2024考研數(shù)學沖刺卷考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題：本大題共5小題，每小題4分，共20分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.函數(shù)f(x)=sin(x^2)在區(qū)間(0,π)內(nèi)是().(A)單調(diào)遞增無界函數(shù)(B)單調(diào)遞減無界函數(shù)(C)單調(diào)遞增有界函數(shù)(D)單調(diào)遞減有界函數(shù)2.極限lim(x→0)(e^x-cosx)/x^2=().(A)1(B)0(C)1/2(D)-1/23.設函數(shù)f(x)在點x=0處可導，且f(0)=0，若f'(0)=3，則極限lim(x→0)(f(x)-3x)/sin(x)=().(A)0(B)3(C)1(D)-14.已知向量α=(1,k,1)，β=(2,-1,1)，若α⊥β，則k=().(A)-2(B)-1/2(C)2(D)1/25.設A為n階可逆矩陣，B為n階矩陣，則下列運算中不一定成立的是().(A)(AB)^T=B^TA^T(B)(AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1}(C)det(AB)=det(A)det(B)(D)(AB)^k=A^kB^k(k為正整數(shù))二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分。6.曲線y=ln(x^2)-x在點(1,0)處的切線方程為________.7.廣義積分∫(1→+∞)(1/(x+1)^p)dx收斂，則實數(shù)p的取值范圍是________.8.設z=z(x,y)由方程x^2+y^2+z^2=f(xyz)確定，其中f可微，則z_x在點(1,1,1)處的值為________.9.設A為3階矩陣，且det(A)=2，則|-3A|=________.10.設X是一個服從參數(shù)為λ(λ>0)的泊松分布的隨機變量，且P(X≥1)=9/10，則P(X=0)=________.三、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。11.(本小題滿分10分)計算不定積分∫(x^2+1)/(x^2-x)dx.12.(本小題滿分12分)討論函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2在區(qū)間(-∞,+∞)上的單調(diào)性、極值和凹凸性，并畫出函數(shù)的簡圖（只需標出關鍵點）。13.(本小題滿分10分)計算二重積分∫∫_Dx^2ydxdy，其中D是由拋物線y=x^2和直線y=1所圍成的區(qū)域。14.(本小題滿分12分)已知向量組α_1=(1,1,1),α_2=(1,1,0),α_3=(1,0,0),β=(1,a,b)。(1)若β能由α_1,α_2,α_3線性表示，求a,b的關系式；(2)若α_1,α_2,α_3是一個基，求向量β在該基下的坐標。15.(本小題滿分12分)設A=[begin{matrix}1&1&0\1&a&1\0&1&1end{matrix}]，求A的特征值，并判斷A是否可對角化。16.(本小題滿分10分)設總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ^2)，其中μ未知，σ^2已知。從總體中抽取容量為n的簡單隨機樣本X_1,X_2,...,X_n，樣本均值為∑(i=1→n)X_i/n。(1)求參數(shù)μ的矩估計量；(2)求參數(shù)μ的最大似然估計量。---試卷答案一、選擇題1.C2.C3.B4.C5.B二、填空題6.y=-x+17.p>18.-1/39.-5410.1/10三、解答題11.解：∫(x^2+1)/(x^2-x)dx=∫[(x^2-x)+x+1]/(x^2-x)dx=∫dx+∫(x/(x^2-x))dx+∫(1/(x^2-x))dx=∫dx+∫(1/(x(x-1)))dx+∫(1/(x^2-x))dx=∫dx+∫[1/(x-1)-1/x]dx+∫(1/(x(x-1)))dx=x+ln|x-1|-ln|x|+∫[1/(x(x-1))]dx=x+ln|(x-1)/x|+∫(1/(x-1))dx-∫(1/x)dx=x+ln|(x-1)/x|+ln|x-1|-ln|x|+C=x+ln|x-1|+C或分式分解：∫(x^2+1)/(x^2-x)dx=∫[(x^2-x)+(x+1)]/(x(x-1))dx=∫[1/(x-1)+1/x]dx+∫(1/(x(x-1)))dx=ln|x-1|+ln|x|+∫[1/(x-1)-1/x]dx=ln|(x-1)x|+∫d(x-ln|x|)+C=ln|(x-1)x|+(x-ln|x|)+C=x+ln|(x-1)/x|+C綜合可得原式=x+ln|(x-1)/x|+C12.解：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)令f'(x)=0，得x=0,2。函數(shù)在(-∞,0)單調(diào)遞增，在(0,2)單調(diào)遞減，在(2,+∞)單調(diào)遞增。f(0)=2，f(2)=-2。f''(x)=6x-6=6(x-1)。令f''(x)=0，得x=1。在(-∞,1)函數(shù)凹向下，在(1,+∞)函數(shù)凹向上。極大值點x=0，極大值f(0)=2；極小值點x=2，極小值f(2)=-2。凹凸性拐點(1,1)。函數(shù)簡圖（略）：在x=0處有極大值2，x=2處有極小值-2，凹凸性變化于x=1處。13.解：積分區(qū)域D：x^2≤y≤1,0≤x≤1。∫∫_Dx^2ydxdy=∫(0→1)∫(x^2→1)x^2ydydx=∫(0→1)x^2[y^2/2]_(x^2)^(1)dx=∫(0→1)x^2(1/2-x^4/2)dx=1/2∫(0→1)(x^2-x^6)dx=1/2[x^3/3-x^7/7]_(0→1)=1/2(1/3-1/7)=1/2*(7-3)/21=4/42=2/2114.解：(1)β能由α_1,α_2,α_3線性表示，即存在常數(shù)k_1,k_2,k_3使得k_1α_1+k_2α_2+k_3α_3=β。即[k_1,k_1,k_1;k_2,k_2,k_2;k_3,k_3,k_3][1;1;0]=[1;a;b]設A=[1,1,1;1,1,1;1,1,1],X=[k_1;k_2;k_3]^T,B=[1;a;b]^T。則AX=B。由于A的三個行向量成比例，r(A)<3。為使方程有解，r(A)=r(AB)。AB=[3k_1+2k_2+3k_3;3k_1+2k_2+3k_3;3k_1+2k_2+3k_3]=[3k_1+2k_2+3k_3;a;b]。需要r(A)=r(AB)=2，即a=3k_1+2k_2+3k_3,b=3k_1+2k_2+3k_3。所以a=b。(2)α_1,α_2,α_3是一個基，說明它們線性無關，構成三維空間的一個基。β在該基下的坐標為向量β在基向量α_1,α_2,α_3下的分解系數(shù)。設β=k_1α_1+k_2α_2+k_3α_3=k_1(1,1,1)+k_2(1,1,0)+k_3(1,0,0)=(k_1+k_2+k_3,k_1+k_2,k_1)。則(k_1+k_2+k_3,k_1+k_2,k_1)=(1,a,b)。由(1)知a=b。令k_1+k_2+k_3=t。t,t,k_1=1,a,b。t=1,k_1=a=b。所以k_1=1,t=1,k_2=0(因為1+k_2+k_3=1,k_3=0)。坐標為(1,0,1)。15.解：|λE-A|=|begin{matrix}λ-1&-1&0\-1&λ-a&-1\0&-1&λ-1end{matrix}|=(λ-1)[(λ-a)(λ-1)-1]-(-1)[-1*(λ-1)-0]=(λ-1)[(λ-a)(λ-1)-1]+(λ-1)=(λ-1)[(λ-a)(λ-1)+1]=(λ-1)[λ^2-(a+1)λ+a-1+1]=(λ-1)[λ^2-(a+1)λ+a]=(λ-1)[(λ-1)(λ-a)]=(λ-1)^2(λ-a)特征值為λ_1=λ_2=1,λ_3=a。當a≠1時，三個特征值互異，故A可對角化。當a=1時，特征值為λ_1=λ_2=λ_3=1，只有一個線性無關的特征向量，故A不可對角化。16.解：(1)矩估計：E(X)=μ。樣本均值為∑(i=1→n)X_i/n=(1/n)*(∑X_i)。E(樣本均值)=E((1/n)*(∑X_i))=(1/n)*(∑E(X_i))=(1/n)*nμ=μ。由無偏估計定義，樣本均值∑(i=1→n)X_i/n是μ的無偏估計量。即μ的矩估計量為θ?=(∑(i=1→n)X_i)/n。(2)最大似然估計：設樣本為X_1,X_2,...,X_n，總體密度為f(x|μ)=(1/(sqrt(2π)σ))*exp(-(x-μ)^2/(2σ^2))