1.6線段垂直平分線的性質(zhì)xixix

快速定位題型題型目錄TOC\o"13"\h\z\u【題型1】用尺規(guī)作線段的垂直平分線 3【題型2】利用線段垂直平分線的性質(zhì)證線段相等或求邊長(zhǎng) 8【題型3】利用線段垂直平分線的性質(zhì)求周長(zhǎng) 11xixix

夯實(shí)必備知識(shí)新知梳理【知識(shí)點(diǎn)1】線段垂直平分線的性質(zhì)（1）定義：經(jīng)過某一條線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）垂直平分線，簡(jiǎn)稱“中垂線”．（2）性質(zhì)：①垂直平分線垂直且平分其所在線段．______②垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．______③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫外心，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．1.（2024秋?渦陽縣期末）兩個(gè)完全一樣的三角板如圖擺放，它們的頂點(diǎn)重合于點(diǎn)M，則點(diǎn)M一定在（）A．∠A的平分線上B．AC邊的高上C．BC邊的垂直平分線上D．AB邊的中線上【答案】A【分析】作射線AM，根據(jù)角平分線的判定定理得到AM平分∠BAC，得到答案．【解答】解：作射線AM，由題意得，MG=MH，MG⊥AB，MH⊥AC，∴AM平分∠BAC，故選：A．【知識(shí)點(diǎn)2】作圖—基本作圖基本作圖有：（1）作一條線段等于已知線段．（2）作一個(gè)角等于已知角．（3）作已知線段的垂直平分線．（4）作已知角的角平分線．（5）過一點(diǎn)作已知直線的垂線．1.（2025?通許縣一模）如圖，AB是⊙O的弦，分別以A，B為圓心，以大于12AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于圓外一點(diǎn)P，連接OP，交⊙O于點(diǎn)C，連接AC．若∠AOB=160°，則∠A．70°B．35°C．40°D．20°【答案】C【分析】由作圖可知OP垂直平分AB，即得AC^=BC【解答】解：由作圖過程可知OP垂直平分AB，∴∠AOC=∠BOC=1∴∠CAB=1故選：C．2.（2025春?長(zhǎng)春期末）用直尺和圓規(guī)作△ABC的中線AD，作圖正確的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)垂線的尺規(guī)作圖及角平分線的尺規(guī)作圖進(jìn)行排除選項(xiàng)．【解答】解：A、由圖可知：尺規(guī)作圖是作BC的垂直平分線，所以AD是△ABC的中線，故A符合題意；B、由圖可知：尺規(guī)作圖是作AB的垂直平分線，所以AD不是△ABC的中線，故B不符合題意；C、由圖可知：AD不是△ABC的中線，故C不符合題意；D、由圖可知：AD是∠BAC的平分線，所以AD不是△ABC的中線，故D不符合題意；故選：A．【題型1】用尺規(guī)作線段的垂直平分線【典型例題】如圖，在△ABC中，分別以A，B為圓心，大于線段AB長(zhǎng)度一半的長(zhǎng)為半徑作弧，相交于點(diǎn)D，E，連結(jié)DE，交BC于點(diǎn)P．若AC＝3，△ACP的周長(zhǎng)為10，則BC的長(zhǎng)為（）A.6B.7C.8D.9【答案】B【解析】由作圖可知，直線DE為線段AB的垂直平分線，∴AP＝BP，∵△ACP的周長(zhǎng)為10，∴AC+AP+PC＝10，即AC+BP+PC＝3+BC＝10，∴BC＝7．故選：B．【舉一反三1】如圖，已知線段AB＝6，利用尺規(guī)作AB的垂直平分線，步驟如下：①分別以點(diǎn)A，B為圓心，以b的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)C和D．②作直線CD．直線CD就是線段AB的垂直平分線．則b的長(zhǎng)可能是（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】根據(jù)題意得b＞12即b＞3，故選：D．【舉一反三2】已知下列尺規(guī)作圖：①作一條線段的垂直平分線；②作一個(gè)角的平分線；③作一個(gè)角等于已知角．其中作法正確的是（）A.①②B.①③C.②③D.①②③【答案】C【解析】由作圖可知，作圖正確的有②③，故選：C．【舉一反三3】如圖，在△ABC中，分別以A，B為圓心，大于線段AB長(zhǎng)度一半的長(zhǎng)為半徑作弧，相交于點(diǎn)D，E，連結(jié)DE，交BC于點(diǎn)P．若AC＝3，△ACP的周長(zhǎng)為10，則BC的長(zhǎng)為（）A.6B.7C.8D.9【答案】B【解析】由作圖可知，直線DE為線段AB的垂直平分線，∴AP＝BP，∵△ACP的周長(zhǎng)為10，∴AC+AP+PC＝10，即AC+BP+PC＝3+BC＝10，∴BC＝7．故選：B．【舉一反三4】使用尺規(guī)作線段AB的垂直平分線CD的痕跡如圖所示，下列說法不正確的是（）A.?、佗诘陌霃介L(zhǎng)一定相等B.弧③④的半徑長(zhǎng)一定相等C.?、冖鄣陌霃介L(zhǎng)一定相等D.?、俚陌霃介L(zhǎng)大于AB長(zhǎng)度的一半【答案】C【解析】由作圖痕跡得BD＝AD，BC＝AC，所以A選項(xiàng)和B選項(xiàng)不符合題意；BC與AD可以相等，也可以不相等，所以C選項(xiàng)符合題意；BD＞12AB，所以故選：C．【舉一反三5】（1）如圖，用直尺和圓規(guī)分別作出線段AB與BC的垂直平分線；（2）如果線段AB與BC的垂直平分線相交于點(diǎn)P，那么PA與PC相等嗎？為什么？【答案】解（1）如圖所示；；（2）相等，理由：連接PA，PB，PC，∵線段AB與BC的垂直平分線相交于點(diǎn)P，∴PA＝PB，PB＝PC，∴PA＝PC．【舉一反三6】如圖，已知線段AB，尺規(guī)作圖作線段AB的垂直平分線，并結(jié)合你所作的圖形說明這樣作圖的理由．【答案】解如圖所示：MN是AB的垂直平分線．理由如下：由作圖過程可知：AM＝BM，AN＝BN，在△AMN和△BMN中，AM=BMAN=BN∴△AMN≌△BMN（SSS），∴∠AMN＝∠BMN，∵M(jìn)A＝MB，∴MC⊥AB，AC＝BC，∴MN是AB的垂直平分線．【題型2】利用線段垂直平分線的性質(zhì)證線段相等或求邊長(zhǎng)【典型例題】如圖，P為線段AB的垂直平分線上一點(diǎn)，若PB＝3cm，則PA的長(zhǎng)為（）A.6cmB.5cmC.4cmD.3cm【答案】D【解析】∵P為線段AB的垂直平分線上一點(diǎn)，PB＝3cm，∴PA＝PB＝3cm，故選：D．【舉一反三1】如圖，在△ABC中，DE垂直平分BC，若BD＝10，AC＝14，則AD的長(zhǎng)為（）A.8B.6C.4D.2【答案】C【解析】∵DE垂直平分BC，∴DC＝DB＝10，∵AC＝14，∴AD＝AC﹣CD＝4．故選：C．【舉一反三2】如圖，AB的垂直平分線分別交AB，AC于點(diǎn)D，E，AC＝9，AE：EC＝2：1，則點(diǎn)B到點(diǎn)E的距離是

．【答案】6【解析】如圖，連接BE．∵AC＝9，AE：EC＝2：1，∴AE=23×9＝6，EC＝9∵DE垂直平分AB，∴EA＝EB＝6．故答案為：6．【舉一反三3】在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB，BC于點(diǎn)D、E，AC的垂直平分線分別交AC，BC于點(diǎn)F、G，若BG＝9，CE＝11，且△AEG的周長(zhǎng)為16，求EG＝

．【答案】4【解析】∵DE是AB的垂直平分線，F(xiàn)G是AC的垂直平分線，∴AE＝BE，AG＝CG，∵△AEG的周長(zhǎng)為16，∴AE+AG+EG＝16，∴BE+EG+CG＝16，∴BC＝16，∵BG＝9，CE＝11，∴EG＝BG+CE﹣BC＝4，故答案為：4．【舉一反三4】如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線EF交BC于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，點(diǎn)D為CE的中點(diǎn)，連接AD，此時(shí)∠CAD＝24°，∠ACB＝66°．求證：BE＝AC．【答案】證明連接AE，∵∠ACB＝66°，∠DAC＝24°，∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠ACB＝180°﹣24°﹣66°＝90°，∴AD⊥EC，∵點(diǎn)D為CE的中點(diǎn)，∴DE＝DC，∴AD是線段CE的垂直平分線，∴AE＝AC，∵EF垂直平分AB，∴AE＝BE，∴BE＝AC．【舉一反三5】如圖，△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，AD⊥BC，垂足為D，且BD＝DE，連接AE．（1）求證：AB＝EC；（2）若△ABC的周長(zhǎng)為20cm，AC＝7cm，則DC的長(zhǎng)為多少？【答案】（1）證明∵EF垂直平分AC，∴AE＝EC，∵AD⊥BC，BD＝DE，∴AB＝AE，∴AB＝EC；（2）解∵△ABC的周長(zhǎng)為20cm，∴AB+BC+AC＝20cm，∵AC＝7cm，∴AB+BC＝13cm，∵AB＝EC，BD＝DE，∴AB+BD＝DE+EC＝DC，∵AB+BC＝AB+BD+DC＝2DC＝13cm∴DC=13【題型3】利用線段垂直平分線的性質(zhì)求周長(zhǎng)【典型例題】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，連接AD，則△ACD的周長(zhǎng)是（）A.7B.8C.9D.10【答案】A【解析】∵AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，∴AD＝BD，∵BC＝4，AC＝3，∴CD+AD＝CD+BD＝BC＝4，∴△ACD的周長(zhǎng)為：4+3＝7．故選：A．【舉一反三1】如圖，△ABC中邊AB的垂直平分線分別交BC，AB于點(diǎn)D，E，AE＝3cm，△ADC的周長(zhǎng)為9cm，則△ABC的周長(zhǎng)是（）A.10cmB.12cmC.15cmD.17cm【答案】C【解析】∵AB的垂直平分AB，∴AE＝BE，BD＝AD，∵AE＝3cm，△ADC的周長(zhǎng)為9cm，∴△ABC的周長(zhǎng)是9+2×3＝15cm，故選：C．【舉一反三2】如圖，在△ABC中，AC的垂直平分線分別交AC，BC于E，D兩點(diǎn)，EC＝3，△ABD的周長(zhǎng)為9，則△ABC的周長(zhǎng)為（）A.6B.12C.15D.18【答案】C【解析】∵DE垂直平分AC，∴DA＝DC，AE＝CE＝3，∵△ABD的周長(zhǎng)為9，∴AB+BD+AD＝9，∴AB+BD+DC＝9，即AB+BC＝9，∴△ABC的周長(zhǎng)＝AB+BC+AC＝9+2×3＝15．故選：C．【舉一反三3】如圖，在△ABC中，EF是AB邊的垂直平分線，AC＝18cm，BC＝16cm，則△BCE的周長(zhǎng)為

cm．【答案】34【解析】∵EF是AB的垂直平分線，∴AE＝BE，∵AC＝18cm，BC＝16cm，∴△BCE的周長(zhǎng)是BC+CE+BE＝BC+CE+AE＝BC+AC＝34cm，故答案為34．【舉一反三4】如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AE＝2cm，△ABD的周長(zhǎng)為8cm，求△ABC的周長(zhǎng)．【答案】解∵DE是AC的垂直平分線，∴AD＝CD，AE＝CE＝2cm，∴AC＝AE+CE＝4cm，∵△ABD的周長(zhǎng)為8cm，∴AB+A