湖北省小學(xué)六年級下學(xué)期數(shù)學(xué)第七單元測試卷-平面圖形的周長與面積專題復(fù)習(xí)一、平面圖形周長與面積的基礎(chǔ)概念梳理（一）核心定義解析周長是指平面圖形外圍邊界的總長度，其本質(zhì)是“線的長度總和”，單位通常為厘米（cm）、分米（dm）或米（m）。例如長方形的周長等于四條邊長度相加，圓形的周長則是圍繞圓周一周的曲線長度。面積是指平面圖形所占據(jù)的平面部分的大小，單位為平方厘米（cm2）、平方分米（dm2）或平方米（m2），可理解為“面的大小度量”。需要特別注意的是，周長與面積是兩個完全不同的概念，例如一個長方形框架拉伸變形后，周長不變但面積會發(fā)生改變。（二）常見圖形的特征對比三角形：由三條線段首尾相連圍成的封閉圖形，具有穩(wěn)定性。按角分類可分為銳角三角形（三個角均小于90°）、直角三角形（有一個角等于90°）和鈍角三角形（有一個角大于90°）；按邊分類可分為等邊三角形（三條邊相等）、等腰三角形（兩條邊相等）和不等邊三角形（三條邊均不相等）。四邊形：包含長方形（四個角為直角，對邊相等）、正方形（四個角為直角，四條邊相等）、平行四邊形（對邊平行且相等）、梯形（只有一組對邊平行，分為等腰梯形和直角梯形）。其中正方形是特殊的長方形，長方形是特殊的平行四邊形。圓形：由一條曲線圍成的封閉圖形，具有無數(shù)條對稱軸。圓上任意一點到圓心的距離稱為半徑（r），通過圓心且兩端都在圓上的線段稱為直徑（d），直徑長度是半徑的2倍（d=2r）。二、基礎(chǔ)公式及推導(dǎo)過程（一）三角形周長公式：C=a+b+c（a、b、c為三角形的三條邊長）。對于等邊三角形，可簡化為C=3a；等腰三角形可簡化為C=2a+b（a為腰長，b為底邊長）。面積公式：S=ah÷2（a為底邊長，h為這條底邊對應(yīng)的高）。推導(dǎo)過程：兩個完全相同的三角形可以拼成一個平行四邊形，平行四邊形的底等于三角形的底，高等于三角形的高，因此三角形面積是平行四邊形面積的一半，即S=底×高÷2。需特別注意“對應(yīng)高”的概念，例如直角三角形的兩條直角邊互為底和高，此時面積可表示為兩條直角邊乘積的一半。（二）四邊形長方形：周長：C=2(a+b)（a為長，b為寬）。因為長方形對邊相等，所以周長等于（長+寬）×2。面積：S=ab?？赏ㄟ^數(shù)方格法推導(dǎo)，每行有a個單位面積，共b行，總面積為a×b。正方形：周長：C=4a（a為邊長）。由于四條邊相等，直接用邊長×4。面積：S=a2。是長方形面積公式的特殊情況（長和寬相等）。平行四邊形：周長：C=2(a+b)（a、b為相鄰兩邊長）。面積：S=ah（a為底邊長，h為這條底邊對應(yīng)的高）。推導(dǎo)方法：通過割補法將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形，轉(zhuǎn)化后的長方形長等于平行四邊形的底，寬等于平行四邊形的高，因此面積公式與長方形一致。梯形：周長：C=a+b+c+d（a、b為兩底，c、d為兩腰）。等腰梯形周長可簡化為C=2c+a+b（c為腰長）。面積：S=(a+b)h÷2（a為上底，b為下底，h為高）。推導(dǎo)過程：兩個完全相同的梯形可拼成一個平行四邊形，平行四邊形的底等于梯形的上底與下底之和，高等于梯形的高，所以梯形面積是該平行四邊形面積的一半。（三）圓形周長公式：C=πd或C=2πr（π為圓周率，通常取3.14）。圓周率是圓的周長與直徑的比值，是一個固定的無限不循環(huán)小數(shù)。面積公式：S=πr2。推導(dǎo)思路：將圓平均分成若干個小扇形，拼成一個近似的長方形，長方形的長近似于圓周長的一半（πr），寬近似于圓的半徑（r），因此面積S=長×寬=πr×r=πr2。三、典型例題解析（一）基礎(chǔ)計算題例1：一個長方形操場，長80米，寬50米，小明沿著操場跑了兩圈，他一共跑了多少米？解析：先求一圈的周長，C=2×(80+50)=260米，兩圈則為260×2=520米。注意題目問的是“跑了兩圈”，需用周長×2。例2：一個直角三角形，兩條直角邊分別為6厘米和8厘米，求它的面積和斜邊上的高（斜邊長度為10厘米）。解析：面積S=6×8÷2=24平方厘米。根據(jù)面積公式變形，斜邊上的高h(yuǎn)=2S÷斜邊=2×24÷10=4.8厘米。這里體現(xiàn)了“同一三角形面積不變”的思想。（二）公式逆用題例3：一個圓形花壇的周長是18.84米，求它的半徑和占地面積。解析：已知周長求半徑，r=C÷π÷2=18.84÷3.14÷2=3米。面積S=3.14×32=28.26平方米。關(guān)鍵在于靈活運用周長公式求出半徑，再代入面積公式。例4：一塊梯形麥田，面積是540平方米，上底是20米，下底是40米，求麥田的高。解析：根據(jù)梯形面積公式S=(a+b)h÷2，可得h=2S÷(a+b)=2×540÷(20+40)=18米。需要熟練掌握公式的變形應(yīng)用。（三）組合圖形問題例5：計算下圖陰影部分面積（單位：厘米）。圖形由一個邊長為10厘米的正方形和一個直徑為10厘米的半圓組成，半圓的直徑與正方形的一條邊重合，陰影部分為正方形內(nèi)半圓以外的區(qū)域。解析：陰影部分面積=正方形面積-半圓面積。正方形面積S正=10×10=100平方厘米，半圓半徑r=10÷2=5厘米，半圓面積S半=3.14×52÷2=39.25平方厘米，因此陰影面積=100-39.25=60.75平方厘米。解決組合圖形問題的關(guān)鍵是“分解圖形”，將復(fù)雜圖形轉(zhuǎn)化為基本圖形的和或差。例6：一個環(huán)形鐵片，外圓直徑是10厘米，內(nèi)圓直徑是6厘米，求鐵片的面積。解析：環(huán)形面積=外圓面積-內(nèi)圓面積。外圓半徑R=10÷2=5厘米，內(nèi)圓半徑r=6÷2=3厘米，面積S=π(R2-r2)=3.14×(25-9)=3.14×16=50.24平方厘米。這里運用了“大面積減小面積”的基本思路。（四）生活實際應(yīng)用題例7：一個教室長9米，寬6米，高3米（天花板和地面不粉刷），門窗面積共15平方米。如果每平方米需要涂料0.5千克，粉刷這個教室需要多少千克涂料？解析：首先明確需要粉刷的是四面墻壁，面積為2×(長×高+寬×高)-門窗面積=2×(9×3+6×3)-15=2×45-15=75平方米。涂料總量=75×0.5=37.5千克。注意題目中的“不粉刷部分”和“單位換算”問題，這是生活應(yīng)用題的常見易錯點。例8：一個圓形噴水池的半徑是5米，在它的周圍修一條寬1米的環(huán)形小路，求小路的面積。解析：小路面積即環(huán)形面積，外圓半徑R=5+1=6米，內(nèi)圓半徑r=5米，S=π(R2-r2)=3.14×(36-25)=34.54平方米。這里要注意“寬1米”是指外圓半徑比內(nèi)圓半徑多1米。四、易錯點與解題技巧（一）常見錯誤類型單位混淆：如將長度單位“厘米”誤用作面積單位，或計算時單位不統(tǒng)一（如米和厘米混用）。例如：計算邊長為2米的正方形面積，錯算為2×2=4厘米2。公式記憶錯誤：三角形、梯形面積忘記除以2；圓形周長與面積公式混淆（如用S=πd計算面積）。高的對應(yīng)錯誤：在三角形或平行四邊形中，使用非對應(yīng)底和高計算面積。例如：一個三角形底為5厘米，高為4厘米，另一條底為10厘米，錯用10×4計算面積。組合圖形漏算或多算：分解圖形時遺漏部分區(qū)域，或重復(fù)計算重疊部分。例如：計算兩個正方形組合圖形的陰影面積時，忘記減去重疊部分的面積。（二）實用解題技巧公式推導(dǎo)記憶法：不要死記硬背公式，通過理解推導(dǎo)過程記憶。例如：通過“兩個三角形拼成平行四邊形”的實驗，自然記住三角形面積需除以2。畫圖輔助法：對于復(fù)雜題目，畫出示意圖并標(biāo)注已知條件，能直觀理解題意。如解決“長方形中剪最大圓”的問題，畫圖可清晰看出圓的直徑等于長方形的寬。單位檢查三步法：①看已知數(shù)據(jù)單位是否統(tǒng)一；②確認(rèn)公式中各量單位是否匹配；③檢查計算結(jié)果單位是否符合問題要求（周長用長度單位，面積用面積單位）。多解驗證法：對于同一問題，嘗試用不同方法計算驗證結(jié)果。例如：計算梯形面積，既可以用（上底+下底）×高÷2，也可以分割成三角形和長方形分別計算再相加。五、綜合練習(xí)題（一）填空題一個等腰三角形的周長是20厘米，腰長6厘米，底邊長（）厘米；如果底邊長6厘米，腰長（）厘米。一個平行四邊形的底是8分米，高是5分米，與它等底等高的三角形面積是（）平方分米。一個圓形鐵片的直徑是12厘米，它的周長是（）厘米，面積是（）平方厘米。一個梯形的上底是5米，下底是9米，高是4米，面積是（）平方米；如果將它的上底延長4米，就變成一個（）形。（二）判斷題面積相等的兩個三角形一定能拼成一個平行四邊形。（）圓的半徑擴(kuò)大到原來的3倍，周長擴(kuò)大到原來的3倍，面積擴(kuò)大到原來的6倍。（）一個長方形拉成平行四邊形后，周長不變，面積變小。（）兩個圓的周長相等，它們的面積也一定相等。（）（三）計算題計算下圖組合圖形的面積（單位：厘米）：圖形由一個邊長為8厘米的正方形和一個底為8厘米、高為6厘米的三角形組成，三角形的底與正方形的一條邊重合。一個環(huán)形跑道，內(nèi)圈直徑是40米，外圈直徑是44米，求跑道的面積（π取3.14）。（四）解決問題一塊三角形菜地，底是25米，高是16米，每平方米收白菜8千克，這塊地一共可以收白菜多少千克？一個長方形游泳池長50米，寬25米，深2米。在池的四壁和底面貼上瓷磚，貼瓷磚的面積是多少平方米？如果每平方米瓷磚需要20元，購買瓷磚一共需要多少元？一個圓形花壇的周長是31.4米，在花壇周圍修一條1米寬的鵝卵石小路，小路的面積是多少