清單06銳角三角函數(shù)(10個考點梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練)

申考直循單

?

正弦

余弦

銳

角

——特殊角的三角函數(shù)值

三

角三邊關(guān)系

解

函

兩銳角關(guān)系

直

數(shù)

角邊角關(guān)系?銳角三角困數(shù)

三

角仰角和俯角

形

應(yīng)用坡度和坡角

方位角

【清單01】銳角三角函數(shù)的概念

如圖所示,在RtZXABC中，ZC=90°,NA所對的邊BC記為a,叫做NA的對邊，也叫做NB的鄰邊,

NB所對的邊AC記為b,叫做NB的對邊，也是NA的鄰邊，直角C所對的邊AB記為c,叫做斜邊.

記作sinA,即sinA=W^^=g

銳角A的對邊與斜邊的比叫做NA的正弦,

斜龍c

4/腑鄰邊h

銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做NA的余弦，記作cosA,即rII1.八二下「二不

銳角A的對邊與鄰邊的比叫做NA的正切，記作lanA,即lan4二乙期??產(chǎn)二@.

NA的鄰邊b

人/笑？邊上；c吧警，N硼對邊_b

斜邊c斜邊cNBI的鄰邊—

【清單02】銳角三角函數(shù)的增減性

(1)在0。-90。之間，銳角1的正弦值隨角度的增大而增大；

(2)在0。-90。之間，銳角a的余弦值隨角度的增大而減??；

(3)在0。-90。之間，銳角a的正切值隨角度的增大而增大.

1

【清單03】特殊角的三角函數(shù)值

利用三角函數(shù)的定義，可求出30°、45°、60°角的各三角函數(shù)值，歸納如下:

銳角dsinacosatana

追在

30°2

23

1

45°巫正

22

1_也

60°包2

2

【清單04】解直角三角形的常見類型及解法

和解法

三角形類⑥、已知條件解法步驟

兩兩直角邊（a,b）由tan』二士求/A,

邊b

ZB=90°-ZA,

C=5+以

斜邊，一直角邊（如c,由sin4=±求NA,

RtAABCa）c

BZB=90°-ZA,

/b=-a2

月N----一直角邊銳角、鄰ZB=90°-ZA,

0邊和一銳角邊,b

a—6?tanJ4，c=

（如NA,cosA

角b）

銳角、對ZB=90°-ZA,

邊a.a

（如NA,c=---b=---

sinA,tanA

a）

2

斜邊、銳角(如c,ZA)ZB=90°-ZA,

a=csinAtb=c-cosA

【清單05】解直角三角形的應(yīng)用

(1)坡度坡角

在用直角三角形知以解決實際問題時，經(jīng)常會用到以下概念:

(1)坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母)表示.

坡度(坡比)：坡面的鉛直高度h和水平距離’的比叫做坡度，用字母J

i=—=tanex

表示，則/,如圖，坡度通常寫成人力：’的形式.

(2)仰角俯角問題

仰角、俯角：視線與水平線所成的角中，視線中水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角,

如圖.

眼睛〈瑞器——水平線

、視線

⑶方位角問題

(1)方位角：從某點的指北方向線按順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角叫做方位角，如圖①中，目標(biāo)方向PA,

PB,PC的方位角分別為是40°,135°,245°.

(2)方向角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90。的水平角，叫做方向角，如圖②中的目標(biāo)

方向線0A,OB,0C,0D的方向角分別表示北偏東30°,南偏東45°,南偏西80°,北偏西60°.特別

如：東南方向指的是南偏東45°,東北方向指的是北偏東45°,西南方向指的是南偏西45°,西北方

向指的是北偏西45°.

注意：

3

1.解直角三角形實際是用三角知識，通過數(shù)值計算，去求出弱形中的某些邊的長或角的大小，最好畫出

它的示意圖.

2.非直接解直角三角形的問題，要觀察圖形特點，恰當(dāng)引輔助線，使其轉(zhuǎn)化為直角三角形或矩形來解.

3.解直角三角形的應(yīng)用題時，首先弄清題意（關(guān)鍵弄清其中名詞術(shù)語的意義），然后正確畫出示意圖，

進而根據(jù)條件選擇合適的方法求解.

在型需單

【考點題型一】銳角三角函數(shù)的定義

【典例1］如圖，在△48C中，若NC=90。，貝lj（）

【變式皿】在A/BC中，ZC=90°,設(shè)乙4乙B,4c所對的邊分別是小8,c,則下列各等式中一定

成立的是（）

A

CB

A.a=c-sin/lB.b=c,cosBC.c=-r—D.a=b-tanB

sinA

【變式1-2］如圖，在Rta/BC中，^BAC=90°,4。18C于點。，下列結(jié)論正確的是（）

A.sinC="B.sinC=77C.sinC=D.sinC=空

ACDCBCAB

【變式1-3】在△ABC中，zf=90°,Q、b.c分別為4力、乙B、乙。的對邊，下列各式成立的是（）

A.sinB=-B.cosB=-C.tanB=7D.tanfi=-

ccba

4

【考點題型二】已知函數(shù)值求邊長

【典例2】在RtA/lBC中，Z,C=90°,AB=5,sinA=；,則邊4c的長為（）

A.3B.4C.V34D.V41

【變式2-1］在RtaA8C中，zC=90°,AC=8,cosA=g,則BC的長為（）

A.6B.8C.10D.12

【變式2-2】已知在Rta4BC中，=90。，tanA=2,AB=4z，則4c等于（）

A.6B.16C.12D.4

【變式2-3】在中，zf=90°,BC=6,AB=10,貝ljsin4=（）

3455

A.gB.gC.-D.-

【變式2-4］在RtaABC中，4c=90。，如果sin4=0,BC=6,那么48=.

4

【考點題型三】求角的函數(shù)值

【典例3】如圖，4B,C,D都在正方形網(wǎng)格的格點上，AC與8。交于點P,則tan乙4P8=()

A，1BC-D.-

-I?3

【變式3-1】如圖，在RtaABC中，48AC=90。,4D_L8C于點。，若8O:CD=3:2,則tan/DAC的值

為()

.手手

A-BCD.

?3-T

5

【變式3-2］在RtAABC中，已知乙。=90。，sinA=\則tanB的值是（）

A.—B.2x/2C.—D.-

343

【變式3-3］在正方形網(wǎng)格中，A/18C的位置如圖所示，則cos4的值為—

LU：匕

:?!1Lzy;;

■?1*a?d-N4-.d./?■

,Ld_J/iL

jJfj1

【變式3-4］如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1,點A、B、C都在格點上,則tancACB

的值是_____.

廠廠丁r…曰…；

/產(chǎn)/「卜.「.：

?…++”

MMM

【考點題型四】同角三角函數(shù)的關(guān)系

【典例4】若NA是銳角，且cosA=g,則sin4=___.

【變式4-1】若銳角A滿足tan“=￡則sina的值是（）

A.匹B.叵C.那D.迪

510105

【變式4-2】如果a是銳角，且cosa=g,那么sina的值是（）

A?費B.gC.1D.2企

【變式4-3】已知：sina=”"cosa=（）

A.-B.-C.-D.-V2

3393

【考點題型五】互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系

【典例5】在/?/△ABC中，ZC=90°,若COS8=￡貝ijsin/l的值為_____

【變式5-1］在RtMBC中，NC=90。，taM=*則sinB的值為____.

6

【變式5-2】在中，z.C=90°,sinA=則cosB二

【變式5-3］在RtAABC中，ZC=90'sinA=4;?則tanB的值為.

【考點題型六】特殊角的三角函數(shù)值

【典例6】cos45。的值是(

V2

B?苧C.D.1

A，22

【變式6-1】2sin30。的值為()

A，1B.1C.D.2

【變式6-2】計算V5cos30。的值是()

3

B.1C.D.3

A，22

【變式6-3】計算：tan60°=C)

V3

A.”B.V3C.D.V2

2T

【考點題型七】解直角三角形及應(yīng)用

【典例7】如圖，在△ABC中，AB=AC=10,sinB=

⑴求8C的長;

(2)求cosA的值.

【變式7-1】已知：如圖，8。是△力的高，48=6,AC=573,Z/1=30°.

(1)求8D和4D的長;

(2)求tanC的值.

7

【變式7-2］如圖，在RtaABC中，乙4c8=90。，4D平分484c交BC于點O,DE1E.若

BD=5,cosB=裒求力C的長.

【變式7-312001年竣工通車的湘潭三大橋是湘江上已建大橋中規(guī)模最大的雙塔垂直雙索面三跨連續(xù)體

系斜拉橋（如圖I）,圖2是從圖1抽象出來的平面圖，已知：拉索//?、B0與橋面力。所成角度分別為

37。、45°,若4）=210米,求立柱8c的高度.（參考數(shù)據(jù):tan37cM）.75,sin37°M.6,cos37cM）.8,結(jié)果

精確到1米）

圖1圖2

【考點題型八】解直角三角形的應(yīng)用?坡度坡角

【典例8】如圖①是位于青島的山東省內(nèi)最大的海景摩天輪“琴島之眼”，游客可以在碧海藍天之間領(lǐng)略

大青島的磅礴氣勢.圖②是它的簡化示意圖，點。是摩天輪的圓心，小紅在E處測得摩天輪頂端A的

仰角為24。，她沿水平方向向左行走122m到達點。,再沿著坡度i=0.75的斜坡走了20米到達點C,

然后再沿水平方向向左行走40m到達摩天輪最低點B處（4,B,C,D,E均在同一平面內(nèi)），求摩天

輪48的高度.（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：sin240ao.4,cos24°?0.91,tan24°?0.45）

8

【變式8-1】讓每一個孩子在家門口就能“上好學(xué)”，衡東某中學(xué)依山而建.校門A處，有一斜坡力B,長

度為13米，在坡頂8處看教學(xué)樓CF的樓頂。的仰角4C8/二45。，離8點4（3-百）米遠的F處有一花

臺，在E處仰望C的仰角乙CEF=60。，CF的延長線交校門處的水平面于。點，F(xiàn)。=5米.

⑴求斜坡48的坡度i.教

學(xué)

⑵求0C的長.樓

【變式8-2】某通信公司欲在口上建設(shè)5G基站.如圖，某處斜坡C8的坡比為1:2.4,通訊塔48垂直于

水平地面，在C處測得塔頂人的仰角為45。，在。處測得塔頂人的仰角為53。,斜坡路段CD長26米.

⑴求點。到水平地面CQ的距離;

(2)求通訊塔AB的高度、(參考數(shù)據(jù)：sin53°?；,cos53°?^,tan53°?-)

OO?5

【變式8-3】為了方便市民出行，建委決定對某街道一條斜坡進行改造，計劃將原斜坡坡角為45。的8C

改造為坡角為30。的力C,已知8c=10或米，點4,B,C,。，E,戶在同一平面內(nèi).

（1）求的距離；（結(jié)果保留根號）

⑵一輛貨車沿斜坡從C處行駛到尸處，貨車的高為3米，EFLAC,若CF=16米，求此時貨車頂端E

到水平線CC的距離DE.（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：V2?1.41,V3?1.73）

9

【考點題型九】解宜角三角形的應(yīng)用?仰角俯角

【典例9】如圖，塔48前有一座高為DE的山坡，已知CD=8m,乙DCE=30。，點A,C,E在同一條水

平直線上.某學(xué)習(xí)小組在山坡C處測得塔頂部8的仰角為45。，在山坡D處測得塔頂部B的仰角為27。.

30"445

⑴求OE的長.

(2)求塔的高度.(參考數(shù)據(jù)：tan27°?0.5,sin27°?0.45,cos27°?0.89,V3?1.7,結(jié)果取整

數(shù))

【變式9-1】數(shù)學(xué)興趣小組到一公園測量塔樓高度.如圖所示，塔樓剖面和臺階的剖面在同一平面，在

臺階底部點A處測得塔樓頂端點上的仰角乙G4E=50.2°,臺階A8長26米，臺階坡面A8的坡度i=

5:12,然后在點B處測得塔樓頂端點石的仰角=63.4。，則

(1)點8到4G的距離為多少米？

(2)塔頂?shù)降孛娴母叨燃s為多少米？

(參考數(shù)據(jù):tan50.2°?1.20,tan63.4°?2.00,sin50.2°?0.77,sin63.4°?0.89)

10

【變式9-2］如圖，為了測量無人機的飛行高度，在水平地面上選擇觀測點A,B.無人機懸停在C

處，此時在A處測得。的仰角為36。52,無人機垂直上升5m懸停在。處，此時在8處測得。的仰角為

63。26\48=10m,點A,B,C,。在同一平面內(nèi)，A,8兩點在CD的同側(cè).求無人機在。

處時離地面的高度.

【變式9-3】如圖，小明家所在居民樓高CO為30m,從樓頂C處測得另一座大廈頂部A的仰角a是

26.6°,大廈底部8的俯角￡是45。.

A

BD

(1)求兩樓之間的距離BD；

(2)求大廈的高度88.

(結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)；；sin26.6°=0.45,cos26.6°0.89>tan26.6°?0.50)

ii

【考點題型十】解直角三角形的應(yīng)用-方向角

【典例10】為了維護海洋權(quán)益，新組建的國家海洋局加大了在南海的巡邏力度.一天，我兩艘海監(jiān)船

剛好在我某島東西海岸線上的A、8兩處巡邏，同時發(fā)現(xiàn)一艘不明國籍的船只停在C處海域.如圖所

示，48=60（遍+魚）海里，在B處測得C在北偏東45。的方向上，4處測得C在北偏西30。的方向上，在

海岸線上有一燈塔。，測得40=120（遍一式）海里.

（1）求出A與C距離AC（結(jié)果保留根號）.

（2）已知在燈塔。周圍100海里范圍內(nèi)有暗礁群，我在4處海監(jiān)船沿力C前往C處盤查，途中有無觸礁的危

險（參考數(shù)據(jù)：72=1.41,逐=1.73,76=2.45）.

【變式10-1］如圖，一艘漁船位于小島8的北偏東30。方向，距離小島80海里的點A處，它沿著點A

的南偏東15。方向航行.（結(jié)果保留根號）

（1）漁船航行多遠與小島B的距離最近？

⑵漁船到達距離小島8最近點后，按原航向繼續(xù)航行40幾海里到點C處時突然發(fā)生事故，漁船馬上向

小島8上的救援隊求救，問：救援隊從3處出發(fā)沿著哪個方向航行到達事故地點航程最短，最短航程

是多少？

12

【變式10-2】小明和小紅相約周末游覽合川釣魚城，如圖，A,B,C,D,E為同一平面內(nèi)的五個景

點.已知景點E位于景點A的東南方向400vs米處，景點。位于景點力的北偏東60。方向1500米處，景點C

位于景點8的北偏東30。方向，若景點4B與景點C,。都位于東西方向，且景點C,B,E在同一直線

上.

（1）求景點A與景點8之間的距離.（結(jié)果保留根號）

（2）小明從景點A出發(fā)，從A到〃到C,小紅從景點E出發(fā)，從E到N到C,兩人在各景點處停留的時間忽略

不計.已知兩人同時出發(fā)且速度相同，請通過計算說明誰先到達景點C.（參考數(shù)據(jù)：V3?1.73）

【變式10-3］如圖，某小區(qū)有南北兩個門，北門A在南門8的正北方向，小紅自小區(qū)北門A處出發(fā)，

沿南偏西53。方向前往小區(qū)居民活動中心。處：小強自南門3處出發(fā)，沿正西方向行走300〃?到達。

處，再沿北偏西30。方向前往小區(qū)居民活動中心C處與小紅匯合，兩人所走的路程相同，求該小區(qū)北門

4與南門8之間的距離.（結(jié)果保留整數(shù),參考數(shù)據(jù):sin53°?0.8,cos53°?0.6,tan53°?1.3,V3?

1.73）

J北L/.：

13

清單06銳角三角函數(shù)（10個考點梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）

甲考直感單

正弦

方位角

【清單01】銳角三角函數(shù)的概念

如圖所示，在RtZXABC中，ZC=90°,NA所對的邊BC記為a,叫做NA的對邊，也叫做NB的鄰邊,

NB所對的邊AC記為b,叫做NB的對邊，也是NA的鄰邊，直角C所對的邊AB記為c,叫做斜邊.

N4的對邊

銳角A的對邊與斜邊的比叫做NA的正弦，記作sinA,即sinA=

斜邊

/岫鄰邊

銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做NA的余弦，記作cosA,即cosA=

/麗勺對邊_a

銳角A的對邊與鄰邊的比叫做NA的正切，記作tanA,即tanA=

乙4（1勺鄰邊一石

;

同理.DN3的對邊b/硒鄰邊/41勺對邊_b

sinB=-----------------=—cosB=

斜邊c斜邊NBfKj鄰邊二￡

【清單02】銳角三角函數(shù)的增減性

（1）在0。-90。之間，銳角1的正弦值隨角度的增大而增大；

（2）在0。-90。之間，銳角a的余弦值隨角度的增大而減?。?/p>

14

（3）在0。-90。之間，銳角1的正切值隨角度的增大而增大.

【清單03】特殊角的三角函數(shù)值

利用三角函數(shù)的定義，可求出30°、45°、60°角的各三角函數(shù)值，歸納如下:

銳角asinacosatana

工

30”2息走

23

1

45°理正

22

J

乖

60°2

2

【清單04】解直角三角形的常見類型及解法

和解法

三角形類鼠、已知條件解法步驟

兩兩直角邊（a,b）

邊由tan4=2求NA,

b

ZB=900-ZA,

c=Jj+b2

斜邊，一直角邊（如C,

由sinA=2求NA,

RtAABCa）c

BZB=90°-ZA,

b=y/c2-a2

一直角邊銳角、鄰ZB=90°-ZA,

月N---------------

邊和一銳角邊,.b

0a=b?tanH，c=------

（如NA,cosa

角b）

銳角、對ZB-90°—NA,

邊a.a

（如NA,c=——b=------

sintan

a）A,J4

15

斜邊、銳角(如c,ZA)ZB=90°-ZA,

a=cs\nA9b=C'CO$A

【清單05】解直角三角形的應(yīng)用

(D坡度坡角

在用直角三角形知以解決實際問題時，經(jīng)常會用到以下概念：

(1)坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母儀表示.

坡度(坡比)：坡面的鉛宜高度h和水平距離？的比叫做坡度，用字母7

表示，則如圖，坡度通常寫成i二為"的形式.

(2)仰角俯角問題

仰角、俯角：視線與水平線所成的角中，視線中水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角,

如圖.

眼睛〈瑞器——水平線

、視線

⑶方位角問題

(1)方位角：從某點的指北方向線按順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角叫做方位角，如圖①中，目標(biāo)方向PA,

PB,PC的方位角分別為是40°,135°,245°.

(2)方向角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90。的水平角，叫做方向角，如圖②中的目標(biāo)

方向線0A,OB,0C,0D的方向角分別表示北偏東30°,南偏東45°,南偏西80°,北偏西60°.特別

如：東南方向指的是南偏東45°,東北方向指的是北偏東45°,西南方向指的是南偏西45°,西北方

向指的是北偏西45°.

注意：

16

1.解直角三角形實際是用三角知識，通過數(shù)值計算，去求出弱形中的某些邊的長或角的大小，最好畫出

它的示意圖.

2.非直接解直角三角形的問題，要觀察圖形特點，恰當(dāng)引輔助線，使其轉(zhuǎn)化為直角三角形或矩形來解.

3.解直角三角形的應(yīng)用題時，首先弄清題意（關(guān)鍵弄清其中名詞術(shù)語的意義），然后正確畫出示意圖，

進而根據(jù)條件選擇合適的方法求解.

可強型需單

【考點題型一】銳角三角函數(shù)的定義

【典例1】如圖，在△48C中，若NC=90。，則（

A.sinA=-B.sin/1=-C.cosB=-D.cosB=-

【答案】A

【分析】考查銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握正弦，余弦的定義是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：sinA=cosB=-,sinB=cosA=

cc

故選A.

【變式1-1］在AABC中，4C=90。，設(shè)2A,LB,4C所對的邊分別是a,b,c,則下列各等式中一定

成立的是（）

A.a=c-sin/lB.b=c-cosBC.c=D.a=b-tanB

【答案】A

【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進行判斷即可.

【詳解】解：由題意可得:

sinA=cosB=一，tanB=一，

17

a=c-sin/4,c=-r-,a=c-cosB,b=a-tanfi*

sinA

故A選項成立，B,C,D不成立,

故選A.

【點睛】本題考查銳角三角函數(shù)，理解銳知三角函數(shù)的定義是正確解答的關(guān)鍵.

【變式1-2］如圖，在中,/LBAC=90°,AD1BC于點、D,下列結(jié)論正確的是（）

..?CD「.?AD.cAD

A.sinC=—B.sinC=—C.sinC=—D.sinC=—

BCAB

【答案】C

【分析】根據(jù)垂直定義可得乙4DB=乙力。。=90。，然后在RtAAOC中,利用銳角三角函數(shù)的定義即可

判斷A,B,再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義即可判斷C,最后利用同角的余角相等可得

LC=LBAD,從而在RtABAD中，利用銳角三角函數(shù)的定義即可求出siMBAD=骼即可判斷D.

AB

【詳解】解：??ND1BC,

：,Z.ADB=Z.ADC=90°,

在Rt△4Z)C中sinC=桀,

故A、B不符合題意;

在RtaABC中，sinC=翌,

BC

故C符合題意;

,:乙B+Z.BAD=90°,+NC=90°,

:?乙C=4BAD,

在RtZkB/10中，s\nz.BAD=

???sinC=sin血。造

故D不符合題意:

故選：C.

【點睛】本題考查了解直角三角形，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

【變式1-3］在△48C中，zC=90°,a、b、c分別為NA、乙B、土C的對邊，下列各式成立的是（）

18

A.sinB=；B,cosB=;C.tanB=；D.tanB=￡

【答案】D

【分析】本題考查三角函數(shù)的知識，熟記正弦、余弦和正切的定義是解題的關(guān)鍵.正弦是對邊比斜

邊，余弦是鄰邊比斜邊，正切是對邊比鄰邊，據(jù)此可判斷.

【詳解】解：如下圖，

A.sinB=g故該選項不成立，不符合題意;

B.cosB=故該選項不成立，不符合題意;

C

C.tanF=故該選項不成％不符合題意;

a

D.tanB=，，故該選項成。，符合題意.

故選：D.

【考點題型二】已知函數(shù)值求邊長

【典例2】在RIM8C中，6.C=90°,AB=5,sh\A=1,則邊AC的長為（）

A.3B.4C.V34D.V41

【答案】B

【分析】本題考杳了正弦，勾股定理.熟練掌握正弦的概念是解題的關(guān)鍵.

如圖，由題意知，sim4=^=1,可求BC=3,然后根據(jù)勾股定理求4c即可.

AB5

【詳解】解：如圖，

由題意知，sinA=當(dāng)=：,即亭=|,

解得，BC=3,

19

由勾股定理得，AC=>IAB2-BC2=4.

故選：B.

【變式2-1】在Rtz\A8C中，4。=90°,AC=8,cosA=則的長為（）

5

A.6B.8C.10D.12

【答案】A

【分析】本題考查了三角函數(shù)的變形計算，根據(jù)COSA=^=4=3求得48,冉利用勾股定理計算BC

ABAB5

即可.

【詳解】VzC=90°,AC=8,cosA=g,

..AC84

..cosA=——=——=-

ABAB5

解得48=10,

:.BC=7ABz一心=6,

故選A.

【變式2-2】已知在中，4c=90。，tan/1=2,AB=4\/5,則力C等于（）

A.6B.16C.12D.4

【答案】D

【分析】本題主要考查了正切值的定義.根據(jù)題意作圖，由正切值的定義可得，taM=%，結(jié)合勾股

定理，即可求得AC的值.

【詳解】解：如圖，

???在RtAAZ?C「卜，乙C=90。,

BC

.?.t.an/1A=—,

*.*tan/l=2,

端=2,即BC=24C,

'：AB=4A/5,

/.AC2+BC2=AD2,即/IC2十（2AC）2=（4可

20

：,AC=4,

故選：D.

【變式2-3】在RtZkABC中，zC=90°,BC=6,AB=10,則sin"=()

A.-5B.-5C.-3D.-4

【答案】A

【分析】本題考查求正弦值，根據(jù)正弦的概念，即可解答.

【詳解】

由題意得:sin4=*/=，

AB105

故選:A.

【變式2-4］在RtzxABC中，LC=90°,如果sin/1=三，BC=6,那么48=.

4

【答案】8

【分析】本題考查了解直角三角形，利用直角三角形的邊角間關(guān)系，可得結(jié)論.

【詳解】解：Vsin/l=^=pBC=6.

AB4

:.AB=8.

故答案為：8.

【考點題型三】求角的函數(shù)值

【典例3】如圖，/㈤。,。都在正方形網(wǎng)格的格點上，力。與B。交于點P,則tan"PB=()

A.|B.|C.|D.1

【答案】B

21

【分析】本題主要考查了求角的正切值，勾股定理和勾股定理的逆定理，取格點￡,連接6E,DE,lh

網(wǎng)格的特點可知BE||AC,則4APB=乙EBD,利用勾股定理和勾股定理的逆定理證明△BDE是直角三

角形，且N8ED=90。，則tan±EBD=竺=三，^tanZ-APB=

BE22

【詳解】解：如圖所示，取格點￡連接BE,DE,

由網(wǎng)格的特點可■知BE||AC,

/.^APB-乙EBD,

VFF=V22+22=2V2,DE=V52+52=572.BD=V32+72=\/58,

：,BE2+DE2=BD2,

???△BDE是直角三角形，且乙BED=90°,

BE2

，

tan/AP8=2

故選：B.

【變式3-1］如圖，在RtzMBC中，484c=90。,ADI"于點D,若BD:CD=3:2,則tanzD4c的值

為（）

AJB.在C.立D.叵

3323

【答案】B

【分析】先根據(jù)題目已知條件推出△ABDSACAD,則可得皿C=N8,然后根據(jù)BD:CD=3:2,設(shè)

80=3%,CD=2x,利用刈版邊成比例表示出月0的值，進而得出tan乙。力C的值，

22

【詳解】:在R￡A/18C中，^BAC=90°,

/.z5+zC=90°,

1：AD1BC于點D，

：.Z.B+AD=90°,ZC+Z.DAC=90°

.,./.BAD=zC?zF=Z.DAC?

△ABDs〉CAD,

即，AD2=BD-CD,

ADCD

?；BD:CD=3:2,

???設(shè)BD=3x,CD=2x,

,\AD=yj3x-2x=V6x,

/.tanzfi=tanzD/46=黑=—=t，

BD3x3

故選：B.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、相似比、銳用三角函數(shù)的定義、直角三角形的性質(zhì)，

解題的關(guān)鍵是根據(jù)垂直證明三角形相似，根據(jù)對應(yīng)邊成比例求邊長.

【變式3-2】在RtA/lBC中，已知乙C=90。，sin/1=\貝UtanB的值是（）

?5

A.—B.2V2C.—D.i

343

【答案】B

【分析】本題考查了?個銳角的正弦與正切值.根據(jù)題意設(shè)8C=%,則48=3%,得；I）C=2e”,再

利用正切的定義求解即可.

【詳解】解：???在RS4BC中，Z.C=90°,sin4="=；,

AB3

設(shè)=貝lj/18=3%，

：,AC=y/AB2-BC2=2缶，

AtenS=—=—=2V2

BCx

故選：B.

23

【變式3-3］在正方形網(wǎng)格中，AABC的位置如圖所示，則cosA的值為

【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，過C作CD148于D,利用勾股定理可以求出力C的長，再根

據(jù)余弦的定義即可求出8sA的值，正確理解銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

【詳解】如圖，過C作CD1A8于D,

AzD=90°,

由網(wǎng)格可知：AD=4,/lC=V32+42=5,

AD4

.??cosAA=—=一,

AC5

故答案為：I

【變式3-4］如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1,點力、B、C都在格點上，則tan乙ACB

的值是,

【答案】:

【分析】本題考查了解直角三角形和勾股定理，能求出乙4DB=90。是解此題的關(guān)鍵.根據(jù)已知圖形得出

Z.ADC=90%再求解即可.

【詳解】解：如圖,連接4D，

24

由勾股定理得：AD=BD=Vl2+I2=>/2,CD=V32+32=3夜,

，乙乙

???4。2+=4=ABzBAD=B，

A￡ADB-90°,

：.z.BAD=乙ABD=45°,

：.Z.ADC=180°-90°=90°,

???tan，AC8=%=-.

3V23

故答案為：!.

【考點題型四】同角三角函數(shù)的關(guān)系

【典例4】若NA是銳角，且cos4=],則sinA=.

【答案】加8

【分析