12.3一次函數(shù)與二元一次方程課程標準學習目標會根據(jù)一次函數(shù)的圖象解釋一次函數(shù)與二元一次方程的關系①理解一次函數(shù)與二元一次方程的關系，會根據(jù)一次函數(shù)的圖象求二元一次方程組的近似解；②理解二元一次方程組無數(shù)組解和無解的情況，知道二元一次方程組解的三種情況與、的系數(shù)及常數(shù)項的聯(lián)系，會根據(jù)、的系數(shù)及常數(shù)項判定二元一次方程組的解的情況。知識點01二元一次方程與一次函數(shù)的關系一般地，一個二元一次方程可以轉(zhuǎn)化成一次函數(shù)的形式，所以每個二元一次方程都對應一個一次函數(shù)，也對應一條直線?！炯磳W即練1】直線上的各點坐標都是方程的解.【答案】【分析】根據(jù)二元一次方程與一次函數(shù)的關系求解即可．【詳解】由得：x-y=1，故直線上的各點坐標都是方程x-y=1的解．故答案為．【即學即練2】以方程的解為坐標的點組成下列哪個函數(shù)的圖象（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二元一次方程與一次函數(shù)的關系求解即可．【詳解】由得：3y=－2x+5，∴，故以方程的解為坐標的點組成的圖象．故選D．【即學即練3】以二元一次方程的解為坐標的點組成的圖象畫在坐標系中可能是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】先解出方程2x?y=1的二個解，再在平面直角坐標系中利用描點法解答．【詳解】解：二元一次方程2x?y=1的解可以為：或．所以，以方程2x?y=1的解為坐標的點分別為：（，0）、（0，-1），它們在平面直角坐標系中的圖象如下圖所示：，故選：B．知識點02用圖像法來解二元一次方程組（1）把二元一次方程化成一次函數(shù)的形式（2）在直角坐標系中畫出兩個一次函數(shù)的圖像，并標出交點。（3）交點坐標就是方程組的解?！炯磳W即練4】利用圖象求方程組的解．【答案】【分析】本題考查一次函數(shù)的交點與二元一次方程的關系，將方程組內(nèi)的每一個方程轉(zhuǎn)化為用x表示y的式子，即函數(shù)關系式，再畫出兩條直線，從而確定交點，從而得解，正確繪圖是解題的關鍵．【詳解】解：由得：，畫出兩個一次函數(shù)的圖象圖下：

由圖象知：是原方程組的解．【即學即練5】如圖，已知函數(shù)和的圖象交于點P，則根據(jù)圖象可得，關于x、y的二元一次方程組的解是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查一次函數(shù)與二元一次方程組，解題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題．根據(jù)函數(shù)圖象可以得到兩個函數(shù)交點坐標，從而可以得到兩個函數(shù)聯(lián)立的二元一次方程組的解．【詳解】解：根據(jù)函數(shù)圖象可知，函數(shù)和的圖象交于點的坐標是，故關于，的二元一次方程組的解是，故選：C總結(jié)：知識點03二元一次方程組的解的情況與直線的位置關系二元一次方程組的解的情況有三種：【即學即練6】直線與的圖象沒有交點，則方程組的解的情況是（

）A．有無數(shù)組解 B．有一組解 C．有兩組解 D．沒有解【答案】D【分析】根據(jù)二元一次方程組的解與一次函數(shù)交點的關系解答即可．【詳解】直線與的圖象沒有交點，則方程組沒有解．故選D．【即學即練7】函數(shù)與函數(shù)的圖象是兩條直線，只有一個交點，則二元一次方程組有（）A．無數(shù)解 B．無解 C．唯一解 D．不能確定【答案】C【分析】函數(shù)所表示的直線的交點即為函數(shù)所組成的方程組的解，方程組有幾個解就是要看有幾個交點．【詳解】解：∵直線的交點即方程組的解，∴函數(shù)與函數(shù)的圖象只有一個交點，則二元一次方程組有唯一解．故選C．數(shù)形結(jié)合的思想看一次函數(shù)與二元一次方程的關系：【題型一：圖象法解二元一次方程組】例1．如圖，已知函數(shù)和的圖象交于點P，則根據(jù)圖象可得，關于x、y的二元一次方程組的解是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查一次函數(shù)與二元一次方程組，解題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題．根據(jù)函數(shù)圖象可以得到兩個函數(shù)交點坐標，從而可以得到兩個函數(shù)聯(lián)立的二元一次方程組的解．【詳解】解：根據(jù)函數(shù)圖象可知，函數(shù)和的圖象交于點的坐標是，故關于，的二元一次方程組的解是，故選：C變式1-1.（23-24八年級上·江蘇南京·期末）如圖，一次函數(shù)的圖像與的圖像相交于點，則關于，的方程組的解是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了兩直線的交點與二元一次方程組的解，兩直線的交點坐標即為對應二元一次方程組的解，據(jù)此即可求解．【詳解】解：關于，的方程組可化為：故一次函數(shù)的圖像與的圖像的交點坐標即為方程組的解，將代入得：，∴故關于，的方程組的解是故選：B變式1-2.如圖，已知一次函數(shù)和的圖象交于點，則二元一次方程組的解是．【答案】【分析】本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程組，方程組的解就是使方程組中兩個方程同時成立的一對未知數(shù)的值，而這一對未知數(shù)的值也同時滿足兩個相應的一次函數(shù)式，因此方程組的解就是兩個相應的一次函數(shù)圖象的交點坐標．兩個一次函數(shù)的交點坐標為，那么交點坐標同時滿足兩個函數(shù)的解析式，而所求的方程組正好是由兩個函數(shù)的解析式所構成，因此兩函數(shù)的交點坐標即為方程組的解．【詳解】解：一次函數(shù)和的圖象交于點，點滿足二元一次方程組；方程組的解是．故答案為：．【方法技巧與總結(jié)】兩函數(shù)圖象的交點就是兩函數(shù)組成的二元一次去方程組的解【題型二：根據(jù)方程組解的情況判斷兩直線的位置關系】例2．若方程組沒有解，則直線與直線的位置關系是．【答案】平行【分析】本題主要考查了兩直線的交點和二元一次方程組之間的關系，熟知兩直線的交點橫縱坐標是兩直線解析式組成的二元一次方程組的解是解題的關鍵．【詳解】解：∵方程組沒有解，∴直線與直線沒有交點，即直線與直線平行，故答案為：平行．變式2．直線與平行,則方程組的解的情況是．【答案】無解【分析】本題考查一次函數(shù)與二元一次方程組解的關系．熟知兩個一次函數(shù)平行無交點即可得到本題答案．【詳解】解:∵直線與平行,∴兩直線無交點,∴方程組無解．故答案為:無解．【方法技巧與總結(jié)】（1）將二元一次方程化為一次函數(shù)的形式。（2）兩直線平行：k值相等，b值不相等，方程組無解；兩直線重合：k值相等，b值相等，方程組有無數(shù)解；兩直線相交：k值不相等，方程組有唯一一組解。【題型三：應用直線的交點坐標解決問題】例3．（23-24八年級上·安徽六安·期末）已知一次函數(shù)（a為常數(shù)，）和．（1）當時，兩個函數(shù)圖象的交點坐標為；（2）若兩個函數(shù)圖象的交點在第三象限，則a的取值范圍為．【答案】或【分析】本題考查兩個函數(shù)的交點問題．（1）聯(lián)立兩個函數(shù)，求出方程組的解即可；（2）求出直線過定點-3,2，畫出圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想進行求解即可．【詳解】解：（1）當時，，聯(lián)立，解得：，∴兩個函數(shù)圖象的交點坐標為；故答案為：；（2）∵，∴當時，，∴直線過定點-3,2，如圖：

直線繞著點A旋轉(zhuǎn)，點B為與x軸的交點，坐標為，當直線經(jīng)過點時，此時，解得，當直線與直線平行時，此時，由圖象可知：當或時，兩個函數(shù)圖象的交點在第三象限，故a的取值范圍是或．故答案為：或．變式3-1．（23-24八年級上·安徽亳州·期末）如圖，已知直線與直線交于點，且直線分別與軸，軸交于點，點．(1)求點A，B，C的坐標．(2)若點P在直線上，且，求點的橫坐標．【答案】(1)，，；(2)8或；【分析】本題考查了直線與坐標軸交點問題，兩直線交點問題．（1）聯(lián)立直線與直線解析式求得點A的坐標，分別令，，得出點B，C的坐標；（2）設，根據(jù)，列出一元一次方程，解方程，即可求解；【詳解】（1）解：，解得：，，直線分別與軸，軸交于點，點，當時，，當時，，，；（2）解：設，，，即，解得：或，點的橫坐標為8或；變式3-2．（22-23八年級下·安徽阜陽·期末）越來越多的酒店利用傳統(tǒng)文化打造自己的獨特風格.某主題酒店推出甲、乙兩種“樂住卡”：甲：按照次數(shù)收費；乙：收取會員卡費用以后每次打折收費.設消費次數(shù)為x時，所需費用為y元，且y與x的函數(shù)關系如圖所示.根據(jù)圖中信息，解答下列問題.(1)分別求出選擇這兩種卡消費時，y關于x的函數(shù)解析式；(2)入住多少次時，兩者花費一樣?費用是多少?【答案】(1)，(2)入住4次時，兩者花費一樣，費用是元；【分析】此題主要考查了一次函數(shù)的應用、學會利用方程組求兩個函數(shù)圖象的交點，由圖象得出正確信息是解題關鍵，（1）運用待定系數(shù)法，即可求出y與x之間的函數(shù)表達式；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論聯(lián)立方程組解答即可；【詳解】（1）設，根據(jù)題意得，解得，∴；設，根據(jù)題意得：，解得，∴；（2）解方程組解得：，∴入住4次時，兩者花費一樣，費用是元；【方法技巧與總結(jié)】①聯(lián)立兩條直線的解析式（兩個一次函數(shù)解析式）為二元一次方程；②解方程組求交點坐標；③題型：根據(jù)交點坐標的坐標特征求參數(shù)范圍、表示三角形的面積、根據(jù)三角形的面積關系求參數(shù)范圍。一、選擇題1．若一次函數(shù)與的圖象沒有交點，則方程的解的情況是（

）A．有無數(shù)組解 B．有兩組解 C．只有一組解 D．沒有解【答案】D【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與二元一次方程組之間的關系，兩直線無交點，那么對應的二元一次方程組無解，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵一次函數(shù)與的圖象沒有交點，∴方程無解，故選：D．2．函數(shù)y＝ax＋b與函數(shù)y＝cx＋d的圖象是兩條相交直線，則二元一次方程組有（

）解．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】B【分析】函數(shù)所表示的直線的交點即為函數(shù)所組成的方程組的解，方程組有幾個解就是要看有幾個交點．據(jù)此即可得答案．【詳解】函數(shù)y=ax+b與函數(shù)y=cx+d的圖象是兩條相交直線，∴只有一個交點，∴二元一次方程組有唯一解，即1個解，故選：B．3．既在直線上，又在直線上的點是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題可聯(lián)立兩個直線的函數(shù)解析式，所得方程組的解就是這兩個直線的交點坐標．【詳解】解：聯(lián)立兩直線的解析式可得：，把①代入②得：把代入②得：即在直線上，又在直線上．故選D．4.（22-23八年級下·安徽阜陽·期末）如圖，函數(shù)和的圖象相交于點，則方程的解為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了一次函數(shù)與一元一次方程的知識．首先將點的坐標代入正比例函數(shù)中求得的值，再結(jié)合圖象得出方程的解．【詳解】解：函數(shù)經(jīng)過點，，解得：，由圖象得：方程的解為，故選：A．5．如圖，一次函數(shù)與的圖象相交于點，則方程組的解是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】將點P（、4）代入，求出的值，結(jié)合圖像交點P的坐標即為二元一次方程組的解．【詳解】一次函數(shù)與的交點為P（、4）解得點P的坐標為（2、4）的解為：故選：A．6．圖中以兩直線，的交點坐標為解的方程組是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】兩條直線的交點坐標應該是聯(lián)立兩個一次函數(shù)解析式所組成的方程組的解．因此本題需先根據(jù)兩直線經(jīng)過的點的坐標，用待定系數(shù)法求出兩直線的解析式．然后聯(lián)立兩函數(shù)的解析式可得出所求的方程組．【詳解】解：設一次函數(shù)的解析式為：．①直線經(jīng)過、，，解得，，函數(shù)解析式為，即；②直線經(jīng)過、，，解得，，函數(shù)解析式為，即；因此以兩條直線，的交點坐標為解的方程組是：．故選：B．二、填空題7．二元一次方程的解有個，以該方程的解為坐標的點都在函數(shù)的圖象上；直線上的點的坐標都是二元一次方程的解.【答案】無數(shù)【分析】根據(jù)二元一次方程與一次函數(shù)的關系解答即可．【詳解】二元一次方程的解有無數(shù)個，以該方程的解為坐標的點都在函數(shù)的圖象上；直線上的點的坐標都是二元一次方程的解．故答案為無數(shù)，，．8．已知關于、的二元一次方程組的解是，則一次函數(shù)和的圖像交點坐標為．【答案】【分析】根據(jù)任何一個一次函數(shù)都可以化為一個二元一次方程，再根據(jù)兩一次函數(shù)的交點坐標是兩函數(shù)解析式所組成的方程組的解可直接得到答案．【詳解】解：∵已知關于、的二元一次方程組的解是，∴一次函數(shù)和的圖像交點坐標為．故答案為．9．（23-24八年級上·江蘇徐州·期末）如圖，一次函數(shù)與的圖像相交于點，則關于x、y的二元一次方程組的解是．【答案】【分析】先利用確定P點坐標，然后根據(jù)二元一次方程組的解就是兩個相應的一次函數(shù)圖像的交點坐標進行判斷即可．【詳解】解：把）代入，即，解得，所以P點坐標為，所以關于x、y的二元一次方程組的解是．故答案為．三、解答題10．（23-24八年級上·安徽蚌埠·期末）如圖，直線與x軸和y軸分別交于點A，B，與直線交于點C．(1)求點C的坐標；(2)求的面積；(3)點D在直線上且在點C的右側(cè)，如果的面積和的面積相等，求點D的坐標．【答案】(1)(2)4(3)【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的綜合應用，求直線的交點坐標，三角形面積的計算，解題的關鍵是數(shù)形結(jié)合，準確計算．（1）聯(lián)立，解方程組即可；（2）先求出，，得出，，再根據(jù)三角形面積公式進行計算即可；（3）根據(jù)，得出，根據(jù)點C的縱坐標為3，得出點D的縱坐標為6，把代入求出，即可得出答案．【詳解】（1）解：解方程組得：所以點C的坐標是．（2）解：對直線，當時，；當時，解方程,得，∴，，∴，，∴的面積為：．（3）解：若，則，∵點C的縱坐標為3，∴點D的縱坐標為6，把代入得：，解得：，∴點D的坐標為．1.（23-24八年級上·安徽宣城·期末）某快遞公司每天上午為集中攬件和派件時段，甲倉庫用來攬收快件，乙倉庫用來派發(fā)快件，該時段內(nèi)甲、乙兩倉庫的快件數(shù)量（件）與時間（分）之間的函數(shù)圖象如圖所示，那么當兩倉庫快遞件數(shù)相同時，此刻的時間為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了一次函數(shù)的應用，解題的關鍵：（）熟練運用待定系數(shù)法就解析式；（）解決該類問題應結(jié)合圖形，理解圖形中點的坐標代表的意義．分