2025年下學(xué)期高二數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)寫作表達(dá)試題（二）一、實際應(yīng)用問題：校園共享單車投放優(yōu)化模型問題背景某中學(xué)為解決師生通勤需求，計劃在校園內(nèi)投放共享單車。已知校園內(nèi)現(xiàn)有3個停放點（A區(qū)圖書館、B區(qū)教學(xué)樓、C區(qū)宿舍），各區(qū)域早高峰（7:00-8:00）的借車需求量和還車供應(yīng)量如下表所示：停放點借車需求量（輛）還車供應(yīng)量（輛）區(qū)域面積（m2）日均人流量（人次）A區(qū)50208001200B區(qū)30406001800C區(qū)40301000900補充條件：每輛單車日均使用成本為5元，維護(hù)成本與停放點面積成正比（比例系數(shù)0.02元/m2/輛）師生步行到停放點的平均時間成本為：A區(qū)2分鐘/人，B區(qū)3分鐘/人，C區(qū)5分鐘/人單車調(diào)度成本為0.8元/輛（從過剩區(qū)域調(diào)往短缺區(qū)域）任務(wù)要求建立數(shù)學(xué)模型計算三個停放點的最優(yōu)投放量（精確到整數(shù)），使總成本（使用成本+維護(hù)成本+時間成本+調(diào)度成本）最低；若新增投放預(yù)算1000元，分析應(yīng)優(yōu)先增加哪個區(qū)域的投放量，并說明理由；用數(shù)學(xué)語言撰寫800字以上的研究報告，要求包含模型假設(shè)、變量定義、公式推導(dǎo)、求解過程及結(jié)論解釋。二、數(shù)學(xué)建模與求解過程（一）模型假設(shè)忽略單車損壞、丟失等隨機(jī)因素，假設(shè)投放量與實際可使用車輛數(shù)一致；時間成本按"人均等待時間×人流量"計算，單位時間成本折算為2元/分鐘；調(diào)度成本僅考慮區(qū)域間運輸費用，不考慮距離差異；各區(qū)域投放量需滿足：0≤投放量≤區(qū)域面積/5（每輛車占地面積約5m2）。（二）變量定義設(shè)(x_A,x_B,x_C)分別為A、B、C三區(qū)的投放量（輛）(C_1)：使用成本(C_1=5(x_A+x_B+x_C))(C_2)：維護(hù)成本(C_2=0.02(800x_A+600x_B+1000x_C))(C_3)：時間成本(C_3=2[2(50-x_A)^+×1200+3(30-x_B)^+×1800+5(40-x_C)^+×900])，其中((a)^+=\max(a,0))(C_4)：調(diào)度成本，當(dāng)供應(yīng)過剩時產(chǎn)生：(C_4=0.8[(x_A-20)^++(x_B-40)^++(x_C-30)^+])總成本(C=C_1+C_2+C_3+C_4)（三）約束條件構(gòu)建容量約束：(x_A≤160,x_B≤120,x_C≤200)（由區(qū)域面積/5得出）非負(fù)約束：(x_A,x_B,x_C≥0)供需平衡：(x_A+x_B+x_C=50+30+40+D)，其中D為調(diào)度量（可正可負(fù)）（四）目標(biāo)函數(shù)推導(dǎo)將各項成本代入總成本公式：[\begin{align*}C&=5(x_A+x_B+x_C)+0.02(800x_A+600x_B+1000x_C)\&\quad+2[2(50-x_A)^+×1200+3(30-x_B)^+×1800+5(40-x_C)^+×900]\&\quad+0.8[(x_A-20)^++(x_B-40)^++(x_C-30)^+]\end{align*}]通過分段函數(shù)處理，當(dāng)投放量滿足(x_A≥50,x_B≥30,x_C≥40)時，時間成本項為0，此時目標(biāo)函數(shù)簡化為：[C=21x_A+17x_B+25x_C+0.8[(x_A-20)+(x_B-40)+(x_C-30)]]（注：此處需驗證假設(shè)合理性，若實際投放量不足需求，則需保留時間成本項重新計算）（五）求解過程初始模型求解：使用拉格朗日乘數(shù)法，設(shè)(L=21.8x_A+17.8x_B+25.8x_C+λ(x_A+x_B+x_C-T))，其中T為總投放量。求偏導(dǎo)得：(?L/?x_A=21.8+λ=0)同理可得(λ=-21.8=-17.8=-25.8)，矛盾表明存在邊界最優(yōu)解邊界條件分析：當(dāng)(x_A=50,x_B=30,x_C=40)時，總成本(C=21×50+17×30+25×40+0.8[(30)+(-10)+(10)]=1050+510+1000+24=2584)元調(diào)整投放量：增加B區(qū)投放至40輛（最大供應(yīng)量），減少C區(qū)至30輛，總成本降至2498元最終優(yōu)化結(jié)果：(x_A=50,x_B=40,x_C=35)，此時總成本2472元，滿足所有約束條件。三、數(shù)學(xué)表達(dá)要求（一）報告結(jié)構(gòu)規(guī)范問題重述：用200字以內(nèi)概括校園共享單車投放問題的核心矛盾；模型構(gòu)建：需包含變量說明表（參考本試題第二部分變量定義）；求解方法：對比至少兩種算法（如枚舉法與線性規(guī)劃法）的優(yōu)缺點；結(jié)果分析：繪制總成本-投放量sensitivityanalysis曲線，說明關(guān)鍵變量影響。（二）數(shù)學(xué)語言規(guī)范公式書寫：變量符號需斜體，下標(biāo)使用正體（如(x_A)而非(x_a)）；推導(dǎo)過程：每步運算需標(biāo)注依據(jù)（如"由均值不等式得"、"求導(dǎo)得"）；圖表要求：需包含2個以上數(shù)據(jù)可視化圖表，其中至少1個三維圖像（建議使用MATLAB繪制投放量-成本曲面圖）；結(jié)論表述：避免使用"可能""大概"等模糊詞匯，需量化說明優(yōu)化效果（如"總成本降低12.3%"）。四、拓展探究題（一）模型改進(jìn)方向考慮早中晚三個時段的需求波動，建立動態(tài)投放模型；引入天氣因素對使用量的影響（提示：可用正弦函數(shù)模擬季節(jié)性變化）；設(shè)計基于手機(jī)APP定位數(shù)據(jù)的需求預(yù)測算法（需說明數(shù)據(jù)采集方案）。（二）批判性思考分析本模型在實際應(yīng)用中的局限性，提出至少3點改進(jìn)建議；比較數(shù)學(xué)優(yōu)化方法與人工智能算法（如Q-learning）在解決此類問題時的優(yōu)劣；用300字闡述"數(shù)學(xué)建模能力"與"數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)"的關(guān)系，結(jié)合本次解題過程舉例說明。（注：全卷共4道大題，滿分150分，寫作部分占80分，要求1500字以上。在答題卡指定區(qū)域作答，超出區(qū)域的答案無效。）五、評分標(biāo)準(zhǔn)（教師用）（一）建模合理性（40分）變量定義完整（10分）約束條件考慮周全（15分）目標(biāo)函數(shù)構(gòu)建正確（15分）（二）求解過程（30分）數(shù)學(xué)方法選擇恰當(dāng)（10分）計算步驟規(guī)范（10分）結(jié)果正確性（10分）（三）表達(dá)能力（50分）邏輯連貫性（15分）術(shù)語準(zhǔn)確性（15分）圖表規(guī)范性（10分）創(chuàng)新思維（10分）（四）核心素養(yǎng)考察點數(shù)學(xué)抽象：從實際問題中提取數(shù)學(xué)關(guān)系（對應(yīng)課標(biāo)要求1.2.3）邏輯推理：約束條件的相容性判斷（對應(yīng)課標(biāo)要求2.1.2）數(shù)學(xué)建模：多目標(biāo)優(yōu)化問題的轉(zhuǎn)化（對應(yīng)課標(biāo)要求3.4.1）數(shù)據(jù)分析：對結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計檢驗（對應(yīng)課