第2章對稱圖形——圓（復(fù)習(xí)講義）1.

了解圓的相關(guān)概念、定理的意義，體會圓的知識間的整體聯(lián)系。2.

能用點(diǎn)與圓、直線與圓的位置關(guān)系等知識分析問題。3.

理解并利用垂徑定理、圓心角與弦（弧、弦心距）的關(guān)系、圓周角定理及推論、切線相關(guān)定理解決問題。4.

會運(yùn)用弧長公式與扇形面積公式進(jìn)行計(jì)算。1.點(diǎn)和圓的位置關(guān)系2.圓心角、兩條弦、兩條弧、兩條弦心距關(guān)系在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弦、兩條弧、兩條弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等.3.垂徑定理及推論垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的兩條弧.垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.4.圓的確定經(jīng)過兩點(diǎn)可作無數(shù)個(gè)圓，這些圓的圓心在這兩點(diǎn)連線的垂直平分線上.不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.5.外心與內(nèi)心外心：三角形外接圓的圓心叫三角形的外心.外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，它到三角形各頂點(diǎn)的距離相等.銳角三角形的外心在三角形內(nèi)，直角三角形的外心是斜邊重點(diǎn)，鈍角三角形的外心在三角形外部。內(nèi)心：內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，叫做內(nèi)心，它的性質(zhì)是到三角形三邊的距離相等。6.圓周角定理及推論圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于它所對的弧上的圓心角的一半.推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等.推論2：直徑所對的圓周角是直角；圓周角所對的弦是直徑.推論3：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對角.7.直線和圓的位置關(guān)系：（圓心到直線距離為d，圓的半徑為r）8.切線性質(zhì)定理和判定定理切線定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.切線的判定方法：（1）直線與交點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）直線到圓心的距離與半徑關(guān)系；（3）切線的判定定理.9.切線長定理、弦切角定理切線長定理：過圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線這兩條切線的夾角.弦切角定理：弦切角等于它所夾弧所對的圓周角.10.弧長公式與扇形面積公式正變形的圓心角為度.題型一題型一判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系A(chǔ)．點(diǎn)P在圓內(nèi) B．點(diǎn)P在圓上 C．點(diǎn)P在圓外 D．都有可能【答案】A【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定方法進(jìn)行判斷．點(diǎn)在內(nèi)．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．【變式11】已知的半徑為4，點(diǎn)A到圓心O的距離為4，則點(diǎn)A與的位置關(guān)系是（

）A．點(diǎn)A在圓內(nèi) B．點(diǎn)A在圓上 C．點(diǎn)A在圓外 D．無法確定【答案】B【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系得出即可．∴點(diǎn)A在圓上，故選：B．A．點(diǎn)，均在圓外 B．點(diǎn)在圓外，點(diǎn)在圓內(nèi)C．點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓外 D．點(diǎn)，均在圓內(nèi)【答案】C【詳解】解：如圖，點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓外．故選：．題型二題型二利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求半徑

【分析】首先利用勾股定理得出的長，利用以A為圓心，r為半徑作，使得點(diǎn)D在圓內(nèi)，點(diǎn)C在圓外，得出r的取值范圍即可．【詳解】解：如圖，連接，

∵以A為圓心，r為半徑作，使得點(diǎn)D在圓內(nèi)，點(diǎn)C在圓外，【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系以及勾股定理，利用圖形得出r的取值范圍是解題關(guān)鍵．【答案】12【分析】根據(jù)題意知的直徑為最小距離與最大距離的和，再利用根與系數(shù)的關(guān)系即可求解．【詳解】解：∵是內(nèi)一點(diǎn)，∴的直徑為最小距離與最大距離的和，故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系．【分析】因?yàn)锳、B兩點(diǎn)中只有一個(gè)點(diǎn)在⊙C內(nèi)，所以半徑比大．點(diǎn)A在圓上或者圓外，所以半徑小于或等于．【詳解】解：因?yàn)锳、B兩點(diǎn)中只有一個(gè)點(diǎn)在⊙C內(nèi)，只有點(diǎn)B在圓內(nèi)，點(diǎn)A可以在圓上或圓外．因?yàn)辄c(diǎn)B在圓內(nèi)，所以cm．【點(diǎn)睛】本題考查的是點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)B與圓的位置，確定⊙C的半徑．

【詳解】解：如圖，連接，

【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)和圓的位置關(guān)系及勾股定理，熟練掌握點(diǎn)到圓心的距離與半徑大小關(guān)系及勾股定理是解題關(guān)鍵．題型三題型三利用垂徑定理求值【答案】【詳解】解：如圖，連接，故答案為：．【答案】10即的長為10．故答案為：10．【變式32】將半徑為5的如圖折疊，折痕長為6，C為折疊后的中點(diǎn)，則長為．【答案】3∵C為折疊后的中點(diǎn)，∴垂直平分，∴C點(diǎn)和D點(diǎn)關(guān)于對稱，故答案為：3．題型題型四利用圓周角定理求角度

【答案】【分析】由圓周角定理即可得到答案．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理：同弧所對的圓周角等于圓心角的一半，是解題的關(guān)鍵．【答案】20【詳解】解：連接，如圖，，故答案為：20．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．【答案】1【詳解】解：如圖，連接，故答案為：1．題型題型五半圓(直徑)所對的圓周角是直角

【答案】/61度【詳解】解：如圖，連接．

∵是直徑，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓周角定理，屬于中考?？碱}型．

【答案】(1)(2)（2）利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求解．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，的圓周角所對的弦是直徑．

(1)求證：點(diǎn)D為弧的中點(diǎn)；【答案】(1)見解析(2)20【詳解】（1）證明：∵是直徑∴點(diǎn)D為的中點(diǎn)；∴的直徑為20．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理、垂徑定理、勾股定理，熟練掌握圓周角定理和垂徑定理是解題的關(guān)鍵．題型題型六90度的圓周角所對的弦是直徑∴在以為直徑的上運(yùn)動，如圖，【點(diǎn)睛】本題考查了的圓周角所對的弦為直徑，勾股定理．解題的關(guān)鍵在于確定的運(yùn)動軌跡．

∴點(diǎn)在以為直徑的圓上，

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，求一點(diǎn)到圓上的距離的最小值．解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)在以為直徑的圓上．【分析】根據(jù)題意可得點(diǎn)G的運(yùn)動軌跡為以AB為直徑，H為圓心的圓?。?dāng)C、G、H三點(diǎn)共線時(shí)，CG取最小值，根據(jù)勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可．∴點(diǎn)G的運(yùn)動軌跡為以AB為直徑，H為圓心的圓?。?dāng)C、G、H三點(diǎn)共線時(shí)，CG取最小值，如圖，【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理以及勾股定理，根據(jù)題意得出點(diǎn)G的運(yùn)動軌跡是解本題的關(guān)鍵．題型題型七已知圓內(nèi)接四邊形求角度

【答案】故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，熟記圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理是解題的關(guān)鍵．

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，求出圓周角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．【答案】故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．題型題型八判斷直線和圓的位置關(guān)系A(chǔ)．相交 B．相離 C．相切 D．無法確定【答案】B∴以2為半徑作與斜邊相離．故選：B．

A．點(diǎn)在內(nèi) B．點(diǎn)在上C．直線與相切 D．直線與相離【答案】C

點(diǎn)在外，所以選項(xiàng)不符合題意；點(diǎn)在外，所以選項(xiàng)不符合題意；直線與相切，所以選項(xiàng)符合題意，D選項(xiàng)符不合題意．故選：C．A．與軸相交 B．與軸相切【答案】C【分析】此題主要考查了直線與圓和點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)等知識點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)得到圓心到軸的距離是，到軸的距離是，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系即可求出答案，熟練掌握運(yùn)用直線與圓和點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．∴到軸的距離是，到軸的距離是，∵的半徑為，則點(diǎn)在外，故選項(xiàng)正確；故選：．題型題型九已知直線和圓的位置關(guān)系求半徑的取值【例9】直線l與相離，且的半徑等于3，圓心O到直線l的距離為d，則d的取值范圍是．【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系判斷即可.【詳解】解：∵直線l與相離，且的半徑等于3，圓心O到直線l的距離為d，【變式91】已知直線l與半徑長為R的相離，且點(diǎn)O到直線l的距離為5，那么R的取值范圍是．【詳解】解：直線和圓相離，且點(diǎn)到直線的距離為5，題型題型十證明某直線是圓的切線

(1)求證：是的切線．【答案】(1)見解析(2)

∵是圓O的切線且為半徑，又∵是半徑，∴為圓O的切線．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、圓的切線的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)，勾股定理等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵通過正確作輔助線，構(gòu)造全等三角形，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用．(1)求證：直線是的切線；【答案】(1)見解析【詳解】（1）證明：如圖所示，連接∵OC是半徑∴直線是的切線；【點(diǎn)睛】此題考查了圓和三角形綜合題，圓切線的判定，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點(diǎn)．(1)求證：是圓的切線；【答案】(1)見解析(2)7又∵是圓的直徑∴是圓的切線（2）如圖，連接，，，記與相交于點(diǎn)

【點(diǎn)睛】該題主要考查了圓切線證明，圓心角定理，垂徑定理，三角形中位線等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓部分的這些知識點(diǎn)．題型題型十一切線的性質(zhì)定理

【答案】【詳解】如圖，連接，

∵是的切線，故答案是．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．

【答案】30故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的性質(zhì)，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．

【答案】/26度【分析】利用圓周角定理，切線的性質(zhì)定理和三角形的內(nèi)角和定理解答即可．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，圓的切線的性質(zhì)定理，熟練掌握上述定理是解題的關(guān)鍵．題型題型十二已知圓心角的度數(shù)或弧長，求扇形的面積【例12】已知扇形的圓心角為，半徑為，則這個(gè)扇形的面積是．【答案】【詳解】根據(jù)扇形的面積公式即可求解．故答案是：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形的面積公式，熟練掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．【答案】【分析】設(shè)該扇形的半徑為，然后根據(jù)弧長公式計(jì)算半徑，然后根據(jù)扇形面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)該扇形的半徑為，由題意得：故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查弧長計(jì)算公式及扇形面積計(jì)算公式，熟練掌握弧長計(jì)算公式和扇形面積計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．【分析】首先確定扇形的圓心角的度數(shù)，然后利用扇形的面積公式計(jì)算即可．正五邊形的邊長為4，【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓及扇形的面積的計(jì)算的知識，解題的關(guān)鍵是求得正五邊形的內(nèi)角的度數(shù)并牢記扇形的面積計(jì)算公式，難度不大．基礎(chǔ)鞏固通關(guān)測基礎(chǔ)鞏固通關(guān)測一、單選題A．在內(nèi) B．在上C．在外 D．與的位置關(guān)系無法確定【答案】A【分析】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，比較點(diǎn)P到圓心O的距離與圓的半徑的大小進(jìn)行判斷，即可作答．∴點(diǎn)在內(nèi)，故選：A【答案】D故選：D．【答案】B【分析】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，以及同弧所對的圓周角是圓心角的一半，進(jìn)行求解即可．故選B．A． B． C． D．【答案】B故選：B．A．7 B．1 C．10 D．14【答案】D故選：D．二、填空題【答案】/70度【分析】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)求解即可．故答案為∶．【答案】100【詳解】解：連接，如圖，故答案為：100．【答案】2【詳解】解：由題意，為圓O的直徑，∵圓O的半徑垂直弦于點(diǎn)C，故答案為：2求出OC的長度，根據(jù)弧長公式求出的長度即可；根據(jù)扇形的面積公式求出折扇扇面的面積即可．折扇張開的角度為，【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)O，連接，．點(diǎn)M的運(yùn)動軌跡是以O(shè)為圓心，5為半徑的．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，軌跡，勾股定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．三、解答題∵為小圓的切線，【答案】(1)【分析】本題考查了正多邊形與圓、直角三角形性質(zhì)、勾股定理、弧長公式等知識，掌握這些是解題的關(guān)鍵．故答案為：；(1)求證：是的切線；【答案】(1)見解析【分析】本題考查圓周角定理的推論，扇形面積公式，切線的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識點(diǎn)，熟練掌握其性質(zhì)并能準(zhǔn)確添加輔助線是解決此題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：如圖，連接，∵是的直徑，∵是的半徑，∴是的切線；（2）解：∵的半徑為1，(1)寫出圖中一個(gè)與相等的角：___________；(2)見解析(3)5【分析】（1）利用圓周角定理，垂徑定理，切線的性質(zhì)確定與相等的角即可；如圖，連接，∵為的切線，∵為直徑，（2）解：連接，（3）解：連接交于點(diǎn)．設(shè)的半徑為，即的半徑長為5．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理的應(yīng)用，垂徑定理的應(yīng)用，切線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，矩形的判定與性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.(1)點(diǎn)與的位置關(guān)系是，線段與線段的數(shù)量關(guān)系是；【分析】（1）根據(jù)圓周角定理與弧，弦，圓心角定理可得答案；∴為直徑，∵為圓心，∴在線段上；∵為的中點(diǎn)，連接，∵為的切線交的延長線于點(diǎn)，【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，圓周角定理的應(yīng)用，弦，弧，圓心角之間的關(guān)系，切線的性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.能力提升進(jìn)階練能力提升進(jìn)階練一、單選題A． B．π C．2π D．4π【答案】C【詳解】解：連接，，如下圖故選：C．【答案】A【分析】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，熟練掌握以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．故選：A．【答案】B【詳解】解：如圖，連接，∵是的切線，故選：B．A．3 B． C．4 D．【答案】B【分析】本題考查了翻轉(zhuǎn)變換、垂徑定理及圓的切線的性質(zhì)，難度不大，找出翻轉(zhuǎn)過后的弧所在圓的圓心是解題關(guān)鍵．根據(jù)題意先畫出圖形，可知翻轉(zhuǎn)過后的弧所在的圓和全等，且兩個(gè)圓的圓心相距為6，又已知圓的半徑，故根據(jù)勾股定理即可求出答案．【詳解】解解：如圖所示：故選：B．A． B． C． D．【答案】D∵為斜邊上的中線，故選：D．二、填空題【答案】【詳解】解：如圖，連接，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，直角三角形的兩個(gè)銳角互余，圓周角定理等知識，正確地添加輔助線是解題的關(guān)鍵．【答案】【分析】本題考查的是確定圓弧所在圓的圓心，勾股定理的應(yīng)用，如圖，由網(wǎng)格特點(diǎn)可得：線段，線段的垂直平分線交于格點(diǎn)，再利用勾股定理可得答案.【詳解】解：如圖，由網(wǎng)格特點(diǎn)可得：線段，線段的垂直平分線交于格點(diǎn)，∴為圓心，故答案為：【答案】∴該轎廂所經(jīng)過的路徑長度為：故答案為：．【答案】/50度【詳解】解：連接，如圖所示：∵分別切，，于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，故答案為：．∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴點(diǎn)F在以為直徑的半圓上移動，則點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)是B，【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，直徑所對的圓周角等于90度，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)等知識，掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題(1)求證：是的切線；【答案】(1)證明見解析(2)【分析】本題考查切線的判定，圓周角定理，弧長公式，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．（2）解：連接．12．如圖，是的直徑，點(diǎn)