專題2.3根的判別式【十大題型】

【北師大版】

?題型梳理

【題型1判斷不含字母的一元二次方程的根的情況】...............................................1

【題型2判斷含字母的一元二次方程的根的情況】..................................................2

【題型3由方程根的情況確定字母的值或取值范圍1.......................................................................................2

【題型4應(yīng)用根的判別式證明方程根的情況】......................................................3

【題型5應(yīng)用根的判別式求代數(shù)式的取值范圍】....................................................3

【題型6根的判別式與不等式、分式、函數(shù)等知識的綜合】.........................................3

【題型7根的判別式與三角形的綜合】............................................................4

【題型8根的判別式與四邊形的綜合】............................................................5

【題型9關(guān)于根的判別式的多結(jié)論問題】..........................................................5

【題型10關(guān)于根的判別式的新定義問題】.........................................................32

，舉一反三

【知識點一元二次方程根的判別式】

一元二次方程根的判別式：△=b2-4ac.

①當(dāng)△=b2-4ac>0時，原方程有兩個不等的實數(shù)根；

②當(dāng)A=b2-4ac=0時，原方程有兩個相等的實數(shù)根；

③當(dāng)A=b2-4ac<（^、h原方程沒有實數(shù)根.

【題型1判斷不含字母的一元二次方程的根的情況】

【例1】（2023春?山東青島?九年級統(tǒng)考期末）下列方程中，有兩個相等實數(shù)根的是（）

A.x2-2x+1=0B.x2+l=0C./-2x-3=0D.x2-2%=0

【變式1-1］（2023春?九年級課時練習(xí)）一元二次方程/-+2=0的實數(shù)根的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.無法判斷1

【變式1-2］（2023春?江西?九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）下列一元二次方程沒有實數(shù)根的是（）

A.x2+1=0B.x2+2x4-1=0C.X2=4D.x2+x-2=0

【變式1-3］（2023春.上海長寧.九年級上海市延安初級中學(xué)?？计谥校┰谙铝蟹匠讨?，有實數(shù)根的是（）

A.x2+2x4-3=0B.\4x+1+1=0

C.-=-D.X3+8=0

【題型2判斷含字母的一元二次方程的根的情況】

【例2】（2023春?安徽合肥?九年級統(tǒng)考期中）己知關(guān)于x的方程。產(chǎn)一（1一°萬一i=o,下列說法正確的

是（）

A.當(dāng)Q=0時，方程無實數(shù)解B.當(dāng)QH0時，方程有兩個相等的實數(shù)解

C.當(dāng)Q=-l時，方程有兩個不相等的實數(shù)解D.當(dāng)Q=-l時，方程有兩個相等的實數(shù)解

【變式2-1］（2023?河北邯鄲?統(tǒng)考一模）已知〃、c,互為相反數(shù)，則關(guān)于x的方程ax2+5x+c=0（aH0）根

的恃況（）

A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根

C.無實數(shù)根D.有一根為5

【變式2-2］（2023?全國?九年級專題練習(xí)）已知關(guān)于x的方程x?—2x—m=0沒有實數(shù)根，試判斷關(guān)于x的

方程x2+2mx+m（m+1）=0的根的情況.

【變式2-3］（2023春?福建屋門?九年級展門市松柏中學(xué)?？计谀╆P(guān)于X的一元二次方程/-5尤十c=0,

當(dāng)。=￡。時，方程有兩個相等的實數(shù)根：若將c的值在％的基礎(chǔ)上增大，則此時方程根的情況是（）

A.沒有實數(shù)根B.兩個相等的實數(shù)根

C.兩個不相等的實數(shù)根D.一個實數(shù)根

【題型3由方程根的情況確定字母的值或取值范圍】

【例3】（2023春?浙江舟山?九年級校聯(lián)考期中）在實數(shù)范圍內(nèi)，存在2個不同的義的值，使代數(shù)式——3x+c

與代數(shù)式x+2值相等，則。的取值范闈是.

【變式3-1］（2023春?北京西城?九年級北京市第三十五中學(xué)校考期中）已知關(guān)于x的方程m/-3x+l=0

無實數(shù)解，則加取到的最小正整數(shù)值是.

【變式3-2］（2023春?廣西梧州?九年級校考期中）關(guān)于x的方程7+2（m-2）%+62-3機(jī)+3=0.

（1）有兩個不相等的實數(shù)根，求〃?的取值范圍；

⑵若方程有實數(shù)根，而且〃?為非負(fù)整數(shù)，求方程的根.

【變式3-3］（2023春?北京平谷?九年級統(tǒng)考期末）關(guān)于工的一元二次方程。為2一2（1%+8+1=0（〃原0）有

兩個相等的實數(shù)根鼠則下列選項成立的是（）

A.若-IVaVO,WO->7B.若則0<〃<1

abab

C.若OVqVI,Hl］-<7D.若與V：,則-IWO

abab

【題型4應(yīng)用根的判別式證明方程根的情況】

【例4】（2023春?廣東珠海?九年級統(tǒng)考期末）己知關(guān)于x的一元二次方程％2-2mx+m?-1=o.

（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；

（2）若方程的一根大于2,一根小于1,求〃?的取值范圍.

【變式4-1]（2023春?九年級課時練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次方程2/+2mx+m—1=0,求證：不論m為

什么實數(shù)，這個方程總有兩個不相等實數(shù)根.

【變式4-2]（2023春?九年級課時練習(xí)）已知關(guān)于.1的一元二次方程/—3x+2=m（x—l）.

（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；

⑵若方程兩個根的差是2,求實數(shù)m的值.

【變式4-3]（2023春?九年級課時練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次方程（/?/-2）x+2m-8=0.

（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根.

（2）若方程有一個根足負(fù)整數(shù)，求正整數(shù)，"的值.

【題型5應(yīng)用根的判別式求代數(shù)式的取值范圍】

【例5】（2023春?浙江溫州?九年級?？计谥校┮阎P(guān)于工的一元二次方程/一2x+3m=0有實數(shù)根，設(shè)此

方程的一個實數(shù)根為3令y=F-2￡+4m+l,則y的取值范圍為.

【變式5-1]（2023春?安徽合肥?九年級統(tǒng)考期中）關(guān)于x的一元二次方程Qi+以+c=0（Q學(xué)0）有兩個相

等的實數(shù)根須，則下列關(guān)于2Q&+8的值判斷正確的是（）

A.2ax04-b>0B.2ax0+Z?=0C.2ax0+b<0D.2ax0+b<0

222

【變式5-2）（2023春?浙江寧波?九年級統(tǒng)考期末）已知實數(shù)m,九滿足租2-mn+?i=3,設(shè)尸=m+mn-n,

貝IJP的最大值為（）

A.3B.4C.5D.6

【變式5-3]（2023春?浙江杭州?九年級?？计谥校┮阎P(guān)于x的一元二次方程/-2x+m=0有兩個不相

等的實數(shù)根，設(shè)此方程的一個實數(shù)根為從令、=4/-8匕+30+2,則（）

A.y>1B.y>1C.y<1D.y<1

【題型6根的判別式與不等式、分式、函數(shù)等知識的綜合】

3X+8

【例6】（2023春?重慶北陪?九年級西南大學(xué)附中?？计谥校┤絷P(guān)于x的一元一次不等式組丁式"+6

.3%4-a>4%-5

的解集為xW4,關(guān)于x的一元二次方程（。-1）產(chǎn)+3%+1=0有實數(shù)根，則所有滿足條件的整數(shù)。的值之

和是.

【變式6-1X2023春安徽安慶九年級安慶市第四中學(xué)?？计谀┤絷P(guān)于x的一元二次方程/_卜2xIAb卜1=

。有兩個不相等的實數(shù)根，則一次函數(shù)y=kx+b的大致圖象可能是()

【變式6-2](2023春?九年級課時練習(xí))要使關(guān)于x的一元二次方程Q/+2%-1=0有兩個實數(shù)根，且使

關(guān)于x的分式方程上+4=2的解為非負(fù)數(shù)的所有整數(shù)a的個數(shù)為()

X-44-X

A.5個B.6個C.7個D.8個

【變式6-3](2023?湖北武漢?校聯(lián)考模擬預(yù)測)己知a,匕為正整數(shù)，且滿足=2，則a+b的值為()

Q'+ab+b'49

A.4B.10C.12D.16

【題型7根的判別式與三角形的綜合】

【例7】(2023春廣東惠州?九年級校考期中)已知關(guān)于x的一元二次方程(a+c)/-2岳:+(Q-C)=0,其

中分別a.h.c是的邊長.

(1)若方程有兩個相等的實數(shù)根，試判斷△A8c的形狀：

(2)若AABC是等邊三角形，試求該一元二次方程的根.

【變式7-1](2023春?浙江杭州?九年級校考期中)已知關(guān)于x的一元二次方程產(chǎn)一(2k+l)x+/c2+/c=0.

⑴求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)若44BC的兩邊的長是這個方程的兩個實數(shù)根，第三邊BC的長為5,

①若k=3時，請判斷△A8C的形狀并說明理由；

②若△/18C是等腰三角形，求A的值.

【變式7-2](2023春?浙江金華?九年級?？计谥?已知關(guān)于x的方程32-(m+l)x+2(m-l)=0.

(1)當(dāng)方程一個根為％=3時，求機(jī)的值.

(2)求證：無論加取何值，這個方程總有實數(shù)根.

(3)若等腰448。的一腰長。=6,另兩邊〃、c恰好是這個方程的兩個根.則△力BC的面積為.

【變式7-31(2023春?福建廈門?九年級廈門市松柏中學(xué)?？计谀?已知關(guān)于工的一元二次方程/-(m+5)x+

5m=0.

(1)求證：此一元二次方程一定有兩個實數(shù)根；

⑵設(shè)該一元二次方程的兩根為。，兒且6,a,。分別是一個直角三角形的三邊長，求小的值.

【題型8根的判別式與四邊形的綜合】

【例8】(2023春?四川成都?九年級?？茧A段練習(xí))已知：矩形A8CD的兩邊48,8C的長是關(guān)于方程/一mx+

?一：=0的兩個實數(shù)根.

24

(1)當(dāng)〃?為何值時，矩形是正方形？求出這時正方形的邊長；

(2)若川?的長為2,那么矩形48CD的周長是多少？

【變式8-1](2023春?湖南益陽?九年級統(tǒng)考期末)已知口A8CQ兩鄰邊是關(guān)于x的方程/-心+怯1=0的兩個

實數(shù)根.

(1)當(dāng)陽為何值時，四邊形48CD為菱形？求出這時菱形的邊長.

(2)若AB的長為2,那么Q4BCZ)的周長是多少？

【變式8-21(2023春?浙江杭州?九年級杭州市采荷中學(xué)?？计谥?已知關(guān)于x的一元二次方程/+(m-5)x-

5m=0.

(1)判別方程根的情況，并說明理由.

⑵設(shè)該一元二次方程的兩根為。，b,且小b是矩形兩條對角線的長，求矩形對角線的長.

【變式8-3](2023春.廣東佛山.九年級?？计谥?關(guān)于x的一元二次方程如2一曜+2m-1=0的兩個根

4

是平行四邊形ABCD的兩鄰邊長.

(1)當(dāng)機(jī)=2,且四邊形力BCD為矩形時，求矩形的對角線長度.

(2)若四邊形為8CD為菱形，求菱形的周長.

【題型9關(guān)于根的判別式的多結(jié)論問題】

【例9】(2023春?河北保定?九年級保定市第十七中學(xué)校考期末)已知關(guān)于x的方程k--(2fc-3)x+/c-2=

0,則①無論及取何值，方程一定無實數(shù)根；②k=0時，方程只有一個實數(shù)根；③kW：且kWO時，方程有

兩個實數(shù)根；④無論左取何值，方程一定有兩個實數(shù)根.上述說法正確的個數(shù)是()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式9-1](2023春?浙江紹興?九年級統(tǒng)考期末)已知a(a>1)是關(guān)于x的方程+b-。=0的實數(shù)

根.下列說法：①此方程有兩個不相等的實數(shù)根：②當(dāng)a=t+l時，一定有匕=亡-1；③b是此方程的根；

專題2.3根的判別式【十大題型】

【北師大版】

，題型梳理

【題型1判斷不含字母的一元二次方程的根的情況】...............................................1

【題型2判斷含字母的一元二次方程的根的情況】..................................................2

【題型3由方程根的情況確定字母的值或取值范圍】...............................................2

【題型4應(yīng)用根的判別式證明方程根的情況】......................................................3

【題型5應(yīng)用根的判別式求代數(shù)式;的取值范圍】....................................................3

【題型6根的判別式與不等式、分式、函數(shù)等知識的綜合】.........................................3

【題型7根的判別式與三角形的綜合】............................................................4

【題型8根的判別式與四邊形的綜合】............................................................5

【題型9關(guān)于根的判別式的多結(jié)論問題】..........................................................5

【題型10關(guān)于根的判別式的新定義問題】.........................................................32

，舉一反三

【知識點一元二次方程根的判別式】

一元二次方程根的判別式：△=b2-4ac.

①當(dāng)A=b2-4ac>0時，原方程有兩個不等的實數(shù)根；

②當(dāng)A=b2-4ac=(W、h原方程有兩個相等的實數(shù)根；

③當(dāng)A=b2-4ac<(W、h原方程沒有實數(shù)根.

【題型1判斷不含字母的一元二次方程的根的情況】

【例1】(2023春?山東青島?九年級統(tǒng)考期末)下列方程中，有兩個相等實數(shù)根的是()

A.x2-2x+1=0B.x2+1=0C.x2-2%-3=0D.%2-2%=0

【答案】D

【分析】根據(jù)各選項中各方程的系數(shù)，利用根的判別式△=房一4叫可求出各方程的根的判別式A的值，根據(jù)

當(dāng)2=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根即可得出結(jié)論.

【詳解】解：A.Va=1,b=-2,c=1,

：.X=b2-4ac=(-2)2—4x1x1=0,

???方程有兩個相等實數(shù)根，故選項符合題意;

B.Va=1,6=0,c=1,

：.d=b2-4ac=02-4xlxl=0-4<0,

???方程無實數(shù)根，故選項不符合題意：

C.'?a—1,b=—2,c=—3,

:.X=b2-4ac=(-2)2—4x1x(-3)=16>0?

工方程有兩個不相等的實數(shù)根，故選項不符合題意；

D.*.*a=1,b=—2,c=0,

:.X=b2-4ac=(-2)2-4xlx0=4>0,

???方程有兩個不相等實數(shù)根，故選項不符合題意；

【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，牢記，①當(dāng)A>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；②當(dāng)A=0

時，方程有兩個相等的實數(shù)根；③當(dāng)A<0時，方程無實數(shù)根”是解題的關(guān)鍵.

【變式1-1】(2023春?九年級課時練習(xí))一元二次方程x2-2V2x+2=0的實數(shù)根的個數(shù)是()

A.0B.1C.2D.無法判斷I

【答案】B

【詳解】試題解析：???4=/—4ac=8—8=0,

???方程有兩個相等的實數(shù)根；

故選B.

【變式1-2](2023春?江西?九年級統(tǒng)考階段練習(xí))下列一元二次方程沒有實數(shù)根的是()

A.%24-1=0B.x2+2x4-1=0C.x2=4D.x2+x-2=0

【分析】根據(jù)一元二次方程的系數(shù)及根的判別式，逐一求出選項中一元二次方程的根的判別式么的值，△<

0的選項即為答案.

【詳解】解：A選項：-4x]xl=-4V0,

???方程》2+1=0沒有實數(shù)根，

???A選項符合題意.

B選項：VA=22-4x1x1=0,

???方程/+2%+1=0有兩個相等實數(shù)根，

???B選項不符合題意.

C選項：?.?△=02_4xix(-4)=16>0,

???方程/=4有兩個不相等實數(shù)根，

???C選項不符合題意.

D選項：???△=12—4xlx（-2）=9>0,

???方程/+%-2=0有兩個不相等實數(shù)根，

???D選項不符合題意.

故答案選：A

【點睛】本題考查了根的判別式，熟記“當(dāng)△<（）,一元二次方程沒有實數(shù)根”是解題的關(guān)鍵.

【變式1-3］（2023春?上海長寧?九年級上海市延安初級中學(xué)?？计谥校┰谙铝蟹匠讨校袑崝?shù)根的是（）

A.x2+2x+3=0B.V4x4-1+1=0

C.三TD.X3+8=0

【答案】D

【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式，即可判斷A；根據(jù)二次根式有意義的條件，即可判斷B；根據(jù)分式

有意義的條件，即可判斷C；根據(jù)立方根的定義，即可判斷D.

【詳解】解：人、??飛二82-4"二22-4乂1乂3=-8<0,?,?該方程無實數(shù)根，不符合題意；

B、移項，得：a7釘=-1,??'V57不1之0,J該方程無實數(shù)根，不符合題意；

C、去分母，得：x=1,當(dāng)％=1時，％-1=0,???該方程無實數(shù)根，不符合題意；

D、移項，得：%3=-8,解得：工=-2,???該方程有實數(shù)根，符合題意；

故選：D.

【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式；二次根式有意義的條件；分式有意義的條件；立方根的

定義；解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識點，并靈活運用.

【題型2判斷含字母的一元二次方程的根的情況】

【例2】（2023春?安徽合肥?九年級統(tǒng)考期中）已知關(guān)于x的方程辦2一（1一。h一1=0,下列說法正確的

是（）

A.當(dāng)a=0時，方程無實數(shù)解B.當(dāng)aHO時，方程有兩個相等的實數(shù)解

C.當(dāng)。=-1時，方程有兩個不相等的實數(shù)解D.當(dāng)。=-1時，方程有兩個相等的實數(shù)解

【答案】D

【分析】直接利用一元二次方程根的判別式分析求出即可.

【詳解】解：A、當(dāng)a=0時，方程為1=0,

解得％=1，

故當(dāng)Q=0時，方程有一個實數(shù)根，故A不符合題意；

B、當(dāng)QO0時，關(guān)于％的方程以2-(1-。)T-1=0為一元二次方程，

???A=(1—a)2+4a=(1+a)2>0,

.??當(dāng)時，方程有相等的實數(shù)根，故B不符合題意，

CD、當(dāng)。=一1時，關(guān)于x的方程為一/+2%-1=0為一元二次方程，

A=4—4=0?

.?.當(dāng)Q=-l時，方程有兩個相等的實數(shù)根，故C不符合題意，D符合題意.

故選：D.

【點睛】此題主要考查了一元二次方程的定義，根的判別式，正確把握其定義是解題關(guān)健.

【變式2-1](2023?河北邯鄲?統(tǒng)考一模)已知?；橄喾磾?shù)，則關(guān)于x的方程。/+5%+。=09芯0)根

的情況()

A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根

C.無實數(shù)根D.有一根為5

【答案】D

【分析】由一元二次方程根的判別式即可得到答案.

【詳解】解：關(guān)于％的方程a/+5x+c=0(Q*0)根的判別式為25-4QC,

c互為相反數(shù)

GC<0

.*.25—4ac>0.

【點睛】本題考查從根的判別式判斷方程根的情況，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

【變式2-2](2023?全國?九年級專題練習(xí))已知關(guān)于x的方程x2-2x-m=0沒有實數(shù)根，試判斷關(guān)于x的

方程x2+2mx+m(m4-1)=0的根的情況.

【答案】方程x2+2mx+m(m+l)=0有兩個不相等的實數(shù)根，理由見解析

【分析】首先根據(jù)已知方程無實根可得A<0,可求出m的取值范圍，再計算新方程的判別式，結(jié)合m的取

值范圍確定新方程判別式&的情;兄，進(jìn)而得出新方程根的情況即可.

【詳解】??"2—2x—m=()沒有實數(shù)根，

/.Ai=(—2)2—4-(—m)=4+4m<0,即m<—I.

對于方程x2+2mx+m(m+1)=0,

A2=(2m)2—4m(m+1)=—4m>4,

，方程x2+2mx+m(m+l)=0有兩個不相等的實數(shù)根.

【點睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a和)的根的判別式△=b2-4ac：當(dāng)A>0,方程有兩個不相等

的實數(shù)根；當(dāng)△=()，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△<(),方程沒有實數(shù)根.

【變式2-3](2023春,福建廈門?九年級原門市松柏中學(xué)?？计谀?關(guān)于x的一元二次方程/一5%+。=0,

當(dāng)。=d時，方程有兩個相等的實數(shù)根：若將c?的值在生的基礎(chǔ)上增大，則此時方程根的情況是()

A.沒有實數(shù)根B.兩個相等的實數(shù)根

C.兩個不相等的實數(shù)根D.一個實數(shù)根

【答案】D

【分析】先求解￡o=B，再判斷當(dāng)c=t>to=g，方程/一5%+亡=0的根的判別式的值的情況，從而可得

答案.

【詳解】解：???關(guān)于x的一元二次方程/一5%+。=0,當(dāng)。=環(huán)時，方程有兩個相等的實數(shù)根，

???/_5%+2=0有兩個相等的實數(shù)根，

:.A=(-5)2—4to=0，

解得：”=《，

當(dāng)c=t>t0=*方程化為/-5%+C=0,

Z.A=(-5)2-4t=25-4t,

由小手，則4t>25,

4

/.25-4t<0,

，此時方程沒有實數(shù)根.

故選A

【點睛】本題考查的是一元二次方程根的判別式，熟記根的判別式的含義是解本題的關(guān)鍵.

【題型3由方程根的情況確定字母的值或取值范圍】

【例3】(2023春?浙江舟山?九年級校聯(lián)考期中)在實數(shù)范圍內(nèi)，存在2個不同的工的值，使代數(shù)式％2-3x+c

與代數(shù)式％+2值相等，則c的取值范圍是.

【答案】c<6

【分析[根據(jù)題意可得方程7-3z+c=x+2有兩個不相等的根，即判別式A>0,即可求解.

【詳解】解：由題意得，方程/―3%4c="一|2有兩個不相等的根,

x2-3%4-c=x+2整理得/—4r+c—2=0,

A=（一4/-4xlx（c-2）>0,

解得：c<6,

故答案為：c<6.

【點睛】本題考查了根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)，熟練掌握一元二次方程的判別式與根的關(guān)系是解題

的關(guān)鍵.

【變式3-1】（2023春?北京西城?九年級北京市第三十五中學(xué)?？计谥校┮阎P(guān)于X的方程租/-3工+1=0

無實數(shù)解，則小取到的最小正整數(shù)值是.

【答案】3

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，一元二次方程根的判別式列出不等式，即可求解.

【詳解】解：???關(guān)于x的方程m/-3x+l=0無實數(shù)解.，

當(dāng)m=0時，原方程為一元一次方程，有解，

當(dāng)機(jī)工0時，原方程為一元二次方程，

:.N=b2-4ac=9-4m<0,

解得：m>p

???則機(jī)取到的最小正整數(shù)值是3,

故答案為：3.

【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式的

意義是解題的關(guān)鍵.

【變式3-2]（2023春?廣西梧州?九年級?？计谥校╆P(guān)于x的方程/+2（血一2）X+62-3m+3=0.

（1）有兩個不相等的實數(shù)根，求〃?的取值范圍；

⑵若方程有實數(shù)根，而且，〃為非負(fù)整數(shù)，求方程的根.

【答案】（l）m<1

（2）x=3或％=1

【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式，即可求解；

（2）首先根據(jù)mV1且根為非負(fù)整數(shù)，可求得m=0,再解方程即可求解.

【詳解】（1）解：???關(guān)于X的方程/+2（7?1-2）%+血2-3771+3=0有兩個不相等的實數(shù)根，

???A=[2（zn-2）]2—4x1x（m2-3mI3）>0?

解得771<1,

故小的取值范圍為THV1：

(2)解：，??關(guān)于x的方程/+2(m-2)x+巾2-3m+3=0有實數(shù)根，

???△=[2(m-2)]2-4x1x(m2-3m4-3)>0,

解得m<1,

???優(yōu)為非負(fù)整數(shù)，

:，m=0或m=1,

當(dāng)血=0時，原方程化為廣一43+3=0,

解得=3,%2=1；

當(dāng)m=1時，原方程化為%2-2%+1=0,

解得%3=x4=1,

所以，原方程的解為工=3或尤=1.

【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式及解法，熟練掌握和運用一元二次方程根的判別式及解法是解

決本題的關(guān)鍵.

【變式3-3](2023春?北京平谷?九年級統(tǒng)考期末)關(guān)于x的一元二次方程a--2a%+b+l=0("和)有

兩個相等的實數(shù)根鼠則下列選項成立的是()

A.若-lVa<0,則B.若則OVqVl

abab

C.若0<a<l,則與V：D.若A<々則-IWO

abab

【答案】B

【分析】根據(jù)一元二次方程的根的情況利用判別式求得。與〃的數(shù)量關(guān)系，再代入方程求左的值，然后結(jié)合

。的取值范圍和分式加減法運算法則計算求解.

【詳解】解：???關(guān)于x的一元二次方程。/一2以+匕+1=0(而翔)有兩個相等的實數(shù)根火,

/.△=(-2a)2—4a(b+1)=0,

4Q2—4ab—4Q=0,

X*.*ab*0,

:.a-b-\=O,BPa=b+1,

:.蘇-20￥+4=0,

解得：X/=X2=1,

:,k=\,

-k---k--1------1--------1---

abaa—1a(a—1)

當(dāng)A>J時，即』

abab

即一一1>0，

a(a-Tl)

:.a(a-1)<0>

叱:曹?；颉钙?。

解得()<a<\

abab

即―一VO,

a(a-l)

?'a(a-1)>0,

即［a>?；騠。。

1U-1>0la-l<0

解得:a>\或a<0.

【點睛】本題考查一元二次方程的根的判別式，根據(jù)一元二次方程根的情況求得。與。之間的等量關(guān)系是解

題關(guān)鍵.

【題型4應(yīng)用根的判別式證明方程根的情況】

【例4】(2023春?廣東珠海?九年級統(tǒng)考期末)已知關(guān)于工的一元二次方程/-2mx+m2-i=o.

(1)求證：方程總有兩個實數(shù)根；

(2)若方程的一根大于2,一根小于1,求機(jī)的取值范圍.

【答案】(1)見解析

(2)1<m<2

【分析】(1)表示出△,根據(jù)△的數(shù)值判斷即可；

(2)利用公式求出兩根，根據(jù)兩根及其條件列出不等式，并解不等式即可.

【詳解】(1)解：依題意，得

VA=(-2m)2-4x1x(m2-1)=4m2-4m2+4=4>0

???方程總有兩個實數(shù)根；

(2)解：方程/—+m?一i=o

由(1)得△=4

...x--(-2吟±、4=瓶±],?，?％]=m+1,%2=m-1,

?>V1一

丁方程的一根大于2,一根小于1,m+1>m-1

.(m+l>2

-1<1

1<m<2.

??m的取值范圍是1<m<2.

【點睛】本題考杳了一元二次方程，相關(guān)知識點有：根的判別式、解一元二次方程等，熟悉一元二次方程的

知識點是解題關(guān)鍵.

[變式4-1](2023春?九年級課時練習(xí))已知關(guān)于X的一元二次方程2-+2771x4-771-1=0,求證：不論m為

什么實數(shù)，這個方程總有兩個不相等實數(shù)根.

【答案】見解析

【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式的意義計算證明即可.

【詳解】證明：△=b2-4ac=(2n)2-4x2x(m-l)=4m2-8m+8=4(m-l)2+4,

V4(TH-1)2>0,

/.4(m-I)2+4>0,即△>(),

,不論m為什么實數(shù)，這個方程總有兩個不相等的實數(shù)根.

【點睛】本題主要考查根的判別式，一元二次方程爾+bx+c=()(.#))的根與/=〃-4ac有如下關(guān)系：①

當(dāng)1>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；②當(dāng)4=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；③當(dāng)/V。時，方程無

實數(shù)根.

【變式4-2](2023春?九年級課時練習(xí))已知關(guān)于x的一元二次方程/-3x+2=7n(x-1).

(1)求證：方程總有兩個實數(shù)根；

(2)若方程兩個根的差是2,求實數(shù)m的值.

【答案】(I)見詳解

(2)1或一3

【分析】(1)將方程化為一般形式，計算判別式即可；

(2)由因式分解法求出方程的解，根據(jù)兩個根的差是2方程即可求出川.

(I)證明:x2-(m+3)x4-m+2=0,VA=(m+3)2-4(m+2)=(m+l/K),?,?方程總有兩個實數(shù)根;

2

(2)解:x—(m+3)x+m+2=0,(x-1)(x-w-2)=0,.*.x/=l?X2=m+2f;方程兩個恨的差是2,

，若m+2—1=2,則m=1；若1—(TH+2)=2,則m=-3.，實數(shù)m的值為1或—3.

【點睛】此題考查了一元二次方程根的判別式得到方程的根的情況，解一元二次方程，正確掌握一元二次方

程的知識是解題的關(guān)鍵.

【變式4-3](2023春?九年級課時練習(xí))已知關(guān)于k的一元二次方程，-(w-2)x+2m-8=0.

(1)求證：方程總有兩個實數(shù)根.

(2)若方程有一個根是負(fù)整數(shù)，求正整數(shù)機(jī)的值.

【答案】(1)見解析

(2)1或2或3

【分折】(1)先計算根的判別式的值得到△=(，〃-6)2X)，然后根據(jù)根的判別式的意義得到結(jié)論；

(2)利用求根公式得到x/=〃?4&=2,則加4V0,從而得到正整數(shù)〃?的值.

【詳解】(1)解：證明：?.,△=(m-2)2-4(2/n-8)

=nr-12〃?+36

=(w-6)2>0,

???方程總有兩個實數(shù)根；

/c、-b±\b^4acm-2±|m-6|

(2)X=----2-a---=-----2----,

尸，"-4,X2=2,

???方程有一個根是負(fù)整數(shù)，

，〃卜4V0,

???正整數(shù)m的值為1或2或3.

【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程(〃卻)的根與A=/-4ac有如下關(guān)系：當(dāng)△>()

時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)A=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△<()時，方程無實數(shù)根.

【題型5應(yīng)用根的判別式求代數(shù)式的取值范圍】

【例5】(2023春?浙江溫州?九年級?？计谥?已知關(guān)于”的一元二次方程/-2%+3m=0有實數(shù)根，設(shè)此

方程的一個實數(shù)根為t,令y=戶-2t+4m+1,則y的取值范圍為.

【答案】yW4

【分析】由一元二次方程根的判別式先求解m03,根據(jù)一元二次方程的解的定義得出F—2t=3m代入代

數(shù)式，進(jìn)而即可求解.

【詳解】解：關(guān)于x的一元二次方程%2-2%+3m=0有實數(shù)根，

b2-4ac=4-127n>0,

解得：m<3,

設(shè)此方程的一個實數(shù)根為3

t2-2t=-3m

???y=t2-2t+4m+1

=-3m+4m+1

=n+1

vm<3

???7714-1<4即y<4

故答案為：y<4.

【點睛】本題考查的是一元二次方程根的判別式，一元二次方程的解的定義，不等式的性質(zhì)，熟練的運用一

元二次方程根的判別式是解本題的關(guān)鍵.

【變式5-1］（2023春?安徽合肥?九年級統(tǒng)考期中）關(guān)于x的一元二次方程32+/?%+<?=0（。手0）有兩個相

等的實數(shù)根稱則下列關(guān)于2ax0+b的值判斷正確的是（）

A.2ax0+b>0B.2ax0+b=0C.2axQ+b<0D.2ax0+b<0

【答案】B

【分析】根據(jù)方程有兩個相等的實數(shù)根，得到根的判別式等于0,表示出這個根，即可得到結(jié)論.

【詳解】解：?.?關(guān)于》的一元二次方程a/+取+。=0有兩個相等的實數(shù)根.，

二2且&=—,

b-4ac=0,u2a

則2a%o+b=2a-^+b=—b+b=0.

【點睛】此題考查了根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式的意義是解本題的關(guān)鍵.

【變式5-21（2023春?浙江寧波?九年級統(tǒng)考期末）已知實數(shù)m,九滿足tn?一小"+九2=3,設(shè)p=+小〃一九2,

則P的最大值為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【分析】由原式得，P=2m2-3.將7九2—771九+九2=3看成關(guān)于71的一元二次方程，根據(jù)方程有實數(shù)解，所

以2=7712-4（血2一3）20,可得根2W4,進(jìn)而得出結(jié)論.

【詳解】解?：將兩個等式相加得：P+3=2m2,則P=2m2-3.

要求P的最大值，只需求出m2的最大值.

將仇2-mn+足=3看成關(guān)于"的一元二次方程，整理得：n2-mn+m2-3=0.

根據(jù)方程有實數(shù)解，所以A=n?一4（^2-3）NO.

可得62工%即m2的最大值為4.

所以當(dāng)m2=4時，P的最大值為5.

故選:C

【點睛】本題考查等式性質(zhì)，一元二次方程根的判別式，將含有多個參數(shù)的等式理解為含參數(shù)的一元二次方

程，從而運用方程的知識解決問題是解題的關(guān)鍵.

【變式5-3]（2023春?浙江杭州?九年級校考期中）已知關(guān)于x的一元二次方程/-2x+m=。有兩個不相

等的實數(shù)根，設(shè)此方程的一個實數(shù)根為〃，令y=4/一8匕+3m+2,則（）

A.y>1B.y>1C.y<1D.y<1

【答案】D

【分析】先根據(jù)一元二次方程根的判別式得到mVI，再根據(jù)一元二次方程解的定義求出4力2-86=-4血，

進(jìn)而推出〉=-爪+2,由此求解即可.

【詳解】解：???關(guān)于x的一元二次方程/-2x+771=0有兩個不相等的實數(shù)根，

:.N=（一27—4m>0,

An<1,

???此方程的一個實數(shù)根為從

Afc2—2b+m=0>

.\b2—2b=—m,

4/）2—8b=-4m,

.*.>?=4b2—8b+37n+2=-4m+3m4-2=-m+2,

*.*m<1,即—m>—1

/.>■=-m4-2>1,

故選A.

【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式和一元二次方程解的定義，對于一元二次方程a/+以+

C=O(QWO),若△=/??一4ac>0,則方程有兩個不相等的實數(shù)根，若A=Z?2-4ac=0,則方程有兩個相

等的實數(shù)根，若A=川-4ac<0,則方程沒有實數(shù)根.

【題型6根的判別式與不等式、分式、函數(shù)等知識的綜合】

3x+8,

【例6】(2()23春.重慶北陪.九年級西南大學(xué)附中?？计谥?若關(guān)于x的一元一次不等式組--X+6

3x+a>4x—5

的解集為％W4,關(guān)于x的一元二次方程(a—l)/+3x+l=0有實數(shù)根，則所有滿足條件的整數(shù)”的值之

和是-

【答案】5

【分析】先求出不等式組中不等式的解集，根據(jù)不等式組的解集求出Q的范圍，再根據(jù)根的判別式得出A>0,

求出Q的范圍，最后取符合條件的整數(shù)a即可.

【詳解】解：解不等式手工”+6得：x<4,

解不等式3%+a>4x—5得：x<a+5,

3%+8,

--X+6的解集為“44,

{3%4-a>4x—5

???a+5>4,解得a>—l,

???關(guān)于A-的一元二次方程(a-l)x2+3x+1=0有實數(shù)根，

??"=32-4(a-1)>0,a-140,

解得QW?且QH1,

綜上所述，-1<Q43；且Q*1,

4

???所有滿足條件的整數(shù)。的值是0、2、3,

，所有滿足條件的整數(shù)。的值之和是0+2+3=5,

故答案為：5.

【點睛】本題考查了解一元一次不等式組和根的判別式，能求出2的取值范圍是解此題的關(guān)鍵，特別注意a工

1.

【變式6-1)(2023春?安徽安慶?九年級安慶市第四中學(xué)?？计谀?若關(guān)于x的一元二次方程/+2x+依+1=

0有兩個不相等的實數(shù)根，則一次函數(shù)y=k%+b的大致圖象可能是()

【分析】利用判別式的意義得到A=22-4(kb+1)>0,則kb<0,然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)對各選項進(jìn)行

判斷.

【詳解】解：???關(guān)于工的一元二次方程二十2k+kb+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，

/.△=22-4(/cb+l)>0,

：?kb<0,

當(dāng)A>0,匕V0時，一次函數(shù)經(jīng)過第一、三、四象限；

當(dāng)AVO,b>0時，一次函數(shù)經(jīng)過第一、二、四象限.

【點睛】本題主要考杳了一元二次函數(shù)根的判別式，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握A=》2-

4ac>0,則方程有兩根不相等的實數(shù)根;A=爐_dac=0,則方程有兩根相等的實數(shù)根;=b2-4ac<0,

則方程有沒有實數(shù)根.

【變式6-2](2023春?九年級課時練習(xí))要使關(guān)于x的一元二次方程a/+2%-1=0有兩個實數(shù)根，且使

關(guān)于x的分式方程2+產(chǎn)=2的解為非負(fù)數(shù)的所有整數(shù)a的個數(shù)為()

X-44-X

A.5個B.6個C.7個D.8個

【答案】B

2

【分析】根據(jù)一元二次方程根的情況得到Q*0且d=2-4a.(-l)>0解得：a>一1且Q00,再把分式方

程化簡求值得：x=—a+6,因為解為非負(fù)數(shù)，—a+620且一a+6,4即a<6且aH2,所以一1<a<6

且aH0,aH2,即可得出滿足題意的整數(shù)解.

【詳解】解:關(guān)于x的一元二次方程ax?+2x-l=0有兩個實數(shù)根

則U=22-4a-(-l)?0

:.a>一1且aH0

關(guān)于x的分式方程上+f=2

x-44-x

去分母得：x-(a+2)=2(x-4)

解得：x=-a+6

???分式方程的解為非負(fù)數(shù)

:.-a+6>0且—Q+6W4即a<6且。H2

-1<a<6且a羊0,a不2

???滿足題意的整數(shù)a的值為-1,134,5,6

故答案為：B.

【點睛】本題考查一元二次方程根的情況、分式方程的解，注意二次項系數(shù)不為0及分式方程的解要有意義,

這是此題的易錯點.

【變式6-3】(2023?湖北武漢?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知a,8為正整數(shù)，且滿足丁喂=白，則a+b的值為()

a'+Qb+b'49

A.4B.10C.12D.16

【答案】D

【分析】將已知方程整理為一元二次方程，結(jié)合方程根的情況，得出k的取值范圍，再代入方程即可求解.

22

【詳解】解：。2魯"=.變形得，49(a+/))=4(a+ab+by

Ta,b為正整數(shù),

???存在正整數(shù)匕使得a+b=4k①，

?'?a2+ab+〃=49k,即(Q+b]2-ab=49k,

:.ab=(a+b)2-49k=16k2-49攵②，

設(shè)a,b關(guān)于％的方程為公一4依+(16d—49k)=(X^,方程有兩個正整數(shù)解，

：,0=16k2-4(16/C2-49k)>0,

???"k或，

?