第十三講·隱零點(diǎn)，洛必達(dá)法則【知識(shí)導(dǎo)學(xué)】一、隱零點(diǎn)一、定義二、解題思路隱零點(diǎn)問(wèn)題的解題思路是對(duì)函數(shù)的零點(diǎn)設(shè)而不求，通過(guò)整體代換和過(guò)渡，再結(jié)合題目條件解決問(wèn)題。三、應(yīng)用場(chǎng)景隱零點(diǎn)是用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性和求最值常規(guī)方法的補(bǔ)充，在高考中出現(xiàn)的頻率很高。隱零點(diǎn)問(wèn)題常見(jiàn)于以下兩種題型：與參數(shù)范圍有關(guān)的題型：這種題型沒(méi)有統(tǒng)一的類別，主要是用參數(shù)和的等價(jià)關(guān)系來(lái)互相轉(zhuǎn)化，例如已知參數(shù)范圍反推的范圍，或者用的范圍反推參數(shù)的范圍。四、關(guān)鍵點(diǎn)解決隱零點(diǎn)問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)在于等量代換，選擇合適的代換方式?jīng)Q定了運(yùn)算量的大小。在具體問(wèn)題中，一般有兩種選擇：代換參數(shù)：較為常見(jiàn)的方法，優(yōu)點(diǎn)是比較通用，缺點(diǎn)在于運(yùn)算量可能較大。選擇整體代換：在對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)結(jié)合的問(wèn)題中，“指對(duì)互換”也是一種常用的技巧。這需要考生對(duì)問(wèn)題有整體的把握，充分結(jié)合問(wèn)題和條件的關(guān)系，選擇合適的代換方式。二、洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則是微分學(xué)中的一個(gè)重要定理，是求解未定型極限的有效方法之一。該法則由法國(guó)數(shù)學(xué)家?jiàn)W古斯特·德·洛必達(dá)（GuillaumeFran?oisAntoine,Marquisdel'H?pital）提出，盡管實(shí)際上是在他的老師約翰·貝恩（JohannBernoulli）的指導(dǎo)下發(fā)現(xiàn)的。以下是對(duì)洛必達(dá)法則的詳細(xì)介紹：一、基本概念洛必達(dá)法則主要用于求解函數(shù)極限，特別是當(dāng)極限形式為“0/0”或“∞/∞”等不定型時(shí)。這些不定型極限無(wú)法直接通過(guò)代入極限的定義來(lái)求解，因此需要借助洛必達(dá)法則進(jìn)行變形和計(jì)算。二、基本原理三、應(yīng)用條件在應(yīng)用洛必達(dá)法則時(shí)，需要滿足以下兩個(gè)條件：分子分母的極限都等于零（或者都為無(wú)窮大），即滿足“0/0”或“∞/∞”的不定型形式。分子分母在限定的區(qū)域內(nèi)分別可導(dǎo)。四、使用方法在使用洛必達(dá)法則時(shí)，需要按照以下步驟進(jìn)行：檢查極限形式是否滿足洛必達(dá)法則的應(yīng)用條件。對(duì)分子和分母同時(shí)求導(dǎo)。判斷求導(dǎo)后的極限是否存在。如果存在，則直接得到答案；如果不存在，則說(shuō)明此種未定式不可用洛必達(dá)法則來(lái)解決；如果不確定，即結(jié)果仍然為未定式，則在驗(yàn)證的基礎(chǔ)上繼續(xù)使用洛必達(dá)法則。五、注意事項(xiàng)洛必達(dá)法則只能用于求解存在的極限，對(duì)于不存在的極限，不能使用洛必達(dá)法則。在使用洛必達(dá)法則時(shí)，需要注意極限的存在性，避免因?yàn)闉E用洛必達(dá)法則而導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果。洛必達(dá)法則可以連續(xù)多次使用，直到求出極限為止。但在實(shí)際應(yīng)用中，需要結(jié)合其他方法（如等價(jià)無(wú)窮小替換、泰勒公式等）來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。【題型聚焦】【題型一·隱零點(diǎn)】(2)證明見(jiàn)解析【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）故原命題成立．(2)證明見(jiàn)解析【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題、求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解；【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題、函數(shù)單調(diào)性、極值與最值的綜合應(yīng)用、求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）所以整數(shù)的最大值為.【點(diǎn)睛】對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立問(wèn)題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．3、根據(jù)恒成立求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分類參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，通常要設(shè)出導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，難度較大.【答案】(1)答案見(jiàn)解析【難度】0.15【知識(shí)點(diǎn)】含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題、函數(shù)單調(diào)性、極值與最值的綜合應(yīng)用、用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性（2）參變分離，構(gòu)造函數(shù)，利用隱零點(diǎn)，得到其最值，從而得到參數(shù)的取值范圍.【點(diǎn)睛】隱零點(diǎn)的處理思路：第一步：用零點(diǎn)存在性定理判定導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在性，其中難點(diǎn)是通過(guò)合理賦值，敏銳捕捉零點(diǎn)存在的區(qū)間，有時(shí)還需結(jié)合函數(shù)單調(diào)性明確零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；第二步：虛設(shè)零點(diǎn)并確定取范圍，抓住零點(diǎn)方程實(shí)施代換，如指數(shù)與對(duì)數(shù)互換，超越函數(shù)與簡(jiǎn)單函數(shù)的替換，利用同構(gòu)思想等解決，需要注意的是，代換可能不止一次.【題型二·洛必達(dá)法則】(1)求實(shí)數(shù)的值；【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題、由函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題、由函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)即實(shí)數(shù)的最小值為.初等方法解決：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問(wèn)題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問(wèn)題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別．【難度】0.15【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題（2）解法1：直接求導(dǎo)，分類討論.解