2025年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)試題（二）一、集合與常用邏輯用語(yǔ)綜合題1.已知集合(A={x|x^2-3x+2\leq0})，集合(B={x|x^2-(a+1)x+a<0})，其中(a\in\mathbb{R})。（1）求集合(A)及(\complement_{\mathbb{R}}A)；（2）若“(x\inA)”是“(x\inB)”的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)(a)的取值范圍；（3）設(shè)命題(p)：(\existsx\inB)，使得(x^2-2x+m\leq0)，若命題(p)為假命題，求實(shí)數(shù)(m)的最小值。解析思路：（1）解二次不等式(x^2-3x+2\leq0)得(A=[1,2])，補(bǔ)集(\complement_{\mathbb{R}}A=(-\infty,1)\cup(2,+\infty))；（2）必要不充分條件等價(jià)于(B\subsetneqqA)，對(duì)集合(B)分類討論：當(dāng)(a=1)時(shí)(B=\varnothing)滿足條件；當(dāng)(a>1)時(shí)(B=(1,a)\subseteq[1,2])需(a\leq2)；當(dāng)(a<1)時(shí)(B=(a,1)\nsubseteqA)，綜上(a\in[1,2])；（3）命題(p)的否定“(\forallx\inB)，(x^2-2x+m>0)”為真，即(m>-x^2+2x)在(B)上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)(y=-x^2+2x)在([1,2])的最大值為1，故(m>1)，最小值為2。二、函數(shù)性質(zhì)與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用綜合題2.已知函數(shù)(f(x)=\frac{ax^2+bx+c}{x})（(a>0)）是奇函數(shù)，且當(dāng)(x=1)時(shí)(f(x))取得極小值2。（1）求函數(shù)(f(x))的解析式；（2）若對(duì)任意(x\in[\frac{1}{2},2])，不等式(f(x)\leqt-\frac{1}{x})恒成立，求實(shí)數(shù)(t)的取值范圍；（3）設(shè)函數(shù)(g(x)=f(x)+\lnx)，判斷函數(shù)(g(x))在區(qū)間((0,e])上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（其中(e\approx2.718)）。關(guān)鍵步驟：（1）奇函數(shù)性質(zhì)得(c=0)，化簡(jiǎn)(f(x)=ax+\frac{x})，由極值條件(f(1)=a+b=2)且(f'(1)=a-b=0)，解得(a=b=1)，故(f(x)=x+\frac{1}{x})；（2）不等式轉(zhuǎn)化為(t\geqx+\frac{2}{x})，設(shè)(h(x)=x+\frac{2}{x})，求導(dǎo)得(h(x))在([\frac{1}{2},\sqrt{2}])遞減，([\sqrt{2},2])遞增，最大值為(h(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}+4=\frac{9}{2})，故(t\geq\frac{9}{2})；（3）(g(x)=x+\frac{1}{x}+\lnx)，求導(dǎo)(g'(x)=1-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}=\frac{x^2+x-1}{x^2})，零點(diǎn)(x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\approx0.618)，分析單調(diào)性得(g(x))在((0,0.618))遞減，((0.618,e])遞增，計(jì)算(g(0.618)\approx2.118>0)，無(wú)零點(diǎn)。三、三角函數(shù)與解三角形綜合題3.在(\triangleABC)中，角(A,B,C)的對(duì)邊分別為(a,b,c)，已知(\sinA+\sinB=2\sinC)，且(\cos2C+2\cos(A+B)=-\frac{3}{2})。（1）求角(C)的大??；（2）若(\triangleABC)的外接圓半徑為2，求(a+b)的取值范圍；（3）設(shè)(D)為(BC)中點(diǎn)，若(AD=\sqrt{7})，求(\triangleABC)面積的最大值。核心公式應(yīng)用：（1）由誘導(dǎo)公式(\cos(A+B)=-\cosC)，代入二倍角公式得(2\cos^2C-1-2\cosC=-\frac{3}{2})，解得(\cosC=\frac{1}{2})，故(C=\frac{\pi}{3})；（2）正弦定理(a=4\sinA)，(b=4\sinB)，(A+B=\frac{2\pi}{3})，則(a+b=4[\sinA+\sin(\frac{2\pi}{3}-A)]=4\sqrt{3}\sin(A+\frac{\pi}{6}))，由(A\in(0,\frac{2\pi}{3}))得(a+b\in(2\sqrt{3},4\sqrt{3}])；（3）向量法(\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}))，平方得(7=\frac{1}{4}(c^2+b^2+bc))，結(jié)合余弦定理(c^2=a^2+b^2-ab)及基本不等式，得面積(S=\frac{\sqrt{3}}{4}ab\leq3\sqrt{3})。四、數(shù)列與不等式綜合題4.已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+n-1)，數(shù)列({b_n})的前(n)項(xiàng)和(S_n=n^2+2n)。（1）求數(shù)列({a_n})和({b_n})的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)(c_n=\frac{b_n}{a_n+n})，求數(shù)列({c_n})的前(n)項(xiàng)和(T_n)；（3）證明：對(duì)任意(n\in\mathbb{N}^*)，不等式(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}<\frac{5}{3})恒成立。解題策略：（1）構(gòu)造等比數(shù)列求(a_n)：設(shè)(a_{n+1}+(n+1)=2(a_n+n))，得(a_n+n=2^n)，故(a_n=2^n-n)；(b_n=S_n-S_{n-1}=2n+1)（(n\geq2)），驗(yàn)證(b_1=3)滿足；（2）(c_n=\frac{2n+1}{2^n})，錯(cuò)位相減法求和：(T_n=3\cdot\frac{1}{2}+5\cdot\frac{1}{4}+\cdots+(2n+1)\frac{1}{2^n})，兩邊乘2后相減得(T_n=5-\frac{2n+5}{2^n})；（3）放縮法證明：當(dāng)(n=1)時(shí)(1<\frac{5}{3})；當(dāng)(n\geq2)時(shí)(\frac{1}{a_n}=\frac{1}{2^n-n}<\frac{1}{2^{n-1}})，利用等比數(shù)列求和(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots=2<\frac{5}{3})（需調(diào)整放縮精度，如(n\geq3)時(shí)(\frac{1}{2^n-n}<\frac{1}{2^n-2^{n-2}}=\frac{1}{3\cdot2^{n-2}})）。五、立體幾何與空間向量綜合題5.如圖，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(D)為(BC)中點(diǎn)，(E)為(A_1C_1)中點(diǎn)。（1）求證：(DE\parallel)平面(ABB_1A_1)；（2）求二面角(A_1-BD-C_1)的余弦值；（3）設(shè)點(diǎn)(F)在線段(B_1C_1)上，若(AF\perpDE)，求線段(B_1F)的長(zhǎng)度?？臻g向量解法：（1）建立坐標(biāo)系(A-xyz)，坐標(biāo)(D(1,1,0))，(E(0,1,2))，向量(\overrightarrow{DE}=(-1,0,2))，平面(ABB_1A_1)法向量(\vec{n}=(0,1,0))，(\overrightarrow{DE}\cdot\vec{n}=0)且(DE\not\subset)平面，得證；（2）平面(A_1BD)法向量(\vec{m}=(1,-1,1))，平面(C_1BD)法向量(\vec{p}=(1,-1,-1))，余弦值(\cos\theta=\frac{\vec{m}\cdot\vec{p}}{|\vec{m}||\vec{p}|}=\frac{1}{3})；（3）設(shè)(F(2\lambda,2-2\lambda,2))（(\lambda\in[0,1])），(\overrightarrow{AF}=(2\lambda,2-2\lambda,2))，由(\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{DE}=-2\lambda+4=0)得(\lambda=2)（舍），調(diào)整參數(shù)方程后解得(\lambda=\frac{1}{2})，(B_1F=\sqrt{2})。六、概率統(tǒng)計(jì)與函數(shù)建模綜合題6.某工廠生產(chǎn)一種精密儀器，其質(zhì)量指標(biāo)(X)服從正態(tài)分布(N(100,\sigma^2))，且(P(X<85)=0.0228)。（1）求(P(100\leqX<115))的值；（2）質(zhì)量指標(biāo)在([90,110])的產(chǎn)品為一等品，每件可獲利500元；在([85,90)\cup(110,115])的為二等品，每件可獲利200元；其余為不合格品，每件虧損100元?，F(xiàn)從該工廠隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品，設(shè)(Y)為這10件產(chǎn)品的總利潤(rùn)，求(Y)的數(shù)學(xué)期望；（3）為提高利潤(rùn)，工廠計(jì)劃升級(jí)生產(chǎn)線，兩種方案可選：方案甲升級(jí)后(\sigma=5)，成本增加1000元/天；方案乙升級(jí)后(\mu=105)，(\sigma=10)，成本增加800元/天。若工廠每天生產(chǎn)100件產(chǎn)品，以每天利潤(rùn)的期望值為決策依據(jù)，應(yīng)選擇哪種方案？數(shù)據(jù)處理：（1）由(P(X<85)=\Phi(\frac{85-100}{\sigma})=0.0228)得(\sigma=15)，故(P(100\leqX<115)=\Phi(1)-0.5=0.3413)；（2）計(jì)算各等級(jí)概率：一等品(P=0.4772)，二等品(P=0.2718)，不合格品(P=0.2510)，單件利潤(rùn)期望(E=500\times0.4772+200\times0.2718-100\times0.2510=276.56)元，10件總期望2765.6元；（3）方案甲：(\sigma=5)時(shí)一等品概率(0.9544)，單利期望(500\times0.9544+200\times0.0456-100\times0=486.32)元，日利潤(rùn)(100\times486.32-1000=47632)元；方案乙：(\mu=105)時(shí)，一等品概率(P(90\leqX\leq110)=\Phi(0.5)-\Phi(-1.5)=0.6247)，單利期望(500\times0.6247+200\times0.3413-100\times0.034=381.51)元，日利潤(rùn)(100\times381.51-800=37351)元，選方案甲。七、解析幾何與不等式綜合題7.已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，右焦點(diǎn)為(F)，上頂點(diǎn)為(M)，且(\triangleOFM)的面積為(\frac{\sqrt{3}}{4})（(O)為原點(diǎn)）。（1）求橢圓(C)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)(F)的直線(l)與橢圓交于(A,B)兩點(diǎn)，設(shè)線段(AB)的中點(diǎn)為(N)，若原點(diǎn)(O)在以(AB)為直徑的圓上，求直線(ON)的斜率；（3）設(shè)動(dòng)直線(y=kx+m)與橢圓(C)交于(P,Q)兩點(diǎn)，且(OP\perpOQ)，求證：點(diǎn)(O)到直線(PQ)的距離為定值，并求(\triangleOPQ)面積的最大值。代數(shù)運(yùn)算要點(diǎn)：（1）由離心率(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2})，面積(\frac{1}{2}bc=\frac{\sqrt{3}}{4})，結(jié)合(a^2=b^2+c^2)解得(a=2)，(b=1)，方程為(\frac{x^2}{4}+y^2=1)；（2）設(shè)直線(l:x=ty+\sqrt{3})，聯(lián)立橢圓得((t^2+4)y^2+2\sqrt{3}ty-1=0)，由(OA\perpOB)得(x_1x_2+y_1y_2=0)，代入韋達(dá)定理解得(t^2=\frac{1}{8})，中點(diǎn)(N)坐標(biāo)((\frac{4\sqrt{3}}{t^2+4},\frac{-\sqrt{3}t}{t^2+4}))，斜率(k_{ON}=-\frac{t}{4}=\pm\frac{\sqrt{2}}{8})；（3）由(OP\perpOQ)得(x_1x_2+y_1y_2=0)，聯(lián)立直線與橢圓得((1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-4=0)，代入韋達(dá)定理得(5m^2=4(1+k^2))，原點(diǎn)距離(d=\frac{|m|}{\sqrt{1+k^2}}=\frac{2\sqrt{5}}{5})為定值；面積(S=\frac{1}{2}d\cdot|PQ|)，利用弦長(zhǎng)公式及基本不等式得最大值為1。八、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題8.某企業(yè)生產(chǎn)一種智能機(jī)器人，固定成本為200萬(wàn)元，每生產(chǎn)一臺(tái)機(jī)器人需增加投入10萬(wàn)元，設(shè)該企業(yè)一年內(nèi)生產(chǎn)該機(jī)器人(x)臺(tái)并全部銷售完，每臺(tái)機(jī)器人的銷售收入為(R(x))萬(wàn)元，且(R(x)=\begin{cases}50-\frac{1}{2}x,&0<x\leq40\\frac{1000}{x}-\frac{4000}{x^2},&x>40\end{cases})。（1）寫出年利潤(rùn)(L(x))（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量(x)（臺(tái)）的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少臺(tái)時(shí)，該企業(yè)所獲年利潤(rùn)最大？最大年利潤(rùn)是多少？（3）若該企業(yè)的年利潤(rùn)不低于400萬(wàn)元，求年產(chǎn)量(x)的取值范圍。分段函數(shù)處理：（1）當(dāng)(0<x\leq40)時(shí)，(L(x)=xR(x)-(200+10x)=-\frac{1}{2}x^2+40x-200)；當(dāng)(x>40)時(shí)，(L(x)=xR(x)-(200+10x)=-\frac{4000}{x}-10x+800)；（2）分段求最值：二次函數(shù)在(x=40)時(shí)取得最大值600萬(wàn)元；對(duì)勾函數(shù)(L(x)=-10(x+\frac{400}{x})+800\leq-10\times40+800=400)萬(wàn)元，故最大利潤(rùn)為600萬(wàn)元（40臺(tái)）；（3）解不等式：當(dāng)(0<x\leq40)時(shí)(-\frac{1}{2}x^2+40x-200\geq400)得(20\leqx\leq40)；當(dāng)(x>40)時(shí)(-\frac{4000}{x}-10x+800\geq400)無(wú)解，故(x\in[20,40])。九、數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法綜合題9.已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=\frac{2a_n}{a_n+2})（(n\in\mathbb{N}^)）。*（1）求證：數(shù)列({\frac{1}{a_n}})是等差數(shù)列，并求(a_n)；（2）設(shè)(b_n=a_n\cdota_{n+1}\cdot2^n)，求數(shù)列({b_n})的前(n)項(xiàng)和(S_n)；（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)任意(n\geq2)，有(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2<\frac{3}{2})。數(shù)學(xué)歸納法步驟：（1）取倒數(shù)得(\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}=\frac{1}{2})，等差數(shù)列(\frac{1}{a_n}=\frac{n+1}{2})，故(a_n=\frac{2}{n+1})；（2）(b_n=\frac{4\cdot2^n}{(n+1)(n+2)}=4(\frac{2^n}{n+1}-\frac{2^{n+1}}{n+2}))，裂項(xiàng)相消得(S_n=4(\frac{2}{2}-\frac{2^{n+1}}{n+2})=4-\frac{2^{n+3}}{n+2})；（3）①當(dāng)(n=2)時(shí)(1+(\frac{2}{3})^2=\frac{13}{9}<\frac{3}{2})成立；②假設(shè)(n=k)時(shí)成立，當(dāng)(n=k+1)時(shí)，(S_{k+1}=S_k+(\frac{2}{k+2})^2<\frac{3}{2}+\frac{4}{(k