安徽省蕪湖市2025-2026學年數(shù)學高一上期末學業(yè)水平測試試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．關(guān)于不同的直線與不同的平面，有下列四個命題：①，，且，則②，，且，則③，，且，則④，，且，則其中正確命題的序號是A.①② B.②③C.①③ D.③④2．若，則是第（）象限角A.一 B.二C.三 D.四3．若函數(shù)唯一的一個零點同時在區(qū)間、、、內(nèi)，那么下列命題中正確的是A.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點B.函數(shù)在區(qū)間或內(nèi)有零點C.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)無零點D.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)無零點4．已知直線，，若，則實數(shù)的值為A.8 B.2C. D.-25．如圖，PO是三棱錐P-ABC底面ABC的垂線，垂足為O①若PA⊥BC，PB⊥AC，則點O是△ABC的垂心；②若PA=PB=PC，則點O是△ABC的外心；③若∠PAB=∠PAC，∠PBA=∠PBC，則點O是△ABC的內(nèi)心；④過點P分別做邊AB，BC，AC的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，G，若PE=PF=PG，則點O是△ABC的重心以上推斷正確的個數(shù)是（）A.1 B.2C.3 D.46．在長方體中，，，則該長方體的外接球的表面積為A. B.C. D.7．函數(shù)的定義域為A. B.C. D.8．下列函數(shù)中，最小正周期為，且圖象關(guān)于直線對稱的是A. B.C. D.9．已知函數(shù)，則方程的實數(shù)根的個數(shù)為（）A. B.C. D.10．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為A.， B.，C.， D.，二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知扇形的弧長為，半徑為1，則扇形的面積為___________.12．___________13．在三棱錐中，，，兩兩垂直，，，三棱錐的側(cè)面積為13，則該三棱錐外接球的表面積為______.14．已知函數(shù)的圖象經(jīng)過定點，若為正整數(shù)，那么使得不等式在區(qū)間上有解的的最大值是__________.15．函數(shù)的反函數(shù)為___________.16．關(guān)于函數(shù)f（x）=有如下四個命題：①f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱②f（x）的圖象關(guān)于原點對稱③f（x）的圖象關(guān)于直線x=對稱④f（x）的最小值為2其中所有真命題的序號是__________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知全集，集合，.（1）當時，求；（2）命題p：，命題q：，若q是p的必要條件，求實數(shù)a的取值范圍.18．已知，，且.（1）求的值；（2）求.19．已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，集合.（1）求的值；（2）當時，的值域為集合，若是成立的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.20．觀察以下等式：①②③④⑤（1）對①②③進行化簡求值，并猜想出④⑤式子的值；（2）根據(jù)上述各式的共同特點，寫出一條能反映一般規(guī)律的等式，并對等式的正確性作出證明21．中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和茶水的溫度有關(guān).經(jīng)驗表明，某種綠茶，用一定溫度的水泡制，再等到茶水溫度降至某一溫度時，可以產(chǎn)生最佳口感.某研究員在泡制茶水的過程中，每隔1min測量一次茶水溫度，收集到以下數(shù)據(jù)：時間/min012345水溫/℃85.0079.0073.6068.7464.3660.42設(shè)茶水溫度從85°C開始，經(jīng)過tmin后溫度為y℃，為了刻畫茶水溫度隨時間變化的規(guī)律，現(xiàn)有以下兩種函數(shù)模型供選擇：①；②（1）選出你認為最符合實際的函數(shù)模型，說明理由，并參考表格中前3組數(shù)據(jù)，求出函數(shù)模型的解析式；（2）若茶水溫度降至55℃時飲用，可以產(chǎn)生最佳口感，根據(jù)（1）中的函數(shù)模型，剛泡好的茶水大約需要放置多長時間才能達到最佳飲用口感?（參考數(shù)據(jù)：，）

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】根據(jù)線線垂直，線線平行的判定，結(jié)合線面位置關(guān)系，即可容易求得判斷.【詳解】對于①，若，，且，顯然一定有，故正確；對于②，因為，，且，則的位置關(guān)系可能平行，也可能相交，也可能是異面直線，故錯；對于③，若，//且//，則一定有，故③正確；對于④，，，且，則與的位置關(guān)系不定，故④錯故正確的序號有：①③.故選C【點睛】本題考查直線和直線的位置關(guān)系，涉及線面垂直以及面面垂直，屬綜合基礎(chǔ)題.2、C【解析】由終邊位置可得結(jié)果.【詳解】，終邊落在第三象限，為第三象限角.故選：C.3、D【解析】有題意可知，函數(shù)唯一的一個零點應(yīng)在區(qū)間內(nèi)，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)無零點考點：函數(shù)的零點個數(shù)問題4、A【解析】利用兩條直線平行的充要條件求解【詳解】：∵直線l1：2x+y-2=0，l2：ax+4y+1=0，l1∥l2，∴，解得a=8故選A.【點睛】】本題考查實數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意直線平行的性質(zhì)的靈活運用5、C【解析】①由題意得出AO⊥BC，BO⊥BC，點O是△ABC的垂心；②若PA=PB=PC，則AO=BO=CO，點O是△ABC的外心；③由題意得出AO是∠BAC的平分線，BO是∠ABC的平分線，O是△ABC的內(nèi)心；④若PE=PF=PG，則OE=OF=OG，點O是△ABC的內(nèi)心【詳解】對于①，PO⊥底面ABC，∴PO⊥BC，又PA⊥BC，∴BC⊥平面PAO，∴AO⊥BC；同理PB⊥AC，得出BO⊥BC，∴點O是△ABC的垂心，①正確；對于②，若PA=PB=PC，由此推出Rt△PAO≌Rt△PBO≌Rt△PCO，∴AO=BO=CO，點O是△ABC的外心，②正確；對于③，若∠PAB=∠PAC，且PO⊥底面ABC，則AO是∠BAC的平分線，同理∠PBA=∠PBC時BO是∠ABC平分線，∴點O是△ABC的內(nèi)心，③正確；對于④，過點P分別做邊AB，BC，AC的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，G，若PE=PF=PG，則OE=OF=OG，點O是△ABC的內(nèi)心，④錯誤綜上，正確的命題個數(shù)是3故選C【點睛】本題主要考查了空間中的直線與平面的垂直關(guān)系應(yīng)用問題，是中檔題6、B【解析】由題求出長方體的體對角線，則外接球的半徑為體對角線的一半，進而求得答案【詳解】由題意可得，長方體體對角線為，則該長方體的外接球的半徑為，因此，該長方體的外接球的表面積為.【點睛】本題考查外接球的表面積，屬于一般題7、C【解析】要使函數(shù)有意義，需滿足解得，所以函數(shù)的定義域為考點：求函數(shù)的定義域【易錯點睛】本題是求函數(shù)的定義域，注意分母不能為0，同時本題又將對數(shù)的運算，交集等知識聯(lián)系在一起，重點考查學生思維能力的全面性和縝密性，凸顯了知識之間的聯(lián)系性、綜合性，能較好的考查學生的計算能力和思維的全面性．學生很容易忽略，造成失誤，注意在對數(shù)函數(shù)中，真數(shù)一定是正數(shù)，負數(shù)和零無意義考點：求函數(shù)的定義域8、B【解析】因為函數(shù)的最小正周期是，故先排除選項D；又對于選項C：，對于選項A：，故A、C均被排除，應(yīng)選B.9、B【解析】由已知，可令，要求，即為，原題轉(zhuǎn)化為直線與的圖象的交點情況，通過畫出函數(shù)的圖象，討論的取值，即可直線與的圖象的交點情況.【詳解】令，則，①當時，，，，即，②當時，，，畫出函數(shù)的圖象，如圖所示，若，即，無解；若，直線與的圖象有3個交點，即有3個不同實根；若，直線與的圖象有2個交點，即有2個不同實根；綜上所述，方程的實數(shù)根的個數(shù)為5個，故選：10、D【解析】由題意得選D.【點睛】函數(shù)的性質(zhì)(1).(2)周期(3)由求對稱軸(4)由求增區(qū)間;由求減區(qū)間二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、##【解析】利用扇形面積公式進行計算.【詳解】即，，由扇形面積公式得：.故答案為：12、【解析】利用、兩角和的正弦展開式進行化簡可得答案.【詳解】故答案為：.13、【解析】根據(jù)側(cè)面積計算得到，再計算半徑為，代入表面積公式得到答案.【詳解】三棱錐的側(cè)面積為，所以故該三棱錐外接球的半徑為：，球的表面積為.故答案為：【點睛】本題考查了三棱錐的外接球問題，意在考查學生的空間想象能力和計算能力.14、【解析】由可得出，由已知不等式結(jié)合參變量分離法可得出，令，求出函數(shù)在上的最大值，即可得出實數(shù)的取值范圍，即可得解.【詳解】由已知可得，則，解得，故，由得，因為，則，可得，令，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，，.因此，正整數(shù)的最大值為.故答案：.15、【解析】由題設(shè)可得，即可得反函數(shù).【詳解】由，可得，∴反函數(shù)為.故答案為：.16、②③【解析】利用特殊值法可判斷命題①的正誤；利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷命題②的正誤；利用對稱性的定義可判斷命題③的正誤；取可判斷命題④的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】對于命題①，，，則，所以，函數(shù)的圖象不關(guān)于軸對稱，命題①錯誤；對于命題②，函數(shù)的定義域為，定義域關(guān)于原點對稱，，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，命題②正確；對于命題③，，，則，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，命題③正確；對于命題④，當時，，則，命題④錯誤.故答案為：②③.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的奇偶性、對稱性以及最值的求解，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.第ⅠⅠ卷三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）先解分式不等式和二次不等式得集合,再求補集和交集即可；（2）先判斷得，再根據(jù)必要條件得到集合的包含關(guān)系，列不等式求解即可.【小問1詳解】∵時，，，全集，∴或．∴【小問2詳解】∵命題：，命題：，是必要條件，∴∵，∴，∵，，∴，解得或，故實數(shù)的取值范圍18、（1）；（2）.【解析】（1）先根據(jù)，且，求出，則可求，再求；（2）先根據(jù)，，求出，再根據(jù)求解即可.【詳解】（1）∵且，∴，∴，∴；（2）∵，∴，又∵，∴，，所以.【點睛】三角函數(shù)求值有三類，(1)“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來看是很難的，但仔細觀察非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系，解題時，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除非特殊角的三角函數(shù)而得解．(2)“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系．(3)“給值求角”：實質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，確定角．本題考查運算求解能力，是中檔題.19、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義可得，求出的值，再檢驗即可得出答案.(2)先求出函數(shù)的值域，即得出集合，然后由題意知，根據(jù)集合的包含關(guān)系得到不等式組，從而求出答案.【小問1詳解】由冪函數(shù)定義，知，解得或，當時，的圖象不關(guān)于軸對稱，舍去，當時，的圖象關(guān)于軸對稱，因此.【小問2詳解】當時，的值域為，則集合，由題意知，得，解得.20、（1）答案見解析；（2）；證明見解析.【解析】（1）利用特殊角的三角函數(shù)值計算即得；（2）根據(jù)式子的特點可得等式，然后利用和差角公式及同角