遼寧省沈陽(yáng)市和平區(qū)四年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)第一單元《數(shù)的產(chǎn)生》知識(shí)點(diǎn)過(guò)關(guān)一、數(shù)的產(chǎn)生背景與早期計(jì)數(shù)需求在很久很久以前，人們的生活方式主要是打獵、放牧和采集。那時(shí)候雖然沒(méi)有我們現(xiàn)在使用的數(shù)字，但已經(jīng)有了計(jì)數(shù)的需要。比如獵人出去打獵時(shí)，要知道同伴來(lái)了多少人，帶了多少件武器；放牧的人早上把羊趕出去，晚上要確認(rèn)是不是所有羊都安全回來(lái)；農(nóng)民收獲糧食時(shí)，需要記錄一共收了多少袋谷物。這些日常生活中的實(shí)際問(wèn)題，讓人們逐漸意識(shí)到必須找到一種方法來(lái)表示物體的數(shù)量，數(shù)就這樣在生產(chǎn)勞動(dòng)中慢慢產(chǎn)生了。最初，人們還不會(huì)用數(shù)字來(lái)計(jì)數(shù)，只能通過(guò)比較物體的多少來(lái)判斷。比如他們看到兩群羊，只能說(shuō)“這一群和那一群一樣多”或者“這一群比那一群多”。但隨著生活越來(lái)越復(fù)雜，這種模糊的比較已經(jīng)不能滿足需求了。于是，人們開(kāi)始想辦法用具體的東西來(lái)記錄數(shù)量，這就是最早的計(jì)數(shù)方法。二、古代計(jì)數(shù)方法的發(fā)展歷程（一）實(shí)物計(jì)數(shù)法遠(yuǎn)古時(shí)期的人們最早使用身邊的自然物品來(lái)計(jì)數(shù)。最常見(jiàn)的是石子計(jì)數(shù)法：放牧的人每放出一只羊，就在地上擺一顆小石子，放了多少只羊就擺多少顆石子；晚上羊回來(lái)時(shí)，再把石子和羊一一對(duì)應(yīng)，如果石子和羊的數(shù)量一樣，就說(shuō)明羊沒(méi)有丟失。還有結(jié)繩計(jì)數(shù)法，人們?cè)诶K子上打上不同的結(jié)來(lái)記錄事情，大結(jié)可能代表重要的事件，小結(jié)代表普通的數(shù)量，比如用繩子上的結(jié)記錄每個(gè)月捕獲的野獸數(shù)量。另外，在木頭或骨頭上面刻道也是常用的方法，每刻一道就代表一個(gè)物品，這種方法在世界各地的古代遺址中都有發(fā)現(xiàn)，比如我國(guó)西安半坡遺址出土的陶器上就有類似的刻痕。這些早期計(jì)數(shù)方法有一個(gè)共同的特點(diǎn)，就是一一對(duì)應(yīng)。無(wú)論是石子、繩結(jié)還是刻道，都是把要數(shù)的物體和用來(lái)計(jì)數(shù)的工具一個(gè)對(duì)一個(gè)地對(duì)應(yīng)起來(lái)，這種思想直到今天仍然在使用，比如我們數(shù)東西時(shí)用手指點(diǎn)著物品一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)，就是一一對(duì)應(yīng)思想的體現(xiàn)。（二）符號(hào)計(jì)數(shù)法的出現(xiàn)隨著語(yǔ)言和文字的發(fā)展，人們開(kāi)始發(fā)明專門的符號(hào)來(lái)表示數(shù)量，這就是最早的數(shù)字。不過(guò)那時(shí)候不同國(guó)家和地區(qū)的數(shù)字符號(hào)差別很大。比如古埃及人用豎線表示數(shù)字，1就是一條豎線，2就是兩條豎線，直到9；巴比倫人用楔形文字在泥板上刻出不同的符號(hào)表示數(shù)量；我國(guó)古代則用漢字“一、二、三、四、五”來(lái)計(jì)數(shù)，后來(lái)還發(fā)明了更復(fù)雜的“算籌計(jì)數(shù)法”，用不同排列方式的小竹棍表示不同的數(shù)字。但這些符號(hào)都有一個(gè)缺點(diǎn)，就是不便于交流和計(jì)算。直到阿拉伯?dāng)?shù)字的出現(xiàn)，才逐漸解決了這個(gè)問(wèn)題。阿拉伯?dāng)?shù)字最初由古印度人發(fā)明，后來(lái)經(jīng)過(guò)阿拉伯人的傳播，在全世界得到廣泛使用，成為現(xiàn)在我們通用的數(shù)字符號(hào)：1、2、3、4、5、6、7、8、9、0。三、自然數(shù)的概念及特點(diǎn)（一）自然數(shù)的定義當(dāng)人們發(fā)明了數(shù)字符號(hào)后，就用它們來(lái)表示物體的個(gè)數(shù)。我們現(xiàn)在把表示物體個(gè)數(shù)的1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11……這樣的數(shù)叫做自然數(shù)。比如一個(gè)蘋果可以用“1”表示，兩支鉛筆可以用“2”表示。那如果一個(gè)物體也沒(méi)有呢？人們規(guī)定用“0”來(lái)表示，所以0也是自然數(shù)。需要注意的是，自然數(shù)是從0開(kāi)始的，它就像一條無(wú)限長(zhǎng)的數(shù)軸，從0開(kāi)始，后面跟著1、2、3……一直不斷延伸下去。在我們的生活中，自然數(shù)無(wú)處不在：日歷上的日期是自然數(shù)，課本的頁(yè)數(shù)是自然數(shù)，考試的分?jǐn)?shù)、公交車的路線號(hào)、家里的門牌號(hào)等，都離不開(kāi)自然數(shù)的應(yīng)用。（二）自然數(shù)的基本特點(diǎn)有序性：自然數(shù)是按照一定順序排列的，它們從0開(kāi)始，依次增加1。比如0后面是1，1后面是2，2后面是3，每一個(gè)數(shù)都比前一個(gè)數(shù)大1，這種順序永遠(yuǎn)不會(huì)改變。我們可以通過(guò)這個(gè)特點(diǎn)給自然數(shù)排序，比如把5、3、9、1、7按從小到大的順序排列，就是1、3、5、7、9。無(wú)限性：自然數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，沒(méi)有最大的自然數(shù)。無(wú)論你說(shuō)出一個(gè)多么大的數(shù)，只要給它加上1，就能得到一個(gè)更大的數(shù)。比如10000很大，但10001比它更大，1000000比10001還要大，這樣的過(guò)程可以永遠(yuǎn)繼續(xù)下去。相鄰數(shù)的差是1：每?jī)蓚€(gè)相鄰的自然數(shù)之間相差1。比如5和6是相鄰數(shù)，6-5=1；99和100是相鄰數(shù)，100-99=1。這個(gè)特點(diǎn)可以幫助我們解決很多問(wèn)題，比如知道一個(gè)數(shù)是8，它前面的數(shù)就是8-1=7，后面的數(shù)就是8+1=9。0的特殊性：0是最小的自然數(shù)，它表示“一個(gè)物體也沒(méi)有”。但0的作用非常重要，比如在記數(shù)時(shí)，0可以占位。比如數(shù)字10，如果沒(méi)有中間的0，就變成了1，意思完全不同。在加減法中，一個(gè)數(shù)加上0或者減去0，結(jié)果都等于它本身，比如5+0=5，7-0=7。四、十進(jìn)制計(jì)數(shù)法的基礎(chǔ)認(rèn)識(shí)（一）計(jì)數(shù)單位的產(chǎn)生當(dāng)人們需要表示更大的數(shù)時(shí)，單個(gè)的數(shù)字已經(jīng)不夠用了。比如要表示10個(gè)物體，總不能畫10個(gè)符號(hào)，于是就產(chǎn)生了“計(jì)數(shù)單位”的概念。我們現(xiàn)在使用的是十進(jìn)制計(jì)數(shù)法，就是“滿十進(jìn)一”。個(gè)位上滿10個(gè)一，就用1個(gè)十表示；十位上滿10個(gè)十，就用1個(gè)百表示；百位上滿10個(gè)百，就用1個(gè)千表示……比如我們數(shù)小棒，1根小棒是1個(gè)一，數(shù)到10根小棒時(shí)，就把它們捆成一捆，這一捆就是1個(gè)十；10捆小棒（也就是10個(gè)十）又可以捆成一大捆，這一大捆就是1個(gè)百。這里的“一（個(gè)）、十、百、千、萬(wàn)”都是計(jì)數(shù)單位，而且每個(gè)相鄰的計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率都是10。（二）數(shù)位與位數(shù)在用數(shù)字表示數(shù)的時(shí)候，每個(gè)數(shù)字所占的位置叫做數(shù)位。比如數(shù)字365，“3”在百位上，表示3個(gè)百；“6”在十位上，表示6個(gè)十；“5”在個(gè)位上，表示5個(gè)一。不同的數(shù)位表示的數(shù)值大小不同，從右往左數(shù)，第一位是個(gè)位，第二位是十位，第三位是百位，第四位是千位，第五位是萬(wàn)位，以此類推。位數(shù)是指一個(gè)數(shù)由幾個(gè)數(shù)字組成，比如12是兩位數(shù)，345是三位數(shù)，1000是四位數(shù)。位數(shù)越多，這個(gè)數(shù)通常就越大，但要注意0不能放在最高位，比如一個(gè)三位數(shù)，最高位是百位，不能寫成056，而應(yīng)該寫成56，這就變成了兩位數(shù)。五、數(shù)的分類與自然數(shù)的應(yīng)用（一）數(shù)的簡(jiǎn)單分類在我們學(xué)過(guò)的數(shù)中，可以分為自然數(shù)和非自然數(shù)。像0、1、2、3、4……這樣的數(shù)都是自然數(shù)；而像一半（1/2）、0.5這樣的數(shù)，暫時(shí)不屬于我們這學(xué)期學(xué)習(xí)的自然數(shù)范圍，到了高年級(jí)會(huì)進(jìn)一步學(xué)習(xí)。需要注意的是，所有的自然數(shù)都是整數(shù)，但整數(shù)并不全是自然數(shù)（以后會(huì)學(xué)到負(fù)整數(shù)）。（二）自然數(shù)在生活中的應(yīng)用自然數(shù)在我們的生活中無(wú)處不在，比如：計(jì)數(shù)：教室里有42張桌子，操場(chǎng)上有200名學(xué)生，這些都是用自然數(shù)表示物體的數(shù)量。排序：我們的學(xué)號(hào)、考試名次、樓層號(hào)，比如小明是3號(hào)學(xué)生，小紅考了第5名，這些自然數(shù)表示順序。編碼：身份證號(hào)碼、郵政編碼、電話號(hào)碼中都用到了自然數(shù)，雖然有些編碼看起來(lái)很長(zhǎng)，但每一位數(shù)字都有特定的含義。測(cè)量：我們用尺子量長(zhǎng)度，尺子上的刻度1、2、3……都是自然數(shù)，表示幾厘米；體重秤上的數(shù)字表示多少千克，也是自然數(shù)的應(yīng)用。六、易錯(cuò)點(diǎn)與典型例題解析（一）易錯(cuò)點(diǎn)提醒0的概念混淆：有些同學(xué)會(huì)認(rèn)為0不是自然數(shù)，或者覺(jué)得0表示“沒(méi)有”就沒(méi)有意義，這是錯(cuò)誤的。0是最小的自然數(shù)，而且在記數(shù)和運(yùn)算中都有重要作用。比如105這個(gè)數(shù)，如果把中間的0去掉，就變成了15，數(shù)值就變小了很多。自然數(shù)的無(wú)限性理解：有的同學(xué)會(huì)問(wèn)“最大的自然數(shù)是多少”，這里要記住，自然數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，沒(méi)有最大的自然數(shù)，無(wú)論你想到一個(gè)多么大的數(shù)，只要加1就能得到一個(gè)更大的數(shù)。數(shù)位與計(jì)數(shù)單位的區(qū)別：數(shù)位是指數(shù)字所在的位置，比如“十位”是數(shù)位；計(jì)數(shù)單位是指每個(gè)數(shù)位上的數(shù)字表示的大小，比如“十”是計(jì)數(shù)單位。比如數(shù)字58，“5”在十位（數(shù)位）上，表示5個(gè)十（計(jì)數(shù)單位）。（二）典型例題解析例題1：判斷下列說(shuō)法是否正確。（1）自然數(shù)都是整數(shù)。（√）（2）最小的自然數(shù)是1。（×，最小的自然數(shù)是0）（3）999是最大的自然數(shù)。（×，沒(méi)有最大的自然數(shù)）（4）相鄰兩個(gè)自然數(shù)的差是1。（√）例題2：一個(gè)自然數(shù)，它的個(gè)位是5，十位是3，百位是2，這個(gè)數(shù)是多少？它是幾位數(shù)？解析：寫數(shù)時(shí)從高位寫起，百位是2，十位是3，個(gè)位是5，所以這個(gè)數(shù)是235。它由三個(gè)數(shù)字組成，是三位數(shù)。例題3：小紅家的門牌號(hào)是一個(gè)兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字大2，且這兩個(gè)數(shù)字的和是6，小紅家的門牌號(hào)是多少？解析：先想哪兩個(gè)一位數(shù)相加等于6，可能是1和5、2和4、3和3、4和2、5和1、6和0。其中十位比個(gè)位大2的是4和2（4-2=2），所以這個(gè)兩位數(shù)是42。七、知識(shí)點(diǎn)鞏固與拓展（一）基礎(chǔ)練習(xí)寫出下面各數(shù)的相鄰數(shù)：35（）（）、100（）（）、999（）（）。填空：一個(gè)數(shù)從右邊起，第一位是（）位，第三位是（）位，第五位是（）位。判斷：0是自然數(shù)，也是整數(shù)。（）（二）拓展思考古時(shí)候人們用結(jié)繩計(jì)數(shù)，一根繩子上打了5個(gè)結(jié)，另一根繩子上打了3個(gè)結(jié)，一共表示多少個(gè)物體？如果每10個(gè)結(jié)要換一根新繩子，這兩根繩子的結(jié)可以換幾根新繩子，還剩幾個(gè)結(jié)？小明在計(jì)數(shù)器上撥了3顆珠子，表示一個(gè)三位數(shù)，這個(gè)三位數(shù)可能是多少？（提示：珠子可以放在百位、十位、個(gè)位，比如300、210、201、120、102、111）通過(guò)以上知識(shí)點(diǎn)