12.3一次函數(shù)與二元一次方程（一次函數(shù)與實際問題）題型一行程問題1．（22-23八年級下·安徽蕪湖·期末）在一條筆直的公路上有、兩地，甲、乙二人同時出發(fā)，甲從地步行勻速前往地，立刻以原速度沿原路返回地．乙從地步行勻速前往地（甲、乙二人到達地后均停止運動），甲、乙二人之間的距離（米）與出發(fā)時間（分鐘）之間的函數(shù)關系如圖所示，請結合圖象解答下列問題：

(1)、兩地之間的距離是米，乙的步行速度是米/分；(2)圖中，，；(3)求線段的函數(shù)解析式．【答案】(1)；(2)；；(3)【分析】（1）利用函數(shù)圖象中的信息直接得到、兩地之間的距離，再利用函數(shù)圖象中的信息即可求得乙的步行速度；（2）利用（1）的結論通過計算即可得出結論；（3）設線段的函數(shù)解析式為，將點，的坐標代入解析式，解關于，的二元一次方程組即可．【詳解】（1）解：由圖象知：當時，，∴、兩地之間的距離是米，由圖象知：乙經(jīng)過分鐘到達，∴乙的速度為（米/分），故答案為：；；（2）由圖象知：當時，，∴甲、乙二人的速度和為：（米/分），由（1）知：乙的速度為米/分，∴甲的速度為（米/分），∵點的實際意義是經(jīng)過分鐘甲到達地，∴（分鐘），∴（米），∵點的實際意義是經(jīng)過分鐘乙到達地，∴（米），故答案為：；；；（3）由題意得：，，設線段的函數(shù)解析式為，∴，解得：，∴線段的函數(shù)解析式為．【點睛】本題考查一次函數(shù)的圖象和性質，待定系數(shù)法，一次函數(shù)圖象上點的坐標的特征，明確函數(shù)圖象上點的坐標的實際意義是解題的關鍵．2．（24-25八年級上·安徽六安·階段練習）甲、乙兩地相距300千米，一輛貨車和一輛轎車先后從甲地出發(fā)向乙地，轎車比貨車晚出發(fā)1.5小時，如圖，線段表示貨車離甲地的距離y（千米）與時間x（小時）之間的函數(shù)關系，折線表示轎車離甲地的距離y（千米）與時間x（小時）之間的函數(shù)關系，請根據(jù)圖象解答下列問題：(1)轎車到達乙地時，求貨車與甲地的距離；(2)求線段對應的函數(shù)表達式；(3)在轎車行進過程中，轎車行駛多少時間，兩車相距30千米？【答案】(1)250千米(2)(3)當轎車行駛小時或小時時，兩車相距30千米【分析】本題考查一次函數(shù)的實際應用，正確的求出函數(shù)解析式，是解題的關鍵：（1）求出貨車的速度，再用貨車的速度乘以時間求出貨車行駛的路程即可；（2）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（3）分兩車相遇前和相遇后兩種情況進行討論求解即可．【詳解】（1）解：由圖可知，貨車的速度為：，轎車在貨車行駛5小時時到達乙地，此時貨車離甲地：；（2）設段的函數(shù)解析式為：，把代入，得：，解得：，∴；（3）由圖象可知：當時，轎車的速度為：，當時，轎車的速度為：，設轎車行駛小時，兩車相距30千米，當時，兩車相距：，①當兩車相遇前：，解得：；②當兩車相遇后：，解得：；答：當轎車行駛小時或小時時，兩車相距30千米．3．（24-25八年級上·安徽阜陽·期末）小明和小麗在跑步機上慢跑鍛煉．小明先跑，分鐘后小麗才開始跑，小麗跑步時中間休息了兩次．跑步機上檔比檔快米/分、檔比檔快米/分．小明與小麗的跑步相關信息如表所示，跑步累計里程（米）與小明跑步時間（分）的函數(shù)關系如圖所示．(1)求各檔速度（單位：米/分）；(2)求小麗兩次休息時間的總和（單位：分）；(3)小麗第二次休息后，在分鐘時兩人跑步累計里程相等，求的值．【答案】(1)檔速度米/分；檔速度米/分；檔速度米/分(2)小麗兩次休息時間的總和為分鐘(3)【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的應用，讀懂圖中的數(shù)據(jù)是解題的關鍵．（1）根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)求出檔速度，計算即可得到答案；（2）根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求出小麗每段跑步所用時間，再根據(jù)總時間即可求解；（3）根據(jù)圖中數(shù)據(jù)列方程，求解即可．【詳解】（1）解：由圖得檔速度為（米/分），檔速度為（米/分），檔速度為（米/分），答：檔速度米/分；檔速度米/分；檔速度米/分.（2）解：小麗第一段跑步時間為（分鐘），小麗第二段跑步時間為（分鐘），小麗第三段跑步時間為（分鐘），小麗兩次休息時間的總和為（分鐘），答：小麗兩次休息時間的總和為分鐘.（3）解：根據(jù)題意得，解得：，的值為.4．（24-25八年級上·安徽合肥·階段練習）已知甲、乙兩地相距，一輛出租車從甲地出發(fā)往返于甲、乙兩地，一輛貨車沿同一條公路從乙地前往甲地，兩車同時出發(fā)，貨車途經(jīng)服務區(qū)時，停下來裝貨物后，發(fā)現(xiàn)此時與出租車相距，貨車改變速度繼續(xù)出發(fā)后，與出租車相遇，出租車到達乙地后立即按原路返回，結果比貨車早15分鐘到達甲地，如圖，這是兩車距各自出發(fā)地的距離與貨車行駛時間之間的函數(shù)關系圖象．(1)求a的值．(2)求出租車從乙地返回甲地的速度．(3)在出租車返回的過程中，貨車出發(fā)多長時間與出租車相距？【答案】(1)(2)(3)或【分析】本題考查了一次函數(shù)的實際應用：行程問題，待定系數(shù)法解一次函數(shù)，正確掌握相關性質內(nèi)容是解題的關鍵．（1）結合圖象，設直線的表達式為，把代入，計算得，然后再把點代入，進行計算，即可作答．（2）由停下來裝完貨物后，發(fā)現(xiàn)此時與出租車相距，此時出租車距離乙地，即出租車距離甲地，把代入，解得，即可求出點，根據(jù)貨車繼續(xù)出發(fā)后，與出租車相遇，所以相遇時貨車的速度為，故可設直線的表達式為，將點代入，解出，然后求出點，又因為出租車到達乙地后立即按原路返回，結果比貨車早15分鐘到達甲地，得點，即可求得出租車從乙地返回甲地的速度為，據(jù)此即可作答；（3）設出租車在返回的過程中，貨車出發(fā)t小時與出租車相距，此時貨車距離乙地，出租車距離乙地，然后分兩種情況：①出租車和貨車第二次相遇前，相距時，可得；②出租車和貨車第二次相遇后，相距時，可得，分別求出的值，即可作答．【詳解】（1）解：由圖象知，點，設直線的表達式為，把點代入，得，解得，∴直線的表達式為，把點代入，解得；（2）解：由（1），得，∴貨車卸貨時與乙地相距，∵停下來裝完貨物后，發(fā)現(xiàn)此時與出租車相距，∴此時出租車距離乙地，∴出租車距離甲地，把代入，得，解得，∴貨車裝完貨物時，，即點，根據(jù)直線的表達式為，可得出租車從甲地到乙地的速度為，根據(jù)貨車繼續(xù)出發(fā)后，與出租車相遇，可得（出租車的速度貨車的速度），∴相遇時，貨車的速度為，故可設直線的表達式為，將點代入，得，解得，∴直線的表達式為，把代入，得，解得，∴點；∵出租車到達乙地后立即按原路返回，結果比貨車早15分鐘到達甲地，∴點，∴出租車從乙地返回甲地的速度為；（3）解：設出租車在返回的過程中，貨車出發(fā)t小時與出租車相距，此時貨車距離乙地，出租車距離乙地，分兩種情況：①出租車和貨車第二次相遇前，相距時，可得，解得；②出租車和貨車第二次相遇后，相距時，可得，解得，綜上所述，出租車在返回的過程中，貨車出發(fā)或與出租車相距．題型二工程問題5．（23-24八年級上·安徽亳州·階段練習）甲、乙兩個工程組同時挖掘沈白高鐵某段隧道，兩組每天挖掘長度均保持不變，合作一段時間后，乙組因維修設備而停工，甲組單獨完成了剩下的任務，甲、乙兩組挖掘的長度之和與甲組挖掘時間x（天）之間的關系如圖所示．(1)求乙組停工后y關于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍．(2)當甲組挖掘的總長度與乙組挖掘的總長度相等時，求乙組已停工的天數(shù)．【答案】(1)(2)10天【分析】（1）用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)函數(shù)圖象得出甲的工作效率，得出前30天是甲乙合作共挖掘，則乙單獨挖掘的長度是，再求出甲單獨挖掘所用的天數(shù)，即可得出答案．【詳解】（1）解：設乙組停工后y關于x的函數(shù)解析式為：，點，在圖象上，∴，解得，∴函數(shù)關系式為：．（2）解：由題意可知，甲單獨干了30天，挖掘的長度是，甲的工作效率是每天，前30天是甲乙合作共挖掘了，則乙單獨挖掘的長度是，當甲挖掘的長度是時，工作天數(shù)是（天），乙組已停工的天數(shù)是：（天）．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的應用，求一次函數(shù)解析式，解題的關鍵是數(shù)形結合求出一次函數(shù)解析式．6．（24-25八年級下·上海崇明·期末）某鄉(xiāng)鎮(zhèn)準備開展河道修建整治工程，預計修建的河道總長為9千米．根據(jù)工程預算，當修建天數(shù)滿足時，平均每天的修建費（萬元）與修建天數(shù)（天）之間的關系如圖所示．(1)求關于的函數(shù)解析式；(2)由于相關部門加強了建設力量，預計現(xiàn)在每天修建量可以提升，那么可以提前15天完成任務，求現(xiàn)在平均每天的修建費．【答案】(1)y關于x的函數(shù)關系式為(2)現(xiàn)計劃平均每天的修建費為萬元．【分析】本題考查的是一次函數(shù)的應用，分式方程的應用；（1）設y關于x的函數(shù)關系式為，再把，代入計算即可；（2）設現(xiàn)計劃修建的時間為m天，則原計劃修建的時間為天．根據(jù)題意，得，再進一步解答即可.【詳解】（1）解：設y關于x的函數(shù)關系式為，根據(jù)題意，得，解得：，∴y關于x的函數(shù)關系式為；（2）解：設現(xiàn)計劃修建的時間為m天，則原計劃修建的時間為天．根據(jù)題意，得，解得：，經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合實際意義，∴，∴，答：現(xiàn)計劃平均每天的修建費為萬元．7．（2024七年級下·四川成都·專題練習）有一項工程，若請甲工程隊單獨做需4個月完成，每月要耗資9萬元；若請乙工程隊單獨做需6個月完成，每月耗資5萬元．(1)請問甲、乙兩工程隊合作需幾個月完成？耗資多少萬元？(2)現(xiàn)要求最遲5個月完成此項工程即可，請你設計一種方案，既保證按時完成任務，又最大限度節(jié)省資金．【答案】(1)個月萬元(2)甲乙工程隊合作個月，乙單獨做個月【分析】（1）設甲、乙兩隊合作需要x個月完成此項工作，根據(jù)題意得，解答即可．（2）設甲、乙兩隊合作x個月，剩下的乙隊單獨完成，總費用為w萬元，根據(jù)題意，得，且，解不等式，利用一次函數(shù)的性質解答即可．本題考查了一元一次方程的應用，不等式的應用，一次函數(shù)的性質，熟練掌握性質是解題的關鍵．【詳解】（1）設甲、乙兩隊合作需要x個月完成此項工作，根據(jù)題意得，解得，答：甲、乙兩隊合作需要個月完成此項工作．費用為萬元（2）解：設甲、乙兩隊合作x個月，剩下的乙隊單獨完成，總費用為w萬元，根據(jù)題意，得，且，解不等式，得，得w隨x的增大而增大，為確保費用最低，故x去最小值，此時，答：甲、乙兩隊合作個月，剩下的乙隊單獨個月完成，費用最低且合題意．8．（24-25八年級上·浙江湖州·期末）近日，如通蘇湖城際鐵路湖州段順利掘進開工．現(xiàn)有一條長為720米的隧道，需甲、乙兩個工程隊合作完成．首先由甲工程隊單獨挖掘隧道米，再由甲乙兩隊共同施工，剩余任務由乙工程隊單獨完成．已挖掘的隧道長度米與施工天數(shù)天的關系如圖所示．(1)甲、乙合作時，共施工__________天，每天挖掘隧道__________米；(2)當時，求第20天時整個工程已完成多少米；(3)已知乙工程隊的施工效率不超過甲工程隊，求完成這次任務的工期（天）范圍．【答案】(1)9；40(2)第20天時整個工程已完成580米(3)完成這次任務的工期范圍是27天至35天【分析】（1）根據(jù)圖象信息得出甲、乙合作時，共施工的天數(shù)，再運用工作量除以時間，即可作答．（2）先求出直線的解析式，再令，則即可作答．（3）根據(jù)圖象信息得甲施工隊施工的效率為（米/天），乙隊施工的效率為（米/天），因為乙工程隊的施工效率不超過甲工程隊，得出解得，然后分類討論，即當時或當時，再求出直線的解析式，當時，則，解得，即，進行作答即可．本題考查了一次函數(shù)的行程問題，求一次函數(shù)的解析式，一元一次不等式的應用，正確掌握相關性質內(nèi)容是解題的關鍵．【詳解】（1）解：由題意，根據(jù)圖象可得，甲、乙合作時，共施工的天數(shù)為：（天）每天挖隧道：（米），故答案為:9，40．（2）解：由題意，當時∴點的坐標A的坐標為，B的坐標為∴（米/天），（米/天），又設直線的解析式為把點B坐標代入解析式得解得∴直線的解析式為令，則∴第20天時整個工程已完成580米；（3）解：由題意得，甲施工隊施工的效率為（米/天），乙隊施工的效率為（米/天），∵乙工程隊的施工效率不超過甲工程隊，∴，解得，∵，∴，當時，由（2）得直線的解析式為∴當時，則，解得；當時，依題意，則，∴（米/天），（米/天），設直線的解析式為把代入得解得，∴直線的解析式為∴當時，由（2）得直線的解析式為∴當時，則，解得，即∴完成這次任務的工期范圍是27天至35天．題型三調(diào)運問題9．（22-23八年級上·安徽安慶·期中）某超市需每天從外地調(diào)運雞蛋千克，超市決定從甲、乙兩大型養(yǎng)殖場調(diào)運雞蛋，已知甲養(yǎng)殖場每天最多可調(diào)出千克，乙養(yǎng)殖場每天最多可調(diào)出千克，從甲、乙兩養(yǎng)殖場調(diào)運雞蛋到該超市的路程和運費如表：到超市的路程（千米）運費（元千克千米）甲養(yǎng)殖場乙養(yǎng)殖場設從甲養(yǎng)殖場調(diào)運雞蛋千克，總運費為元．(1)從甲養(yǎng)殖場調(diào)運雞蛋的運費，用代數(shù)式表示為__________，從乙養(yǎng)殖場需要調(diào)運雞蛋的數(shù)量，用代數(shù)式表示為__________；(2)求出與的函數(shù)關系式；(3)怎樣安排調(diào)運方案才能使每天的總運費最少？【答案】(1)元，千克(2)(3)從甲養(yǎng)殖場調(diào)運斤雞蛋，從乙養(yǎng)殖場調(diào)運斤雞蛋【分析】本題考查一次函數(shù)的應用、一元一次不等式組的應用，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的函數(shù)關系式和不等式組，利用一次函數(shù)的性質解答．（1）根據(jù)題意直接得出結論；（2）根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)，可以得到與的函數(shù)關系式；（3）根據(jù)（2）中的函數(shù)關系式和的取值范圍，利用一次函數(shù)的性質，即可得到怎樣安排調(diào)運方案才能使每天的總運費最省．【詳解】（1）解：從甲養(yǎng)殖場調(diào)運雞蛋千克，則從乙養(yǎng)殖場調(diào)運雞蛋千克，則從甲養(yǎng)殖場調(diào)運雞蛋的運費為：，故答案為：元，千克；（2）解：根據(jù)題意得：，與的函數(shù)關系式為：；（3）解：由（2）知，，，隨的增大而增大，，，，當時，取得最小值，此時，答：當從甲養(yǎng)殖場調(diào)運斤雞蛋，從乙養(yǎng)殖場調(diào)運斤雞蛋時，每天的總運費最?。?0．（23-24八年級上·安徽六安·階段練習）計劃將甲、乙兩廠的生產(chǎn)設備運往A，B兩地，甲廠設備有60臺，乙廠設備有40臺，A地需70臺，B地需30臺，每臺設備的運輸費（單位：元）如表格所示，設從甲廠運往A地的有x臺設備（x為整數(shù)）．A地B地甲廠7001000乙廠10001500(1)用含x的式子直接填空：甲廠運往B地臺，乙廠運往A地臺，乙廠運往B地臺；(2)請你設計一種調(diào)運的運輸方案，使總費用最低，并求出最低費用為多少？(3)因客觀原因，從甲到A的運輸費用每臺增加了m元，從乙到B的運輸費用每臺減小了元，其它不變，若要使費用最低的調(diào)運方案不變，請直接寫出m的取值范圍．【答案】(1)；(2)甲廠運往A地30臺、運往B地30臺，乙廠將40臺都運往A地使總費用最低，最低費用為91000元(3)【分析】本題考查一次函數(shù)及一元一次不等式組的應用，正確理解題意，找出合適的數(shù)量關系得到一次函數(shù)的解析式是解題的關鍵．（1）根據(jù)題意列代數(shù)式即可；（2）設運輸費用為a百元，根據(jù)題意列出關于x的一次函數(shù)，求出x的取值范圍，根據(jù)一次函數(shù)的性質解答即可；（3）設運輸費用為b百元，根據(jù)題意，在a的基礎上列出關于x的一次函數(shù)，整理后根據(jù)費用最低的調(diào)運方案不變可得，進而可求得m的取值范圍．【詳解】（1）解：∵甲廠設備有60臺，乙廠設備有40臺，A地需70臺，B地需30臺，每臺設備的運輸費（單位：元）如表格所示，設從甲廠運往A地的有x臺設備（x為整數(shù)）．∴甲廠運往B地臺，乙廠運往A地臺，則乙廠運往B地臺．故答案為：（2）解：設運輸費用為a百元．根據(jù)題意，．∵，解得，∴．∵a隨x的減小而減小，∴當時，a最小，∴甲廠運往A地30臺、運往B地30臺，乙廠將40臺都運往A地使總費用最低，最低費用為91000元．（3）解：設部分運輸費用變動后運輸費用為b，由題意得．∵b隨x的減小而減小，∴且，解得．∴若要使費用最低的調(diào)運方案不變，有．11．（23-24七年級下·河南周口·單元測試）某市兩個蔬菜基地得知四川兩個災民安置點分別急需蔬菜和的消息后，決定調(diào)運蔬菜支援災區(qū)，已知蔬菜基地有蔬菜，蔬菜基地有蔬菜，現(xiàn)將這些蔬菜全部調(diào)運兩個災民安置點，從地運往兩處的費用分別為每噸元和元，從地運往兩處的費用分別為每噸元和元．設從地運往處的蔬菜為噸．(1)請?zhí)顚懴卤恚⑶髢蓚€蔬菜基地調(diào)運蔬菜的運費相等時的值：總計/總計/(2)設兩個蔬菜基地的總運費為元，求出與之間的函數(shù)關系式，并求總運費最小的調(diào)運方案；(3)經(jīng)過搶修，從地到處的路況得到進一步改善，縮短了運輸時間，運費每噸減少元（），其余線路的運費不變，試討論總運費最小的調(diào)動方案．【答案】(1)填表見解析，兩個蔬菜基地調(diào)運蔬菜的運費相等時的值為；(2)，調(diào)運方案見解析；(3)調(diào)運方案見解析．【分析】（）根據(jù)題意，用減可得需要從處調(diào)運的數(shù)量，用減去可得從調(diào)研往處的數(shù)量，用減去即為從調(diào)運往處的數(shù)量；（）根據(jù)調(diào)運總費用等于四種調(diào)運單價分別乘以對應的噸數(shù)，易得與的函數(shù)關系，列不等式組可解；（）本題根據(jù)的取值范圍不同而有不同的解，分、和三情況解答即可；本題考查了一次函數(shù)在實際問題中的應用，根據(jù)題意，正確得出一次函數(shù)解析式是解題的關鍵．【詳解】（1）解：（）填表如下：

總計/總計/依題意得：，解得，∴兩個蔬菜基地調(diào)運蔬菜的運費相等時，的值為；（2）解：與之間的函數(shù)關系為：由題意得：，∴，∵在中，，∴隨的增大而增大，∴當時，總運費最小，此時調(diào)運方案為：總計/總計/（3）解：由題意得，∴當時，（）中調(diào)運方案總費用最小；當時，在的前提下調(diào)運方案的總費用不變；當時，總費用最小，其調(diào)運方案如下：總計/總計/12．（24-25七年級上·山東淄博·期末）今年某縣由于前期連續(xù)降雨，后期又連續(xù)干旱，造成了多數(shù)果農(nóng)的蘋果大幅減產(chǎn)，但某鎮(zhèn)有甲、乙兩村生產(chǎn)蘋果，甲村產(chǎn)蘋果噸，乙村產(chǎn)蘋果噸．先準備將這些蘋果運到，兩個冷風庫儲藏．已知冷風庫可儲存噸，冷風庫可儲存噸．從甲村運往，兩個冷風庫的費用分別為每噸元和元；從乙村運往，兩個冷風庫的費用分別為每噸元和元．設從甲村運往冷風庫的蘋果為噸，甲、乙兩村往兩個冷風庫運蘋果的運費分別為（元）、（元）．(1)填寫下表：甲噸______乙____________(2)求、與之間的函數(shù)表達式；(3)當為何值時，甲村的運費最少？(4)請問怎樣調(diào)運，才能使兩村的運費之和最少？求出最少運費．【答案】(1)噸，噸，噸(2)，(3)當時，甲村的運費最少(4)甲村運往冷風庫的蘋果為噸，則從甲村運往冷風庫噸，從乙村運往冷風庫噸，從乙村運往冷風庫噸，才能使兩村的運費之和最少，求出最少運費為元【分析】本題考查了一次函數(shù)的運用，理解題意，正確找出等量關系是解題的關鍵．（1）設設從甲村運往冷風庫的蘋果為噸，則從甲村運往冷風庫噸，從乙村運往冷風庫噸，從乙村運往冷風庫噸，就可以得出結論；（2）根據(jù)（1）結論由甲、乙兩村分別運往兩冷風庫的數(shù)量與運費之間的關系就可以求出結論；（3）根據(jù)的解析，結合一次函數(shù)的性質即可求解；（4）設總運費為元，根據(jù)總運費等于運往，兩地的費用之和建立關系，然后由解析式的性質求出結論．【詳解】（1）解：設從甲村運往冷風庫的蘋果為噸，則從甲村運往冷風庫噸，從乙村運往冷風庫噸，從乙村運往冷風庫噸．故答案為：噸，噸，噸；（2）由題意得：，；（3），，隨的增大而減小，，時，；（4）設總運費為元，由題意得：，，隨的增大而增大，當時，．甲村運往冷風庫的蘋果為噸，則從甲村運往冷風庫噸，從乙村運往冷風庫噸，從乙村運往冷風庫噸，才能使兩村的運費之和最少，求出最少運費為元．題型四計時問題13．（2025·遼寧鐵嶺·模擬預測）如圖，銅壺漏刻是我國古代的一種計時工具，小明同學依據(jù)漏刻的原理制作了一個簡單的漏刻計時工具模型，研究中發(fā)現(xiàn)水位（）與時間（）滿足一次函數(shù)關系，下表是小明記錄的部分數(shù)據(jù)：（）…1235…（）…1.41.82.23…(1)求與的函數(shù)關系式；(2)求時，對應的時間是多少．【答案】(1)(2)20分【分析】本題主要考查一次函數(shù)的應用，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式及一次函數(shù)的函數(shù)值是解題的關鍵．（1）根據(jù)水位與時間（）滿足一次函數(shù)關系式，設水位與時間的一次函數(shù)關系式為，再用待定系數(shù)法求解析式即可；（2）利用（1）的關系式令，求解t值即可．【詳解】（1）解：設一次函數(shù)關系式為，將，代入得，解得，；（2）解：，，解得，答：時，對應的時間是20分鐘．14．（2025·陜西西安·二模）《卜算子·黃州定慧院寓居作》宋?蘇軾缺月掛疏桐，漏斷人初靜．誰見幽人獨往來，縹緲孤鴻影．驚起卻回頭，有恨無人省．揀盡寒枝不肯棲，寂寞沙洲冷．《卜算子·黃州定慧院寓居作》中的“漏”字指古人計時用的漏壺．某學習小組在了解漏壺的過程中，按照其原理制作了如圖1所示的液體漏壺，該漏壺是由一個圓錐和一個圓柱組成的，中間連通，液體可以從圓錐容器中勻速漏到圓柱容器中，研究開始時圓柱容器中已有一部分液體．下表是研究過程中記錄的圓柱容器液面高度（單位：cm）與時間（單位：h）的數(shù)據(jù)．時間x/h12345圓柱容器液面高度y/cm68101214根據(jù)上述的實踐活動，解決以下問題．【探索發(fā)現(xiàn)】（1）①請你根據(jù)表中的數(shù)據(jù)在平面直角坐標系中描點、連線，并判斷與之間是我們學過的_____（填“一次”或“反比例”）函數(shù)．②確定與之間的函數(shù)關系式．【結論應用】（2）當圓柱容器液面高度達到20cm時，所需的時間是多少h？【答案】（1）①圖見解析；一次；②（2）所需的時間是8h【分析】本題主要考查一次函數(shù)的應用，熟練掌握一次函數(shù)的圖象與性質是解題的關鍵．（1）根據(jù)題意描出各點，然后連線即可；由圖象可知該函數(shù)為一次函數(shù)，設該函數(shù)的表達式為，然后利用待定系數(shù)法求解即可；（2）把代入（1）中解析式進行求解即可．【詳解】解：（1）①描點、連線如圖所示．與之間是我們學過的一次函數(shù)．故答案為：一次②設函數(shù)關系式為．將和代入，得解得與之間的函數(shù)關系式為．（2）當時，，解得，當圓柱容器液面高度達到時，所需的時間是．15．（24-25八年級上·河南鄭州·期中）“水鐘”是我國古代原始的計時工具，如圖1，水從上面的多個貯水壺中慢慢流入下方的受水壺，受水壺中的浮子上豎直放置一根標尺（稱為“漏箭”），漏箭上標有表示時間的刻度，隨著漏水量的增加，受水壺中的浮子會均勻升高．某數(shù)學實踐小組仿制了如圖2所示的一個類似“水鐘”的實驗裝置進行模擬實驗，實驗開始前圓柱容器中有一定高度的水．表格記錄了圓柱容器內(nèi)水面高度（厘米）與時間（時）的一些變化情況：時間（時）…12345…圓柱容器內(nèi)水面高度（厘米）…357911…(1)圓柱容器內(nèi)水面的高度每小時上升________厘米，剛開始容器內(nèi)水面的高度是________厘米；(2)請在如圖所示的平面直角坐標系中描出表格的各點，作出與的函數(shù)圖象，并判斷容器內(nèi)水面高度（厘米）與時間（時）符合一次函數(shù)關系嗎？(3)已知圓柱容器內(nèi)壁深50厘米，實驗小組早上8時開啟裝置進行計時實驗，第二天早上8時水是否會溢出容器？請通過計算說明．【答案】(1)2，1(2)作圖見解析，符合(3)水不會溢出容器【分析】本題主要考查一次函數(shù)的應用，熟練掌握一次函數(shù)的圖象與性質是解題的關鍵；（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)即可求解；（2）根據(jù)題意描出各點，然后連線即可，從圖象可知這些點在同一直線上，故符合題意一次函數(shù)關系；（3）求出函數(shù)解析式為，把代入求出的值，與圓柱容器內(nèi)壁深50厘米比較即可．【詳解】（1）解：由表格可知每小時上升，∴剛開始容器內(nèi)水面的高度為，故答案為：2，1；（2）解：如圖：從圖象可知這些點在同一直線上，故符合題意一次函數(shù)關系；（3）解：設解析式為，當；，∴，解得：，∴解析式為，∵從早上8時到第二天早上8時經(jīng)過了24小時，∴，∵，∴水不會溢出．16．（23-24八年級下·福建廈門·期中）【問題背景】“刻漏”是我國古代的一種利用水流計時的工具．綜合實踐小組準備用甲、乙兩個透明的豎直放置的容器和一根帶節(jié)流閥（控制水的流速大?。┑能浌苤谱骱喴子嫊r裝置．【實驗操作】綜合實踐小組設計了如下的實驗：先在甲容器里加滿水，此時水面高度為30cm，開始放水后每隔觀察一次甲容器中的水面高度，獲得的數(shù)據(jù)大致如表所示：流水時間010203040水面高度（觀察值）3029282726任務1：分別計算表中每隔水面高度觀察值的變化量，你能得出什么結論．【建立模型】小組討論發(fā)現(xiàn)：“，”是初始狀態(tài)下的準確數(shù)據(jù)，接著水面高度隨著流水時間而變化．任務2：請利用表格中的數(shù)據(jù)求水面高度h與流水時間t的函數(shù)解析式；【模型應用】綜合實踐小組利用建立的模型，預測了后續(xù)的水面高度．任務3：當流水時間為時，求水面高度h的值．【設計刻度】綜合實踐小組決定在甲容器外壁設計刻度，通過刻度直接讀取時間．任務4：請你簡要寫出時間刻度的設計方案．【答案】任務1：水面高度觀察值的變化量為，結論是水面高度觀察值的變化量為定值，；任務2：；任務3：；任務4：在容器外壁每隔標記一次刻度，這樣水面每降低一個刻度，就代表時間經(jīng)過了【分析】任務1：根據(jù)表中的數(shù)據(jù)進行解答即可；任務2：根據(jù)每隔水面高度觀察值的變化量大約相等，得出水面高度h與流水時間t是一次函數(shù)關系，利用時，；時，，由待定系數(shù)法求解；任務3：把代入函數(shù)解析式，求出h的值即可；任務4：根據(jù)高度隨時間變化規(guī)律，在容器外壁每隔標記一次刻度即可．【詳解】解：任務1：根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可知：每隔水面高度觀察值的變化量為：，，，，結論：水面高度觀察值的變化量為定值；任務2：設水面高度h與流水時間t的函數(shù)解析式為，∵時，，時，；∴，解得：，∴水面高度h與流水時間t的函數(shù)解析式為；任務3：把代入得：，答：當流水時間為時，求水面高度為；任務4：在容器外壁每隔標記一次刻度，這樣水面每降低一個刻度，就代表時間經(jīng)過了．題型五分配問題17．（23-24八年級上·安徽合肥·期末）學校有3名教師準備帶領部分學生（不少于3人）參觀野生動物園．經(jīng)洽談，門票價格為教師票每張36元，學生票每張18元，且有兩種購票優(yōu)惠方案．方案一：購買一張教師票贈送一張學生票；方案二：按全部師生門票總價的80%付款，只能選用其中一種方案購買．設學生人數(shù)為x（人），師生門票總金額為y（元）．(1)分別求出兩種優(yōu)惠方案中y與x的函數(shù)表達式；(2)請通過計算回答，選擇哪種購票方案師生門票總費用較少．【答案】(1)、(2)當時，選方案二較劃算；當購買9張票時，兩種優(yōu)惠方案付款一樣多；當時，選方案一較劃算．【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的應用、列函數(shù)關系式等知識點．根據(jù)題意正確列出兩種方案的解析式是解題的關鍵．（1）分別根據(jù)方案一、方案二列出y關于x的函數(shù)關系式即可；（2）根據(jù)（1）的函數(shù)關系式求出當兩種方案付款總金額相等時，購買的票數(shù)．再就三種情況討論即可．【詳解】（1）解：按優(yōu)惠方案一：，按優(yōu)惠方案二：；所以兩種優(yōu)惠方案中y與x的函數(shù)表達式分別是：、（2）解：∵，∴①當，解得，∴當時，選方案二較劃算；②當時，解得，∴當購買9張票時，兩種優(yōu)惠方案付款一樣多；③當時，解得，∴當時，選方案一較劃算．18．（23-24八年級上·安徽安慶·期中）國慶節(jié)期間，某水果公司組織20輛汽車裝運A、B、C三種水果共120噸去外地銷售，要求20輛汽車全部裝滿，每輛汽車只能裝運同一種水果，且裝運每種水果的車輛都不少于3輛，根據(jù)下表提供的信息，解答以下問題：ABC每輛汽車載貨量（噸）765每噸水果獲利（元）120018001500(1)設裝運A水果的車輛為x輛，裝B水果的車輛為y輛，求y與x之間的函數(shù)關系式，并求出車輛安排共有幾種方案．(2)用w來表示銷售獲得的利潤，那么怎樣安排車輛能使此次銷售獲利最大？并求出w的最大值．【答案】(1)，共有6種方案(2)裝運A水果的車輛為3輛，裝運B水果的車輛為14輛，裝運C水果的車輛為3輛時，此次銷售獲利最大，最大利潤為198900元【分析】本題考查了一次函數(shù)在實際問題中的應用，理清題目中的數(shù)量關系是解題的關鍵；（1）設裝運A水果的車輛為x輛，裝運B水果的車輛為y輛，則運C水果的車輛輛，根據(jù)表格可列出等量關系式化簡得，根據(jù)x為正整數(shù)，可得共有6種方案；（2）由利潤=車輛數(shù)每車水果獲利，可得w與x的函數(shù)關系式，再根據(jù)一次函數(shù)的性質解答即可；【詳解】（1）設裝運A水果的車輛為x輛，裝運B水果的車輛為y輛，則運C水果的車輛為輛．；由題意得：，解得：，∵x為正整數(shù)，故共有6種方案；（2），即，，∴w隨x的增大而減小，∴當時，w有最大值198900元，∴裝運A水果的車輛為3輛，裝運B水果的車輛為14輛，裝運C水果的車輛為3輛時，此次銷售獲利最大，最大利潤為198900元．19．（22-23九年級下·河南商丘·期中）某學校為做好綠化、改善育人環(huán)境，準備購買兩種樹苗在學校栽種．已知1棵種樹苗比1棵種樹苗貴5元，用400元購買的種樹苗與用300元購買的種樹苗的數(shù)量相同．(1)求購買1棵種樹苗和1棵種樹苗各需多少元；(2)若該校計劃購買兩種樹苗共150棵，且種樹苗的數(shù)量不少于種樹苗的一半，則怎樣購買可以使購買費用最低，最低費用為多少？【答案】(1)購買1棵種樹苗需要20元，購買1棵種樹苗需要15元(2)當購買種樹苗50棵，購買種樹苗100棵時，購買費用最低，最低費用為2500元【分析】（1）設1棵種樹苗元，則1棵種樹苗元，根據(jù)用400元購買的種樹苗與用300元購買的種樹苗的數(shù)量相同，列出分式方程求解即可；（2）設購買種樹苗棵，則購買種樹苗棵，購買費用為元，先求出的取值范圍，再列出關于的一次函數(shù)的解析式，取最小值即可得到結果．【詳解】（1）解：設1棵種樹苗元，則1棵種樹苗元，由題意得，，解得，，經(jīng)檢驗是原方程的解，且符合題意，，答：購買1棵種樹苗需要20元，購買1棵種樹苗需要15元；（2）解：設購買種樹苗棵，則購買種樹苗棵，購買費用為元，種樹苗的數(shù)量不少于種樹苗的一半，，，由題意得，，，隨的增大而增大，當時，去的最小值，最小值為，此時，，答：當購買種樹苗50棵，購買種樹苗100棵時，購買費用最低，最低費用為2500元．【點睛】本題主要卡超了分式方程的應用，一次函數(shù)的應用，一元一次不等式的應用，讀懂題意，找出等量或不等關系是解題的關鍵．20．（22-23八年級上·安徽六安·期中）為了更好服務我縣創(chuàng)建“文明城市”工作，市政部門決定購進A、兩種新型垃圾處理設備共10臺，兩種新型設備進價分別為：A型每臺10萬元，型每臺8萬元，設購進A種型號垃圾處理設備為臺為正整數(shù)），購進兩種型號垃圾處理設備的總費用為萬元．(1)求總費用與的函數(shù)表達式；(2)如果購進A種垃圾處理設備總費用不超過購進種垃圾處理設備的總費用，那么市政部門購買垃圾處理設備有幾種方案？請列舉出來．【答案】(1)(2)一共有四種方案：①購買A種垃圾處理設備1臺，購買種垃圾處理設備9臺；②購買A種垃圾處理設備2臺，購買種垃圾處理設備8臺；③購買A種垃圾處理設備3臺，購買種垃圾處理設備7臺；④購買A種垃圾處理設備4臺，購買種垃圾處理設備6臺．【分析】（1）根據(jù)題意直接列出函數(shù)關系式即可；（2）根據(jù)題意列出不等式得出，確定x的取值，然后即可確定方案．【詳解】（1）根據(jù)題意得：，總費用與的函數(shù)表達式為；（2）購進A種垃圾處理設備總費用不超過購進種垃圾處理設備的總費用，，解得，為正整數(shù)，且，可取1，2，3，4，一共有四種方案：①購買A種垃圾處理設備1臺，購買種垃圾處理設備9臺；②購買A種垃圾處理設備2臺，購買種垃圾處理設備8臺；③購買A種垃圾處理設備3臺，購買種垃圾處理設備7臺；④購買A種垃圾處理設備4臺，購買種垃圾處理設備6臺．【點睛】題目主要考查一次函數(shù)及一元一次不等式的應用，理解題意，列出相關函數(shù)關系式及不等式是解題關鍵．題型六體積問題21．（24-25八年級上·陜西咸陽·期末）愛好數(shù)學研究的依依同學受《烏鴉喝水》故事的啟發(fā)，在學習完一次函數(shù)后，利用未裝滿水的容器和體積相同的小球（實心小鐵球）進行了一次小游戲，她發(fā)現(xiàn)壁厚均勻的圓柱形容器的總高度為，里面裝有一定量的水，未放小球前測得水面高度為，她將這些體積相同的小球逐個放入容器中，觀察發(fā)現(xiàn)容器中水面高度y（）與她放入容器中的小球個數(shù)x（個）之間的關系如圖所示．根據(jù)圖中信息，解答下列問題：(1)求圖中段y與x之間的函數(shù)關系式；（無需寫出自變量x的取值范圍）(2)當水面高度為時，求依依放入容器中的小球個數(shù)．【答案】(1)(2)10個【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的實際應用：（1）設出解析式，利用待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)（1）所求，求出函數(shù)值為40時自變量的值即可得到答案．【詳解】（1）解：設圖中段y與x之間的函數(shù)關系式為，∴，∴，∴圖中段y與x之間的函數(shù)關系式為；（2）解：在中，當時，，∴依依放入容器中的小球個數(shù)為10個．22．（24-25八年級上·山東青島·期末）如圖1是甲、乙兩個圓柱形容器的軸截面示意圖，乙容器中有一圓柱形鐵塊（圓柱形鐵塊的下底面始終完全落在容器底面上）．現(xiàn)將甲容器中的水勻速注入乙容器，甲、乙兩個容器中水的深度與注水時間之間的關系如圖2所示．根據(jù)圖象提供的信息，解答下列問題：(1)圖2中折線表示______容器中水的深度與注水時間之間的關系，線段表示______容器中水的深度與注水時間之間的關系（以上兩空選填“甲”或“乙”），點的縱坐標表示的實際意義是______；(2)注水多長時間時，甲、乙兩個容器中水的深度相同？(3)若乙容器的底面積為平方厘米（壁厚不計）．①求甲容器的底面積（壁厚不計）；②求乙容器中鐵塊的體積．【答案】(1)乙，甲，圓柱形鐵塊的高度為cm(2)注水時，甲、乙兩個容器中水的深度相同(3)①；②【分析】本題考查一次函數(shù)的應用，掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)的關系式、圓柱的體積公式是解題的關鍵．（1）根據(jù)甲容器中水的深度逐漸減小、乙容器中水的深度逐漸增加分別判斷折線、線段表示哪個容器中水的深度與注水時間之間的關系；從點開始，乙容器中單位時間內(nèi)水的深度的增加開始變小，由此判斷此時水的深度為圓柱形鐵塊的高度；（2）利用待定系數(shù)法分別求出線段和的函數(shù)關系式，當甲、乙兩個容器中水的深度相同時兩函數(shù)值相等，據(jù)此列關于的方程并求解即可；（3）①設甲容器的底面積為，利用圓柱的體積公式，根據(jù)時間從到時，甲容器中水的體積的減少量等于乙容器中水的體積的增加量列關于的方程并求解即可；②設乙容器中鐵塊的體積為，利用圓柱的體積公式，根據(jù)時間從到時，甲容器中水的體積的減少量與乙容器中鐵塊的體積之和等于乙容器的底面與水深之積．【詳解】（1）解：圖2中折線表示乙容器中水的深度與注水時間之間的關系，線段表示甲容器中水的深度與注水時間之間的關系，點的縱坐標表示的實際意義是圓柱形鐵塊的高度．故答案為：乙，甲，圓柱形鐵塊的高度為cm；（2）解：設線段的函數(shù)關系式為（為常數(shù)，且，將坐標代入，得，解得，線段的函數(shù)關系式為，設線段的函數(shù)關系式為（、為常數(shù)，且），將坐標和分別代入，得，解得，線段的函數(shù)關系式為，當甲、乙兩個容器中水的深度相同時，得，解得，答：注水時，甲、乙兩個容器中水的深度相同；（3）解：①當時間從到時：乙容器中水的深度增加了，當時，甲容器中水的深度為；當時，甲容器中水的深度為；甲容器中水的深度減少了，設甲容器的底面積為，則，解得，答：甲容器的底面積為；②當時間從到時：當時，甲容器中水的深度為；當時，甲容器中水的深度為；甲容器中水的深度減少了，設乙容器中鐵塊的體積為，則，解得答：乙容器中鐵塊的體積為．23．（23-24八年級上·浙江寧波·期末）如圖，在兩個完全相同的甲、乙容器中，最初，容器甲有高的水，容器乙放了一個長方體，且容器底面積是長方體底面積的4倍．從甲容器向乙容器用虹吸原理注水（虹吸裝置的體積忽略不計），當注滿時，容器乙中液面與長方體上底面相平．設容器甲中的液面高為（單位：），容器乙中的液面高為（單位:）．小科繪制了、關于時間x（單位：s）的函數(shù)圖象如圖2所示．回答下列問題：

(1)a的值為________；容器甲的液面下降速度是________：(2)求b的值以及關于x的函數(shù)表達式；(3)當容器甲中的液面高與容器乙中的液面高相差時，求此時x的值．【答案】(1)10；1(2)；(3)或【分析】本題考查了一次函數(shù)的應用，（1）根據(jù)題意可得為容器甲有高的水；根據(jù)圖象可得容器甲的水放完，即可解答；（2）根據(jù)圖像可得為容器甲放完水時，容器乙中水面高度，根據(jù)容器底面積是長方體底面積的4倍，即可解答；再設，利用待定系數(shù)法即可解答；（3）得到關于的解析式，分類討論，即或，兩種情況，列方程，即可解答；觀察圖象提供的信息，再分析高度、時間和容積的關系即可找到解題關鍵．【詳解】（1）解：根據(jù)題意可得容器甲有高的水，故，根據(jù)圖象可得容器甲的水放完，故容器甲的液面下降速度是，故答案為：；1（2）解：根據(jù)圖像可得為容器甲放完水時，容器乙中水面高度，設長方形底面積為，則容器底面積為，水的體積為，容器乙實際可裝水的底面積為，容器乙中水面高度為，即，設，把代入，可得，解得，；（3）解：設，把代入函數(shù)解析式可得，解得，，①當時，可得，解得；②當時，可得，解得，當容器甲中的液面高與容器乙中的液面高相差時，此時x的值為或．24．（2023八年級下·全國·專題練習）如圖，、兩個長方體水箱放置在同一水平桌面上，開始時水箱中沒有水，水箱盛滿水，現(xiàn)以/的流量從水箱中抽水注入水箱中，直至水箱注滿水為止．設注水時間為（），水箱的水位高度為（），水箱中的水位高度為（）．（抽水水管的體積忽略不計）(1)分別求出，與之間的函數(shù)表達式；(2)當水箱與水箱中的水的體積相等時，求出此時兩水箱中水位的高度差．【答案】(1)（），（）(2)此時兩水箱中水位的高度差為【分析】（1）根據(jù)“水箱的水位高度注入水的體積水箱的底面積”得出與之間的函數(shù)表達式；“水箱中的水位高度流出水的體積∶水箱的底面積”得出與之間的函數(shù)表達式；（2）當水箱與水箱中的水的體積相等時，即水箱中的水還剩下一半，根據(jù)的結論可以分別求出兩水箱中水位的高度即可解答．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：（）；（）；答：，與之間的函數(shù)表達式分別為（）；（2）當水箱與水箱中的水的體積相等時，，即，解得；當時，．∴（）．答：當水箱與水箱中的水的體積相等時，兩水箱中水位的高度差為．【點睛】此題考查了一次函數(shù)的應用，注水速度注水體積∶注水時間，圓柱體積圓柱的底面積圓柱的高，掌握這兩個公式為解題關鍵．題型七最大利潤問題25．（24-25八年級上·安徽安慶·期末）第19屆亞運會已于2023年9月23日至10月8日在中國浙江杭州成功舉行．這是黨的二十大勝利召開之后我國舉辦的規(guī)模最大、水平最高的國際綜合性體育賽事，舉國關注，舉世矚目．杭州亞運會三個吉祥物分別取名“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”．某專賣店購進，兩種杭州亞運會吉祥物禮盒進行銷售．種禮盒每個進價160元，售價220元；種禮盒每個進價120元，售價160元．現(xiàn)計劃購進兩種禮盒共100個，其中種禮盒不少于60個．設購進種禮盒個，兩種禮盒全部售完，該專賣店獲利元．(1)求與之間的函數(shù)關系式；(2)若購進100個禮盒的總費用不超過15000元，求該專賣店獲得的最大利潤為多少元？【答案】(1)(2)5500元【分析】本題考查了一次函數(shù)的應用，一元一次不等式組的應用．（1）根據(jù)利潤等于單件利潤乘以數(shù)量建立函數(shù)關系式即可；（2）先求出自變量的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)增減性求最值．【詳解】（1）解：由題知，與的函數(shù)表達式為．（2）解：由題知由（1）知，隨的增大而增大，當時，有最大值，（元）．26．（24-25八年級上·安徽合肥·期末）隨著中小學“每天一節(jié)體育課”活動的開展，充分激發(fā)了同學們的運動熱情．某商場體育用品需求量微增，采購員計劃到廠家批發(fā)購買籃球和足球共100個，其中籃球個數(shù)不少于足球個數(shù)，付款總額不得超過11200元，已知兩種球廠家的批發(fā)價和商場的零售價如下表，設該商場采購x個籃球．品名廠家批發(fā)價元/個商場零售價元/個籃球120145足球100120(1)求該商場采購費用y（單位：元）與x（單位：個）的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍；(2)該商場把這100個球全部以零售價售出，求商場能獲得的最大利潤；(3)受原材料和工藝調(diào)整等因素影響,采購員實際采購時，籃球的批發(fā)價上調(diào)了元/個，同時足球批發(fā)價下調(diào)了元/個．該體育用品商場決定不調(diào)整商場零售價，發(fā)現(xiàn)將100個球全部賣出獲得的最低利潤是2150元，求m的值．【答案】(1)(2)2300元(3)【分析】（1）根據(jù)題意列函數(shù)解析式和不等式組求解即可；（2）設利潤為W，根據(jù)題意得到總利潤，利用一次函數(shù)的增減性質求解即可；（3）設利潤為W，根據(jù)題意得到總利潤，分和，利用一次函數(shù)的增減性質求解即可．本題考查一次函數(shù)的應用、一元一次不等式組的應用、解一元一次方程，理解題意，正確列出函數(shù)解析式是解答的關鍵．【詳解】（1）解：設該商場采購x個籃球，則采購個足球，根據(jù)題意，，由得，答：該商場的采購費用y與x的函數(shù)關系式為；（2）解：該商場采購x個籃球，設利潤為W，根據(jù)題意，得，∵，∴W隨x的增大而增大，又，∴當時，W最大，最大值為2300，答：商場能獲得的最大利潤為2300元；（3）解：該商場采購x個籃球，根據(jù)題意，得，當即時，W隨x的增大而增大，又∵，∴當時，W有最小值為，解得，舍去；當即時，W隨x的增大而減小，又∵，∴當時，W有最小值為，解得，綜上，滿足條件的m值為．27．（24-25八年級上·安徽六安·期末）“低碳生活，綠色出行”的理念已逐漸深入人心，某自行車專賣店有兩種規(guī)格的自行車，A型車的售價為a元/輛，B型車的售價為b元/輛，該專賣店十月份前兩周銷售情況如下：A型車銷售量（輛）B型車銷售量（輛）總銷售額（元）第一周101220000第二周201531000(1)求的值；(2)若計劃第三周售出兩種規(guī)格自行車共25輛，其中B型車的銷售量大于A型車的銷售量，且不超過A型車銷售量的2倍，該專賣店售出A型、B型車各多少輛才能使第三周總銷售額最大，最大總銷售額是多少元？【答案】(1)，(2)該專賣店第三周售出A型車輛，B型車輛，銷售總額為最大，為元【分析】本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式組的應用，一次函數(shù)的應用等知識，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關系，正確列出一元一次不等式組．（1）根據(jù)前兩周兩種自行車的銷售數(shù)量及總銷售額，即可得出關于的二元一次方程組，解之即可得出的值；（2）設第三周售出A種規(guī)格自行車x輛，則售出B種規(guī)格自行車輛，根據(jù)“B型車的銷售量大于A型車的售量，且不超過A型車銷售量的2倍”，即可得出關于x的一元一次不等式組，解之即可得出x的取值范圍，結合x為整數(shù)，利用一次函數(shù)的性質即可求解．【詳解】（1）解：由題意得，解得：，（2）設該專賣店第三周售出A型車輛，B型車輛，銷售總額為元，由題意得：，由

解得;

取整數(shù)，∵W隨著x的增大而減小，

∴當時，W取得最大值，此時（元），（輛）.答：該專賣店第三周售出A型車輛，B型車輛，銷售總額為最大，為元．28．（24-25八年級上·安徽合肥·期中）某商場銷售甲乙兩種產(chǎn)品，甲產(chǎn)品的售價為每個210元，乙產(chǎn)品的售價為每個150元，每個甲產(chǎn)品的進價比乙產(chǎn)品的進價多40元，商場用6400元購進甲產(chǎn)品的數(shù)量與用4800元購進乙產(chǎn)品的數(shù)量相等．(1)求甲乙兩種產(chǎn)品的進價：(2)現(xiàn)計劃購進甲乙兩種產(chǎn)品共150個，設購進甲產(chǎn)品x個，兩種產(chǎn)品全部售完，商場獲利y元．要求購進甲產(chǎn)品的數(shù)量不高于乙產(chǎn)品的2倍，總利潤不低于5700元，請分析合理的方案共有多少種，并確定獲利最大的方案以及最大利潤；(3)在（2）的條件下，商場對甲產(chǎn)品每個售價降低m元，乙產(chǎn)品每個售價增加n元，兩個產(chǎn)品進價不變，且，若銷售完這批產(chǎn)品的總利潤不受進貨方案的影響，求m的值．【答案】(1)甲乙兩種產(chǎn)品的進價分別為160元，120元(2)共有41種方案，其中購進甲100個，乙50個，獲得最大利潤6500元；(3)13【分析】本題主要考查分式方程的應用，一元一次不等式的應用以及與字母無關的問題，理解題意是解答本題的關鍵．（1）如果設每個乙種產(chǎn)品進價為x元，由“每個甲種產(chǎn)品的進價比每個乙種產(chǎn)品的進價多40元”，可知每個甲種產(chǎn)品進價為元．題中有等量關系：用6400元購進甲產(chǎn)品的數(shù)量與用4800元購進乙產(chǎn)品的數(shù)量相等，據(jù)此列出方程；（2）根據(jù)題意得、，求得，故得41種方案，當時可得最大利潤；（3）根據(jù)題意列式，根據(jù)與無關，則，求出【詳解】（1）解：設每個乙種產(chǎn)品進價為x元，則每個甲種產(chǎn)品進價為元，根據(jù)題意得，，解得，，經(jīng)檢驗，是原方程的根，∴答：甲乙兩種產(chǎn)品的進價分別為160元，120元；（2）解：根據(jù)題意得，，解得，；，∴，∴，∴（種）當時，有最大值，為，所以，共有41種方案，其中購進甲100個，乙50個，獲得最大利潤6500元；（3）解：∵，∴，根據(jù)題意得：∵銷售完這批產(chǎn)品的總利潤不受進貨方案的影響，∴∴題型八階梯計費問題29．（24-25八年級下·廣東茂名·階段練習）春節(jié)期間，小明一家乘坐飛機前往某市旅游，計劃第二天租出租車自駕游．公司租車收費方式甲每日固定租金100元，另外每小時收費18元．乙無固定租金，直接以租車時間計費，每小時租費26元．(1)設租車時間為x小時，租用甲公司的車所需費用為元，租用乙公司的車所需費用為元，分別求出與x間的關系式；(2)請你幫助小明計算租多少小時選甲公司租車合算．【答案】(1)，；，(2)當，甲合算【分析】本題考查的是一次函數(shù)的應用，一元一次不等式的應用；（1）根據(jù)表格中兩家公式給出的租車收費方式，可得出、與x之間的關系式；（2）求出當時x的值，即可得到答案．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：，；，．（2）解：當，解得：，∴當時，選擇甲公司合算．30．（24-25八年級上·安徽六安·階段練習）某市為了節(jié)約用水，采用分段收費標準．設居民每月應交水費為y（元），用水量為x（立方米）．用水量（立方米）收費（元）不超過10立方米每立方米2元超過10立方米超過的部分每立方米3元(1)寫出每月用水量不超過10立方米和超過10立方米時，水費與用水量之間的關系式；(2)若某戶居民某月用水量為7立方米，則應交水費多少元？(3)若某戶居民某月交水費26元，則該戶居民用水多少立方米？【答案】(1)(2)應交水費14元(3)該戶居民用水12立方米【分析】本題考查一次函數(shù)的實際應用，讀懂題意，正確的列出函數(shù)關系式，是解題的關鍵：（1）根據(jù)收費方式，分2種情況，列出函數(shù)關系式即可；（2）將代入對應的函數(shù)解析式進行求解即可；（3）令，求出對應的自變量的值即可．【詳解】（1）解：由題意，當時，，當時，，∴；（2）當時，（元）；答：應交水費14元；（3）∵，∴，∴當時，，解得：；答：該戶居民用水12立方米．31．（23-24八年級上·江西九江·期中）某市為了鼓勵居民節(jié)約用電，采用分段計費的方法按月計算每戶家庭的電費．月用電量不超過200千瓦時時，按元/千瓦時計費；月用電量超過200千瓦時時，其中的200千瓦時仍按元/千瓦時計費，超過部分按元/千瓦時計費．設每戶家庭的月用電量為千瓦時時，應交電費元．(1)當月用電量不超過200千瓦時時，與的函數(shù)關系式為__________；當月用電量超過200千瓦時時，與的函數(shù)關系式為__________．(2)小新家十月份的用電量為160千瓦時，求他家十月份應交電費多少元．(3)小明家十月份交電費146元，求他家十月份用電多少千瓦時．【答案】(1)；．(2)小新家十月份應交電費96元(3)小明家十月份用電240千瓦時【分析】本題主要考查一次函數(shù)的應用，（1）根據(jù)題意分別列出兩個函數(shù)關系式即可；（2）根據(jù)題意將其代入（1）中第一個函數(shù)關系式即可；（3）根據(jù)題意得出用電量超過了200千瓦時，然后代入（1）中第二個函數(shù)關系式即可；理解題意，列出相應的函數(shù)關系式是解題關鍵．【詳解】（1）解：當時，與的函數(shù)關系式是；當時，與的函數(shù)關系式是，即．故答案為；．（2）∵，∴（元）．答：小新家十月份應交電費96元．（3）∵小明家十月份的電費超過了120元，∴用電量超過了200千瓦時．把代入中，得．答：小明家十月份用電240千瓦時．32．（23-24八年級上·安徽亳州·期末）某通訊公司手機話費收費有套餐（月租費15元，通話費每分鐘0.1元）和套餐（月租費0元，通話費每分鐘0.15元）兩種，設套餐每月話費為（元），套餐每月話費（元），月通話時間為分鐘．(1)直接寫出與，與的函數(shù)關系式；(2)如果某用戶使用套餐本月繳費60元，求他本月的通話時間？(3)如果某用戶這個月的通話時間為250分鐘時，選擇哪種套餐更劃算？【答案】(1)，；(2)450分鐘；(3)選擇套餐更劃算．【分析】本題考查一次函數(shù)的有應用，根據(jù)題意寫出函數(shù)關系式是本題的關鍵．（1）根據(jù)每月話費=月租費＋通話費解答即可；（2）當時，解方程求出對應x的值即可；（3）當時分別計算和的值，選擇計算結果較小的那種套餐更劃算．【詳解】（1）解：套餐：月租費15元，通話費每分鐘0.1元，，套餐：月租費0元，通話費每分鐘0.15元，；（2）解該手機用戶使用套餐且本月繳費60元，，解得：，他本月的通話時間為450分鐘；（3）解：當時，，，.通話時間為250分鐘時，選擇套餐更劃算.題型九方案選擇問題33．（24-25八年級下·安徽淮南·期末）某經(jīng)銷商從市場得知如下信息：類別A品牌計算器B品牌計算器進價（元／臺）200100售價（元／臺）300160他計劃用1.5萬元資金一次性購進這兩種品牌計算器共100臺，設該經(jīng)銷商購進A品牌計算器臺，這兩種品牌計算器全部銷售完后獲得的利潤為元．(1)求與之間的函數(shù)關系式；(2)若要求全部銷售完后獲得的利潤不少于7900元，該經(jīng)銷商有哪幾種進貨方案？(3)選擇哪種進貨方案，該經(jīng)銷商獲利最大？最大利潤是多少元？【答案】(1)(2)經(jīng)銷商有以下三種進貨方案：方案一、A品牌購進48臺，B品牌購進52臺；方案二、A品牌購進49臺，B品牌購進51臺；方案三、A品牌和B品牌各購進50臺(3)選擇“A品牌和B品牌各購進50臺”的方案，該經(jīng)銷商獲利最大，最大利潤是8000元【分析】本題主要考查了一次函數(shù)和一元一次不等式的實際應用，難度適中，得出商場獲得的利潤y與購進空調(diào)x的函數(shù)關系式是解題的關鍵，在解答一次函數(shù)的應用問題中，要注意自變量的取值范圍還必須使實際問題有意義．（1）根據(jù)利潤（售價進價）乘品牌計算器的數(shù)量（售價進價）乘品牌計算器的數(shù)量，即可列出關系式，再根據(jù)總資金萬元得出的取值范圍即可；（2）全部銷售后利潤不少于元，得到一元一次不等式，求出滿足題意的的正整數(shù)值即可；（3）利用與的函數(shù)關系式的增減性來選擇哪種方案獲利最大，并求此時的最大利潤即可．【詳解】（1）解：，其中，得，即的取值范圍是，則與之間的函數(shù)關系式為；（2）解：令，解得，，又，，經(jīng)銷商有以下三種進貨方案：方案一、A品牌購進48臺，B品牌購進52臺；方案二、A品牌購進49臺，B品牌購進51臺；方案三、A品牌和B品牌各購進50臺．（3）解：∵對于，隨的增大而增大，∴當時，取最大值，且最大值為（元）．∴選擇“A品牌和B品牌各購進50臺”的方案，該經(jīng)銷商獲利最大，最大利潤是8000元．34．（24-25八年級上·安徽淮北·期中）某企業(yè)舉行十周年慶典活動，準備給每位員工定制一套某品牌西裝和領帶，市場上，該品牌西裝每套定價600元，領帶每條定價80元，在比價過程中，甲乙兩家企業(yè)分別提供了如下優(yōu)惠方案．甲：買一套西裝送一條領帶，乙：西裝和領帶均打九折付款．現(xiàn)該企業(yè)需要定制西裝20套，領帶x條．(1)請分別寫出甲，乙兩家企業(yè)的方案各自所需費用y（元）關于x的函數(shù)關系式．(2)請通過計算說明，若只能選擇一家企業(yè)方案，按照哪種方案購買更合算？【答案】(1)甲企業(yè)方案所需費用y關于x的函數(shù)關系式為：；乙企業(yè)方案所需費用y關于x的函數(shù)關系式為：；(2)綜上所述，當時，兩種所需費用一樣；當時，乙企業(yè)方案所需費用購買更合算；當時，甲企業(yè)方案所需費用購買更合算．【分析】本題主要查了列函數(shù)關系式，一元一次不等式的應用，根據(jù)題意，列出函數(shù)關系式是解題的關鍵．（1）根據(jù)兩種方案分別列出函數(shù)關系式，即可求解；（2）分三種情況討論，即可求解．【詳解】（1）解：甲企業(yè)方案所需費用y關于x的函數(shù)關系式為：；乙企業(yè)方案所需費用y關于x的函數(shù)關系式為：；（2）解：當，即時，兩家企業(yè)方案所需費用一樣；當，即時，乙企業(yè)方案所需費用購買更合算；當，即時，甲企業(yè)方案所需費用購買更合算；綜上所述，當時，兩種所需費用一樣；當時，乙企業(yè)方案所需費用購買更合算；當時，甲企業(yè)方案所需費用購買更合算．35．（24-25八年級下·安徽阜陽·期中）2025年春節(jié)檔，電影《哪吒之魔童鬧?！废破鹩^影熱潮，影片將封神神話中的角色（如哪吒、敖丙）賦予現(xiàn)代價值觀，使傳統(tǒng)文化符號與當代人民心理形成共振．某文創(chuàng)店果斷訂購了印有“哪吒”圖案和“敖丙”圖案的兩種書簽．經(jīng)統(tǒng)計，訂購30張“哪吒”書簽與20張“敖丙”書簽，成本共計430元；而訂購45張“哪吒”書簽和25張“敖丙”書簽，則需花費605元．(1)求“哪吒”、“敖丙”兩種書簽每張的進價分別是多少元？(2)該文創(chuàng)店計劃購進“哪吒”、“敖丙”兩種書簽共90張，“哪吒”種書簽的購進數(shù)量不超過“敖丙”種書簽數(shù)量，已知“哪吒”、“敖丙”兩種書簽的銷售單價分別為15元和12元，如何規(guī)劃購買方案，才能使文具店在這批書簽全部售出后獲得最大利潤？最大利潤是多少？【答案】(1)“哪吒”、“敖丙”兩種書簽每張的進價分別是9、8元(2)當購進“哪吒”書簽40張，“敖丙”書簽50張時，獲得最大利潤，最大利潤是440元【分析】本題主要考查了二元一次方程組的應用，一次函數(shù)的實際應用．解決本題的關鍵是列出利潤與購買“哪吒”書簽的數(shù)量之間的函數(shù)關系式，利用一次函數(shù)的性質確定購買方案．（1）設“哪吒”、“敖丙”兩種書簽每張的進價分別是x、y元，根據(jù)兩種不同的購買方案所需要的費用列方程組求解即可；（2）設購進“哪吒”書簽m張，“敖丙”書簽張，設這批書簽全部售出后獲利W元，可以得到所獲利潤與購買“哪吒”書簽的數(shù)量之間的一次函數(shù)關系式，利用一次函數(shù)的性質確定購買方案即可．【詳解】（1）解：設“哪吒”、“敖丙”兩種書簽每張的進價分別是x、y元，由題意知：，解得，答：“哪吒”、“敖丙”兩種書簽每張的進價分別是9元，8元．（2）解：設購進“哪吒”書簽m張，“敖丙”書簽張，由題意知：，解得：，設這批書簽全部售出后獲利W元，則，∵，∴W隨m的增大而增大，∴當時，，W有最大值，元．答：當購進“哪吒”書簽40張，“敖丙”書簽50張時，獲得最大利潤，最大利潤是440元．36．（24-25八年級下·陜西西安·階段練習）為了提高同學們的運算能力，激發(fā)學習數(shù)學的興趣，某中學開展了主題為“運算能力爭霸賽”的數(shù)學活動，并計劃購買兩種獎品獎勵在數(shù)學活動中表現(xiàn)突出的學生．已知獎品的單價是10元；獎品的單價是25元．學校計劃購買兩種獎品共100件，購買費用不超過1385元，且種獎品的數(shù)量不大于種獎品數(shù)量的4倍．(1)該學校有幾種購買方案？(2)設購買、兩種獎品的總費用為元，請寫出（元）與種獎品的數(shù)量（件）之間的函數(shù)關系，并求出哪一種購買方案可以使得總費用最少，并求出的最小值．【答案】(1)共有6種購買方案；(2)，購買種獎品件，兩種獎品件使得總費用最少，的最小值為元．【分析】（）根據(jù)題意列出不等式組，求解即可；（）列出函數(shù)關系式，再利用一次函數(shù)的性質即可求解；本題考查了一次函數(shù)的應用及不等式組的應用，讀懂題意，列出不等式組和函數(shù)關系式是解題的關鍵．【詳解】（1）解：設種獎品的數(shù)量是件，則種獎品的數(shù)量是件，，解得：，∵是正整數(shù)，∴種獎品的數(shù)量范圍且是正整數(shù)；∴共有6種購買方案；（2）解：由題意得，∵，∴隨的增大而減小，∵，∴當時，最小，為（元）．即購買種獎品件，兩種獎品件使得總費用最少，的最小值為元．37．（24-25七年級下·山東濟南·期中）2025年中國新能源汽車市場火爆．某汽車銷售公司為搶占先機，計劃購進一批新能源汽車進行銷售．據(jù)了解，1輛A型新能源汽車、2輛B型新能源汽車的進價共計48萬元；4輛A型新能源汽車、3輛B型新能源汽車的進價共計132萬元．(1)求A，B型新能源汽車每輛進價分別是多少萬元．(2)公司決定購買以上兩種新能源汽車共100輛，總費用不超過1380萬元，該汽車銷售公司銷售1輛A型新能源汽車可獲利萬元，銷售1輛B型新能源汽車可獲利萬元，若汽車全部銷售完畢，那么購買并銷售A型新能源汽車多少輛時獲利最大？最大利潤是多少？【答案】(1)A型新能源汽車每輛進價24萬元，B型新能源汽車每輛進價12萬元(2)當銷售A型新能源汽車15輛時獲利最大，最大利潤為萬元【分析】本題主要考查了二元一次方程組的實際應用，一元一次不等式的實際應用，一次函數(shù)的實際應用，正確理解題意累出方程組，不等式和函數(shù)關系式是解題的關鍵．（1）設型新能源汽車每輛進價萬元，型新能源汽車每輛進價萬元，根據(jù)1輛A型新能源汽車、2輛B型新能源汽車的進價共計48萬元；4輛A型新能源汽車、3輛B型新能源汽車的進價共計132萬元建立方程組求解即可；（2）設購買A型新能源汽車輛，則購買B型新能源汽車輛．根據(jù)總費用不超過1380萬元列出不等式求出m的取值范圍，設所獲得利潤為萬元，則，據(jù)此利用一次函數(shù)的性質求解即可．【詳解】（1）解：設型新能源汽車每輛進價萬元，型新能源汽車每輛進價萬元，根據(jù)題意得：，解得：，答：A型新能源汽車每輛進價24萬元，B型新能源汽車每輛進價12萬元；（2）解：設購買A型新能源汽車輛，則購買B型新能源汽車輛．根據(jù)題意得：，解得，設所獲得利潤為萬元，則，∵，∴隨的增大而增大，∴當時，有最大值，即當銷售A型新能源汽車15輛時獲利最大，最大利潤為：萬元．答：當銷售A型新能源汽車15輛時獲利最大，最大利潤為萬元．題型一新情境問題1．（2025·浙江麗水·二模）2025兩會期間，國家衛(wèi)健委啟動“體重管理年”行動．為了響應國家號召，小明和小麗騎行去山莊游玩，小明比小麗晚出發(fā)0.5小時，追上小麗后休息了一段時間，繼續(xù)以相同的速度騎行，他們離出發(fā)點的路程關于時間的變化情況如圖所示．(1)分別求出小麗和小明騎行的速度．(2)求線段所在直線的函數(shù)表達式．(3)求小明第二次追上小麗時，他們距離山莊的路程．【答案】(1)小麗，小明(2)(3)【分析】本題考查了一次函數(shù)在行程問題中的應用，函數(shù)的圖象，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．理解橫軸和縱軸表示的實際意義是解題的關鍵．（1）結合函數(shù)圖象，根據(jù)速度=路程÷時間，求解即可；（2）先求出B點坐標，再用待定系數(shù)法求解即可；（3）用待定系數(shù)法求出小麗的函數(shù)解析式，再聯(lián)立兩函數(shù)解析式，求出交點坐標，即可求解．【詳解】（1）解：小麗的速度：小明的速度：，，（2）解：（h），（h），設線段的函數(shù)表達式為把和代入，得解得，（3）解：設小麗的函數(shù)解析式為，把點代入，得，，，解得，代入，，離山莊的路程為．2．（2025·陜西漢中·模擬預測）為了慶祝2025年的到來，北白川玉子準備去購買一些花束來和朋友們跨年，她到達花店后發(fā)現(xiàn)有兩種優(yōu)惠方案，為前4束花按原價購買，超過4束花時每束花打折，為每束花都打折．其中花束數(shù)量（束）和價格（元）之間的函數(shù)圖象如下，請你根據(jù)圖象回答下列問題：(1)求出的值以及的函數(shù)表達式．(2)請你計算北白川玉子應該如何選擇方案更省錢．【答案】(1)，的函數(shù)表達式為，B的函數(shù)表達式為(2)即當買超過束花時，則A的方案更省錢；當買小于束花時，則B的方案更省錢．【分析】本題考查了函數(shù)圖象，一次函數(shù)的應用，求一次函數(shù)的解析式，正確掌握相關性質內(nèi)容是解題的關鍵．（1）認真研讀圖象，得出優(yōu)惠方案：原價是，打折后是，再求出折扣，同理求出，再運用待定系數(shù)法求出每條函數(shù)的解析式，即可作答．（2）先求出當兩個優(yōu)惠方案價格一樣時，列式，解得，然后分情況進行討論：即當買超過束花時，則A的方案更省錢；當買小于且大于4束花時，則B的方案更省錢；當買小于或等于4束花時，則A的方案更省錢，即可作答．【詳解】（1）解：∵有兩種優(yōu)惠方案，為前4束花按原價購買，超過4束花時每束花打折，為每束花都打折．∴，，∴，，∴，設的函數(shù)表達式為，把代入，得，解得，∴，設的函數(shù)表達式為，把分別代入，得，解得，∴；∴A的函數(shù)表達式為，設B的函數(shù)表達式為，把代入，得，解得，∴．（2）解：依題意，當兩個優(yōu)惠方案價格一樣時，則，解得，當時，則，當時，則，當時，則，即當買超過束花時，則A的方案更省錢；當買小于束花時，則B的方案更省錢．3．（23-24八年級上·河南鄭州·期中）從2024年起，鄭州市中招體育考試總分將提高至100分．為了適應新的中考要求，學校準備從網(wǎng)上訂購一批足球和跳繩，網(wǎng)絡搜索后發(fā)現(xiàn)足球每個定價150元，跳繩每條定價30元．現(xiàn)有A、B兩家網(wǎng)店均提供包郵服務，并提出了各自的優(yōu)惠方案．A網(wǎng)店：買一個足球送一條跳繩；B網(wǎng)店：足球和跳繩都打九折．已知要購買足球60個，跳繩x條（）．(1)分別求出在A、B兩家網(wǎng)店購買所需的費用和；(2)若，求出x的值；(3)試從函數(shù)圖象的角度說明何時在哪家網(wǎng)店購買更劃算？【答案】(1)；；(2)；(3)當時，選擇網(wǎng)店更劃算；當時，選擇兩個網(wǎng)店都劃算；當時，選擇網(wǎng)店更劃算．【分析】（1）本題考查的是列函數(shù)關系式；分別根據(jù)A、B兩家網(wǎng)店的優(yōu)惠方式列函數(shù)關系式即可；（2）本題考查的是方程的應用，由再建立一元一次方程求解即可；（3）本題考查的是利用函數(shù)圖象比較函數(shù)值的大小；先畫出兩個函數(shù)的簡易圖象，再根據(jù)圖象的上下位置可得答案．【詳解】（1）解：A店購買可列式：；在網(wǎng)店B購買可列式：；（2）解：當時，∴，解得：；（3）如圖，由（2）可得：當時，，

由圖象可得：當時，，∴選擇網(wǎng)店更劃算；當時，，∴選擇兩個網(wǎng)店都劃算；當時，，∴選擇網(wǎng)店更劃算．題型二跨學科問題1．（2025·河南安陽·二模）19世紀20年代，德國物理學家歐姆通過大量實驗，歸納得出了著名的歐姆定律：導體中的電流，跟導體兩端的電壓成正比，跟導體的電阻成反比，即．某校九年級物理探究小組在物理實驗室發(fā)現(xiàn)了一塊沒有刻度的滑動變阻器，為了方便以后使用，組長小彬決定帶領小組成員給它重新制作刻度尺．他們將電壓為的電源、一個開關、一個電流表以及滑動變阻器串聯(lián)成如下電路．若滑動變阻器的滑片滑動到距離端處時電流表的數(shù)值比滑動變阻器的滑片滑動到距離端處時電流表的數(shù)值減小了．(1)你能幫小組成員計算出這塊滑動變阻器的最大電阻是多少嗎？（請列分式方程進行計算）(2)由于實驗室器材損耗，學校擬購買電流表和滑動變阻器共45個，已知電流表每個10元，滑動變阻器每個8元，若電流表的數(shù)量不少于滑動變阻器數(shù)量的，則學校購買這批器材至少要花多少錢？【答案】(1)滑動變阻器的最大電阻為(2)學校購買這批儀器至少要花396元【分析】（1）設滑動變阻器的最大電阻是，根據(jù)分式方程的解法求解；（2）設購買電流表個，則購買滑動變阻器個，總花費為元，根據(jù)題意列出不等式求解．【詳解】（1）解：（1）設滑動變阻器的最大電阻是．由題意得解得經(jīng)檢驗，是原方程的根．答：滑動變阻器的最大電阻為．（2）解：設購買電流表個，則購買滑動變阻器個，總花費為元．由題意得解得．，隨的增大而增大，當時，最小，此時，396（元）．答：學校購買這批儀器至少要花396元．【點晴】本題考查了分式方程的應用，一元一次不等式的應用，理解題意，列出分式方程和一元一次不等式方程是解答關鍵．2．（2025八年級下·全國·專題練習）物理課上，老師正在展示光的反射規(guī)律，某同學借此情境編寫了一道數(shù)學題，請解答這道題．如圖，在平面直角坐標系中，是正方體展示盒的截面，其中點，點的坐標分別為，，且軸，點處放置一支激光筆，激光筆發(fā)射的光線是直線的一部分．(1)點為平面鏡的中點，若激光筆發(fā)射的光線恰好經(jīng)過點，求所在直線的解析式；(2)已知在正方體展示盒的上方有一個感光元件，當經(jīng)過反射的光線照射到點與點之間時（包含端點），感光元件就會發(fā)光，求符合條件的的整數(shù)值．【答案】(1)(2)4或5【分析】本題考查一次函數(shù)的應用，掌握光的反射定律及待定系數(shù)法求一次函數(shù)的關系式是解題的關鍵．（1）求出點的坐標并利用待定系數(shù)法求出所在直線的解析式即可；（2）取點關于軸的對稱點，根據(jù)點的坐標得到的坐標，根據(jù)光的反射定律，反射光線所在的直線經(jīng)過點；設反射光線所在的直線的解析式為為常數(shù)，且，將的坐標代入，將用含的代數(shù)式表示出來；再分別將點、的坐標代入得到對應的值，從而得到的取值范圍，進而求得的整數(shù)值．【詳解】（1）解：，，且軸，，點為平面鏡的中點，，點的坐標為，將和分別代入，得，解得，所在直線的解析式為；（2）解：如圖，取點關于軸的對稱點．，，根據(jù)光的反射定律，反射光線所在的直線經(jīng)過點，設反射光線所在的直線的解析式為為常數(shù)，且，將代入，得，，，當反射光線經(jīng)過時，得，解得；當反射光線經(jīng)過時，得，解得，，為整數(shù)，或5．3．（2023·福建廈門·二模）下面是小明同學的一則日記，請仔細閱讀，并完成相應的任務：年*月*日星期日利用一次函數(shù)知識解決化學問題今天我看到一則化學實驗材料：如圖1，在一支的試管中充滿了和的混合氣體，將其倒立在盛有足量水的燒杯中，這里會發(fā)生化學反應．

①當和的體積比為時，和恰好完全反應．如果反應后仍有剩余，則會和水繼續(xù)發(fā)生化學反應．②化學反應②