專(zhuān)題5.2簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱(chēng)圖形【七大題型】

【北師大版】

型

題

?利用線段垂宜平分線的性質(zhì)求解】.......................................................1

型

題

2利用角平分線的性質(zhì)求解】..............................................................2

型

題

3尺規(guī)作垂直平分線】....................................................................3

型

題

4尺規(guī)作角平分線】......................................................................4

型

題

利用等腰三角形的性質(zhì)求解】...........................................................

型55

題

型尺規(guī)作等腰三角形】....................................................................

題66

7直線上與已知兩點(diǎn)組成等腰三角形的點(diǎn)】.................................................7

【知識(shí)點(diǎn)1線段垂直平分線的性質(zhì)】

線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等,反過(guò)來(lái)，與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離

相等的點(diǎn)，在這

條線段的垂直平分線上.

【題型1利用線段垂直平分線的性質(zhì)求解】

【例1】（2022春?山東耀博?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABC。中，AC垂直平分BD,

垂足為￡下列結(jié)論不一定成立的是（）

A.B.4c平分汕C。

C.AB=BDD.^BEC^DEC

【變式1-1］（2022秋?江蘇南通?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在448。中，乙B=55。，Z.C=30°,

分別以點(diǎn)4和點(diǎn)C為圓心，大于;4C的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩孤相交于點(diǎn)M,N,作直線MN,交BC

于點(diǎn)D,連接4D,則4的度數(shù)為（）

A.65°B.60°C.55°D.45°

【變式1-2］（2022秋?山東泰安?七年級(jí)?？计谀┤鐖D，在△48C中，BC=8cm,的中

垂線交于E,AC的中垂線交8c于G,則△AGE的周長(zhǎng)等于

【變式1-3](2022秋?湖北荊門(mén)?八年級(jí)?？计谥?如圖，AABC中，。、E在48上，且。、

E分別是AC、8c的垂直平分線上一點(diǎn).

(1)若△(?￡)￡的周長(zhǎng)為4,求A8的長(zhǎng)：

(2)若財(cái)C8=100。，求(3OCE的度數(shù)；

(3)若(MCB=〃(90°<?<180°),則團(tuán)DC/.

【知識(shí)點(diǎn)2角平分線的性質(zhì)】

角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.

用符號(hào)語(yǔ)言表示角的平分線的性質(zhì)定理：

若CD平分NADB,點(diǎn)P是CD上一點(diǎn)，且PE_LAD于點(diǎn)E,PFJ_BD于點(diǎn)F,則PE

=PF.

【題型2利用角平分線的性質(zhì)求解】

【例2】(2022秋?天津河?xùn)|?八年級(jí)校考期中)如圖，。戶(hù)平分4/1。8,PA1OA,PBLOB,垂

足分別為A,B,下列結(jié)論中不一定成立的是()

A.PA-PBB.PO^^AAPBC.OA-OBD.垂直平4>OP

【變式2-1](2022秋?四川自貢?八年級(jí)校考期中)如圖，AABC的三邊AB、BC、CA長(zhǎng)分別

是20、30、40,其三條角平分線將AABC分為三個(gè)三角形，則SZkAB。：SABCO：S^CAO等于多

少？

B

【變式2-2］（2022秋?河南周口?八年級(jí)校考期中）如圖，AD//BC,乙48。的角平分線BP與

的角平分線4P相交于點(diǎn)P,作PE14B于點(diǎn)E.若PE=9,則兩平行線AD與BC間的距

離為.

【變式2-3］（2022秋?北京?八年級(jí)校考期中）如圖，在&△ABC中，zC=90°,AD^ABAC

的平分線，CD=2,若△A8D的面積為5,求的長(zhǎng).

【題型3尺規(guī)作垂直平分線】

【例3】（2022秋?廣西南寧?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖△ABC.

⑴尺規(guī)作圖8C邊上的中線49；

（2）如果AB=5,AC=8,求A4CO與A480的周長(zhǎng)之差；

⑶直接寫(xiě)出A4BC與A4CD的面積之間的大小關(guān)系.

【變式3?1】（2022秋?福建廈門(mén)?八年級(jí)廈門(mén)市第九中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知線段48和點(diǎn)

￡且線段A8和線段EF關(guān)于直線C。對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是點(diǎn)E.

（0）用尺規(guī)作圖畫(huà)出直線CD：

（0）畫(huà)出點(diǎn)F.

【變式3-2］（2022春?廣東深圳?七年級(jí)?？计谀┌聪铝幸笞鲌D.

（1）尺規(guī)作圖：如圖1,已知直線及其兩側(cè)兩點(diǎn)小B,在直線/上求一點(diǎn)P,使A、8到P

距離相等.

（2）在5x5的方格圖2中畫(huà)出兩個(gè)不全等的腰長(zhǎng)為5的等腰三角形，使它的三個(gè)頂點(diǎn)都在

格點(diǎn)上.

【變式3-3］（2022?陜西西安??？级＃┤鐖D，已知△ABC,請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在AC邊上

求作一點(diǎn)D,使得（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）

【知識(shí)點(diǎn)1角平分線的作法】

①以O(shè)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交OA于D,交OB于E.

②分別以D、E為圓心，大于;DE的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在NAOB內(nèi)部交于點(diǎn)C.

③畫(huà)射線OC.即射線OC即為所求.

【題型4尺規(guī)作角平分線】

【例4】（2022春?陜西西安?七年級(jí)校考期末）如圖，已知線段。及團(tuán)a.用直尺和圓規(guī)，求

作使8c=〃，0fi=0a,回。=如（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；

【變式4-1]（2022春?山西?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖,AD//BC,IE平分乙4BC.

（1）尺規(guī)作圖：作的平分線交BE于點(diǎn)F：

（2）在（1）的條件下，ZL4BF按角分類(lèi)時(shí)，它是什么三角形，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式4-2]（2022秋?河北唐山?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知C、D是兩個(gè)村莊，OA、

OB為兩條公路，現(xiàn)計(jì)劃修建?個(gè)客運(yùn)站P,使它到兩個(gè)村莊的距離相等，且到兩條公路的

距離也相等，你能確定P點(diǎn)的位置嗎？請(qǐng)?jiān)趫D中用尺規(guī)表到P的位置.

【變式4-3]（2022?全國(guó)?八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，已知AABC.

（1）尺規(guī)作圖：作團(tuán)BAC的角平分線交BC于點(diǎn)D,作團(tuán)ABC的角平分線交AC于點(diǎn)E,且AD、

BE交于點(diǎn)0（保留作圖痕跡）

（2）連接OC,若AB=6,BC=4>AC=8,求SAAB0：SA4CO：SABC。的比值.

【題型5利用等腰三角形的性質(zhì)求解】

【例5】（2022秋?山東德州?八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知乙40B=45。，其內(nèi)部有一點(diǎn)P,它關(guān)于

OA,08的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為M,N,則AMON是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形

【變式5-11（2022秋?安徽合肥?八年級(jí)校考期末）一個(gè)等腰三角形的邊長(zhǎng)分別是4cm和7cm,

則它的周長(zhǎng)是.

【變式5-2]（2022春?全國(guó)?八年級(jí)期中）如圖，在等邊△A8C中48=2,80是4。邊上的

高，延長(zhǎng)8C至點(diǎn)E,使CE=CD,則BE的長(zhǎng)為.

【變式5-3】（2022春?全國(guó)?八年級(jí)期中）如圖，中，AB=AC,4B的垂直

平分線0E分別交4C、.48于點(diǎn)D、E.

（1）若/4=S0。，求/CRO的度數(shù)：

（2）若AB=7,BC的長(zhǎng)為5,求△CBO的周長(zhǎng).

【題型6尺規(guī)作等腰三角形】

【例6】（2022秋?江蘇宿遷?八年級(jí)南師附中宿遷分校校考期中）已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別

為4、4、6,在△ABC所在平面內(nèi)畫(huà)一條直線，將△48C分割成兩個(gè)三角形，使其中的一個(gè)

是等腰三角形，則這樣的直線最多可畫(huà)條.

【變式6?1】（2022秋?廣東廣州?八年級(jí)統(tǒng)考期末）己知等腰三角形底邊長(zhǎng)為a,底邊上的高

的長(zhǎng)為九，求作這個(gè)等腰三角形.（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）

ah

?________________??____________________?

【變式6-2］（2012秋?浙江杭州?八年級(jí)統(tǒng)考期中）（1）已知角a和線段c如圖所示，求作等腰

三角形A8C,使其底角配=a，腰長(zhǎng)AB="c,“要求僅用直尺和圓規(guī)作圖，并保留作圖痕跡.（不寫(xiě)

作法）

⑵若a=45%c=2,求此三角形ABC的面積.

【變式6-3］（2022秋?江蘇南京?八年級(jí)南京市第二十九中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，已知線段

。，h，用直尺和圓規(guī)按下列要求分別作一?個(gè)?等腰三角形A4C（保留作圖痕跡，寫(xiě)出必要的文

字說(shuō)明）.

（1）0ABC的底邊長(zhǎng)為a,底邊上的高為h；

⑵的WC的腰長(zhǎng)為小腰上的高為/?.

【題型7直線上與已知兩點(diǎn)組成等腰三角形的點(diǎn)】

【例7】（2022秋,廣西百色?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在3x3的網(wǎng)格中，每個(gè)網(wǎng)格線的交點(diǎn)

稱(chēng)為格點(diǎn).已知圖中A,8兩個(gè)格點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D中再尋找另一個(gè)格點(diǎn)C,使△A8C成為等腰三角

形，則滿足條件的點(diǎn)C有（）個(gè).

A.6B.8C.10D.12

【變式7-1］（2022秋?廣西百色?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖.在△ABC中,LABC=70°,Z.BAC=

40。.點(diǎn)P為直線CB上一動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)P與△48。三個(gè)頂點(diǎn)中的兩個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)造成等腰三角形，

那么滿足條件的點(diǎn)。的位置有（）

A.4個(gè)B.6個(gè)C.8個(gè)D.9個(gè)

【變式7-2］（2022秋?廣西百色?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知A/1BC中，^ACB=90°,r/l=

A.2個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.7個(gè)

專(zhuān)題5.2簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱(chēng)圖形【七大題型】

【北師大版】

【撅型?利用線段垂直平分線的性質(zhì)求解】.......................................................1

【題型2利用角平分線的性質(zhì)求解】..............................................................2

【題型3尺規(guī)作垂直平分線】....................................................................3

【題型4尺規(guī)作角平分線】......................................................................4

【題型5利用等腰三角形的性質(zhì)求解】...........................................................5

【題型6尺規(guī)作等腰三角形】....................................................................6

【題型7直線上與已知兩點(diǎn)組成等腰三角形的點(diǎn)】................................................7

??￥一義三

【知識(shí)點(diǎn)1線段垂直平分線的性質(zhì)】

線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等,反過(guò)來(lái)，與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離

相等的點(diǎn)，在這

條線段的垂直平分線上.

【題型1利用線段垂直平分線的性質(zhì)求解】

【例1】（2022春?山東曜博?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD中，AC垂直平分

垂足為￡下列結(jié)論不一定成立的是（）

A.AB^ADB.AC平分13BC。

C.AI3=BDD.^BEC^DEC

【答案】A

【詳解】解：0AC垂直平分BD,

BC=CD,故A成立，

IMC平分團(tuán)SCO,BE=DE.故B成立，

在RrHBCE和&0OCE中，

⑦BE=DE,BC=DC,

^Rt^BCE^Rt^DCE（HL）.故D成立，

沒(méi)有可證明的條件，故C不一定成立，

【變式1-1]（2022秋?江蘇南通?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，夕=55。，ZC=30。,

分別以點(diǎn)力和點(diǎn)C為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)M,N,作直線MN,交BC

于點(diǎn)連接4D,貝吐84D的度數(shù)為（）

A.65°B.60°C.55°D.45°

【答案】D

【分析】根據(jù)內(nèi)角和定理求得484c=95°,由中垂線性質(zhì)知D4=DC,即4MC=Z.C=30°,

從而得出答案.

【詳解】解：在中，0ZS=55°,ZC=30°,

^BAC=180°一乙B—4：=95°,

由作圖可知MN為月C的中垂線，

團(tuán)04=DC,

^/.DAC=ZC=30°,

^Z.BAD=Z.BAC-Z-DAC=65%

【點(diǎn)睛】本題主要考查作圖一基本作圖，熟練掌握中垂線的作圖和性質(zhì)以及等邊對(duì)等角是解

題的關(guān)鍵.

【變式1-2］（2022秋?山東泰安?七年級(jí)?？计谀┤鐖D,在△ABC中,BC=8cm,A3的中

垂線交BC于EAC的中垂線交于G,則△AGE的周長(zhǎng)等于.

【答案】8

【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可得：EA=EB,GA=GC,再根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式

計(jì)算即可.

【詳解】解：由AB的中垂線交8C于石，AC的中垂線交BC于G,

（3E4=EB,GA=GCt

則刖GE的周長(zhǎng)

=EA+GA+EG=EB+GC+EG

=BC=8,

故答案是：8.

【點(diǎn)睛】本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握線段的垂直平分線

的性質(zhì).

【變式1-3](2022秋?湖北荊門(mén)?八年級(jí)校考期中)如圖，。、E在A8上，且。、

E分別是AC、的垂直平分線上一點(diǎn).

(1)若△CDE的周長(zhǎng)為4,求人B的長(zhǎng)；

(2)若tMCB=100°,求閉DCE的度數(shù)；

(3)若幽C8=o(90°<?<180°),則(3OCE=.

【答案】(1)4：(2)20°；(3)2?-180°.

【分析】(1)根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到QC=OA,EC=EB,根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式

計(jì)算即可：

(2)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出酎+勖的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出鼠兄4+團(tuán)EC3,

根據(jù)題意計(jì)算即可；

(3)根據(jù)(2)的方法解答.

【詳解】(1)回￡分別是AC、8c的垂直平分線上一點(diǎn)，

團(tuán)。C=D4,EC=EB,

00CDE的周長(zhǎng)=。。。日EC=4,

WA+DE+EB=4,

即AZ?的長(zhǎng)為4：

(2)0(?L4CB=1OOO,

004+05=80°,

團(tuán)。C=DA,

00DC4=(M,

?EC=EB,

團(tuán)團(tuán)。CA+團(tuán)EC4=80°,

00DCE=1OOO-8OO=2O°；

(3)豳ACB=a,

004+0^=180°-?,

團(tuán)。C=D4,

0SDC4=SA,

⑦EC二EB,

^WCA+^ECB=180°-a,

00DCE=a-18Oo+6c=2a-18O0.

故答案為:26（-180°.

【知識(shí)點(diǎn)2角平分線的性質(zhì)】

角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.

用符號(hào)語(yǔ)言表示角的平分線的性質(zhì)定理：

若CD平分NADB,點(diǎn)P是CD上一點(diǎn)，且PEJ_AD于點(diǎn)E,PF_LBD于點(diǎn)F,則PE

=PF.

【題型2利用角平分線的性質(zhì)求解】

【例2】（2022秋?天津河?xùn)|?八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，0P平分44。8,PA1OA,PBA.OB,垂

足分別為A,B,下列結(jié)論中不一定成立的是（）

A.PA=PBB.P。平分N/P8C.OA=OBD.48垂直平分OP

【答案】D

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，垂直平分線的判定和三角形全等的判定和性質(zhì)逐項(xiàng)進(jìn)行判定

即可.

【詳解】解：對(duì)A、B、C選項(xiàng)，回0P平分PAWA,PBWB,

^\PA=PB,

團(tuán)在R3P4O和RQPB0中二:",

團(tuán)RtAOPAwRtAOPB,

^Z.APO=/.BPO,OA=OB.

（3P0平分故A、B、（:正確，不符合題意；

D.國(guó)PA=PB,OA=OB,

回OP垂直平分力8,但48不一定垂直平分OP,故D錯(cuò)誤，符合題意.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，垂直平分線的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，

根據(jù)題意證明RtAOPBRtAOPB,是解題的關(guān)鍵.

【變式2-1］（2022秋?四川自貢?八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，AABC的三邊AB、BC、CA長(zhǎng)分別

是20、30、40,其三條角平分線將2XABC分為三個(gè)三角形，則S^ABO：SABCO：S^CAO等于多

少？

【答案】2:3:4

【分析】由角平分線的性質(zhì)可得，點(diǎn)。到三角形三邊的距離相等，即三個(gè)三角形的AB、BC、

CA的高相等，利用面積公式即可求解.

【詳解】過(guò)點(diǎn)。作0D回AC于D,OE0AB于E,OF團(tuán)BC于F,

00是三角形三條角平分線的交點(diǎn),

0OD=OE=OF,

團(tuán)AB=20,BC=30,AC=40,

BSAABO：SABCO：SACAO=AB:BC:AC=2：3：4.

故答案為：2：3：4.

【點(diǎn)睛】此題主要考查角平分線的性質(zhì)和三角形面積的求法，難度不大，作輔助線很關(guān)鍵.

【變式2-2］（2022秋?河南周口?八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，AD//BC,N/BC的角平分線BP與

△BAD的角平分線力P相交于點(diǎn)P,作PE14B于點(diǎn)E.若PE=9,則兩平行線4）與8c間的距

離為?

AD

【答案】18；

【分析】過(guò)點(diǎn)尸作根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)即可得出PM=PE=2,

PE=PN=2,即可得出答案.

【詳解】過(guò)點(diǎn)P作MA也4D

^AD^BC,的角平分線BP與（3B4O的角平分線AP相交于點(diǎn)P,2國(guó)48于點(diǎn)E

E1AP團(tuán)6尸，PMhBC

二止9,PE=PN=9

團(tuán)MN=9+9=18

故答案為18.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了龜平分線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線是解決問(wèn)

題的關(guān)鍵.

【變式2-3］（2022秋?北京?八年級(jí)校考期中）如圖，在山△48c中，ZC=90°,AD是，B4C

的平分線，CD=2,若AABD的面積為5,求4B的長(zhǎng).

【答案】5

【分析】過(guò)點(diǎn)。作DE14B,垂足為E,利用角平分線的性質(zhì)可得DE=DC=2,然后利用

三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)。作0E_L48,垂足為E,

???4。是4B4C的平分線，DELAB,DC1.AC,

二DE=DC=2,

???△48。的面積為5,

.'.-ABDE=5,

2

???AB=5,

???AB的長(zhǎng)為5.

【點(diǎn)睛】本題考杳了角平分線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是

解題的關(guān)鍵.

【題型3尺規(guī)作垂直平分線】

【例3】（2022秋?廣西南寧?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖△4BC.

⑴尺規(guī)作圖邊上的中線4D；

⑵如果A8=5,AC=8,求A4CD與△48。的周長(zhǎng)之差;

⑶直接寫(xiě)出A718C與AACD的面枳之間的大小關(guān)系.

【答案】（1）見(jiàn)詳解;

(2)3

⑶SAA8c=2sAACC

【分析】（1）先作BC的垂直平分線找到。點(diǎn)，連接4。即可;

（2）根據(jù)中線得到8。=CD,直接用兩周長(zhǎng)作差即可得到答案;

（3）根據(jù)中線性質(zhì)即可得到答案.

【詳解】（1）解：根據(jù)題意分別以48為圓心大于gsc為半徑畫(huà)圓弧交于兩側(cè)各一點(diǎn),

連接兩點(diǎn)交BC于一點(diǎn)即為中點(diǎn)。，連接40如圖所示，

（2）解：回力。是8c邊上的中線,

團(tuán)80=CD,

CAACD-CRABD=4c+40+CD—AB—AD-BD=AC—AB?

團(tuán)AB=5,AC=8?

團(tuán)。AACD—C&ABD=8-5=3

（3）解：由題意可得，

團(tuán)4。是BC邊上的中線,

團(tuán)8c=2S&ACD?

【點(diǎn)睛】本題考查三角形中線作法及三角形中線的性質(zhì)，三角形中線分得線段相等及面積相

等的兩個(gè)三角形.

【變式3-1］（2022秋?福建廈門(mén)?八年級(jí)廈門(mén)市第九中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知線段和點(diǎn)

E且線段人8和線段石尸關(guān)于直線CQ對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)八的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是點(diǎn)E.

.E

B

（團(tuán)）用尺規(guī)作圖畫(huà)出直線CQ；

（0）畫(huà)出點(diǎn)E

【答案】（加詳見(jiàn)解析；（II）詳見(jiàn)解析.

【分析】（團(tuán)）連接AE,作出AE的垂直平分線即可:

（團(tuán)）作出B點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F即可.

（0）如圖所示：連接AE,作出AE的垂直平分線CD,

直線CD即為所求：

（回）如圖所示：過(guò)B點(diǎn)作關(guān)于直線CD的垂線B0并延長(zhǎng)，并在延長(zhǎng)線上截取BO=FO,則點(diǎn)

F即為所求.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了作圖與軸對(duì)稱(chēng)變換，根據(jù)已知王確找出圖形變化特點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

【變式3-2］（2022春?廣東深圳?七年級(jí)?？计谀┌聪铝幸笞鲌D.

（1）尺規(guī)作圖：如圖1,已知直線及其兩側(cè)兩點(diǎn)A、B,在直線/上求一點(diǎn)P,使4、8至UP

距離相等.

（2）在5x5的方格圖2中畫(huà)出兩個(gè)不全等的腰長(zhǎng)為5的等腰三角形，使它的三個(gè)頂點(diǎn)都在

格點(diǎn)上.

B.

圖1圖2

【答案】見(jiàn)解析

【分析】（1）連接A&線段中垂線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，作4B的中垂線與

直線/的交點(diǎn)就是點(diǎn)P;

⑵第一個(gè)三角形為等腰直角三角形，腰長(zhǎng)就是五個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)；直角邊分別為3前4

的直角三角形的斜邊作為第二個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng).

【詳解】解：（1）如圖所示:

R

點(diǎn)。就是所求的點(diǎn);

M8C和團(tuán)及是滿足條件的三角形.

【變式3-3］（2022?陜西西安??？级＃┤鐖D，已知請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在AC邊上

求作一點(diǎn)使得SMBD=SA8CD-（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）

B

C

【答案】見(jiàn)解析

【分析】根據(jù)SAABD=S“CD，可以得到。點(diǎn)為力C的中點(diǎn)，則作AC的垂直平分線與4c的交

點(diǎn)即為。點(diǎn).

【詳解】解：如圖，點(diǎn)。為所求作的點(diǎn).

【點(diǎn)睛】本題考查了作線段的垂直平分線，熟知三角形的中線可將三角形面積等分是解題的

關(guān)鍵.

【知識(shí)點(diǎn)1角平分線的作法】

①以。為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交OA于D,交0B于E.

②分別以D、E為圓心，大于;DE的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在NAOB內(nèi)部交于點(diǎn)C.

③畫(huà)射線OC.即射線OC即為所求.

【題型4尺規(guī)作角平分線】

【例4】（2022春?陜西西安?七年級(jí)?？计谀┤鐖D，已知線段。及團(tuán)a.用直尺和圓規(guī)，求

作財(cái)8C,使朋=（3a,團(tuán)。=扣。（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；

【答案】見(jiàn)解析

【分析】先作國(guó)a的平分線得到T4戊，作射線3M，在射線上截取在4C上方作

團(tuán)團(tuán)7cBm4a,射線CT交4N于點(diǎn)A,即可作出財(cái)AC.

【詳解】解：如圖,0ABC即為所求作.

【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，涉及尺規(guī)作圖-作角平分線、作一個(gè)角等于已知角、作線

段，屬于中考?？碱}型，熟練掌握五種基本作圖是解答的關(guān)鍵.

【變式4-1]（2022春?山西?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，AD//BC,BE平分

（1）尺規(guī)作圖：作乙8力。的平分線交BEf?點(diǎn)心

（2）在（1）的條件下，按角分類(lèi)時(shí)，它是什么三角形，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）圖見(jiàn)解析；（2）直角三角形，證明見(jiàn)解析.

【分析】（1）根據(jù)角平分線的做法作圖即可；

（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)證明〃98=90。即可得到結(jié)論.

【詳解】解：（1）如圖所示，力廠即為所求

（2）ZL4BF按角分類(lèi)時(shí)，它是直角三角形.

理由如下：

團(tuán)BE,力F分別為乙4BC和4BAD的平分2以

^Z-ABE=^/-ABC,乙BAF=g4BAD.

^AD//BC,

0Z/1FC4-Z-BAD=180°.

^Z-ABE+Z.BAF=90°.

在AA8F4IZ.AFB=180°-（Z.ABF+乙BAF）=90°.

或M8F是直角三角形.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了復(fù)雜作圖，以及平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是靈活運(yùn)用

它們的性質(zhì)解決問(wèn)題.

【變式4-2]（2022秋?河北唐山?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知式D是兩個(gè)村莊,OA、

OB為兩條公路，現(xiàn)計(jì)劃修建一個(gè)客運(yùn)站P,使它到兩個(gè)村莊的距離相等，且到兩條公路的

距離也相等，你能確定P點(diǎn)的位置嗎？請(qǐng)?jiān)趫D中用尺規(guī)技到P的位置.

【答案】答案見(jiàn)解析

【分析】先連接CD,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)作出線段CD的垂直平分線MN,再作出“OB

的平分線OF,MN與OF相交于P點(diǎn)，則點(diǎn)P即為所求點(diǎn).

【詳解】點(diǎn)P為線段CD的垂直平分線與0AOB的平分線的交點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)C、D的距離相

等，到AO、BO的距離也相等,

作圖如下：

【點(diǎn)睛】此題考查角平分線性質(zhì)與線段垂直平分線的性質(zhì)作圖，熟練地應(yīng)用角平分線的作法

以及線段垂直平分線作法是解決問(wèn)題的關(guān)犍.

【變式4-3]（2022?全國(guó)?八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，已知AABC.

（1）尺規(guī)作圖：作P1RAC的角平分線交RC于點(diǎn)D.作P1ABC的角平分線交AC于點(diǎn)乩且AD、

BE交于點(diǎn)0（保留作圖痕跡）

（2）連接。C,若AB=6,BC=4,AC=8,求

【答案】（1）見(jiàn)解析；12）3：2：4

【分析】（1）依據(jù)題干要求作出圖形即可；

（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得（3ABO中AB邊.上的高和0ACO中AC邊」二的高以及團(tuán)BCO中BC

邊上的吊j相等,從而得到S^ACO：S48C0的比值毋「AB：AC:BC.

【詳解】解：（1）如圖，即為所作圖形：

（2）回A0平分團(tuán)BAC,BE平分AABC,

130C平分團(tuán)ACB,

13點(diǎn)。到AB、BC和AC的距離相等,

即回ABO中AB邊上的高和回ACO中AC邊上的高以及回BCO中BC邊上的高相等,

團(tuán)AB=6,BC=4,AC=8,

團(tuán)SAAAQ：SA.CC：SA”C=AB：AC：BC=6：4：8=3：2：4.

【點(diǎn)睛】本題考杳了尺規(guī)作圖，角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到三

角形的高相等.

【題型5利用等腰三角形的性質(zhì)求解】

【例5】（2022秋?山東德州?八年級(jí)統(tǒng)考期中）己知乙403=45。，其內(nèi)部有一點(diǎn)P,它關(guān)于

OA,。8的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為M,N,則△MON是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形

【答案】D

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得OA垂直平分PM,08垂直平分PM繼而可得OM=O1ON,

4M04=zP0A,乙NOB=AP0B,根據(jù)等腰直角三角形的判定即可求解.

【詳解】回點(diǎn)P關(guān)于。4、。8的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別是M、N,

團(tuán)Q4垂直平分PM,08垂直平分

⑦OM=OP=ON,

^LMOA=Z.P0A,乙NOB=/LPOB,

團(tuán)匕MON=2/.A0B=2x45°=90。，

0AMON是等腰直角三角形

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的判定，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握軸對(duì)稱(chēng)的

性質(zhì).

【變式5-11（2022秋?安徽合肥?八年級(jí)?？计谀┮粋€(gè)等腰三角形的邊長(zhǎng)分別是4cm和7cm,

則它的周長(zhǎng)是.

【答案】15或18厘米

【分析】由等腰三角形的邊長(zhǎng)分別是4cm和7cm,故其三邊為4、4、7或4、7、7,分別

求出其周長(zhǎng)即可.

【詳解】團(tuán)一個(gè)等腰三角形的邊長(zhǎng)分別是4cm和7cm,

團(tuán)第三邊可能為4cm或7cm,

即三邊為4、4、7或4、7、7,

求得周長(zhǎng)分別為15cm,18cm,

故填15或18.

【點(diǎn)睛】此題主要考查等腰三角形的三邊關(guān)系，分情況討論是易錯(cuò)點(diǎn).

【變式5-2]（2022春?全國(guó)?八年級(jí)期中）如圖，在等邊中川？=2,BD足AC邊上的

高，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E,使CE=CD,則BE的長(zhǎng)為.

【分析】由等邊三角形的性質(zhì)可得4c=BC=AB=2,根據(jù)80是4c邊上的高線，可得AD=

CD,再由題中條件CE=CD,即可求得8E.

【詳解】解：團(tuán)是等邊三角形，

^AC=BC=AB=2,

團(tuán)BD是力C邊上的高線，

（3D為AC的中點(diǎn)，

回力。=CD=-AC,

2

[3CE=CD,

^CE=-AC=1,

2

團(tuán)BE=BC+CE=2+1=3.

故答案為：3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)

的能力，得到AD==4%。是正確解答本題的關(guān)鍵.

【變式5-3】（2022春?全國(guó)?八年級(jí)期中）如圖，△4BC中，AB=AC,48的垂直

平分線DE分別交AC、4B于點(diǎn)。、E.

C

D

(1)若乙4=50。，求4CBO的度數(shù);

(2)若/9=7,9C的長(zhǎng)為5,求的周長(zhǎng).

【答案】(1)15°

⑵12

【分析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NA8C=4C=65。，根據(jù)線段垂直平分

線的性質(zhì)得到求出4480的度數(shù)，計(jì)算即可；

(2)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和三角形的周長(zhǎng)公式II算即可.

【詳解】(1)解：???48=4。，44=50。，

Z.ABC=ZC=1x(180°-50°)=65°,

???DE垂直平分AB,

:.DA=DB,

:.Z.ABD=Z,A=50°,

乙CBD=(ABC-^ABD=15°；

(2)解：垂直平分AB,

:.DA=DB,

:.DB+DC=DA+DC=AC,

?:AB=AC=7,BC=5,

???△CBD周長(zhǎng)為12.

【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)、線段更直平分線的性質(zhì)，掌握等腰三

角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【題型6尺規(guī)作等腰三角形】

【例6】(2022秋?江蘇宿遷?八年級(jí)南師附中宿遷分校?？计谥?已知△48C的三邊長(zhǎng)分別

為4、4、6,在aAAC所在平面內(nèi)畫(huà)一條直線，將分割成兩個(gè)三角形，使其中的一個(gè)

是等腰三角形，則這樣的直線最多可畫(huà)條.

【答案】4

【分析】分別以從。為圓心，以從氏AC為半徑畫(huà)弧，作43、AC的垂直平分線，即可得

到答案.

【詳解】解：如圖所示：

當(dāng)AC=CDAB=BG,AF=CF,AE=8E時(shí)，都能得到符合題意的等腰三角形（AD,AE,AF,

AG分別為分割線）.

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三侑的性質(zhì).正確作圖是解決本題的關(guān)鍵.

【變式6-1］（2022秋?廣東廣州?八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知等腰三角形底邊長(zhǎng)為用底邊上的高

的長(zhǎng)為九，求作這個(gè)等腰三角形.（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）

?________a________??__________h__________?

【答案】見(jiàn)解析

【分析】根據(jù)題目要求畫(huà)出線段。、h,再畫(huà)酎8C,使A3=〃，的高為伍首先畫(huà)一條

射線，再畫(huà)垂線，然后截取高，再畫(huà)腰即可.

【詳解】如圖所示，

h

作圖：①畫(huà)射線A￡，在射線上截取

②作人B的垂直平分線，垂足為0,再截取C0=/?,

③再連接AC、CB,即為所求.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了復(fù)雜作圖，關(guān)鍵是掌握垂線的畫(huà)法，解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵是熟悉基

本兒何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.

【變式6-2］（2012秋?浙江杭州?八年級(jí)統(tǒng)考期中）（1）已知角a和線段c如圖所示，求作等腰

三角形力8C,使其底角配=a，腰長(zhǎng)AB=”c,”要求僅用直尺和圓規(guī)作圖，并保留作圖痕跡.（不寫(xiě)

作法）

⑵若a=45°,c=2,求此三角形ABC的面積.

【答案】（1）

Aa；

（2）2.

【詳解】試題分析：（1）可先作出2團(tuán)a的補(bǔ)角，即為等腰三角形的頂角，進(jìn)而作出腰，在

腰的同側(cè)作出頂角，在頂角的另一邊截取腰長(zhǎng)，連接BC即可；

（2）易得此三角形為等腰直角三角形，腰長(zhǎng)為2,利用面積公式可得三角形的面積.

考點(diǎn)：作圖一復(fù)雜作圖；三角形的面積；特殊角的三角函數(shù)值.

點(diǎn)評(píng)：得到頂角及度數(shù)是解決本題的關(guān)鍵.

【變式6-3］（2022秋?江蘇南京?八年級(jí)南京市第二十九中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，已知線段

a，h，用直尺和圓規(guī)按下列要求分別作：個(gè)等腰三角形ABC（保留作圖痕跡，寫(xiě)出必要的文

字說(shuō)明）.

⑴的底邊長(zhǎng)為底邊上的高為任

⑵的WC的腰長(zhǎng)為小腰上的高為/?.

【答案】⑴作圖及埋由見(jiàn)解析；

⑵作圖及理由見(jiàn)解析.

【分析】（1）首先作線段再作出3C的垂直平分線，然后截取高為〃，連接A3、

CA即可.

（2）首先作直線GH垂直于直線。七,垂足為F,再直線QE上取線段FC=h,然后AB=AC=ci,

連接A8、C8即可.

2.作線段BC的垂直平分線MN,最足為O,

3.在直線MN上取線段OA=h,

4.連接A8、AC,

的WC為所求作的三角形；

理由：???線段8C的垂直平分線是MN,OA=h,

AB=AC,（MAC的高為〃，

???加友?為等腰三角形，

BC=a,

2.在直線。七上取線段網(wǎng)＞/?,

3.以點(diǎn)C為圓心，。的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交直線G”于點(diǎn)4

4.以點(diǎn)A為圓心，。的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交射線A產(chǎn)于點(diǎn)8,

5.連接8。、AC,

為所求作的三角形；

理由：???48=AC=a,

??4M8C為等