高三數(shù)學(xué)試卷

考生注意：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘

貼在答題卡上的指定位置.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫

在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.已知集合A={xlx(2-x)+3>0},B=(-∞,2)U(4,+∞),則A∩(CB)=

A.(2,3)B.(-1,2)

C.(-∞,3)U(4,+∞)D.[-1,4]

2.已知角α的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊過點(diǎn)

則

A.-1BC.D

3.已知函數(shù)則f(f(9))=

A.e2B.1C.ln2D

4.已知,則sin2α=

C

A.B.D

5.函數(shù).的大致圖象為

A.B.

C.D.

6.若命題“3x∈R,e2x+1-ke?+1<0”是假命題，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

A.[-∞,2√e]B.[-∞,√e]

C.[-∞,-√e]u[√e,+∞)D.(2√e,+∞)

7.將函數(shù).的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g(x)的圖

象，若g(x)是奇函數(shù)，則f(x)在區(qū)間(0,π)內(nèi)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為

A.1B.2C.3D.4

8.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(x)-1為奇函數(shù)，f(x+2)為偶函數(shù)，則f(1)+f(2)+…+

f(16)=

A.0B.16C.22D.32

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知-,則

A.a2>b2B.In(-b)>In(-a)

C.2(a2+b2)>(a+b)2D.a2<ab

10.已知函數(shù),則

A.f(x)為奇函數(shù)

B.f(x)的值域?yàn)?-∞,-2√2)u[2√2,+∞)

C.f(x)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱

D.f(x)以π為周期

11.已知對(duì)任意x>0,不等式e?-ax3+2ax2lnx≥0恒成立，則實(shí)數(shù)a的可能取值為

A.1BC.eD.e2

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知集合P={yly=x+a,-1<x≤2},Q={xlln(2-x)<0},若x∈P是x∈Q的必要不

充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

13.已知a,b均為正實(shí)數(shù)，且2a+3b=ab,則的最小值為

14.已知曲線y=e上有不同的兩點(diǎn)P和Q,若點(diǎn)P,Q關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)P',Q'在曲線

y=kx2-x上，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為·

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)

已知函數(shù)g(x)=x3+2mx2-mx+n的圖象在點(diǎn)(-1,g(-1))處的切線與直線x+8y-2=0

垂直.

(I)求m的值；

(Ⅱ)已知g(x)在區(qū)間[-1,2]上的最小值為-5,求g(x)在區(qū)間[-1,2]上的最大值.

16.(15分)

已知向量m=(cosx+sinx,√3sinx),n=(cosx-sinx,2cosx),函數(shù)g(x)=m·n.

(I)求g(x)的最小正周期；

(Ⅱ)若函數(shù)f(x)=g(x)-a在區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

17.(15分)

在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知,a=4,且△ABC的面積

為2√3.

(I)求c;

(Ⅱ)延長(zhǎng)CB至點(diǎn)D,使得△ABD是等腰三角形，求sin∠DAC.

18.(17分)

已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-∞,0)U(0,+∞),對(duì)任意x,y∈R且Ixl≠lyl,都滿

足f(x+y)+f(x-y)=f(x2-y2).

(I)求f(1),f(-1);

(Ⅱ)判斷f(x)的奇偶性；

(Ⅲ)若當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>0,且f(2)=1,求不等式f(x+2)-f(x-1)<2的解集.

19.(17分)

已知函數(shù)f(x)=(x-2)e*-ax(x-2)+1.

(I)若f(x)僅有一個(gè)極值點(diǎn)且f(x)>-2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(Ⅱ)當(dāng)a變化時(shí)，求f(x)的圖象經(jīng)過的所有定點(diǎn)的坐標(biāo)，并請(qǐng)寫出一個(gè)函數(shù)y=Atan(ax+φ),

使其圖象經(jīng)過上述所有定點(diǎn)；

(Ⅲ)證明

數(shù)學(xué)·答案

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.

1.答案A

命題意圖本題考查集合的表示與運(yùn)算.

解析由題知A=(-1,3),CRB=[2,4],∴A∩(CB)=(2,3).

2.答案C

命題意圖本題考查三角函數(shù)的定義.

解析由題知,可令

3.答案D

命題意圖本題考查分段函數(shù)求值

解析由題知，f(9)=f(5)=f(1)=In2,又In2<1,

4.答案C

命題意圖本題考查二倍角公式和誘導(dǎo)公式的應(yīng)用.

解析

5.答案B

命題意圖本題考查函數(shù)的圖象與性質(zhì).

解析由題知,∴f(x)為奇函數(shù)，故排除A;又f(1)=

,故排除C;根據(jù)指數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的增長(zhǎng)趨勢(shì)，可知當(dāng)x→+∞時(shí)，f(x)→0,故排除D.

6.答案A

命題意圖本題考查存在量詞命題、函數(shù)與不等式的綜合問題.

解析由題知“Vx∈R,e2+1-ke?+1≥0”是真命題，即Vx∈R,k≤e+1+e?*,則k≤(e+1+e?).·設(shè)f(x)=

e*+1+e?*,則f(x)≥2√e1×e×=2√e,當(dāng)且僅當(dāng)e1=e?*,即時(shí)，等號(hào)成立，所以f(x)mn=2√e,則

k≤2√e.

7.答案D

命題意圖本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).

解析由題知,∵g(x)是奇函數(shù)，(k∈Z),解

得w=-2-6k(k∈Z),又0<w<6,∴.w=4,故,令,得

,得,又k∈Z,∴k=1,2,3,4,即f(x)在區(qū)間(0,π)內(nèi)有4個(gè)極值點(diǎn).

8.答案B

命題意圖本題考查函數(shù)的對(duì)稱性與周期性.

解析因?yàn)閒(x)-1為奇函數(shù)，所以f(0)=1,且f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)中心對(duì)稱，即f(x)+f(-x)=2.因?yàn)?/p>

f(x+2)為偶函數(shù)，所以f(x+2)=f(2-x),則f(x+4)=f(-x),所以f(x)+f(x+4)=2,f(x+4)+f(x+8)=

2,所以f(x)=f(x+8),故f(x)的周期為8.因?yàn)閒(1)+f(5)=2,f(2)+f(6)=2,f(3)+f(7)=2,f(4)+f(8)=

2,所以f(1)+f(2)+…+f(16)=2[f(1)+f(2)+…+f(8)]=16.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的

得0分.

9.答案BCD

命題意圖本題考查不等式的性質(zhì).

解析∵,∴b<a<0,∴b2>a2,ab>a2,故A錯(cuò)誤，D正確；由b<a<0,得-b>-a>0,∴In(-b)>

In(-a),故B正確；∵2(a2+b2)-(a+b)2=(a-b)2>0,∴2(a2+b2)>(a+b)2,故C正確.

10.答案ACD

命題意圖本題考查三角函數(shù)的性質(zhì).

解析由題知,定義域?yàn)?/p>

,∴f(x)為奇函數(shù)，故A正確；設(shè)或0<t≤1),

由對(duì)勾函數(shù)的圖象知，g(t)的值域?yàn)?-∞,-3)U[3,+∞),故B錯(cuò)誤；∵

,∴f(x)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故C正確；f(x+π)=sin2(x+π)+

,∴f(x)以π為周期，故D正確.

11.答案ABC

命題意圖本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì).

解析由原不等式恒成立，得恒成立，設(shè),則

,當(dāng)0<x<2時(shí)，t'(x)<0,當(dāng)x>2時(shí)，t'(x)>0,∴t(x)在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(2,+∞)上

單調(diào)遞增，,∴不等式t≥alnt,即對(duì)恒成立，設(shè),則f'(t)=

時(shí)，f'(t)<0,當(dāng)t>e時(shí)，f'(t)>0,∴f(t)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在下間·2

單調(diào)遞增，∴f(t)mn=f(e)=e,∴a≤e.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.答案[0,2]

命題意圖本題考查充分條件與必要條件.

解析由題知P=(a-1,a+2),Q=(1,2),∵x∈P是x∈Q的必要不充分條件，∴Q年P(guān),

∴0≤a≤2,實(shí)數(shù)a的取值范圍為[0,2].

13.答案√2

命題意圖本題考查基本不等式的應(yīng)用.

解析∵2a+3b=ab,∴,∵a,b均為正實(shí)數(shù)，∴a-3>0,∴

,當(dāng)且僅當(dāng),即a=3+√2時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)b=2+3√2.

14.答案(0,1)

命題意圖本題考查函數(shù)圖象，導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

解析∵曲線y=e?與y=lnx關(guān)于直線y=x對(duì)稱，又點(diǎn)P,Q關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)P’,Q'在曲線y=kx2-x

上，∴曲線y=Inx與y=kx2-x有2個(gè)交點(diǎn)，即方程Inx=kx2-x有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即方有

2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.設(shè)函數(shù),則∴當(dāng)0<x<e時(shí)，h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x>e

時(shí)，h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減，∴,再根據(jù)當(dāng)x→0時(shí)，h(x)→-∞,當(dāng)x→+∞時(shí)，h(x)→0,

作出h(x)的大致圖象，如圖.當(dāng)直線y=kx-1與h(x)的圖象相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為,此時(shí)

,即2lnx?+x?-1=0,可得x?=1,此時(shí)切線的斜率為1.由圖可知，當(dāng)0<k<1時(shí)，直線y=kx-1與

h(x)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，實(shí)數(shù)k的取值范圍為(0,1).

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.命題意圖本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì).

解析(I)由已知，得g'(x)=3x2+4mx-m,·

由題知g'(-1)=3-4m-m=8,解得m=-1(5分)

(Ⅱ)由(I)可知，g(x)=x3-2x2+x+n,-1),……(7分)

x,g'(x),g(x)的變化情況如表所示：

x-11(1,2)2

g'(x)+0-0+

g(x)n-41極大值極小值nn+2

………………………(9分)

∵n-4<n,∴g(x)m.n=n-4=-5,∴n=-1,(11分)

,∴g(x)max=n+2=1.

即g(x)在區(qū)間[-1,2]上的最大值為1.…………………(13分)

16.命題意圖本題考查三角恒等變換，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).

解析(),…………(3分)

∴g(x)的最小正周期…………(5分)

(Ⅱ)由題知g(x)=a在區(qū)間上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，…………(6分)

即函數(shù)g(x)在區(qū)間上的圖象與直線y=a恰有兩個(gè)交點(diǎn)，………(8分)

令

作出的圖象與直線y=a,如圖.

yy=2sinu

2

y=a

1

u

6

0

-16

由圖知，當(dāng)1≤a<2時(shí)的圖象與直線y=a有兩個(gè)交點(diǎn)，……(14分)

∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為(1,2).……………(15分)

17.命題意圖本題考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用.

解析(I)∵,C∈(0,π),∴,……………(2分)

,∴b=2√7,………………(4分)

∴由余弦定理得

∴c=2.………………………(7分)

(Ⅱ)如圖，由(I)及余弦定理可得

∵△ABD是等腰三角形，∴△ABD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，AD=AB=2(10分)

…………………(15分)

18.命題意圖本題考查抽象函數(shù)的綜合性問題.

解析(I)在f(x+y)+f(x-y)=f(x2-y2)中，

令x=1,y=0,得f(1)+f(1)=f(1),∴f(1)=0(2分)

令x=-1,y=0,得f(-1)+f(-1)=f(1)=0,

∴f(-1)=0(4分)

(Ⅱ)對(duì)任意非零實(shí)數(shù)a,b,令

可得f(a)+f(b)=f(ab)(6分)

在上式中，令b=-1,得f(a)+f(-1)=f(-a),

即對(duì)任意非零實(shí)數(shù)a,都有f(a)=f(-a),(8分)

∴f(x)是偶函數(shù).……………(9分)

(Ⅲ)∵對(duì)任意x?,x?∈(0,+∞)且x?<x?,

由(Ⅱ)知

∴f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增.………………………(11分)

∵f(2)=1,∴2=1+1=f(2)+f(2)=f(4).(12分)

∵f(x+2)-f(x-1)<2,

∴f(x+2)<f(x-1)+2=f(x-1)+f(4)=f(4x-4),(14分)

∵f(x)是定義域?yàn)?-∞,0)U(0,+∞)的偶函數(shù)，且在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增，

∴原不等式轉(zhuǎn)化為0<1x+21<14x-41,…………………(15分)

解得x<-2,或,或x>2,

∴原不等式的解集U(2,+∞).……………(17分)

19.命題意圖本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì).

解析(I)由題知f'(x)=(x-1)e-2ax+2a=(x-1)(e-2a),……(1分)

∴f'(1)=0,要使f(x)僅有一個(gè)極值點(diǎn)，必須e-2a>0恒成立，即恒成立，

又的取值范圍是(0,+∞),∴a≤0.……………………(2