第一章有理數(shù)1.大于0的數(shù)叫正數(shù)，在正數(shù)的前面加上負(fù)號(hào)“”的數(shù)叫負(fù)數(shù)．2.數(shù)0既不是正數(shù)，又不是負(fù)數(shù)．3.在同一問(wèn)題中，分別用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示具有相反的意義．4.人們常用正負(fù)數(shù)來(lái)表示一對(duì)具有相反意義的量．5.有理數(shù)的分類(lèi)：6.數(shù)軸：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線(xiàn)．7.相反數(shù)：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互稱(chēng)為相反數(shù)，0的相反數(shù)是0．8.絕對(duì)值：（1)代數(shù)意義：一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0．?dāng)?shù)a的絕對(duì)值記作．（2)幾何意義：一個(gè)數(shù)a的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離．9.有理數(shù)的大小比較比較大小常用的方法有：（1）數(shù)軸比較法；（2）法則比較法：正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而??；(3)作差比較法．（4）作商比較法；（5)倒數(shù)比較法．易錯(cuò)點(diǎn)1化簡(jiǎn)多重符號(hào)1.化簡(jiǎn)關(guān)鍵規(guī)則：核心是“奇負(fù)偶正”：數(shù)清負(fù)號(hào)個(gè)數(shù)，奇數(shù)個(gè)負(fù)號(hào)結(jié)果為負(fù)，偶數(shù)個(gè)則為正。正號(hào)可直接忽略，不影響結(jié)果。例如，((6))有3個(gè)負(fù)號(hào)（奇數(shù)），結(jié)果為6；+(+(2))實(shí)際只有1個(gè)負(fù)號(hào)，結(jié)果為2。2.易錯(cuò)注意事項(xiàng)別漏數(shù)負(fù)號(hào)：多層括號(hào)易漏算，可逐層拆解，如[(4)]先算內(nèi)層(4)=4，再算外層4。區(qū)分符號(hào)與數(shù)值：化簡(jiǎn)只變符號(hào)，數(shù)字大小不變，如(|3|)，先得|3|=3，再化簡(jiǎn)為3。例題1．化簡(jiǎn)：【分析】本題考查了化簡(jiǎn)多重符號(hào)，熟練掌握運(yùn)算法則是解此題的關(guān)鍵．根據(jù)化簡(jiǎn)多重符號(hào)的法則計(jì)算即可得解；易錯(cuò)點(diǎn)2帶“非”字的有理數(shù)的分類(lèi)1.分類(lèi)易錯(cuò)點(diǎn)總結(jié)混淆“非正”“非負(fù)”與“正負(fù)”：非正數(shù)包括負(fù)數(shù)和0，非負(fù)數(shù)包括正數(shù)和0，不可漏掉0。如“非正有理數(shù)”≠負(fù)數(shù)，還含0。誤將“非整數(shù)”等同于分?jǐn)?shù)：非整數(shù)是整數(shù)以外的有理數(shù)，即分?jǐn)?shù)（包括正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)），注意不包含整數(shù)。2.注意事項(xiàng)總結(jié)明確“非”的范圍：“非”表示“不”，如非負(fù)數(shù)是“不是負(fù)數(shù)”，即正數(shù)和0，需包含邊界值0。分類(lèi)不重不漏：按“非”字分類(lèi)時(shí)，先確定對(duì)立面，再包含0，如非負(fù)整數(shù)=正整數(shù)+0，避免遺漏或重復(fù)。例題2．把下面各數(shù)填在相應(yīng)的大括號(hào)里（將各數(shù)用逗號(hào)分開(kāi)）：負(fù)整數(shù)集合{}正數(shù)集合{}非負(fù)整數(shù)集合{}【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查了正數(shù)，負(fù)數(shù)，整數(shù)，分?jǐn)?shù)，有理數(shù)，以及無(wú)理數(shù)的概念．要注意的是本題中的是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，為無(wú)理數(shù)．易錯(cuò)點(diǎn)3利用分類(lèi)討論數(shù)學(xué)思想化簡(jiǎn)絕對(duì)值1.易錯(cuò)點(diǎn)總結(jié)臨界點(diǎn)遺漏：化簡(jiǎn)|ab|時(shí)，未明確a=b這一臨界點(diǎn)，只討論a>b和a<b，忽略此時(shí)絕對(duì)值為0。分類(lèi)條件錯(cuò)誤：判斷符號(hào)時(shí)邏輯顛倒，如|x+3|中，誤將x>3寫(xiě)成x≥3，導(dǎo)致分類(lèi)重疊。2.注意事項(xiàng)總結(jié)先找零點(diǎn)：令絕對(duì)值內(nèi)表達(dá)式為0，求出所有臨界點(diǎn)，以此劃分區(qū)間，確保不重不漏。按區(qū)間定符號(hào)：在每個(gè)區(qū)間內(nèi)確定表達(dá)式正負(fù)，再去絕對(duì)值，如x<2時(shí)，|x+2|=(x+2)，避免符號(hào)錯(cuò)誤。例題3．請(qǐng)利用絕對(duì)值的性質(zhì)，解決下面問(wèn)題：【答案】(1)，(2)3或或1或(3)1【分析】（1）直接根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)求解即可；（3）分a，b，c三個(gè)有理數(shù)都為正數(shù)或其中一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)或兩個(gè)正數(shù)，一個(gè)負(fù)數(shù)或三個(gè)都為負(fù)數(shù)四種情況討論即可．（2）解：由題意得：a，b，c三個(gè)有理數(shù)都為正數(shù)或其中一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)或兩個(gè)正數(shù)，一個(gè)負(fù)數(shù)或三個(gè)都為負(fù)數(shù)．；④當(dāng)a，b，c三個(gè)數(shù)都為負(fù)數(shù)時(shí)，．易錯(cuò)點(diǎn)4絕對(duì)值的幾何意義1.易錯(cuò)點(diǎn)總結(jié)混淆距離與正負(fù)：誤將|ab|理解為ab的正負(fù)，實(shí)際它表示數(shù)軸上a與b兩點(diǎn)的距離，恒非負(fù)。如|35|是2，而非2。忽略多解情況：|x|=3表示x到原點(diǎn)距離為3，解為±3，易漏寫(xiě)其中一個(gè)解。2.注意事項(xiàng)總結(jié)緊扣“距離”本質(zhì)：任何數(shù)的絕對(duì)值是它到原點(diǎn)的距離，多個(gè)數(shù)時(shí)是兩點(diǎn)間距離，與方向無(wú)關(guān)。明確解的完整性：絕對(duì)值方程或不等式需考慮所有滿(mǎn)足距離條件的數(shù)，如|x2|=1，解為x=3和x=1，避免漏解。例題4．（1）同學(xué)們知道，正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，零的絕對(duì)值是零，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，在這一學(xué)習(xí)過(guò)程中，主要體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想有________________A．?dāng)?shù)形結(jié)合思想B．轉(zhuǎn)化思想C．方程思想D．分類(lèi)討論思想回答下列問(wèn)題：【分析】（1）按照正數(shù)，負(fù)數(shù)，零三種情形解答，體現(xiàn)了分類(lèi)的思想，解答即可．（2）根據(jù)題意，分類(lèi)解答即可．本題考查了分類(lèi)思想，絕對(duì)值的非負(fù)性，應(yīng)用非負(fù)性求最小值，一元一次方程的應(yīng)用，熟練掌握非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：按照正數(shù)，負(fù)數(shù)，零三種情形解答，體現(xiàn)了分類(lèi)的思想，故選：D．故x的值為．故y的值為1．故當(dāng)x的值為1,取得最小值，且最小值為0．一、單選題1．下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是（

）【答案】D【分析】本題考查了化簡(jiǎn)多重符號(hào)，相反數(shù)的定義，根據(jù)相反數(shù)的定義：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，據(jù)此進(jìn)行逐項(xiàng)分析，即可作答．C、與不滿(mǎn)足相反數(shù)的定義，不是相反數(shù)；故選：DA．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】本題主要考查了負(fù)數(shù)的識(shí)別，化簡(jiǎn)多重符號(hào)，先根據(jù)化簡(jiǎn)多重符號(hào)的法則求出對(duì)應(yīng)的數(shù)的結(jié)果，再根據(jù)負(fù)數(shù)是小于0的數(shù)即可得到答案．故選：B．A．7個(gè) B．6個(gè) C．5個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】本題主要考查了有理數(shù)的分類(lèi)．解題的關(guān)鍵是熟練掌握絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，符號(hào)化簡(jiǎn)，乘方運(yùn)算法則，有理數(shù)的分類(lèi)．化簡(jiǎn)符號(hào)，根據(jù)有理數(shù)的分類(lèi)進(jìn)行解答即可．故選：C．二、填空題【分析】本題考查了多重符號(hào)的化簡(jiǎn)方法．應(yīng)該注意：在一個(gè)數(shù)前面添加一個(gè)“”，所得的數(shù)與原數(shù)相同；在一個(gè)數(shù)前面添加一個(gè)“”，所得的數(shù)就成為原數(shù)的相反數(shù)．對(duì)于一個(gè)數(shù)前面有多個(gè)符號(hào)的情況，可以先將該數(shù)前面的所有“”去掉，再根據(jù)“”的數(shù)量進(jìn)行判斷：若“”的個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，則結(jié)果取“”；若“”的個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，則結(jié)果取“”．【答案】3【分析】本題主要考查了化簡(jiǎn)多重符號(hào)，熟練掌握相反數(shù)的定義，只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，進(jìn)行解答即可．故答案為：3；故答案為：；故答案為：；故答案為：．【答案】4【分析】本題主要考查了非負(fù)整數(shù)的判定，根據(jù)非負(fù)整數(shù)是大于或等于0的整數(shù)解題即可．一共4個(gè)．故答案為：4．三、解答題7．化簡(jiǎn)下列各數(shù)：【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【分析】本題考查了相反數(shù)中多重符號(hào)的化簡(jiǎn)，多重符號(hào)的化簡(jiǎn)：與“”個(gè)數(shù)無(wú)關(guān)，有奇數(shù)個(gè)“”負(fù)，有偶數(shù)個(gè)“”號(hào)結(jié)果為正．（1）根據(jù)多重符號(hào)的化簡(jiǎn)法則求解，即可解題；（2）根據(jù)多重符號(hào)的化簡(jiǎn)法則求解，即可解題；（3）根據(jù)多重符號(hào)的化簡(jiǎn)法則求解，即可解題；（4）根據(jù)多重符號(hào)的化簡(jiǎn)法則求解，即可解題；（5）根據(jù)多重符號(hào)的化簡(jiǎn)法則求解，即可解題．8．把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合里．(1)非負(fù)有理數(shù)集合：{

…}；(2)負(fù)數(shù)集合：{

…}；(3)分?jǐn)?shù)集合：{

…}．【分析】本題考查了有理數(shù)的分類(lèi)，熟練掌握有理數(shù)的兩種分類(lèi)方式是解答本題的關(guān)鍵．有理數(shù)可分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)，整數(shù)分正整數(shù)，零和負(fù)整數(shù)；分?jǐn)?shù)分正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)．有理數(shù)也可分為正有理數(shù)，零和負(fù)有理數(shù)，正有理數(shù)分為正整數(shù)和正分?jǐn)?shù)，負(fù)有理數(shù)分為負(fù)整數(shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)．根據(jù)有理數(shù)的分類(lèi)求解即可．9．把下列各數(shù)填在相應(yīng)的大括號(hào)里．正整數(shù)：{______________}；非正數(shù)：{______________}；負(fù)分?jǐn)?shù)：{______________}；有理數(shù)：{______________}．【分析】本題考查了正整數(shù)、非正數(shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)、有理數(shù)的定義，根據(jù)定義直接求解即可，解題的關(guān)鍵是熟悉正整數(shù)、非正數(shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)、有理數(shù)的定義，熟練掌握此題的特點(diǎn)并能熟練運(yùn)用．10．同學(xué)們，我們?cè)诒酒诮滩闹性?jīng)學(xué)習(xí)過(guò)絕對(duì)值的概念：在數(shù)軸上，表示一個(gè)數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，記作．回答下列問(wèn)題：(1)數(shù)軸上表示2和7的兩點(diǎn)之間的距離是，數(shù)軸上表示1和的兩點(diǎn)之間的距離是；(2)數(shù)軸上表示x與的兩點(diǎn)A和B之間的距離可記作，如果這兩點(diǎn)之間的距離為2，那么x為；【答案】(1)5，4；【分析】此題考查了絕對(duì)值函數(shù)的最值，數(shù)軸，兩點(diǎn)間的距離及相反數(shù)的知識(shí)，綜合的知識(shí)點(diǎn)較多，難度一般，注意理解絕對(duì)值的幾何意義是關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意所述，運(yùn)用類(lèi)比的方法即可得出答案．故答案為：5，4；∵這兩點(diǎn)之間的距離為2，11．“分類(lèi)討論”是一種重要數(shù)學(xué)思想方法，下面是運(yùn)用分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想解問(wèn)題的過(guò)程，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并解答題目后提出的四個(gè)問(wèn)題．解：由題意得：，，三個(gè)有理數(shù)都為正數(shù)或其中一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)．請(qǐng)根據(jù)上面的解題思路解答下面的問(wèn)題：【答案】(1)或(2)或(3)【分析】本題考查了絕對(duì)值的意義，有理數(shù)的加法，有理數(shù)的乘法法則；12．綜合與實(shí)踐：【背景知識(shí)】請(qǐng)閱讀以上材料，完成下列問(wèn)題：【問(wèn)題情境】如圖2所示，在數(shù)軸上原點(diǎn)表示數(shù)是0，點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，所表示的數(shù)是，點(diǎn)到原點(diǎn)距離為2；點(diǎn)在原點(diǎn)的右側(cè)，所表示的數(shù)是，點(diǎn)到點(diǎn)距離為6，點(diǎn)為數(shù)軸上任意點(diǎn)，所表示的數(shù)是．【解決問(wèn)題】(1)______，______；(4)對(duì)于數(shù)軸上的三點(diǎn)，又給出如下定義：若當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)與其他兩個(gè)點(diǎn)的距離恰好滿(mǎn)足2倍關(guān)系時(shí)，則稱(chēng)該點(diǎn)是其他兩個(gè)點(diǎn)的“2倍點(diǎn)”．現(xiàn)在，點(diǎn)、點(diǎn)分別以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度和每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度同時(shí)向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從表示數(shù)5的點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)．設(shè)出發(fā)秒后，點(diǎn)恰好是點(diǎn)A，B的“2倍點(diǎn)”．請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)的值是______．【答案】(1)?2，4(2)1，6(3)【分析】（1）依題意，結(jié)合兩點(diǎn)距離公式直接求解；（2）依題