），連接OF．（1）若BE＝1，求GE的長．（2）求證：BC2＝BG?BO．（3）若FO＝FG，猜想∠CAD的度數(shù)，并證明你的結(jié)論．【考點】圓的綜合題．【專題】幾何綜合題；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力．【答案】（1）1；（2）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CEB＝90°，∵∠ABC＝∠CBE，∴△ACB∽△CEB，∴BCBE∴BC2＝BA?BE，由（1）知GE＝BE，∴BE=12∵AB＝2BO，∴BC2＝BA?BE＝2BO?12BG＝BG?BO（3）∠CAD＝45°，證明如下：解法一：如圖，連接OC，∵FO＝FG，∴∠FOG＝∠FGO，∵直徑AB垂直弦CD，∴CE＝DE，∠AED＝∠AEC＝90°，∵AE＝AE，∴△ACE≌△ADE（SAS），∴∠DAE＝∠CAE，設(shè)∠DAE＝∠CAE＝α，∠FOG＝∠FGO＝β，則∠FCD＝∠BCD＝∠DAE＝α，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝α，∵∠ACB＝90°，∴∠OCF＝∠ACB﹣∠OCA﹣∠FCD﹣∠BCD＝90°﹣3α，∵∠CGE＝∠OGF＝β，∠GCE＝α，∠CGE+∠GCE＝90°，∴β+α＝90°，∴α＝90°﹣β，∵∠COG＝∠OAC+∠OCA＝α+α＝2α，∴∠COF＝∠COG+∠GOF＝2α+β＝2（90°﹣β）+β＝180°﹣β，∴∠COF＝∠AOF，在△COF和△AOF中，CO=∴△COF≌△AOF（SAS），∴∠OCF＝∠OAF，即90°﹣3α＝α，∴α＝22.5°，∴∠CAD＝2a＝45°．解法二：如圖，延長FO交AC于點H，連接OC，∵FO＝FG，∴∠FOG＝∠FGO，∴∠FOG＝∠FGO＝∠CGB＝∠B，∴BC∥FH，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠AHO＝90°，∵OA＝OC，∴AH＝CH，∴AF＝CF，∵CF⊥AD，∴△AFC是等腰直角三角形，∴∠CAD＝45°．【分析】（1）由垂徑定理可得∠AED＝90°，結(jié)合CF⊥AD可得∠DAE＝∠FCD，根據(jù)圓周角定理可得∠DAE＝∠BCD，進而可得∠BCD＝∠FCD，通過證明△BCE≌△GCE，可得GE＝BE＝1；（2）證明△ACB∽△CEB，根據(jù)對應(yīng)邊成比例可得BC2＝BA?BE，再根據(jù)AB＝2BO，BE=12BG，可證BC2＝BG?（3）方法一：設(shè)∠DAE＝∠CAE＝α，∠FOG＝∠FGO＝β，可證a＝90°﹣β，∠OCF＝90﹣3α，通過SAS證明△COF≌△AOF，進而可得∠OCF＝∠OAF，即90°﹣3a＝a，則∠CAD＝2a＝45°．方法二：延長FO交AC于點H，連接OC，證明△AFC是等腰直角三角形，即可解決問題．【解答】（1）解：直徑AB垂直弦CD，∴∠AED＝90°，∴∠DAE+∠D＝90°，∵CF⊥AD，∴∠FCD+∠D＝90°，∴∠DAE＝∠FCD，由圓周角定理得∠DAE＝∠BCD，∴∠BCD＝∠FCD，在△BCE和△GCE中，∠BCE∴△BCE≌△GCE（ASA），∴GE＝BE＝1；（2）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CEB＝90°，∵∠ABC＝∠CBE，∴△ACB∽△CEB，∴BCBE∴BC2＝BA?BE，由（1）知GE＝BE，∴BE=12∵AB＝2BO，∴BC2＝BA?BE＝2BO?12BG＝BG?BO（3）解：∠CAD＝45°，證明如下：解法一：如圖，連接OC，∵FO＝FG，∴∠FOG＝∠FGO，∵直徑AB垂直弦CD，∴CE＝DE，∠AED＝∠AEC＝90°，∵AE＝AE，∴△ACE≌△ADE（SAS），∴∠DAE＝∠CAE，設(shè)∠DAE＝∠CAE＝α，∠FOG＝∠FGO＝β，則∠FCD＝∠BCD＝∠DAE＝α，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝α，∵∠ACB＝90°，∴∠OCF＝∠ACB﹣∠OCA﹣∠FCD﹣∠BCD＝90°﹣3α，∵∠CGE＝∠OGF＝β，∠GCE＝α，∠CGE+∠GCE＝90°，∴β+α＝90°，∴α＝90°﹣β，∵∠COG＝∠OAC+∠OCA＝α+α＝2α，∴∠COF＝∠COG+∠GOF＝2α+β＝2（90°﹣β）+β＝180°﹣β，∴∠COF＝∠AOF，在△COF和△AOF中，CO=∴△COF≌△AOF（SAS），∴∠OCF＝∠OAF，即90°﹣3α＝α，∴α＝22.5°，∴∠CAD＝2a＝45°．解法二：如圖，延長FO交AC于點H，連接OC，∵FO＝FG，∴∠FOG＝∠FGO，∴∠FOG＝∠FGO＝∠CGB＝∠B，∴BC∥FH，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠AHO＝90°，∵OA＝OC，∴AH＝CH，∴AF＝CF，∵CF⊥AD，∴△AFC是等腰直角三角形，∴∠CAD＝45°．【點評】本題是圓的綜合題，考查垂徑定理，圓周角定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等，難度較大，解題的關(guān)鍵是綜合應(yīng)用上述知識點，特別是第3問，需要大膽猜想，再逐步論證．24．（13分）（2024?天津）將一個平行四邊形紙片OABC放置在平面直角坐標系中，點O（0，0），點A（3，0），點B，C在第一象限，且OC＝2，∠AOC＝60°．（Ⅰ）填空：如圖①，點C的坐標為(1，3)，點B的坐標為(4（Ⅱ）若P為x軸的正半軸上一動點，過點P作直線l⊥x軸，沿直線l折疊該紙片，折疊后點O的對應(yīng)點O′落在x軸的正半軸上，點C的對應(yīng)點為C′．設(shè)OP＝t．①如圖②，若直線l與邊CB相交于點Q，當折疊后四邊形PO′C′Q與?OABC重疊部分為五邊形時，O′C′與AB相交于點E．試用含有t的式子表示線段BE的長，并直接寫出t的取值范圍；②設(shè)折疊后重疊部分的面積為S，當23≤t【考點】四邊形綜合題．【專題】多邊形與平行四邊形；推理能力．【答案】（I）(1，（II）①BE＝﹣2t+5；32②23【分析】（I）過點C作CH⊥OA，根據(jù)特殊角進行計算即可；（II）①分當O′與點A重合時和當C′與點B重合時，兩種情況進行討論；②根據(jù)不同情況分類討論即可．【解答】解：（I）過點C作CH⊥OA，∵四邊形OABC是平行四邊形，OC＝2，∠AOC＝60°，A（3，0），∴OC＝AB＝2，CB＝OA＝3，∠B＝∠AOC＝60°，∵CH⊥OA，∴∠OCH＝30°，∴OH=∴CH=∴C(1∵CB＝OA＝3，∴B(4故答案為：(1，3)（II）①∵過點P作直線l⊥x軸，沿直線l折疊該紙片，折疊后點O的對應(yīng)點O′落在x軸的正半軸上，∴∠OO'C″＝∠AOC＝60°，O′P＝OP，∴OO′＝2OP＝2t，∵A（3，0），∴OA＝3，∴AO'＝OO'﹣OA＝2t﹣3，∵四邊形OABC為平行四邊形，∴AB＝OC＝2，AB∥OC，∠O'AB＝∠AOC＝60°，∴△EO′A是等邊三角形，∴AE＝AO′＝2t﹣3，∵BE＝AB﹣AE，∴BE＝AB﹣AE＝2﹣（2t﹣3）＝5﹣2t，∴BE＝﹣2t+5；當O′與點A重合時，此時AB與C'O'的交點為E與A重合，OP=如圖：當C′與點B重合時，此時AB與C'O'的交點為E與B重合，OP=CB∴t的取值范圍為32②如圖：過點C作CH⊥OA，由（1）得出C(1，3)，∠∴tan60°=3=∴MP=當23≤t∴32＞0，開口向上，對稱軸直線t∴在23≤t＜1∴23當1≤tS=∴3＞0，S隨著∴在t=32在t＝1時，S=∴當1≤t≤3∵當32＜t＜52時，過點∵由①得出△EO′A是等邊三角形，EN⊥AO，∴AN=∴tan∠∴EN=∴S=3=-3∵-3∴開口向下，在t=-43∴S=-∴在32＜t∴S=-則在32＜t當52S=∴-3＜0，S∴在52≤t≤114時，則把t=52∴在52≤t綜上：23【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形的性質(zhì)，折疊性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．25．（10分）（2023?天津）已知拋物線y＝﹣x2+bx+c（b，c為常數(shù)，c＞1）的頂點為P，與x軸相交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸相交于點C，拋物線上的點M的橫坐標為m，且-c＜m＜b2，過點M作（1）若b＝﹣2，c＝3．①求點P和點A的坐標；②當MN=2時，求點（2）若點A的坐標為（﹣c，0），且MP∥AC，當AN+3MN=9【考點】二次函數(shù)綜合題．【專題】幾何綜合題；函數(shù)的綜合應(yīng)用；幾何直觀；運算能力；推理能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）①利用配方法即可得到頂點P的坐標，令y＝0，解方程即可得到A的坐標．②過點M作ME⊥x軸于點E，于直線AC交于點F，證得EF＝AE，表示出點M、點E的坐標，進而表示出FM，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)列出方程求解即可得到M的坐標．（2）求出頂點P的坐標和拋物線的對稱軸，作輔助線，證明MQ＝QP，根據(jù)AN+3【解答】解：（1）①∵b＝﹣2，c＝3，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴P（﹣1，4），當y＝0時，﹣x2﹣2x+3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，∵點A在點B的左側(cè)，∴A（﹣3，0）．答：P點的坐標為（﹣1，4），A點的坐標為（﹣3，0）．②如圖，過點M作ME⊥x軸于點E，于直線AC交于點F，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴OA＝OC，∴在Rt△AOC中，∠OAC＝45°，∴在Rt△AEF中，EF＝AE，∵拋物線上的點M的橫坐標為m，其中﹣3＜m＜﹣1，∴M（m，﹣m2﹣2m+3），E（m，0），∴EF＝AE＝m﹣（﹣3）＝m+3，∴F（m，m+3），∴FM＝（﹣m2﹣2m+3）﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，∴在Rt△FMN中，∠MFN＝45°，∴FM=∴﹣m2﹣3m＝2，解得m1＝﹣2，m2＝﹣1（舍去），∴M（﹣2，3）．答：點M的坐標為（﹣2，3）．（2）∵點A（﹣c，0）在拋物線y＝﹣x2+bx+c上，其中c＞1，∴﹣c2﹣bc+c＝0，得b＝1﹣c，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+（1﹣c）x+c，∴M（m，﹣m2+（1﹣c）m+c），其中-c∴頂點P的坐標為（1-c2，(1+c)如圖，過點M作MQ⊥l于點Q，連接MP，則∠MQP＝90°，Q(1-∵MP∥AC，∴∠QPM＝45°，∴MQ＝QP，∴1-c即（c+2m）2＝1，解得c1＝﹣2m﹣1，c2＝﹣2m+1（舍去），同②，過點M作ME⊥x軸于點E，與直線AC交于點F，則點E（m，0），點F（m，﹣m﹣1），點M（m，m2﹣1），∴AN+3∴2(-即2m2+m﹣10＝0，解得m1∴點M的坐標為（-5答：點M的坐標為（-5【點評】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作輔助線，掌握直角三角形的性質(zhì)．

考點卡片1．科學(xué)記數(shù)法—表示較小的數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．【規(guī)律方法】用科學(xué)記數(shù)法表示有理數(shù)x的規(guī)律x的取值范圍表示方法a的取值n的取值|x|≥10a×10n1≤|a|＜10整數(shù)的位數(shù)﹣1|x|＜1a×10﹣n第一位非零數(shù)字前所有0的個數(shù)（含小數(shù)點前的0）2．估算無理數(shù)的大小估算無理數(shù)大小要用逼近法．思維方法：用有理數(shù)逼近無理數(shù)，求無理數(shù)的近似值．3．冪的乘方與積的乘方（1）冪的乘方法則：底數(shù)不變，指數(shù)相乘．（am）n＝amn（m，n是正整數(shù)）注意：①冪的乘方的底數(shù)指的是冪的底數(shù)；②性質(zhì)中“指數(shù)相乘”指的是冪的指數(shù)與乘方的指數(shù)相乘，這里注意與同底數(shù)冪的乘法中“指數(shù)相加”的區(qū)別．（2）積的乘方法則：把每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘．（ab）n＝anbn（n是正整數(shù)）注意：①因式是三個或三個以上積的乘方，法則仍適用；②運用時數(shù)字因數(shù)的乘方應(yīng)根據(jù)乘方的意義，計算出最后的結(jié)果．4．完全平方式完全平方式的定義：對于一個具有若干個簡單變元的整式A，如果存在另一個實系數(shù)整式B，使A＝B2，則稱A是完全平方式．a(chǎn)2±2ab+b2＝（a±b）2完全平方式分兩種，一種是完全平方和公式，就是兩個整式的和括號外的平方．另一種是完全平方差公式，就是兩個整式的差括號外的平方．算時有一個口訣“首末兩項算平方，首末項乘積的2倍中間放，符號隨中央．（就是把兩項的乘方分別算出來，再算出兩項的乘積，再乘以2，然后把這個數(shù)放在兩數(shù)的乘方的中間，這個數(shù)以前一個數(shù)間的符號隨原式中間的符號，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后邊的符號都用+）”5．平方差公式（1）平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差相乘，等于這兩個數(shù)的平方差．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（2）應(yīng)用平方差公式計算時，應(yīng)注意以下幾個問題：①左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù)；②右邊是相同項的平方減去相反項的平方；③公式中的a和b可以是具體數(shù)，也可以是單項式或多項式；④對形如兩數(shù)和與這兩數(shù)差相乘的算式，都可以運用這個公式計算，且會比用多項式乘以多項式法則簡便．6．分式有意義的條件（1）分式有意義的條件是分母不等于零．（2）分式無意義的條件是分母等于零．（3）分式的值為正數(shù)的條件是分子、分母同號．（4）分式的值為負數(shù)的條件是分子、分母異號．7．分式的化簡求值先把分式化簡后，再把分式中未知數(shù)對應(yīng)的值代入求出分式的值．在化簡的過程中要注意運算順序和分式的化簡．化簡的最后結(jié)果分子、分母要進行約分，注意運算的結(jié)果要化成最簡分式或整式．【規(guī)律方法】分式化簡求值時需注意的問題1．化簡求值，一般是先化簡為最簡分式或整式，再代入求值．化簡時不能跨度太大，而缺少必要的步驟，代入求值的模式一般為“當…時，原式＝…”．2．代入求值時，有直接代入法，整體代入法等常用方法．解題時可根據(jù)題目的具體條件選擇合適的方法．當未知數(shù)的值沒有明確給出時，所選取的未知數(shù)的值必須使原式中的各分式都有意義，且除數(shù)不能為0．8．二次根式有意義的條件判斷二次根式有意義的條件：（1）二次根式的概念．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．（2）二次根式中被開方數(shù)的取值范圍．二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)．（3）二次根式具有非負性．a(chǎn)（a≥0）是一個非負數(shù)．學(xué)習(xí)要求：能根據(jù)二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)來確定二次根式被開方數(shù)中字母的取值范圍，并能利用二次根式的非負性解決相關(guān)問題．【規(guī)律方法】二次根式有無意義的條件1．如果一個式子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是：各個二次根式中的被開方數(shù)都必須是非負數(shù)．2．如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數(shù)為非負數(shù)外，還必須保證分母不為零．9．解一元二次方程-因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意義因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步驟：①移項，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就都是原方程的解．10．一元二次方程的應(yīng)用1、列方程解決實際問題的一般步驟是：審清題意設(shè)未知數(shù)，列出方程，解所列方程求所列方程的解，檢驗和作答．2、列一元二次方程解應(yīng)用題中常見問題：（1）數(shù)字問題：個位數(shù)為a，十位數(shù)是b，則這個兩位數(shù)表示為10b+a．（2）增長率問題：增長率＝增長數(shù)量/原數(shù)量×100%．如：若原數(shù)是a，每次增長的百分率為x，則第一次增長后為a（1+x）；第二次增長后為a（1+x）2，即原數(shù)×（1+增長百分率）2＝后來數(shù)．（3）形積問題：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關(guān)系列一元二次方程．③利用相似三角形的對應(yīng)比例關(guān)系，列比例式，通過兩內(nèi)項之積等于兩外項之積，得到一元二次方程．（4）運動點問題：物體運動將會沿著一條路線或形成一條痕跡，運行的路線與其他條件會構(gòu)成直角三角形，可運用直角三角形的性質(zhì)列方程求解．【規(guī)律方法】列一元二次方程解應(yīng)用題的“六字訣”1．審：理解題意，明確未知量、已知量以及它們之間的數(shù)量關(guān)系．2．設(shè)：根據(jù)題意，可以直接設(shè)未知數(shù)，也可以間接設(shè)未知數(shù)．3．列：根據(jù)題中的等量關(guān)系，用含所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量，從而列出方程．4．解：準確求出方程的解．5．驗：檢驗所求出的根是否符合所列方程和實際問題．6．答：寫出答案．11．一元一次不等式組的整數(shù)解（1）利用數(shù)軸確定不等式組的解（整數(shù)解）．解決此類問題的關(guān)鍵在于正確解得不等式組或不等式的解集，然后再根據(jù)題目中對于解集的限制得到下一步所需要的條件，再根據(jù)得到的條件進而求得不等式組的整數(shù)解．（2）已知解集（整數(shù)解）求字母的取值．一般思路為：先把題目中除未知數(shù)外的字母當做常數(shù)看待解不等式組或方程組等，然后再根據(jù)題目中對結(jié)果的限制的條件得到有關(guān)字母的代數(shù)式，最后解代數(shù)式即可得到答案．12．反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征反比例函數(shù)y＝k/x（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，①圖象上的點（x，y）的橫縱坐標的積是定值k，即xy＝k；②雙曲線是關(guān)于原點對稱的，兩個分支上的點也是關(guān)于原點對稱；③在y＝k/x圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值|k|．13．反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標，把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．（2）判斷正比例函數(shù)y＝k1x和反比例函數(shù)y=k①當k1與k2同號時，正比例函數(shù)y＝k1x和反比例函數(shù)y=k2x②當k1與k2異號時，正比例函數(shù)y＝k1x和反比例函數(shù)y=k2x14．二次函數(shù)的應(yīng)用（1）利用二次函數(shù)解決利潤問題在商品經(jīng)營活動中，經(jīng)常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題．解此類題的關(guān)鍵是通過題意，確定出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實際問題中自變量x的取值要使實際問題有意義，因此在求二次函數(shù)的最值時，一定要注意自變量x的取值范圍．（2）幾何圖形中的最值問題幾何圖形中的二次函數(shù)問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動態(tài)幾何中的最值的討論．（3）構(gòu)建二次函數(shù)模型解決實際問題利用二次函數(shù)解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實際問題時，要恰當?shù)匕堰@些實際問題中的數(shù)據(jù)落實到平面直角坐標系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測量問題或其他問題．15．二次函數(shù)綜合題（1）二次函數(shù)圖象與其他函數(shù)圖象相結(jié)合問題解決此類問題時，先根據(jù)給定的函數(shù)或函數(shù)圖象判斷出系數(shù)的符號，然后判斷新的函數(shù)關(guān)系式中系數(shù)的符號，再根據(jù)系數(shù)與圖象的位置關(guān)系判斷出圖象特征，則符合所有特征的圖象即為正確選項．（2）二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應(yīng)用將函數(shù)知識與方程、幾何知識有機地結(jié)合在一起．這類試題一般難度較大．解這類問題關(guān)鍵是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．（3）二次函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用題從實際問題中分析變量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型．關(guān)鍵在于觀察、分析、創(chuàng)建，建立直角坐標系下的二次函數(shù)圖象，然后數(shù)形結(jié)合解決問題，需要我們注意的是自變量及函數(shù)的取值范圍要使實際問題有意義．16．平行線的判定（1）定理1：兩條直線被第三條所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行．簡單說成：同位角相等，兩直線平行．（2）定理2：兩條直線被第三條所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行．簡單說成：內(nèi)錯角相等，兩直線平行．（3）定理3：兩條直線被第三條所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行．簡單說成：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．（4）定理4：兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行．（5）定理5：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線同時垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行．17．全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件．（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構(gòu)造三角形．18．直角三角形的性質(zhì)（1）有一個角為90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一種特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性質(zhì)外，具有一些特殊的性質(zhì)：性質(zhì)1：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（勾股定理）．性質(zhì)2：在直角三角形中，兩個銳角互余．性質(zhì)3：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點）性質(zhì)4：直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積．性質(zhì)5：在直角三角形中，如果有一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°．19．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．20．勾股定理的證明（1）勾股定理的證明方法有很多種，教材是采用了拼圖的方法證明的．先利用拼圖的方法，然后再利用面積相等證明勾股定理．（2）證明勾股定理時，用幾個全等的直角三角形拼成一個規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個小圖形的面積和化簡整理得到勾股定理．21．平行四邊形的判定與性質(zhì)平行四邊形的判定與性質(zhì)的作用平行四邊形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，對角線互相平分及它的判定，是我們證明直線的平行、線段相等、角相等的重要方法，若要證明兩直線平行和兩線段相等、兩角相等，可考慮將要證的直線、線段、角、分別置于一個四邊形的對邊或?qū)堑奈恢蒙?，通過證明四邊形是平行四邊形達到上述目的．運用定義，也可以判定某個圖形是平行四邊形，這是常用的方法，不要忘記平行四邊形的定義，有時用定義判定比用其他判定定理還簡單．凡是可以用平行四邊形知識證明的問題，不要再回到用三角形全等證明，應(yīng)直接運用平行四邊形的性質(zhì)和判定去解決問題．22．矩形的性質(zhì)（1）矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形．（2）矩形的性質(zhì)①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；②角：矩形的四個角都是直角；③邊：鄰邊垂直；④對角線：矩形的對角線相等；⑤矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點連線所在的直線；對稱中心是兩條對角線的交點．（3）由矩形的性質(zhì)，可以得到直角三角形的一個重要性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．23．矩形的判定（1）矩形的判定：①矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形；②有三個角是直角的四邊形是矩形；③對角線相等的平行四邊形是矩形（或“對角線互相平分且相等的四邊形是矩形”）（2）①證明一個四邊形是矩形，若題設(shè)條件與這個四邊形的對角線有關(guān)，通常證這個四邊形的對角線相等．②題設(shè)中出現(xiàn)多個直角或垂直時，常采用“三個角是直角的四邊形是矩形”來判定矩形．24．四邊形綜合題涉及到的知識點比較多，主要考查平行四邊形、菱形、矩形、正方形，經(jīng)常與二次函數(shù)和圓一起出現(xiàn)，綜合性比較強．25．圓心角、弧、弦的關(guān)系（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．說明：同一條弦對應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣?。?）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等，三項“知一推二”，一項相等，其余二項皆相等．這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．（4）在具體應(yīng)用上述定理解決問題時，可根據(jù)需要，選擇其有關(guān)部分．26．切線的性質(zhì)（1）切線的性質(zhì)①圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點．③經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．（2）切線的性質(zhì)可總結(jié)如下：如果一條直線符合下列三個條件中的任意兩個，那么它一定滿足第三個條件，這三個條件是：①直線過圓心；②直線過切點；③直線與圓的切線垂直．（3）切線性質(zhì)的運用運用切線的性質(zhì)進行計算或證明時，常常作的輔助線是連接圓心和切點，通過構(gòu)造直角三角形或相似三角形解決問題．27．圓的綜合題考查的知識點比較多，一般考查垂徑定理、圓周角定理、切線長定理、扇形的面積和弧長，經(jīng)常與四邊形一起，難度比較大．28．作圖—復(fù)雜作圖復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．29．命題與定理1、判斷一件事情的語句，叫做命題．許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項，結(jié)論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成“如果…那么…”形式．2、有些命題的正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理．3、定理是真命題，但真命題不一定是定理．4、命題寫